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Sous-groupes de $\Z/n\Z$

Envoyé par Amathoué 
Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Bonjour

Je cherche à montrer que pour $d \mid n$ , il n'existe qu'un seul sous-groupe de $\Z/n\Z$ d'indice $d$. J'arrive à montrer que si $\pi$ désigne la réduction modulo $n$, tout sous-groupe $H$ de $\Z/n\Z$ s'écrit $\pi(p\Z)$ pour un certain $p$. Après je bloque ...

Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Sous groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Soit $\delta$ un diviseur de $n$ et $H_{\delta}=\{x \in \Z / n \Z | \delta x = 0\}$. Combien $H_{\delta}$ a-t-il d'éléments? Si $K$ est un sous-groupe de $\Z / n \Z$ de cardinal $\delta$, remarquer que $K \subseteq H_{\delta}$ et conclure.
(NB: un sous-groupe de $\Z / n \Z$ d'indice $d$ n'est jamais rien d'autre qu'un sous-groupe de cardinal $n/d$).
Re: Sous groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Re: Sous groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Sinon ma piste ne peut rien donner du tout?
Re: Sous groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
1) Je pense que ton idée peut arriver quelque part.

Si d | n alors $n\mathbb{Z}$ est un sous groupe (normal) de $d\mathbb{Z}$.
Par le théorème de correspondance, les d$ \mathbb{Z}$ avec d | n sont en bijection avec les sous groupes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Cette bijection est $ \pi : d\mathbb{Z} \to d\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$.
Donc les seuls sous-groupes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont les $d\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ pour d | n.

Ensuite, en utilisant le troisième théorème d'isomorphisme, on a : $\frac{\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}}{d\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z} / d\mathbb{Z}$

Ce qui montre que ce sous-groupe est d'indice d$.$

2) Généralisation

D'abord $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ est cyclique, engendré par 1.
Soit $ G = <x> $ un groupe cyclique (fini, d'ordre n). Montrons pour pour chaque d | n, il existe un seul sous-groupe de cardinal d.
D'abord un tel sous groupe existe car $ d|n \implies n/d \in \mathbb{N}$ et $ x^{n/d} $ est d'ordre d.
Ensuite, si $ H$ est un sous-groupe d'ordre d de $ G$, alors on montre (en utilisant le min et la division euclidienne) que il existe k positif tel que : $ H = <x^k>$. On a donc $x^{kd} = e$ donc il existe p tel que $kd = np$ donc $ k = (n/d)p$ donc $x^k \in <x^{n/d}>$.
Donc $ H \subset <x^{n/d}>$. Mais ils ont le même cardinal, donc ils sont égaux. Ce qui montre l'unicité.

3) Réciproque
Un groupe fini est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur d de son ordre il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$.
Pour la démonstration, utiliser le fait que $\sum\limits_{d|n} \phi(d) = n$ où $ \phi(d)$ est le nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre n (indicateur d’Euler).

Bien cordialement

P.S. Un paragraphe devenu inutile.
En utilisant le théorème de Lagrange : $ |\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}| = |\mathbb{Z} / d\mathbb{Z}| \times |d\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}|$ soit : $n = d \times |d\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}|$.
Ce qui montre que ce sous-groupe est de cardinal $n/d$ (et donc bien d'indice $d$). En écho avec la remarque de Foys.


[Leonhard Euler (1707-1783) prend toujours une majuscule. AD]
[Merci]



Edité 8 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par julien__.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Re: Sous groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Foys, tu avais une autre démonstration en tête que celle dans mon point 2 pour montrer que $ H_{\delta} $ contient d éléments ? Là, comme ça, je ne vois pas.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
@Julien__
Soit $m$ tel que $m\delta=n$. Soit $x \in \{0,...,n-1\}$ (on a $\mathbb Z / n \mathbb Z= \{\overline 0,...,\overline{n-1}\}$, toutes ces classes étant distinctes).
Alors $\overline{\delta x}=\overline{0}$ si et seulement s'il existe $k \in \mathbb N$ tel que $\delta x=kn=k\delta m$. Si et seulement si $x=km$. Donc si et seulement si $x$ fait partie des multiples de $m$ compris entre $0$ et $n-1$: il y en a $\frac{n}{m}= \delta$ (il suffit de compter).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Rusé

Merci smiling smiley
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Une autre manière de faire c'est de s'appuyer sur la bijection qui existe entre Z/nZ et les sous groupes de Z contenant nZ. Ceux-ci sont plutôt faciles a dénombrer. Avec n = 6 on voit bien ce qui se passe.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Lis mon post ?
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Je vais peut-être paraître bête mais comment un ensemble infini $d\Z$ peut être en bijection avec un ensemble fini
$d\Z / n\Z$?
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
avatar
Évidemment, ils ne sont pas en bijection.
Il y a une faute de frappe, il faut lire : $\pi:d\Z\mapsto d\Z/n\Z$, c'est-à-dire que $\pi$ est l'application qui au sous-groupe $d\Z$ de $\Z$ avec $d|n$ associe le sous-groupe $d\Z/n\Z$ de $\Z/n\Z$. (C'est une bijection entre sous-groupes de $\Z$ qui contiennent $n\Z$ et sous-groupes de $\Z/n\Z$.)
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Ok autant pour moi....je ne connaissais pas le "théorème de correspondance".
Merci.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Le théorème de correspondance est enseigné à quel niveau? premier cycle? master?
merci smiling smiley
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
avatar
Je ne sais pas. Vu qu'il n'y a plus de groupe dans les licences avant le L3, ça nous mène en gros en L3. Mais il y a cinq ans, on aurait pu le trouver en L1 ou en math. sup. Le niveau où il est enseigné ne dit rien de la difficulté de la chose.
Re: Sous-groupes de $\Z/n\Z$
il y a quatre années
Merci.
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