Cette (courte) preuve est-elle rigoureuse ?

julien__
julien__
dans Algèbre
Bonjour,
J'essaie de montrer rigoureusement que pour deux ensemble finis E et F, de cardinaux n et p respectivement, l'ensemble $F^E$ des applications de E dans F est équipotent (= en bijection) avec le produit $F^n = \prod_{i\in\mathbb{N}_n} F$.

La preuve suivante est-elle rigoureuse ?

Soit E un ensemble de cardinal $n$ et F un ensemble de cardinal $p$. Nous allons montrer que : $F^E$ et $P = F^n = (\prod_{i \in\mathbb{N}_n} F)$ sont équipotents.
Comme $E$ est fini, il existe une bijection $e : \mathbb{N}_n \to E$ et on peut écrire : $E = \{e_1, e_2, ..., e_n\}$, en notant $e_i$ l'image de $i$ par $e$.


Soit $\phi : F^E \to P$ telle que $\phi(f) = ( f(e_1) ; f(e_2); ... ; f(e_{n}))$.

$\phi$ est injective car $\phi(f) = \phi(g) \implies f(e_i) = g(e_i), \forall i \in \mathbb{N}_n \implies f(e) = g(e), \forall e \in E \implies f = g$.

$\phi$ est surjective. Soit $a = (a_1; ... ; a_n) \in P$ et soit $f : E \to F$ telle que $\forall i\in\mathbb{N}_n, f(e_i) = a_i$.
Alors $f$ est un antécédant de $a$ par $\phi$.

Merci d'avance,
Julien

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Elle est propre, mais tu fais usage de pointillés, qui n'existent pas formellement. Par ailleurs sur la fin, tu dis "soit $f$ telle que", sans vraiment prouver son existence.

    De plus le produit $F^n$ n'est pas l'ensemble des $n$-uplets d'éléments de $F$, c'est l'ensemble des applications de $n$ dans $F$.

    Une preuve rigoureuse serait plutôt la suivante: soit $b$ une bijection de $n$ dans $E$. Soit $f\in F^E$. Alors $\phi(f):=f\circ b$ va de $n$ dans $F$. Autrement dit $\phi$ va de $F^E$ dans $F^n$. Il reste à montrer que c'est une bijection: soit $\psi : f\in F^n \mapsto f\circ b^{-1}$. Alors $\phi\circ \psi$ est l'identité de $F^n$ et $\psi\circ \phi$ est l'identité de $F^E$.

    Si tu tiens absolument à tes $n$-uplets, il semble incontournable de faire une preuve par récurrence sur $n$ (si tu la veux formelle).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    Ça me semble curieux. Qu'est-ce que $F^n$ sinon l'ensemble des applications de $\N_n$ vers $F$ ? Dans ces conditions, on obtient une bijection entre $F^E$ et $F^n$ en composant par une bijection $e:\N_n\to E$. Plus précisément, à $f\in F^E$, on associe $f\circ e\in F^n$, l'application réciproque étant $g\mapsto g\circ e^{-1}$.

    Edit : Pas bien original vu ce que Christophe a écrit qq minutes avant.
  • christophe c
    christophe c
    Oui, c'est ce que j'ai écrit (en tenant compte qu'il veut du formel de chez formel :-D )

    Par contre attention, s'il veut absolument parler de $n$-uplets, il va se faire mal pour rien. Remarque: $(x,y,z):=((x,y),z)$, etc
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • julien__
    julien__
    Bonsoir à vous deux,
    Merci pour vos réponses.
    christophe c a écrit:
    Par contre attention, s'il veut absolument parler de $n$-uplets, il va se faire mal pour rien.
    Remarque: $(x,y,z):=((x,y),z)$, etc

    C'est exactement ce que j'avais en tête... En fait, je suis en train d'écrire un résumé (rigoureux/algébrique) de combinatoire et j'aime bien les n-uplets parce qu'on peut les visualiser. Un peu comme on penserait à un mot écrit sur un alphabet ("3 choix pour la première lettre, 2 pour la seconde", etc.)

    A part la définition et les preuves par récurrence, je dois m'attendre à des difficultés que je ne soupçonne pas encore ?
    christophe c a écrit:
    tu fais usage de pointillés, qui n'existent pas formellement. Par ailleurs sur la fin, tu dis "soit f telle que", sans vraiment prouver son existence.
    C'est bien noté. Merci :)
  • julien__
    julien__
    christophe c a écrit:
    Par ailleurs sur la fin, tu dis "soit f telle que", sans vraiment prouver son existence.

    Est-ce que la rédaction suivante remédie à ce problème ?
    (En utilisant pour définition qu'une application est une correspondance (G, E, F) telle que pour tout $e \in E, \exists! f \in F$ tel que $ (e,f) \in G$ ; G étant le graphe de la correspondance)

    Soit $a = (a_1; ... ; a_n) \in P$,

    alors $G =\{ (e_i, a_i), i \in \mathbb{N}_{n}\}$ est une partie de $E \times F$ telle que $(e_i, a_j) \in G \implies a_j = a_i$. (ce passage ?)

    Ce qui montre que $f = (G, E, F)$ est bien une application (étant donné $e_i$, $a_i$ est unique tel que $(e_i, a_i) \in G$)

    Enfin, $\phi(f) = (f(e_1); ...; f(e_n)) = (a_1;...;a_n) = a$, $f$ est bien un antécédent de $a$ par $\phi$.

    (Je comprends bien que ça ne résout pas le problème des pointillés)

    christophe c a écrit:
    tu fais usage de pointillés, qui n'existent pas formellement

    Une idée : est-ce qu'il y a un moyen de s'en tirer en utilisant les projections ? (pour éviter une récurrence)
  • christophe c
    christophe c
    La récurrence n'est pas évitable, rigoureusement. Il te faut mettre une bijection entre $F^n$, l'ensemble des applications de $n$ dans $F$ et $F_n$ l'ensemble des $n$-uplets de $F$ défini par $F_1:=F; F_{p+1}:=F_p\times F$ pour tout $p\in \N^*$.

    Remarque: $n=\{0;1;..;n-1\}$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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