Espace vectoriel des fonctions continues

Apprenti
Apprenti
dans Algèbre
Bonjour,

dans cet exercice dont j'ai résolu, je pense, la première question j'ai du mal à démarrer les suivantes.
Pour la 2, une fonction g continue sur R étant donnée, je cherche s'il existe une fonction f répondant à la définition de g(x) donnée par l'énoncé. Mon idée est la suivante : g est dérivable par définition puisque g(x) est la primitive de xf(x) qui s'annule en 0. On a donc g'(x)=xf(x) soit si x différent de 0 f(x)=g'(x)/x et là je ne vois plus. Merci de votre aide.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Les fonctions dans l'image de T partagent toutes plusieurs particularités qui ne sont pas présentes chez toutes les fonctions continues. Vois-tu de quelles particularités je parle ? Peux-tu en déduire la réponse à la question 2 ?

    Pour la question 3, une fois que tu as déterminé le noyau, c'est facile.
  • P.
    P.
    On te demande dans le 2 si pour toute fonction continue $g$ on peut trouver une fonction $f$ continue telle que $g(x)= \int_0^xtf(t)dt.$ Crois tu qu'on puisse y arriver si $g(x)=|x|?$
  • Crapul
    Crapul
    Justement, il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables sur $\R$. Ces fonctions-là ne peuvent être atteintes par $T$.
    Et même sans parler de dérivabilité, que vaut $T(f)(0)$ ?
    edit : grillé et re-grillé !
  • Chaurien
    Chaurien
    Suite de l'exercice : trouver l'espace-mage, les valeurs propres, les sous-espaces propres et les valeurs spectrales.
    Bonne soirée.
    F. Ch.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,
    Chaurien a écrit:
    trouver l'espace-mage, les valeurs propres, les sous-espaces propres et les valeurs spectrales.

    A l'approche de Noël, c'est tout indiqué.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chaurien
    Chaurien
    Cruel, Rescassol.
    J'ai bien rigolé.
    Du coup, je ne corrige pas ma faute de frappe : les lecteurs auront compris.
    Bonne soirée.
    F. Ch.
    [small]La plus perdue de toutes les journées c'est celle où l'on n'a pas ri.[/small]
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour et merci pour votre réponse,

    Je propose de dire : Les fonctions de l'espace image s'annulent en 0 et elles sont dérivables ce qui n'est pas le cas de toutes les fonctions de E donc T n'est pas surjective.
    Je vais chercher la 3.
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour Bisam,

    pour le noyau, je cherche les fonctions continues dont l'image est la fonction nulle par T ce qui me donne tf(t)=0 équivalent à soit t=0 soit f(t)=0 pour tout t dans l'intervalle [0 ; x] ; dans ce dernier cas f est la fonction nulle et le noyau est réduit à cette fonction d'où T est injective. Mais je n'arrive pas à bien justifier comment conclure pour le cas particulier où t=0. Merci pour votre aide.
  • bisam
    bisam
    Quand tu dis "ce qui me donne tf(t)=0", je m'inquiète un peu... Il manque clairement un quantificateur !
    En le rajoutant, il ne manquera plus grand chose pour conclure.
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour, oui merci je dois dire quelque soit t appartenant à l'intervalle [0 ; x] tf(t) = 0 ce qui exclut t=0 donc f(t)=0 et f est la fonction nulle. J'en conclut que Ker(f)=0 et que f est injective.
  • Crapul
    Crapul
    Peux-tu nous dire précisément comment tu passes de $T(f)=0$ à $\forall t \in [0,x], tf(t)=0$ ?
  • Apprenti
    Apprenti
    bonjour,

    oui je me rends compte que je n'ai envisagé que ce cas particulier, l'intégrale peut être nulle sans que f(t) le soit et ma conclusion est fausse ; je vais essayer en cherchant un contre-exemple.
  • Crapul
    Crapul
    Ben en contre-exemple tu as $\int_0^{2\pi} \cos t dt$.
    Mais là ta conclusion est (à peu près) bonne, mais la justification est encore imprécise.
    On a $T(f)=0$, ce qui veut dire que la fonction $x \mapsto \int_0^x tf(t)dt$ est en fait la fonction nulle, sur $\R$.
    Que vaut alors sa dérivée ?
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour Crapul,

    merci pour la réponse. La dérivée de cette fonction sur R est égale à xf(x). Comme la fonction est nulle, sa dérivée est aussi nulle et donc xf(x) est nulle pour tout x réel ce qui implique que f(x)=0 donc f est la fonction nulle. Finalement le noyau est réduit à l'élément neutre de E et T est injective.
    Il y a un point que je ne comprend pas dans le contre exemple car je dois prendre l'intégrale d'une fonction de la forme tf(t), donc si je prends tcos(t) son intégrale sur [0; 2pi] n'est pas nulle. Ou alors je n'ai pas compris quelque chose. Merci pour votre aide.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Apprenti.

