Somme directe

daniel.fr · November 2015

Bonjour,
je voudrais savoir si la relation dimkerf+dimimf=dimE suffit pour dire que imf et kerf sont en somme directe ( E est bien sur l'espace dans lequel l'endomorphisme f est défini).
Si la réponse est non; quelle condition faut-il rajouter pour avoir une somme directe?
je vous remercie d'avance.

Dom · November 2015

On doit aussi avoir l'intersection nulle des deux s.e.v. $ker(f)$ et $im(f)$.

Bergtatt · November 2015

Un contre exemple explicite : $f : \R^2 \to \R^2$, $(x,y) \mapsto (x-y, x-y)$.

Jer anonyme · November 2015

L'égalité des dimensions est toujours vraie : c'est le théorème du rang. Il serait fort surprenant qu'on l'énonce sous cette forme si on avait deux sous-espaces en somme directe.

daniel.fr · December 2015

Je vous remercie pour vos réponse, mais il me reste une petite question toujours autour de la somme directe: Supposons que E est un e.v de dimension n et F, G deux s.e.v de E de dimensions respectives p et q avec n=p+q et que {e1,...ep} est une base de F et {v1,.....vq} est une base de G. Pour montrer que E est la somme directe de E et F suffit il de montrer que {e1,....,ep,v1,.....,vq} est une base de E??
Je vous remercie d'avance.

gerard0 · December 2015

Oui, et tu devrais t'astreindre à le démontrer (à démontrer que l'intersection de F et G est réduite à 0), car c'est un exercice élémentaire sur ce sujet. Tu progresseras bien plus vite en essayant de répondre par des preuves ou des contre-exemples à tes questions qu'en attendant que d'autres te disent oui ou non. Sans compter que tu n'as aucune raison de faire confiance à un antre que tu ne connais pas, moi par exemple !!

MB · December 2015

daniel a écrit:

Bonjour, je voudrais savoir si la relation dimkerf+dimimf=dimE suffit pour dire que imf et kerf sont en somme directe ( E est bien sur l'espace dans lequel l'endomorphisme f est défini). Si la réponse est non; quelle condition faut-il rajouter pour avoir une somme directe? je vous remercie d'avance.

Une condition nécessaire et suffisante assez théorique: l'espace propre associé à $0$ coïncide avec l'espace caractéristique correspondant.
En particulier, si $f$ est diagonalisable, on a le résultat.