Petite question

yahyakz123
yahyakz123
dans Algèbre
Bonsoir tout le monde
Voilà j'ai une petite question.

Il faut prouver que x=y sachant que (x - y)(x² - y² + xy + 1) = 0

L'astuce peut être est de prouver que (x² - y² + xy + 1) est différent de 0 mais comment faire ?

S'il vous plaît j'ai besoin de vos réponses.
Merci d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Essayer d'écrire sous la forme $(x + ay)^2 + ...$ la quantité évoquée...
  • christophe c
    christophe c
    Si c'est vrai (tu n'as rien précisé ni mis de quantificateurs, on suppose tacitement un $\forall x,y$ dans $\R$) alors $(x-1)(x^2+x) = 0$ entraine $x=1$ pour tout $x$. Donc que $0=1$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • yahyakz123
    yahyakz123
    Vraiment je n'ai pas bien compris.
    Désolé c'est vrai que chaque x et y appartiennent à R.

    [Prière d'écrire les mots en entier. Merci. AD]
  • christophe c
    christophe c
    Je recommence : tu prétends avoir comme exercice de prouver que pour tous réels $x,y:$ $$
    (x-y)(x^2-y^2+xy+1)=0 \Rightarrow x=y
    $$ Je te fais remarquer que si tu y arrives alors tu auras en particulier prouvé que pour tout réel $x$ $$ (x-1)(x^2-1^2+x\times 1+1)=0 \Rightarrow x=1
    $$ donc tu auras prouvé que pour tout réel $x$ $$
    (x-1)(x^2+x)=0 \Rightarrow x=1
    $$ Et en particulier, tu auras prouvé que $$
    (0-1)(0^2+0)=0 \Rightarrow 0=1
    $$ Et en particulier, tu auras prouvé que $$0=1$$ Et ça ce sera un exploit historique.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Quand on développe $(a+b)^2$ on obtient $a^2+2ab...$.
    L'idée est de se dire : "De quelle développement peut venir $x^2 + xy ... $ ?
    Cela en considérant $y$ comme "un nombre connu" (c'est à dire qu'on s'en n'occupe pas vraiment).


    @christophe c
    Tu as raison l'énoncé est incomplet.
    Cependant "supposer tacitement" est contraire parfois à ton discours.
    Je ne te jette pas la pierre pour autant.
    Je dis cela car je ne suis pas sûr (là c'est moi qui suppose tacitement) que l'auteur de ce fil puisse comprendre la teneur de ton message. Même s'il est très important, j'en conviens.


    .
  • gerard0
    gerard0
    Yahyakz123,

    Pour dire vite, l'équation (x - y)(x² - y² + xy + 1) = 0 d'inconnues x et y a des solutions pour lesquelles x et y sont différents. par exemple x=0 et y=1.

    Donc tu ne pourras pas faire ce que tu annonces comme ton but.

    Désolé.
  • yahyakz123
    yahyakz123
    DSL Désolée pour le retard
    Si cette méthode est fausse
    Que dois je faire alors ?
  • christophe c
    christophe c
    Qu'appelles-tu "méthode"?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • yahyakz123
    yahyakz123
    je voulais dire idée
  • christophe c
    christophe c
    Si cette méthode idée est fausse
    Que dois je faire alors ?

    Bin rien: oublie-la, c'est tout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • MoebiusCorzer
    MoebiusCorzer
    Ce qu'ils essaient de te dire, c'est que \(x=y\) n'est pas l'unique solution de ton équation si \(x,y\in\mathbb{R}\), tu ne peux donc pas prouver que ton équation se réduit à la solution \(x=y\) (ce que, dit en d'autres termes, tu annonçais devoir prouver).
    Par la "règle du produit nul", il est clair que \(x=y\) est une solution.
    Si l'on considère \(x\neq y\), on a \(y^{2}-x^{2}-xy-1=0\Leftrightarrow (y-(1/2)x)^{2}-(5/4)x^{2}-1=0\) dont on déduit que toutes les solutions \((x,y)\) (de l'équation initiale) sont \[\left\{ (x,x), (x,\sqrt{(5/4)x^{2}+1}+(1/2)x),(x, -\sqrt{(5/4)x^{2}+1}+(1/2)x)\left.\right\vert x\in\mathbb{R}\right\}\]
    D'ailleurs, ce brave WolframAlpha nous l'illustre.
  • yahyakz123
    yahyakz123
    Salut

    Voilà jai besoin de votre aide

    682958IMG20151025130812.jpg
  • christophe c
    christophe c
    A quels axiomes as-tu droit?

    (En terminales, tu as l'outil dérivée qui te permet de voir que $x\mapsto x^3+x$ est strictement croissante. De lui, ton truc se déduit)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Regarder l'autre fil et remarquer que c'est presque la même chose sans être la même chose (une histoire de signe...).
    Puis utiliser une des méthodes proposées pour arriver à la conclusion.

    Sinon, on peut aussi dire bonjour, voilà ce que j'ai essayé sans parvenir au bout...
    On peut aussi lire la charte...
  • yahyakz123
    yahyakz123
    Dom
    Je pense qu'un salut suffit
    A part j'ai essayé x^3 - y^3 après je factorise avec x - y qui donne ceci (x-y)(x^2 + xy + y^2 + 1)
    Cela est suffisant pour dire que x=y sinon comment faire.

    [Inutile de recopier le message précédent. AD]
  • jacquot
    jacquot
    Je fusionne les deux discussions puisqu'il s'agit du même exercice.
  • Dom
    Dom
    Il faut [large]LIRE[/large] les indications vues plus haut et les comprendre, et les appliquer.
  • yahyakz123
    yahyakz123
    C'est bon merci c'est résolu
  • Dom
    Dom
    Petite question cependant : le premier problème ne contenait-il pas une coquille (issue d'une erreur de factorisation) corrigée dans le deuxième problème ?

    [ Edit : C'est du moins ainsi que je l'ai interprétée, d'où la fusion des deux discussions ]
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