    " xf(x) est nulle pour tout x réel ce qui implique que f(x)=0" est en général faux. Il y a une hypothèse de ton énoncé qui permet de justifier.

    Cordialement.

    rappel : ab=0 => ...
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour Gerard0

    merci pour votre réponse. xf(x)=0 pour tout x réel implique que soit x=0 soit que f(x)=0. j'essaye de justifier de la façon suivante : comme le produit doit être nul pour tout x, x=0 est exclu car c'est vrai seulement pour 0. Reste f(x) = 0 ; comme f est continue, s'il existe un x0 tel que f(x0) différent de 0 alors par continuité f est différent de 0 dans un intervalle contenant x0 et alors l'intégrale n'est pas nulle donc f(x)=0. Je ne sais pas si c'est correct, merci de me corriger.
  • Westermann
    Westermann
    Tu ne te compliques pas un peu la vie ?

    Si tu as xf(x)= 0 alors x=0 ou f(x)=0. Tu peux donc en déduire que f est nulle sur |R*. Reste plus qu'à regarder le cas où x=0...
  • Crapul
    Crapul
    @Apprenti :
    le contre-exemple était juste là pour te rappeler que en général $\int g=0$ n'implique pas $g=0$. Par ailleurs l'intégrale de $t \mapsto t \cos t$ entre 0 et $2 \pi$ est bien nulle !
    Bref, concentre-toi plutôt sur la conclusion en t'aidant des deux derniers messages.
  • gerard0
    gerard0
    Apprenti : "comme le produit doit être nul pour tout x, x=0 est exclu ..." C'est gonflé ! Le cas particulier qui me gêne étant particulier est exclu ?
    La suite de ton message contient les éléments pour prouver que f est nulle, mais comme c'est rédigé en poney, il va falloir construire un texte en bon français, ou en formules mathématiques, appuyé sur des règles et théorèmes (*) :
    $\forall x\in [0;1], xf(x)=0$ donc $\forall x\in [0;1], (x=0 \text{ ou }f(x)=0)$ donc ....

    Cordialement.

    (*) C'est comme ça qu'on fait des maths, la véracité d'une preuve étant entièrement justifiée par le fait de ne faire qu'appliquer des règles de maths et de logique aux hypothèses.
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour Gerard0,
    je ne sais pas comment trouver les quantificateurs sur l'ordinateur donc je rédige tant bien que mal en poney comme vous dites (expression dont je ne comprends pas bien le sens mais le ce n'est pas le sujet). Je reviens sur la conclusion : si pour tout x appartenant à [0;1] f(x) est nulle alors f est la fonction nulle. Si x=0 alors quelle que soit f continue sur R T(f)=0. Avant de poursuivre est-ce correct ?
  • gerard0
    gerard0
    Tout le problème est que tu n'as pas à priori f(0)=0, donc qu'il faut le prouver après avoir traduit la propriété de base.
    Et pour les quantificateurs, tu peux rédiger en français :

    Pour tout réel x appartenant à [0;1], xf(x)=0, donc pour tout réel x appartenant à [0;1], x=0 ou f(x)=0
    On en déduit ....

    Là ou tu écrivais sans clarté est dans
    "xf(x)=0 pour tout x réel implique que soit x=0 soit que f(x)=0. j'essaye de justifier de la façon suivante : comme le produit doit être nul pour tout x, x=0 est exclu car c'est vrai seulement pour 0.
    Les deux parties de textes que j'ai colorées ne sont pas claires, alors qu'il est simple d'en déduire que f(x)=0 pour tout x appartenant à ]0;1], puis d'en déduire que f(0)=0. Sans baratin, simplement en appliquant les règles de logique et de maths.

    Cordialement.
  • Apprenti
    Apprenti
    Bonjour,
    j'essaye de suivre vos indications. Je dois traduire la propriété de base dans le cas où x=0.
    si x=0 alors on a 0f(0)=0. Supposons que f(0) soit différente de 0. Comme f est continue sur R, il existe un intervalle I de la forme [0; a] où pour tout x appartenant à I f est différente de 0. Or f est la fonction nulle sur ]0;a]. Il y a contradiction et alors l'hypothèse f(0) différente de 0 est fausse et f(0)=0.
  • gerard0
    gerard0
    Ok.

    D'où la rédaction :
    Comme pour tout $x \in [0,1],\ xf(x)=0$, $f(x)$ est nul pour tout $x \in ]0;1]$. De plus, $f$ étant continue, $f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}0=0$ Donc $f$ est nulle sur $[0;1]$.

    Cordialement.

    Nb : j'ai utilisé un autre argument, qui évite la preuve par contradiction.
  • Apprenti
    Apprenti
    Merci pour votre patience à m'aider, je vais reprendre tout l'ensemble afin d'essayer de rédiger correctement.
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