Je me permets de rectifier légèrement ce qu'a dit ((H)), dont la tournure du message laisse sous-entendre qu'une $K$-algèbre est un anneau avec une structure en plus.
On définit parfois dans les ouvrages/cours une $K$-algèbre comme un anneau muni d'une structure de $K$-espace vectoriel rendant le produit de l'anneau $K$-bilinéaire, mais cette définition n'est pas correcte , comme je le répète depuis des années.
Une $K$-algèbre est un $K$-espace vectoriel muni d'une application $K$-bilinéaire (que l'on note comme un produit en général). Point barre. On ne demande ni qu'elle soit associative, ni qu'elle soit unitaire a priori.
Par contre, il y a équivalence entre
" $K$-algèbre associative unitaire" au sens de la définition précédente, et " anneau muni d'une structure de $K$-espace vectoriel rendant le produit de l'anneau $K$-bilinéaire" . Le fait que la plupart des $K$-algèbres avec lesquelles on travaille couramment soient associatives et unitaires $(M_n(K),K[X]$, quaternions, extensions de corps $L/K$, etc.) explique le choix de la "fausse" définition, et fait que finalement ce n'est pas bien grave.
En revanche, il faut quand même savoir qu'il y a des exemples d'algèbres non unitaires et/ou non associatives très utilisées par les spécialistes (octonions, algèbres de Jordan).
Sans aller dans des choses aussi compliquées, on peut aussi penser au $\R$-espace vectoriel $\R^3$, muni du produit vectoriel.
Je trouve méritoire voire prometteur de la part de ((H)) de s'aventurer sur cette partie du forum. À sa décharge, pour la plupart des gens, « algèbre » = « algèbre associative » ou même « algèbre associative unitaire » comme « corps » = « corps commutatif ».
PS : Est-ce que le H de « ((H)) » est muet ou aspiré ?
Je pourrais prétendre avoir écrit quelque chose de suffisamment vague pour être ni vrai ni faux, mais j'en étais effectivement resté à cette définition lue quand j'étais petit !
Je soutiens mon camarade ((H)) ! C'est également ce que j'ai appris tout petit (avant de pouvoir oublier toutes ces bêtises, heureusement, :-D). Bon en même temps, à la même époque, tout le monde était persuadé que [le théorème de] Wedderburn disait que tout corps fini est commutatif. O tempora, o mores.
Edit : édité pour tenir compte de la remarque historique de GaBuZoMeu.
Remarque ne dit pas que Wedderburn a dit ou écrit ça.
Mais c'était une affirmation classique quand je faisais mes études (au temps des "corps commutatifs" ou pas).
La massue cloutée, c'est une bonne idée pour décorer un bureau ! Ça ne doit pas laisser indifférent l'étudiant qui vient réclamer un demi-point supplémentaire :-). As-tu songé à en acquérir réellement une !?
Encore une fois GreginGre a raison sur cette question terminologique, si j'en crois mon cher Bourbaki ainsi que le Dictionnaire de Mathématiques de mon vieux pote Lucien Chambadal.
Ne jetons pas pour autant notre RDO à qui l'on peut pardonner cette incartade vénielle.
Exemple de $\R$-algèbre toute nue, et des plus familières : notre brave espace euclidien orienté de dimension 3 avec son produit vectoriel.
Bonne soirée.
F. Ch.
Dans le programme actuel de Math-Spé MP (2013), "les algèbres sont unitaires", et je présume qu'elles sont aussi associatives, ce n'est pas même précisé, mais ça doit probablement aller de soi pour ceux qui ont conçu ce programme. Ridicule.
Dans Bourbaki, de mémoire, ils avaient résolu ce genre de problème en faisant figurer en début de texte les définitions sur lesquelles les gens seraient en désaccord. Par exemple "dans ce chapitre tous les corps considérés sont commutatifs" ou encore "tous les anneaux envisagés ont un élément unité" et ainsi de suite.
"Ne soyez pas esclaves de vos définitions" disait un de mes profs.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
Peut-être lire les définitions ?
Cordialement.
La structure d'algèbre combine les structures d'anneaux et d'espaces vectoriels.
On définit parfois dans les ouvrages/cours une $K$-algèbre comme un anneau muni d'une structure de $K$-espace vectoriel rendant le produit de l'anneau $K$-bilinéaire, mais cette définition n'est pas correcte , comme je le répète depuis des années.
Une $K$-algèbre est un $K$-espace vectoriel muni d'une application $K$-bilinéaire (que l'on note comme un produit en général). Point barre. On ne demande ni qu'elle soit associative, ni qu'elle soit unitaire a priori.
Par contre, il y a équivalence entre
" $K$-algèbre associative unitaire" au sens de la définition précédente, et " anneau muni d'une structure de $K$-espace vectoriel rendant le produit de l'anneau $K$-bilinéaire" . Le fait que la plupart des $K$-algèbres avec lesquelles on travaille couramment soient associatives et unitaires $(M_n(K),K[X]$, quaternions, extensions de corps $L/K$, etc.) explique le choix de la "fausse" définition, et fait que finalement ce n'est pas bien grave.
En revanche, il faut quand même savoir qu'il y a des exemples d'algèbres non unitaires et/ou non associatives très utilisées par les spécialistes (octonions, algèbres de Jordan).
Sans aller dans des choses aussi compliquées, on peut aussi penser au $\R$-espace vectoriel $\R^3$, muni du produit vectoriel.
PS : Est-ce que le H de « ((H)) » est muet ou aspiré ?
Vais-je devoir jeter mon Ramis-Deschamps-Odoux :-) !?
Edit : édité pour tenir compte de la remarque historique de GaBuZoMeu.
Remarque ne dit pas que Wedderburn a dit ou écrit ça.
Mais c'était une affirmation classique quand je faisais mes études (au temps des "corps commutatifs" ou pas).
Corps-dialement.
En tout cas, tout cela prouve bien que l'algèbre c'est n'importe quoi :-).
Qui te dit qu'il n'en a pas réellement une ?
Cordialement,
Rescassol
Ça me rappelle la réponse de Stephen King à une admiratrice qui lui demandait:
"Pourquoi avez vous choisi d'écrire de telles horreurs ?"
Réponse:
"Qu'est ce qui vous fait croire que j'ai choisi ?"
Cordialement,
Rescassol
C'est une massue "Cétautomatix" en plastique et qui fait Pouet (elle vient du parc Astérix).
j'ai même frappé un étudiant avec, l'année dernière. :-D
Ne jetons pas pour autant notre RDO à qui l'on peut pardonner cette incartade vénielle.
Exemple de $\R$-algèbre toute nue, et des plus familières : notre brave espace euclidien orienté de dimension 3 avec son produit vectoriel.
Bonne soirée.
F. Ch.
Demande-en une vraie dans ta prochaine ANR ;-).
"Ne soyez pas esclaves de vos définitions" disait un de mes profs.