nombre irrationnel
Réponses
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Il faut raisonner par l'absurde. Et utilise aussi la parité. Je n'en dis pas plus pour le moment si tu veux trouver tout seul.
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par l'absurde $\sqrt{2} = p/2$ puis tu bidouilles et tu decomposes p et q en facteurs premiers, tu utilises l'unicite de cette decomposition et tu as une absurdite
pour $\sqrt{5}$ c'est pareil.
le poulpe -
Je pense que le poulpe voulait dire $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$.
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Je pense que le poulpe voulait dire $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$.
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le problème cest que je n'arrive pas trouver toute seule....cela fait une heure que je tourne en rond ....je pose rac(5)=p/q 2entiers...puis je pose p pair ...et bref je tourne en rond ....dans mon devoir j ai la preuve que rac(2) est irrationnel mais il y a une des etapes que je ne pige pas....
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1) Quelle etape ne piges tu pas dans la preuve pour racine de 2 ?
2) Pour racine de 5, il ne suffit pas de remplacer racine de 2 par racine de 5. -
ici c'est pas p pair mais p divisible par 5 !
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bonjour,
on va illustrer la methode dite de "descente infinie" chère à Fermat dont le principe est le suivant:
pour montrer qu'une equation de Diophante f(p,q)=0 n'a pas de solution
on suppose qu'on a une solution (po,qo) avec po>0 et qo>0 et on montre l'existence d'une solution (p1,q1) avec 0< p1<po et0< q1<qo
d'ou contradiction car en iterant on aurait une infinite de solutions avec des entiers (p,q) tels que <p=po et q<=qo ce qui est impossible
illustration
supposons V5 rationnel égal à p/q avec p et q entiers >0
on a alors 5q²=p²
on a alors 5 diviseur de p d'ou p=5p'
mezalor q²=5p'²
d'ou 5 divise q ; d'ou q=5q'
on a donc 5q'²=p'² avec p'<p et q'<q
on a amorcé la "descente infinie" d'ou le résultat : il n'existe pas p et q entiers >0 tels que V5=p/q
Vous verrez que ce raisonnement s'applique avec bien d'autres entiers
( par ex tous les premiers et d'autres que je vous laisse trouver..)
Oump. -
Pour $\sqrt{2}$. On raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers premiers entre eux. On élève au carré et on a $2=\frac{p^2}{q^2}$. $2$ est clairement pair. Supposons que $p$ soit pair alors $\exists k$ tel que $p=2k$. d'où $2=\frac{4k^2}{q^2}$ c'est-à-dire $q^2=2k^2$ donc 2 divise $q$. Par conséquent pgcd(p,q)=2 or ce n'est pas possibles puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
Ceci pour t'éclaircir le cas de $\sqrt{2}$. Pour $\sqrt{5}$, je ne sais pas si ça marche bien je n'ai pas trop regardé. -
bon c parti :
par l'absurde :
$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$
donc :$2 q^2 = p^2$
Or $p = 2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}\ldots$
et pareil pour $q = 2^{\beta_1}3^{\beta_2}\ldots$
On en deduit :
$2^{2\alpha_1}3^{2\alpha_2}\ldots = 2^{2\beta_1 + 1}3^{2\beta_2}\ldots$
et la tu as $2\alpha_1 =2\beta_1 + 1$ ce qui est impossible
le poulpe -
je te repete textuellement:
si on a rac(2)=p/q avec p et q entiers on remarque que si p et q st tous 2 pairs on peut les diviser par 2 ss chnager le rapport p/q.quitte a repeter l operation un nb suffisant de fois on peut donc supposer qu o moins un des 2 entiers p ou q est impair.
merci -
Apparemment il y a eut pas mal de télescopage. J'espère que ça ira avec toutes ces explications.
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Oumpapah ta methode a la classe!!
je connaissais pas
le poulpe -
ok je te remercie pour rac(2)....mais rac(5) semble plus compliqué
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Regarde ce qu'à fait oump c'est très formateur et relativement souvent utilisé dans ce genre de problème.
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merci mais ta methode a l air de haut niveau...je vais l'imprimer pour mieux me pencher dessus...
cam -
C'est bien pour populariser cette méthode pas assez répandue au niveau élémentaire que je l'ai detaillée..c'est quand meme plus joli que le sempiternel " on suppose p/q irréductible etc...
c'est avec cette methode qu'on montre par ex que x^4 + y^4 = ±z²
n'a pas de solutions avec xyz #0 évoquée ici meme il y a quelque temps.
