Exercice avec une certaine difficulté
dans Algèbre
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Réponses
Sans te donner la solution... je vois $3$ et je vois $9$. Les vois-tu ? Que dire de $9$ par rapport à $3$ ?
Aussi, que vaut cette quantité pour $n=0$ et $n=1$ ?
Essaye de te servir de cela pour continuer.
Essaye de n'utiliser que le nombre 3 et ses puissances.
9^n+1=3^2n+1 signifie 9n+1=32n+1 ce qui est faux
Et 9n+1 n'est pas égal à 32n+1 ni à 32n+1
Pense à factoriser !!!
Un peu de sérieux pour faire les calculs te servirait.
Nb : Pour n=0 on ne trouve pas 9.
Quel est le "meilleur* facteur commun ?
*Remarque : cette notion de meilleur facteur commun n'est pas du tout officielle, en fait elle n'a pas vraiment de sens mais je l'utilise pour t'aider.
Allez, on y est presque : combien de facteurs dans $3^{2n+1}$ et combien de facteurs dans $3^{2n}$ ?
$2$x$2$x$2$ est un produit contenant 3 facteurs. On peut écrire ce nombre $2^3$.
$2^{1000}$ est un produit contenant 1000 facteurs.
$2^n$ est un produit contenant $n$ facteurs (lorsque $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2).
Retour à l'exercice :
Quels sont les facteurs de $3^{2n}$ et combien y en a-t-il ?
Je continue quand même :
$3^{2n}$ et $3^{2n+1}$ ont-ils des facteurs communs ?
Tu as dit, à juste titre, que $3^{2n}$ contient $2n$ facteurs. Quels sont ces facteurs ?
Et la suite aussi, un autre jour.
[Correction du lien. AD]
C'est pour ces raisons là que tu bloques : vocabulaire et écriture en puissance.
$3^{2n}$ est une écriture commode pour $3$x$3$x...x$3$ qui contient exactement $2n$ facteurs tous égaux à $3$.
Faire de même avec $3^{2n+1}$.
J'espère ensuite que tu sais factoriser ;-)
A = $2$x$3$x$2$+$3$x$2$x$7$-$11$x$5$x$3$x$2$
Chacun des trois termes est un produit.
Le premier est un produit de trois facteurs.
Le deuxième est un produit de trois facteurs.
Le troisième est un produit de quatre facteurs.
(Allez, je le dis ici : un facteur est un nombre qui intervient dans un produit)
On remarque que les facteurs $2$ et $3$ sont communs aux trois termes.
On peut alors factoriser par ces deux nombres (qui s'appellent des facteurs communs).
A = $2$x$3$x$($$2$+$7$-$11$x$5$)
Essaye de factoriser cela :
$D=3^{17}-3^{16}$
Attention cependant : @gerard0 l'a déjà dit
Quand tu écris 3^2n, tu veux sûrement dire 3^(2n), dans ce cas mets bien les parenthèses.
Maintenant fais la même chose avec le dénominateur proposé (avec $n$ entier quelconque).
Ensuite tu feras encore la même chose avec le numérateur (avec le $3$, encore).
Allez courage, la persévérance à essayer de comprendre est ton salut (alors que vouloir la réponse ne sert à rien).
Continue.
À plus tard, je pars ;-)
Pour le dénominateur, j'ai trouvé D= 3 (1^2n+1 - 1^n)
c'est ça ?
Par exemple pour n=3
$9^{n+1}+9^n=9^{3+1}+9^3=9^{4}+9^3=9\times9\times9\times9+9\times9\times9$
$3(3^{n+1}+3^n)=3(3^{3+1}+3^3)=3(3^{4}+3^3)=3(3\times3\times3\times3+3\times3\times3)=3\times3\times3\times3\times3+3\times3\times3\times3$
Ça ne donne pas du tout le même résultat.
Mais en regardant le développement du numérateur, on voit vite tout ce qu'on peut factoriser.
Numérateur, N= 3^n(3^1 + 3)
Ce n'est toujours pas ça ?
Quand vas-tu apprendre les règles de calcul sur les puissances pour pouvoir faire facilement cet exercice ?
Je ne vais pas te faire un calcul que tu peux faire si tu veux vraiment (factoriser 3^n au numérateur, alors qsu'il y a des 9 montre bien que tu ne cherches pas à comprendre, tu attends qu'on te donne le bon résultat).
Je te laisse faire ton travail.
Essaie donc ceci.
Ecrit $9^{n+1} + 9^n$ pour $n=0$, puis pour $n=1$ et factorise, puis pour $n=2$ et factorise, puis pour $n=3$ et factorise.
Ecrit $3^{2n+1} - 3^{2n}$ pour $n=0$, puis pour $n=1$ et factorise, puis pour $n=2$ et factorise, puis pour $n=3$ et factorise.
Si tu n'y arrives pas, c'est pas bien grave. Revise la définition de $a^n$ et fait les exercice du cours sur ce chapitre.
Maintenant généralise :
Ecrit $9^{n+1} + 9^n$ et factorise.
Ecrit $3^{2n+1} - 3^{2n}$ et factorise.
Que vaut ${9^{n} \over 3^{2n}}$ pour $n=0$, pour $n=1$, pour $n=2$ ? Et pour tout $n$ ?
Pour le numérateur 9^n (9+1)
pour le dénominateur 3^2n (3-1)
c'est ça ? Je ne suis pas sûr pour le dénominateur
Que vaut ${9^n \over 3^{2n}}$ pour $n=0$, pour $n=1$, pour $n=2$ ? Et pour tout $n$ ?
On écrit ça et non pas sa...
On calcule et on trouve $1$ pour quelques valeurs de $n$. Il faut prouver que le résultat est toujours égal à $1$, pour tout $n$.
Si j'écris $9 = 3 \times 3$, es-tu d'accord ?
Puis si j'écris $3 \times 3 = 3^2$, es-tu d'accord ? Sûr ?
Donc a-t-on $9 = 3^2$ ? et a-t-on $9^n = (3^2)^n = 3^{2 \times n} = 3^{2n}$ ?