Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
219 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Calculer les puissances d'un endomorphisme

Envoyé par jibounet 
Calculer les puissances d'un endomorphisme
il y a quatre années
Bonjour,

$E$ désigne un espace vectoriel réel de dimension $2$, $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose qu'il existe une base de $E$ de la forme $(x,f(x))$ pour un certain $x \neq 0$ de $E$. On suppose également qu'il existe $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$ tel que $f^{n} = \mathrm{Id}_{E}$.

La matrice de $f$ dans la base $(x,f(x))$ est de la forme : $\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}$.

On suppose que le polynôme $P(X) = X^{2} - bX - a$ n'admet pas de racines réelles. On peut alors montrer que $a = -1$ et que $b \in ]-2,2[$. On pose $\theta = \mathrm{arccos}(b/2)$. Il faut exprimer $f^{k}$ ($k \in \mathbb{N}$) en fonction de $k$, $f$, $\mathrm{Id}_{E}$ et $\theta$. La relation $f^{2} = - \mathrm{Id}_{E} + b \, f$ est certainement un point de départ.

Par récurrence, on montre facilement que : pour tout $k \in \mathbb{N}$, $f^{k}$ est de la forme $\alpha_{k} \mathrm{Id}_{E} + \beta_{k} \, f$. Cela conduit aux relations de récurrence suivantes :

$$ \forall k \in \mathbb{N}, \, \left\{
\begin{array}{l}
\alpha_{k+1} = - \beta_{k} \\
\beta_{k+1} = \alpha_{k} + b \beta_{k}
\end{array}
\right.
$$

En écrivant : $\forall k \in \mathbb{N}^{\ast}, \beta_{k+1} -b \beta_{k} + \beta_{k-1} = 0$, j'obtiens une relation de récurrence linéaire d'ordre $2$. L'équation caractéristique associée est : $r^{2} - br + 1 = 0$. Le discriminant $\Delta = b^{2} - 4$ est $<0$ et les racines (complexes, conjuguées) de cette équation sont : $i \sqrt{4 - b^{2}}$, $-i\sqrt{4 - b^{2}}$. A partir de là, en déterminant $(\beta_{k})_{k \geq 1}$ et en utilisant $\beta_{1} = 1$, $\alpha_{0} = 1$, $\alpha_{1} = 0$, j'aboutis à quelque chose d'absurde.

Pourriez-vous, s'il vous plaît, m'éclairer ? Merci
Re: Calculer les puissances d'un endomorphisme
il y a quatre années
avatar
Qu'obtiens-tu de si "absurde" ?
Et si tu remplaces $b$ par $2\cos(\theta)$, ça aide ?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 515, Messages: 1 373 876, Utilisateurs: 25 589.
Notre dernier utilisateur inscrit Messaouden.


Ce forum
Discussions: 17 875, Messages: 175 312.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page