congruences

Bonjour
Soient $$a=7^{n+1}+3.7^{n},\quad b=11^{n+1}+4.11^{n}$$ Montrer que :
- $a$ est un nombre pair et que $b$ multiple de $15$

En effet,
supposons l’hypothèse absurde $a$ est un nombre impair alors il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $7^{n+1}+3.7^{n}=2k+1$ \begin{align}
7^{n+1}+3.7^{n}&=7^{n}( 7+3)\\
&=2k+1 \\
10.7^{n}&=2k+1\\
2k&=10.7^{n}-1\\
k&=5.7^{n}-\frac{1}{2}
\end{align} contradiction car $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} $

$b$ est multiple de 15 c'est-à-dire que $15\mid b \equiv \exists k \in \mathbb{Z} : b=15.k$
on a \begin{align}
b&=11^{n+1}+4.11^{n}\\
&=11^{n}11+4.11^{n}\\
&=11^{n}(1+4 )\\
&=5.11^{n}
\end{align} donc $5 \mid b$ donc $\exists k \in \mathbb{Z},\ b=5.k$ on prend $k=3k'$ donc $15 \mid b$.

Merci d'avance.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.

Evite le $<< \forall n\in \N>>$ avant ton énoncé

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi

@christophe c merci donc mon raisonnement est correcte



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Educ.

Pour le premier, c'est un peu étrange d'invoquer $1/2$ qui n'est pas un entier.

Pour le second, il y a une erreur de calcul (étrange aussi à vrai dire) : on passe de $11^{n+1}$ à $11^n\times1$ au lieu de $11^n\times11$ puis la factorisation qui suit est cohérente (avec l'erreur) mais (donc) fausse. Bref : $b=11^n\times15$ et il n'y a vraiment rien à ajouter.

En revanche, le raisonnement proposé ne va pas : il est vrai que $11^n\times5$ est divisible par $5$ mais avec les notations choisies, on a $k=11^n$ qui lui, n'est pas divisible par $3$ -- autrement dit, $k'$ n'est pas un entier. (Exemple : pour $n=1$, on trouve $k=11$ et $k'=11/3$...)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.

@Jer anonyme a été le plus rapide

Pour la parité de a :
Le raisonnement est correct.
Cependant on peut se passer du raisonnement par l'absurde : on trouve que a est multiple de 4, donc c'est pair.
(Autre preuve : On "voit tout de suite" (à expliciter rigoureusement) que c'est une somme de deux nombres impairs, c'est donc pair (pourquoi ?) ).

Pour le b :
Une erreur dans les calculs vers la fin.
Et un raisonnement faut ensuite dans la dernière phrase "donc..."
Par exemple, pour n=1 ça ne marche pas le "truc" du k'.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.

@Jer anonyme
merci pour question 2

\begin{align}
b&=11^{n+1}+4.11^{n}\\
&=11^{n}11+4.11^{n}\\
&=11^{n}(11+4 )\\
&=15.11^{n}
\end{align}
on prend $k =11^{n}$ donc $ \exists k \in \mathbb{Z} : b=15.k \equiv 15\mid b$

mais pour la question 1 comment je vais faire si je voudrais raisonner par l'absurde



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@dom

merci beaucoup
autre preuve pour la question 1 :
\begin{align}
a&=7^n(7+3)\\
a&=10.7^n\\
a&=2.(5.7^n)\\
a&=2k.
\end{align}

concernant votre méthode a savoir nombre impaire+nombre impaire =nombre paire je sais pas pourquoi pourriez vous m'explique



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Educ.

Il reste des imperfections (en raison de l'écrit sur le PC avec le $x$ au lieu de la multiplication, pas trop grave) mais aussi à la fin où le "=2k" peut terminer n'importe quel calcul.
Par exemple : 13,67=2k.
Il faut être plus précis.


Pour l'histoire de la somme de deux nombres impairs :
Écris ce qu'est un nombre impair.
Écris ce qu'est un autre nombre impair.
Effectue la somme.

Plus difficile : pourquoi toute puissance d'un nombre impair (resp. pair) est impair (pair) ?





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@ dom merci mais

\begin{align}
a&=7^n(7+3)\\
a&=10.7^n\\
a&=2.(5.7^n)\\
a&=2k.
\end{align}

avec $k=5.7^n \in \mathbb{Z}$ est ce que comme ca ca marche j'ai déclaré que k dans Z



nombre impaire : $2k+1$
autre nombre impaire $2k'+1$
la somme : $2k+1+2k'+1=2k+2k'+2=2(k+k'+1)=2k"$ oui nombre paire

Plus difficile : pourquoi toute puissance d'un nombre impair (resp. pair) est impair (pair) ?

$(2k+1)^{n}$ est un nombre impaire
$(2k)^{n}$ est un nombre paire

est ce que pour développé $(2k+1)^{n}$ on utilise binôme de newton

aucun idee

merci d'avance

Si ru connaîs le principe de récurrence, ça suffit pour le cas impair.
Pour le cas pair, c'est plus rapide puisque le produit sera déjà un multiple de 2 dès la première puissance.

@dom

donc il suffit de raisonner par récurrence sur n

merci

Oui, intuitivement (ce qui suit n'est pas une démonstration) :
Je choisis une suite de nombres impairs.
Le produit des deux premières termes (de la suite) est impair (tu l'as démontré).
Puis ce produit, multiplié par le troisième terme est encore un produit de deux nombres impairs...etc.
Ainsi, de proche en proche chaque produit partiel est un nombre impair.

Une puissance de nombres impairs, c'est la même chose avec une suite dont tous les termes (impairs) sont les mêmes.

Je répète que "de proche en proche" n'est pas mathématique.
Ce que j'ai écrit est une explication mais n'est pas une preuve rigoureuse.

J'ai choisi d'écrire en français intégralement en tenant compte de ce qui est écrit sous ta signature

@Dom

merci pour vos explications

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