Petite question
dans Algèbre
Bonsoir tout le monde
Voilà j'ai une petite question.
Il faut prouver que x=y sachant que (x - y)(x² - y² + xy + 1) = 0
L'astuce peut être est de prouver que (x² - y² + xy + 1) est différent de 0 mais comment faire ?
S'il vous plaît j'ai besoin de vos réponses.
Merci d'avance.
Voilà j'ai une petite question.
Il faut prouver que x=y sachant que (x - y)(x² - y² + xy + 1) = 0
L'astuce peut être est de prouver que (x² - y² + xy + 1) est différent de 0 mais comment faire ?
S'il vous plaît j'ai besoin de vos réponses.
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Réponses
Désolé c'est vrai que chaque x et y appartiennent à R.
[Prière d'écrire les mots en entier. Merci. AD]
(x-y)(x^2-y^2+xy+1)=0 \Rightarrow x=y
$$ Je te fais remarquer que si tu y arrives alors tu auras en particulier prouvé que pour tout réel $x$ $$ (x-1)(x^2-1^2+x\times 1+1)=0 \Rightarrow x=1
$$ donc tu auras prouvé que pour tout réel $x$ $$
(x-1)(x^2+x)=0 \Rightarrow x=1
$$ Et en particulier, tu auras prouvé que $$
(0-1)(0^2+0)=0 \Rightarrow 0=1
$$ Et en particulier, tu auras prouvé que $$0=1$$ Et ça ce sera un exploit historique.
L'idée est de se dire : "De quelle développement peut venir $x^2 + xy ... $ ?
Cela en considérant $y$ comme "un nombre connu" (c'est à dire qu'on s'en n'occupe pas vraiment).
@christophe c
Tu as raison l'énoncé est incomplet.
Cependant "supposer tacitement" est contraire parfois à ton discours.
Je ne te jette pas la pierre pour autant.
Je dis cela car je ne suis pas sûr (là c'est moi qui suppose tacitement) que l'auteur de ce fil puisse comprendre la teneur de ton message. Même s'il est très important, j'en conviens.
.
Pour dire vite, l'équation (x - y)(x² - y² + xy + 1) = 0 d'inconnues x et y a des solutions pour lesquelles x et y sont différents. par exemple x=0 et y=1.
Donc tu ne pourras pas faire ce que tu annonces comme ton but.
Désolé.
Si cette méthode est fausse
Que dois je faire alors ?
Bin rien: oublie-la, c'est tout.
Par la "règle du produit nul", il est clair que \(x=y\) est une solution.
Si l'on considère \(x\neq y\), on a \(y^{2}-x^{2}-xy-1=0\Leftrightarrow (y-(1/2)x)^{2}-(5/4)x^{2}-1=0\) dont on déduit que toutes les solutions \((x,y)\) (de l'équation initiale) sont \[\left\{ (x,x), (x,\sqrt{(5/4)x^{2}+1}+(1/2)x),(x, -\sqrt{(5/4)x^{2}+1}+(1/2)x)\left.\right\vert x\in\mathbb{R}\right\}\]
D'ailleurs, ce brave WolframAlpha nous l'illustre.
Voilà jai besoin de votre aide
(En terminales, tu as l'outil dérivée qui te permet de voir que $x\mapsto x^3+x$ est strictement croissante. De lui, ton truc se déduit)
Puis utiliser une des méthodes proposées pour arriver à la conclusion.
Sinon, on peut aussi dire bonjour, voilà ce que j'ai essayé sans parvenir au bout...
On peut aussi lire la charte...
Je pense qu'un salut suffit
A part j'ai essayé x^3 - y^3 après je factorise avec x - y qui donne ceci (x-y)(x^2 + xy + y^2 + 1)
Cela est suffisant pour dire que x=y sinon comment faire.
[Inutile de recopier le message précédent. AD]
[ Edit : C'est du moins ainsi que je l'ai interprétée, d'où la fusion des deux discussions ]