Oump. -
ben en fait çq marche aussi en poussant la decomposition jusqu'à 5 au lieu de 2 et ca marche meme avec tous les non-carres parfaits parce que tu rajoutes des exposants qui n'ont pas la mem parite
le poulpe -
C'est exactement la meme methode, sauf que la, il faut etudier l'exposant de 5 dans la decomposition en facteurs premiers. On trouve le meme genre de contradiction.
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T'as raison lis la à tête reposée. Ce n'est pas si compliquée. Il faut bien comprendre le principe.
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je vous remercie tous...c 'est la premiere fois que j'utilise le forum du site et je ne regrette pas...pour la plupoart qu'est ce que vous faites dans la vie?
cam -
<!--latex-->Je te conseille de lire <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=99177&t=74917#reply_99177"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=99177&t=74917#reply_99177</a>
<BR>
<BR>Cherche dans le post il y a un résumé vers la fin.<BR> -
N'y a-t-il pas plus simple pour montrer que pour tout n, racine(n) ne peut pas se mettre sous la forme p/q avec p^q=1 et q>1?
Si tel était le cas, nq²=p² donc q diviserait p² et donc p (th Gauss), ce qui n'est pas.
On montre ainsi que racine(n) est soit entier soit irrationnel. -
tu supposse que p et p/q=rc2 sont indivisible entre eux par l absurde tu obtiendras la reponse mais si je comprend bien t as un probleme avec le passage de la relattion entre rac5 et r2 ma theorie dis que ra(2+p) quelque soit p impairs excep 7 est irrationel p et entre 0 et 10 c est lintervalle ......
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A cette adresse tu as une démo de l'irrationalité de racine de 2 et sa généralisation à racine de 5.
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=98260&t=98018> -
bonsoir tout le monde;
Voila un petit critere d'irrationnalité/
Soit $r\in \R$
si $\exists(a_n)_{n\in N}$ et $(b_n)_{n\in N}$ deux suites d'elements de $\Z$ telles que $\vert a_n+rb_n\vert>0$ et tend vers $0$ alors $r$ est irrationnel.
Application: 1) $\vert (\sqrt2-1)^n\vert$est >0 , tend vers 0 et peut s'ecrire
comme $\vert a_n+b_n \sqrt 2 \vert$
2) $\vert (\sqrt5-2)^n\vert$est >0 , tend vers 0 et peut s'ecrire
comme $\vert a_n+b_n \sqrt 5 \vert$
on peut le faire pour $e$ aussi!!!
Amicalement
Said -
merci a tous...j ai encore une petite question :
deduire de la preuve pour rac(2) que valeur absolue(p²-2q²)>=1 pour 2 entiers p et q arbitraires(????ie???).en deduire une minoration de valeur absolue(2-(p/q)², puis une minoration de valeur absolue(rac(2) -p/q) en fonction de q -
valeur absolue(p²-2q²) est, entre autre, un entier positif.
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après factorisation tu en déduis que ta quantité est >= 1/(q² racine(2)).
C'est une mesure d'irrationalité de racine(2).
Bien cordialement. -
merci!
je vais essayer de m'y mettre mais c'est pas facile de s y mettre seule... -
Bonsoir...je suis le conseil de vianney
je suis en licence maths en télé enseignement et j ai pris bocou de retard dans le prog j ai 3 ds a rendre....et malheureusement meme malgré les explications d'hier soir je n'arrive tjrs pas à montrer que rac5 est irrationnel?
pouvez vous m'aider?
je n'ai pas suivi un deug de maths j 'ai donc des lacunes avec certains raisonnements....
merci encore -
Si racine(5)=p/q (avec p et q premiers entre eux), on a:
5q²=p², donc 5 divise p, disons p=5r, ce qui entraîne:
5q²=25r², donc:q²=5r²; ceci montre que 5 divise q.
Conclusion: 5 divise p et q qui étaient supposés premiers entre eux. -
merci....j'ai enfin compris.....il m'aura fallu du temps...
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Ca y est, un spam de forum !
Modérateur S.V.P.
Il va falloir commencer à étudier la possibilité d'un filtre...
Amicalement
Volny -
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remarque montrer au préalable que si $p$ est premier et divise $n²$ alors $p$ divise $n$
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Un raisonnement analogue, qui marche pour montrer que $r^(1/2)$ est irrationnel, pour tout r ne pouvant pas s'écrire carré d'un entier
On suppose $r^(1/2)$=p/q, p et q premier entre eux.
nous obtenon r=p²/q² d'ou rq²=p²
q|p² et q premier avec p, donc q|p (Th de Gauss), et q|q, donc q=1 (car PGCD(p,q)=1), ainsi r=p², ce qui contredit l'hypothèse que r ne s'écrit pas comme carré d'un entier.
En fait bcp de méthodes pour montrer l'irrationnalité des racines carrées
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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