Crochets dans les matrices triangulaires

hicham · October 2015

Bonjour,
on sait que toute matrice de trace nulle est un crochet. Je me suis posé la question de caractériser les crochets de matrices triangulaires supérieures : ils sont triangulaires aussi, mais à diagonale nulle. Réciproquement, si $M$ est de cette forme, je saurai construire $T$ triangulaire telle que $M=MT-TM$ grâce à la réduction de Jordan. Est ce que quelqu'un sait faire ça plus élémentairement ? J'ai essayé de généraliser la méthode de Mneimné avec tr$(MM')$ qui est une forme non-dégénérée dans les matrices, mais pas dans les triangulaires, alors ça ne marche plus!

Merci, Hicham

hicham · October 2015

Personne? Ni Ga, ni, Bu, ni Zo, ni dSP, ni Greg ? Snif....

P. · October 2015

Il te faut consider l'espace $E$ des matrices triangulaires superieures d'ordre n et le sous espace $F$ de $E$ de celles de diagonale nulle, puis pour $M$ fixe dans $F$ l'application lineaire de $E$ dans $F$ definie par $T\mapsto MT-TM$ Si son noyau est de dimension $n$ tu as une demonstration. Mais ceci depend un peu de M, et meme l'etude du cas $n=3$ m'a parue peu appetissante.

* et pardon pour le clavier sans accents

Crochets dans les matrices triangulaires

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