Exo Uber-Group 1

Ce n'est pas un palindrome mais c'est le renversé de 210: 012.

8 sont facile à trouver: le groupe cyclique d'ordre 210, le groupe diédral d'ordre 210 et 6 groupes qui sont produit direct d'un groupe cyclique par un groupe diédral.

Il y en a 4 autres:
Deux qui sont produit direct du groupe non commutatif d'ordre 21 par le groupe cyclique d'ordre 10 ou le groupe diédral d'ordre10.
Le produit direct d'un groupe non commutatif d'ordre 42 par le groupe cyclique d'ordre 5.
Un groupe d'ordre 210 qui n'est pas un produit direct de groupes plus petits.

Bonsoir,

Après quelques recherches sur internet, il semblerait qu'il était attendu. Mais je ne trouve rien sur le contenu, un petit sommaire par exemple ?

Merci d'avance

Bonsoir Yannguyen

Effectivement, comme le dit Jandri, parce que si $n$ est impair, $D_{2n}\simeq D_n\times C_2$, alors, si $m$ et $n$ sont tous deux impairs, on a toujours $D_{n}\times C_{2m}\simeq D_{2n}\times C_{m}$.

La condition $m$ et $n$ tous deux impairs est nécessaire parce que
si $x,y$ sont des entiers, le centre de $D_x\times C_y$ est le produit des centres de chaque facteur direct.
Si $x$ est pair $Z(D_x)\simeq C_2$ (engendré par la rotation 180°), alors que si $x$ est impair, $Z(D_x)\simeq\{1\}$, car il n'y a pas de rotation 180°. Ainsi, $$Z(D_x\times C_y) =\begin{cases}
C_2\times C_y&\text{si } x \text{ est pair} \\
C_y&\text{si } x \text{ est impair}
\end{cases}
$$ Si l'on a $D_x\times C_y \simeq D_{x'}\times C_{y'}$, ces deux groupes ont même centre.
Si l'on écarte la solution triviale $x'=x$ et $y'=y$, il est nécessaire que, par exemple, $x$ soit impair et que $C_y\simeq C_2\times C_{y'}$ d'où (lemme des restes chinois) $y=2y'$ avec $y'$ impair.
Finalement, on obtient bien $x'=2x$ et $y=2y'$ avec $x$ et $y'$ impairs.
Les seuls isomorphismes possibles sont dont de la forme donnée ci-dessus.

Alain