Exo Uber-Group 9

Yannguyen · January 2016

Bonsoir,

Il existe trois groupes non commutatifs d'ordre 20.
Le plus connu est évidemment le groupe diédral $\mathcal D_{10}$. On connaît aussi relativement bien le groupe affine de la droite affine sur $\mathbb F_5$, que certains notent $F_{20}$, d'après Frobenius.

Il reste un dernier groupe $G$ qui a un seul sous-groupe $H$ d'ordre $2$, lequel produit un quotient $G/H\simeq \mathcal D_5$.
C'est ce groupe $G$ qui m'intéresse.
On trouve son treillis en page 540 du livre d'Alain.

L'exercice que je vous propose est de démontrer que ces trois groupes d'ordre 20 apparaissent comme sous-groupes d'un même groupe d'ordre $80$, en l'occurrence le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles à coefficients dans $\mathbb F_5$.

Voir pour curiosité :
http://www.cem.uvm.edu/~ddummit/quintics/solvable.pdf

Jer anonyme · January 2016

Tiens, c'est amusant. Est-ce surprenant ? (Ces groupes sont résolubles, ils ont une représentation complexe irréductible de dimension $>1$, est-il surprenant de pouvoir la réduire modulo $5$ ?)

Le groupe
\ est d'ordre $4^2\times5$, on en cherche des sous-groupes d'indice $4$. Notons que $\langle2\rangle=\langle3\rangle=\mathbb{F}_5^\times$.

$-$ Le groupe engendré par $a_1=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $b=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est le groupe affine $F_5$.
$-$ Le groupe engendré par $a_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $b$ ne semble pas isomorphe au précédent (*).
$-$ Le groupe engendré par $a_3=\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}$, $a'_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$ et $b$ n'est pas isomorphe aux précédents (non abélien et quotient par $\langle b\rangle$ non cyclique) (c'est le groupe diédral, qui admet des sous-groupes isomorphes à $(\Z/2\Z)^2$ en prenant une réflexion et la symétrie centrale).

NB : (*) Les éléments de $\langle a_2,b\rangle$ sont de la forme $\begin{pmatrix}2^k&b\\0&3^k\end{pmatrix}$ ($k\in\Z/4\Z$, $b\in\mathbb{F}_5$). Pour qu'un élément soit d'ordre $2$, il faut que $k=2$, mais comme $2^2+3^2\ne0$, cela force $b=0$ et donne l'unicité.

(**) Le groupe engendré par $a_4=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ et $b$ n'est pas isomorphe au précédent mais il est abélien.

Yannguyen · January 2016

c'est très bon Jer anonyme ! Penser à calculer les éléments d'ordre 2...

Lequel de ces groupes s'injecte dans $\mathfrak S_5$ ?

Cdt

Jer anonyme · January 2016

S'il n'y en a qu'un, c'est évidemment le groupe affine $F_5$ qui agit sur $\mathbb{F}_5$ comme les « $a_1^kb^\ell:x\mapsto 2^kx+\ell$ » (à l'ordre de $a_1^k$ et $b^\ell$ près).

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