Système linéaire

myrtille
myrtille
dans Algèbre
Bonjour,

je me posais une question sur les systèmes linéaire, même si ça fait un moment que j’ai appris ça, je me rend compte que je m’étais jamais posé ces questions fondamentales
Lorsqu’on on un système linéaire comme ça
2x+7y=5
-x+4y=2

si l’on transforme le système en
2x+7y=5
x+11y=7

en ajoutant les deux lignes.
Pourquoi est-ce que c’est un système équivalent avec les même solutions ?
La droite x+11y=7 n’a rien avoir avec la droite -x+4y=2
qu’est ce qui fait qu’on obtient le même ensemble de solution, pas seulement dans ce cas ci mais dans le cas général ?

merci !

Réponses

  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Quelle est la question :

    1) Pourquoi est-ce vrai ? Il suffit de faire une preuve.
    2) Intuition : comment est-il possible, alors que je remplace une droite par une autre, que l'intersection des deux droites restent la même ? Réponse : les trois droites se coupent au même endroit.
  • christophe c
    christophe c
    Parce que tu as d'une part:

    $L1=a$ et $L2=b$ entraine $L1=a$ et $L1+L2 = a+b$ et d'autre part

    $L1=a$ et $L1+L2 = a+b$ entraine $L1=a$ et $L2=b$ (puisque $L2= (L1+L2)-L1$)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Petite coquille dans le message original (un -x au lieu de +x ?).

    En effet, il faut faire une preuve.
    Un indice : si "je passe" d'un système (1) à un système (2), il faut que "je puisse passer" du sytème (2) au système (1) pour que je puisse les qualifier de systèmes équivalents.
  • christophe c
    christophe c
    En fait, il veut peut-être une sorte de "révélation" géométrique.

    Soit $(u,v)$ tel que pour tout $i: a_ix + b_iy = a_iu +b_iv$. Alors $a_i(x-u)+b_i(y-v) = 0$. Tu peux multiplier par des nombres ou additionner des lignes entre elles, ça te donnera toujours des équations de la forme $[a'(x-u)+b'(y-v)=0]$, ie des équations de la forme $[a'x+b'y=a'u+b'v]$. Ces droites se couperont en $(u,v)$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • myrtille
    myrtille
    Merci, vois réponse m’éclairent déjà un peu.
    Je m’aperçois qu’on peut utiliser bêtement des techniques pendant des années, sans jamais vraiment comprendre ce qui se passe vraiment, à un niveau très simple, par exemple en se représentant ce qui se passe sur un dessin, ou en se disant, tiens, les deux droite se coupaient à cet endroit, on obtient une droite complètement différente en ajoutant les deux équation, mais pourtant on obtient une autre droite qui va quand même se couper au même endroit.

    Et qu’est ce qui fait du coup, qu’en ajoutant les deux la nouvelle droite va se couper au même endroit avec les deux autres ? j’avous que c’est assez mystérieux pour moi.
    Je ne cherche pas à démontrer quoi que ce soit pour l’instant, je cherche à avoir une comprehension vraiment basique des choses.

    edit: j’ai posté avant de voir la réponse de christophe.
  • christophe c
    christophe c
    Et qu’est ce qui fait du coup, qu’en ajoutant les deux la nouvelle droite va se couper au même endroit avec les deux autres ? j’avous que c’est assez mystérieux pour moi.

    Je viens de te répondre (re)lis
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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