anneau et corps

Qu'as-tu fait, qu'as-tu essayé, où bloques-tu ?

Charte du forum a écrit:

(!) Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste...

@ezmaths: ce n'est pas rendre service à nebrass que de lui donner la solution toute cuite.

En général, on attend que l'intervenant nous explique ce qu'il a fait et où il bloque.

Bizarre !

Dans ton document, tu affirmes l'associativité de $\cap$, il suffit de le justifier. Et c'est très facile !
Par contre, ce que tu nous as proposé est confus, mal écrit. Tu pourrais faire un effort pour nous donner envie de t'aider.

Cordialement.

Bonjour,

quelques indications pour la question 2 (je te laisse choisir ce que tu préfères, voire trouver autre chose) :

* pour une implication, on peut raisonner par contraposée et montrer que si $n$ n'est pas premier alors $\mathbb Z / n \mathbb Z$ n'est pas pas un anneau intègre (donc ...).
* on peut établir le résultat (plus général) : si $A$ est un anneau fini et intègre alors $A$ est un corps.
* on peut montrer qu'un élément $\overline{a}$ de $\mathbb Z / n \mathbb Z$ est inversible ssi $pgcd(a,n) = 1$ et utiliser le fait qu'un anneau $A$ est un corps ssi son groupe des unités est $A \backslash \left\{ 0_{A} \right\}$.

Bon courage.

m.

Bonsoir,

Contrairement à ce que j'ai déjà entendu à droite et à gauche autour de moi, l'associativité de $\Delta$ se montre très facilement avec des patates, et cette preuve est parfaitement rigoureuse.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,



$A=1235$, $B=1346$, $C=1567$.
$A\Delta B=\space ?$, $(A\Delta \Delta C=\space ?$, $B\Delta C=\space ?$, $A\Delta (B\Delta C)=\space ?$

Cordialement,

Rescassol

nebrass écrivait:

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> dans ce document je n'ai pas pu confirmer
> l'associativite de $\cap$

Il te suffit de montrer l'égalité d'ensembles : Tout élément de l'un est dans l'autre et réciproquement.
Et il faut savoir faire ce genre de preuves simples.

Cordialement.

utiliser la fonction caractéristique, c'est comme faire appel à l'arme fatale ... tous les résultats tombent alors en 2 coups de cuillère à pot ... par exemple pour l'associativité de la différence symétrique $\Delta$ :
$$\begin{eqnarray}
\mathbb{1}_{A \Delta (B \Delta C)} & = & \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_{B \Delta C} - 2 . \mathbb{1}_A \mathbb{1}_{B \Delta C} \\
& = & \mathbb{1}_A + (\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - 2 . \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C) - 2 . \mathbb{1}_A (\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - 2 . \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C) \\
& = & \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - 2 (\mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C + \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C) + 4 . \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C \\
& = & \mathbb{1}_{(A \Delta \Delta C}
\end{eqnarray}$$

et c'est encore plus performant pour $(\mathscr{P}(E),\cap)$ :
- commutativité : $\mathbb{1}_{A \cap B} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B = \mathbb{1}_{B \cap A}$
- associativité (bien qu'évidente via une formulation avec des mots de tous les jours) : $\mathbb{1}_{A \cap (B \cap C)} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C = \mathbb{1}_{(A \cap \cap C}$
- élément neutre : $\forall A \in \mathscr{P}(E), \; \mathbb{1}_{A \cap \mathscr{E}} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_{\mathscr{E}} = \mathbb{1}_A$, d'où $\mathbb{1}_{\mathscr{E}} \equiv 1$ i.e. $\mathscr{E} = E$
- élément absorbant : $\mathbb{1}_{\varnothing} \equiv 0$
- distributivité de $\cap$ par rapport à $\Delta$ : $\mathbb{1}_{A \cap (B \Delta C)} = \mathbb{1}_A (\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - 2 . \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C) = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - 2 . \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C = \mathbb{1}_{(A \cap \Delta (A \cap C)}$
- distributivité de $\cap$ par rapport à $\cup$ : $\mathbb{1}_{A \cap (B \cup C)} = \mathbb{1}_A (\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C) = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B + \mathbb{1}_A \mathbb{1}_C - \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B \mathbb{1}_C = \mathbb{1}_{(A \cap \cup (A \cap C)}$

Je n'avais pas vu ce fil. Apparemment des échanges ont eu lieu sur "l'évidence" de l'associativité de $\Delta$. Ca a peut-être été dit, donc pardon si je répète une info, mais elle n'apparait pas quand on lit vite:

Les valeurs de vérité varient (peuvent être vues telles) dans $F_2$ qui est $\Z / 2\Z$. Si on interprète $(vrai,faux)$ par $(1,0)$ alors $et$ est le produit et $\Delta$ est $+$. L'associativité (et la commutativité) de $\Delta$ sont donc évidentes (ce sont celles de $+$). Si on interprète $(vrai,faux)$ par $(0,1)$ alors $ou$ est la multiplication et $\iff$ est l'addition. L'associativité de $\iff$ est alors évidente comme étant celle de la $+$.

Remarque HS: l'associativité de $\iff$ entraine le tiers exclu (autrement dit, c'est un théorème qui n'est pas intuitionniste). Preuve: $(A\iff tout) \iff (A\to tout)$ est un théorème intuitionniste, alors que $A\iff (tout \iff (A\to tout))$ entraine $non(non(A))\to A$