(A,+) isomorphe avec (A*, .) ?

Bonsoir,

Par exemple, $A= \R^{\N} \times (\Z /2\Z)^{\N}$.
En effet, le groupe des inversibles est isomorphe à $(\R^*)^{\N}$. Chaque $\R^*$ est isomorphe à $\R \times \Z/2\Z$ par la fonction $x \in \R^* \mapsto (\ln |x|, s(x)) \in \R \times \Z/2\Z$ avec $s(x)=\overline{0}$ si $x>0$, et $s(x)=\overline{1}$ si $x<0$.

C'était l'ensemble des entiers naturels, mais c'est vrai, il suffit de prendre $\R \times \Z/2\Z$.

Si l'anneau n'est pas de caractéristique $2$, alors $x=f^{-1}(-1)$ semble donner une contradiction ; $f$ désigne l'isomorphisme de A^+ vers A^*.

Cdlt Hicham

Oui, parce que $f(2x)=1$ et donc $x=0$ alors que $f(0)=1$ ! Et si la caractéristique est $2$, tout élément $x$ non nul satisfait $x^2=1$ et donc $A$ n'est pas intégre car il ne peut pas être fini.

Sauf erreur, le cas où le corps ne serait pas de caractéristique $2$ n'a pas lieu d'être. Si je désigne par $\phi$ l'isomorphisme et soit $a\in \Bbb{K}$ tel que $\phi(a)=-1$, on a $\phi(a+a)=\phi(a)^2=1.$

D'où $a+a=0$, c'est à dire $(1+1)a=0$; si $a\ne 0$ alors $1+1=0$, sinon $-1=\phi(a)=\phi(0)=1.$ Dans tout les cas $1+1=0.$

On montre ensuite, que n'importe quel élément $b\in\Bbb{K}^*$ vérifie $x^2=1$ qui n'admet au plus que deux solutions dans un corps. On aurait donc un isomorphisme entre deux ensembles de cardinaux différents.