puissance d'une matrice
Bonjour à tous,
Après une longue absence je viens vers vous pour éclaircir un calcul matriciel.
On demande de calculer la puissance de la matrice $A=\begin{pmatrix}
a&0&0\\
0&a+1&b\\
0&0&a+2
\end{pmatrix}$ en utilisant la formule du binôme.
De ma part, pour appliquer la formule du binôme, on essaye d’écrire $A$ comme somme de deux matrices qui commutent avec un calcul abordable après.
Y a-t-il une décomposition astucieuse ?
Merci.
Après une longue absence je viens vers vous pour éclaircir un calcul matriciel.
On demande de calculer la puissance de la matrice $A=\begin{pmatrix}
a&0&0\\
0&a+1&b\\
0&0&a+2
\end{pmatrix}$ en utilisant la formule du binôme.
De ma part, pour appliquer la formule du binôme, on essaye d’écrire $A$ comme somme de deux matrices qui commutent avec un calcul abordable après.
Y a-t-il une décomposition astucieuse ?
Merci.
Le 😄 Farceur
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Réponses
A priori je chercherais une diagonale et une triangulaire simple.
Est-ce que $ND = DN$ ?
e.v.
Voici la solution demandée, sous forme d'indications pour laisser le plaisir à @gebrane0 :
On écrit $\displaystyle A=aI_3 + B.$
On calcule $\displaystyle B, B^2, B^3$ puis on fait une récurrence (très simple) pour trouver $\displaystyle B^n$ en fonction de l'entier $n$.
Et voilà.
$$\begin{eqnarray}
A^n & = & D^n + \left\{ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} D^k \right\} N \\
& = & \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & 0 \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} * & 0 & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k & 0 \\ 0 & 0 & * \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
& = & \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
$$A^n=\begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \bigl((a+2)^n-(a+1)^n\bigr) \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}.$$
Seule la méthode d'YvesM n'utilise (presque) que le binôme.
@ezmaths, tu devrais simplifier l'écriture du terme non diagonal. On trouve :
$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a& 0& 0\\0 & a+1& b\\ 0& 0&a+2 \end{pmatrix} = aI_3 + B$ avec $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& b\\ 0& 0& 2 \end{pmatrix}.$
Par récurrence immédiate on a $\displaystyle B^k = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& (2^k-1)b\\ 0& 0& 2^k \end{pmatrix}$ pour tout $k$ non nul.
Et alors $\displaystyle A^n = (aI_3 + ^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (aI_3)^{n-k}B^k = C_n^0 (aI_3)^{n}+ \sum_{k=1}^{n} C_n^k (aI_3)^{n-k}B^k .$
Il faut rassembler les termes pour simplifier l'écriture, par exemple, $\displaystyle C_n^0 a^{n}+ \sum_{k=1}^{n} C_n^k a^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (a)^{n-k} = (a+1)^n.$ Et surtout : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} C_n^k (2^k-1)ba^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (2^k a^{n-k} - a^{n-k})b = (a+2)^n - (a+1)^n.$
Et alors, finalement, pour tout $n$ entier :
$\displaystyle A^n = \begin{pmatrix} a^n& 0& 0\\0 & (a+1)^n& (a+2)^nb - (a+1)^nb\\ 0& 0&(a+2)^n \end{pmatrix}.$
$$\begin{eqnarray}
P^2 & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
\text{alors que } P^3 & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = P
\end{eqnarray}$$
dans cette configuration, on a pour tout $n \geq 2$ :
$$\begin{eqnarray}
A^n & = & \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (a+1)^k P^{n-k} \\
& = & \begin{pmatrix} (a+1)^n + \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} (a+1)^k & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+1)^n + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (a+1)^n & b \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k \\ 0 & 0 & (a+2)^n \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
et comme me le fait remarquer @YvesM , le terme hors diagonale $b \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k}$ se 'simplifie' en $b \Big[ (a+2)^n-(a+1)^n \Big]$ ... tout moi ça, je suis un méga boulet :-) qui adore traîner les symboles $\sum$ ... (quand je pense que sur papier j'utilise constamment la notation d'Einstein - si ce n'est pas de la contradiction, sigh) ...
je pense aussi que la décomposition $$A = (a+1) I_3 + \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\textstyle B}$$ est la plus efficace.( j'ai bien aimé merci ezmaths;-))
j'avais pensé au début à la décomposition de YvesM, $$A = (a) I_3 + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}}_{\textstyle B}$$ mais je trouvais comme calculs
$\displaystyle B^2 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& 3b\\ 0& 0& 2^2 \end{pmatrix}$ et $\displaystyle B^3 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\0 & 1& 7b\\ 0& 0& 2^3 \end{pmatrix}$ et la récurrence ne me paraissait pas si évidente pourtant elle était sous mon nez !!! . Merci YvesM ;-)
Un salut chaleureux @ Remarque ;-)
$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a+1&0\\0&0&a+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-b\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Cette matrice $A$ est pédagogique car elle permet d'utiliser toutes ces méthodes. En voici une dernière, à ne pas négliger : on calcule $A^2, A^3$ et ensuite on montre par récurrence que $\displaystyle A^n = \begin{pmatrix} u_n& 0& 0\\0 & v_n& w_n\\ 0& 0&t_n \end{pmatrix}$ où on trouve immédiatement des relations de récurrences très simples en écrivant $A^{n+1} = A^n A.$
La méthode scalaire, qui consiste à écrire $A=\lambda I + B$ donne le choix de la constante $\lambda$, que l'on prend en général pour faire appraître le maximum de $0$. @ezmaths a trouvé une très jolie simplification.
Enfin, dans ce genre de calculs, les erreurs sont très souvent :
- de ne pas se rendre compte que les expressions trouvées pour $B^k$ ne sont valides que pour $k \geq k_0$ avec $k_0$ non nul,
- ou le contraire, écrire $B^k$ pour $k \geq 2$ alors que la même expression est valide pour $k =1$,
- ne pas simplifier l'expression trouvée, par exemple, laisser $\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (a+1)^k$ au lieu de remplacer par $(a+2)^k - (a+1)^k$, ce n'est pas faux, mais les calculs qui suivent, comme calculer l'exponentielle de $A$ ou résoudre une équation différentielle, seront très pénibles.
@Remarque, la question était d'appliquer la formule de binôme et rien de plus
La diagonalisation marche pour des matrices plus monstrueuses que celle ci
Cordialement