sous-espaces vectoriels (math-sup)

Bonjour, je bute sur un problème très classique il me semble.
Voici l'énoncé.

Soit $E$ un espace vectoriel. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
Montrer alors que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.

Mon problème est que j'ai un contre-exemple.
Supposons que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. Alors $F\cap G=\{\vec{0}\}$. Cependant la réunion de $F$ et de $G$ est un bien un sous-espace vectoriel de $E$.
Prendre par exemple l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ muni de sa base canonique $(e_1,e_2)$. Alors $\rm{Vect}(e_1)$ et $\rm{Vect}(e_2)$ sont bien séparés, mais l'un n'est certainement pas inclus dans l'autre.

La solution est ici :

Si $F\cup G$ est un sous-espace de $E$, et $F\not\subset G$.
Alors il existe $x\in F$ tel que $x\notin G$. Soit $y\in G$, alors $y\in F\cup G$. Donc $x+y\in F\cup G$. Mais par hypothèse, $x+y\notin G$. Donc nécessairement, $x+y\in F$. Comme $x+(y-y)=x\in F$, alors $-y\in F$. Donc $y\in F$, donc $G\subset F$.

Le cas $F\subset G$ s'en déduit par symétrie.

Je dois avoir un problème de définition et confondre somme et réunion de deux espaces vectoriels.