Diagonalisation des matrices tridiagonales

"j'ai pas fait attention à votre suggestion de déterminer D pour que la matrice soit symétrique"

Oui, @mustapha, c'est bien ce que j'avais cru comprendre, vu ton message. Maintenant, la voie tridiagonale n'est pas si artificielle parce qu'elle est élémentaire, alors que la réduction des symétriques nécessite souvent de la compacité ou un recours plus ou moins apparent à $\C$.

Voilà ce que faisait mon prof de spé pour réduire les endos $u$ symétriques : on choisit un vecteur $x$ non nul tel que $F=$vect ($x,u(x),u^2(x)...$) soit de dimension minimale $m$ et on applique Gram-Schmitt à ($x,u(x),u^2(x)...u^{m-1}(x)$). La matrice de l'induit de $u$ sur $F$ dans cette nouvelle base est alors tridiagonale et ceci montre qu'il existe une valeur propre. Après, roule ma poule : une récurrence.

Cdlt, Hicham

Bonjour, Mustapha,

comment démontres-tu que le polynôme caractéristique admet un facteur irréductible de degré $\le2$ sans utiliser $\C$ d'une manière ou d'une autre ?

P. : je prense que Hicham ne s'est pas trompé ; il s'agit bien d'une matrice tridiagonale symétrique, pour laquelle le principe de Mustapha entraîne ensuite l'existence d'une valeur propre, seul le TVI étant mis à contribution. En effet, on part d'une matrice-compagnon, la matrice de passage est triangulaire supérieure et la matrice semblable obtenue est a priori triangulaire supérieure avec, en plus, la sous-diagonale principale ; comme elle est symétrique, elle est effectivement tridiagonale.

Bien cordialement, j__j

Oui, je confirme! Je voulais simplement dire que cette construction était la plus élémentaire possible. Bon, je suis d'accord, vouloir se passer de $\C$ est une coquetterie, non ?

Cdlt, Hicham