Exo Uber-Group 6

Bonjour,

Je pense avoir trouvé, on prend deux sous groupes $H_0$ et $H_1$, alors $G$ n'est pas l'union de ses sous groupes. Déjà, on peut supposer que aucun n'est contenu dans l'autre sinon c'est facile, ainsi on peut prendre deux éléments, $h_0$ dans $H_0\setminus H_1$ et $h_1$ dans $H_1\setminus H_0$, le produit est un élément de $G$, disons $g$. Clairement $g$ ne peut appartenir à l'union, donc $G\ne H_1\cup H_0$. On prend le groupe engendré par $g$, c'est $G$. Cqfd

En effet, je suis allé trop vite. Il y a aussi $C_{p^3}$ où $p\in\mathbb{N}$ est un nombre premier.

Siegfried : Ta démonstration est très bien. Je faisais juste remarquer que tout les groupes cycliques ne conviennent pas. Seul ceux de la forme citée ci-dessus, sauf erreur, conviennent.

Notons $H$, $K$ et $L$ les trois sous-groupes propres.

S'ils ne recouvrent pas $G$, alors on trouve avec le même raisonnement que Siegfried que $G$ est cylique. En comptant les sous-groupes, on trouve $G\cong C_{p^4}$ avec $p$ un nombre premier.

Si $H$, $K$ et $L$ recouvrent $G$, alors il n'y peu pas y avoir d'inclusion entre ces sous-groupes. On en déduit de plus que leur intersection deux à deux est réduite à $\{e\}$. Ainsi, si l'on note $p,q$ et $r$ les cardinaux respectifs de $H$, $K$ et $L$, on a $|G|=p+q+r-2$. De plus, les nombres $p$, $q$ et $r$ sont nécéssairement des nombres premiers (on pourrait exhiber d'autres sous-groupes sinon).

Si l'on suppose $p,q,r$ distincts, alors on en déduit l'inégalité $pqr\leq p+q+r-2$ qui n'est pas vraie. De même, si l'on suppose que $p=q$ et $r\neq p$, on obtient l'inégalité $pr\leq 2p+r-2$ qui n'est pas vraie. On en déduit que $p=q=r$. Ainsi $G$ est un groupe d'ordre $p^k$, donc $p^k=3p-2$, ce qui n'arrive que pour $p=k=2$. On conclut que $G\cong C_2\times C_2$.

Je n'ai pas tout détaillé, mais le raisonnement est bon normalement.