Exercice avec une certaine difficulté

La piste des puissances est la bonne. le tout est de suivre les bons embranchements.

C'est un bon début. edit : J'aurais dû quand même signaler l'erreur d'écriture.
Essaye de te servir de cela pour continuer.
Essaye de n'utiliser que le nombre 3 et ses puissances.

Attention

9^n+1=3^2n+1 signifie 9ⁿ+1=3²n+1 ce qui est faux

Et 9ⁿ⁺¹ n'est pas égal à 3²ⁿ⁺¹ ni à 3²ⁿ+1

Pense à factoriser !!!

Voir les propiétés des puissances. Il y a deux factorisations évidentes puis une simplification immédiate.

Nb : Pour n=0 on ne trouve pas 9.

Non, une bonne mise en facteur permet d'écrire que le nombre p ne dépend plus de l'entier n.

Ne regardons alors que le dénominateur : $D=3^{2n+1} - 3^{2n}$.
Quel est le "meilleur* facteur commun ?

*Remarque : cette notion de meilleur facteur commun n'est pas du tout officielle, en fait elle n'a pas vraiment de sens mais je l'utilise pour t'aider.

Que veut dire "ou ^2n" ?
Allez, on y est presque : combien de facteurs dans $3^{2n+1}$ et combien de facteurs dans $3^{2n}$ ?

Quelques rappels :
$2$x$2$x$2$ est un produit contenant 3 facteurs. On peut écrire ce nombre $2^3$.
$2^{1000}$ est un produit contenant 1000 facteurs.
$2^n$ est un produit contenant $n$ facteurs (lorsque $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2).

Retour à l'exercice :
Quels sont les facteurs de $3^{2n}$ et combien y en a-t-il ?

La première phrase de cette page peut aider : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Facteur_(mathématiques)
Et la suite aussi, un autre jour.

[Correction du lien. AD]

Non !
C'est pour ces raisons là que tu bloques : vocabulaire et écriture en puissance.

$3^{2n}$ est une écriture commode pour $3$x$3$x...x$3$ qui contient exactement $2n$ facteurs tous égaux à $3$.

Faire de même avec $3^{2n+1}$.

J'espère ensuite que tu sais factoriser ;-)

Un exemple :
A = $2$x$3$x$2$+$3$x$2$x$7$-$11$x$5$x$3$x$2$

Chacun des trois termes est un produit.
Le premier est un produit de trois facteurs.
Le deuxième est un produit de trois facteurs.
Le troisième est un produit de quatre facteurs.
(Allez, je le dis ici : un facteur est un nombre qui intervient dans un produit)

On remarque que les facteurs $2$ et $3$ sont communs aux trois termes.

On peut alors factoriser par ces deux nombres (qui s'appellent des facteurs communs).

A = $2$x$3$x$($$2$+$7$-$11$x$5$)

Pour le dénominateur, en effet, c'est un facteur commun.

Essaye de factoriser cela :
$D=3^{17}-3^{16}$

Attention cependant : @gerard0 l'a déjà dit
Quand tu écris 3^2n, tu veux sûrement dire 3^(2n), dans ce cas mets bien les parenthèses.

Oui !
Maintenant fais la même chose avec le dénominateur proposé (avec $n$ entier quelconque).

Ensuite tu feras encore la même chose avec le numérateur (avec le $3$, encore).

Allez courage, la persévérance à essayer de comprendre est ton salut (alors que vouloir la réponse ne sert à rien).
Continue.

À plus tard, je pars ;-)

Peux-tu me dire quelles règles tu utilises et détailler le calcul ?

Bonjour,

Essaie donc ceci.

Ecrit $9^{n+1} + 9^n$ pour $n=0$, puis pour $n=1$ et factorise, puis pour $n=2$ et factorise, puis pour $n=3$ et factorise.
Ecrit $3^{2n+1} - 3^{2n}$ pour $n=0$, puis pour $n=1$ et factorise, puis pour $n=2$ et factorise, puis pour $n=3$ et factorise.

Si tu n'y arrives pas, c'est pas bien grave. Revise la définition de $a^n$ et fait les exercice du cours sur ce chapitre.

Maintenant généralise :
Ecrit $9^{n+1} + 9^n$ et factorise.
Ecrit $3^{2n+1} - 3^{2n}$ et factorise.
Que vaut ${9^{n} \over 3^{2n}}$ pour $n=0$, pour $n=1$, pour $n=2$ ? Et pour tout $n$ ?

Bonjour, oui c'est ça, continue.

Bonjour,

Que vaut ${9^n \over 3^{2n}}$ pour $n=0$, pour $n=1$, pour $n=2$ ? Et pour tout $n$ ?

Bonjour,

On écrit ça et non pas sa...

On calcule et on trouve $1$ pour quelques valeurs de $n$. Il faut prouver que le résultat est toujours égal à $1$, pour tout $n$.

Si j'écris $9 = 3 \times 3$, es-tu d'accord ?

Puis si j'écris $3 \times 3 = 3^2$, es-tu d'accord ? Sûr ?

Donc a-t-on $9 = 3^2$ ? et a-t-on $9^n = (3^2)^n = 3^{2 \times n} = 3^{2n}$ ?