Autour des polynômes

Bonjour,

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et des nombres réels $x_0<x_1< \dots <x_{n-1}<x_n$, tels que $P(x_{2k})>1$ pour $0\leq 2k \leq n$ et $P(x_{2k+1})<-1$ pour $0\leq 2k+1 \leq n$.
On peut rajouter à $P$ un polynôme $\frac{(-1)^{n+1}}{M}X^{n+1}$ tel que, si $M$ est suffisamment grand, $Q=P+\frac{(-1)^{n+1}}{M}X^{n+1}$ vérifie $Q(x_{2k})>1$ pour $0\leq 2k \leq n$ et $Q(x_{2k+1})<-1$ pour $0\leq 2k+1 \leq n$.

On le construit par récurrence.
On part de $P_0=2>1$, $x_0=0$.
Alors on construit $P_1=Q=P_0-X$ tel que $P_1(x_0)=2>1$.
De plus, $\lim_{x \mapsto +\infty} P_1(x)=- \infty$. Donc, il existe $x_1>x_0$ tel que $P_1(x_1)<-1$.
Et ainsi de suite.

J'obterais pour l'idée suivante:

si $n$ est impair, prendre $A_n$ très très grand (par rapport à ce qui a été fait avant), et si $n$ est pair, prendre $A_n$ très très proche de $0$. La suite a la propriété voulue. (Remarque: c'est simple, mais à rédiger)