Exo Uber-Group 7

$\left \{ \begin{pmatrix} 2^p & k \\ 0 & 2^{-p} \end{pmatrix} \mid p \in \Z, q \in \mathbf F _7 \right \}$ est un sous-groupe d'ordre $21$ de $SL_2 (\mathbf F_7)$, non commutatif (cf $\begin{pmatrix} 2^p & 0 \\ 0 & 2^{-p} \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$).
Les groupes d'ordre impair inférieur à $19$ sont commutatifs (seuls $9$ et $15$ peuvent poser problème).
Reste à établir qu'il n'y a qu'un seul groupe d'ordre 21 à isomorphisme près...

On a bien sûr $SL_3(\mathbf F_2)= GL_3(\mathbf F _2 )$.
Considérons $K=\mathbf F_8$ qui est un $\mathbf F_2$-espace vectoriel de dimension $3$.Soit $\alpha$ un générateur du groupe d'ordre $7$ $K^*$. Soit $f: x \in K \mapsto x^2 \in K$ et $g: x \in K \mapsto \alpha x \in K$
Alors pour tout $x$, $f \circ g(x) = \alpha^2 f(x) = g^2 \circ f (x)$ et de plus $f$ et $g$ sont d'ordre premiers entre eux. Donc le sous-groupe de $GL_{\mathbf F_2} (K)$ engendré par $f$ et $g$ est $\{f^p g^q|0 \leq p \leq 2, 0 \leq q \leq 6\}$ et il est d'orde 21 et non commutatif (vu $fg=g^2f$).

Pour mettre tout ça sous forme matricielle, prendre $K=\mathbf F _2[X] / <X^3+X+1>$ et $\alpha= \overline X$.
Dans la base canonique $\beta=(1,\alpha,\alpha^2)$ on a $$mat(f,\beta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}; mat(g,\beta)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Question : prononce-t-on le "s" de votre pseudo ??

Oui

$\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_2)$ agit transitivement sur les $7$ droites de $\mathbb{F}_2^3$ (c'est-à-dire sur les $7$ vecteurs non nuls...) et le stabilisateur d'un point a pour cardinal $24$ : c'est un bon candidat pour être $\mathfrak{S}_4$.

Cela présente naturellement $\mathfrak{S}_4$ comme un produit semi-direct $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)\ltimes\mathbb{F}_2^2\simeq \mathfrak{S}_3\ltimes C_2^2$.