Spoiler en blanc ci-dessous Soit $X$ l'ensemble des sous-groupes d'ordre 18 de $\mathfrak S_3 \times \mathfrak S_3$. Ces sous-groupes sont exactement ceux d'indice 2 donc ils sont distingués. Il revient au même de se donner un morphisme de $\mathfrak S_3 \times \mathfrak S_3$ dans $\Z / 2/ \Z$. En fait si $E,F$ sont deux groupes notons $Mor(E,F)$ l'ensemble des morphismes de groupes de $E$ dans $F$. Soit $\alpha: (u,v):Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z) \times Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z) \mapsto \left ((s,t) \mapsto u\big ((s,1) \big )+v\big ( (1,t)\big ) \right ) \in Mor(\mathfrak S_3^2,\Z /2 \Z)$ et $\beta:f \in Mor(\mathfrak S_3^2,\Z /2 \Z)\backslash \{0\} \mapsto \ker (f) \in X$. $Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z)$ possède deux éléments: l'identité et la signature $\varepsilon$. Comme $\alpha$ et $\beta$ sont bijectives, on voit qu'il y a exactement $3$ éléments dans $X$: $G_1=\mathfrak S_3 \times \mathfrak A_3; G_2=\mathfrak A_3 \times S_3$ et $G_3=\{(s,t) \in \mathfrak S_3^2 \mid \varepsilon (s)=\varepsilon(t)\}$. Noter que $G_1$ et $G_2$ sont isomorphes mais $G_3$ n'est pas isomorphe à $G_1$ (ce dernier possède des éléments d'ordre $6$ contrairement à $G_3$).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
Soit $X$ l'ensemble des sous-groupes d'ordre 18 de $\mathfrak S_3 \times \mathfrak S_3$. Ces sous-groupes sont exactement ceux d'indice 2 donc ils sont distingués. Il revient au même de se donner un morphisme de $\mathfrak S_3 \times \mathfrak S_3$ dans $\Z / 2/ \Z$. En fait si $E,F$ sont deux groupes notons $Mor(E,F)$ l'ensemble des morphismes de groupes de $E$ dans $F$. Soit $\alpha: (u,v):Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z) \times Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z) \mapsto \left ((s,t) \mapsto u\big ((s,1) \big )+v\big ( (1,t)\big ) \right ) \in Mor(\mathfrak S_3^2,\Z /2 \Z)$ et $\beta:f \in Mor(\mathfrak S_3^2,\Z /2 \Z)\backslash \{0\} \mapsto \ker (f) \in X$. $Mor(\mathfrak S_3,\Z /2 \Z)$ possède deux éléments: l'identité et la signature $\varepsilon$. Comme $\alpha$ et $\beta$ sont bijectives, on voit qu'il y a exactement $3$ éléments dans $X$: $G_1=\mathfrak S_3 \times \mathfrak A_3; G_2=\mathfrak A_3 \times S_3$ et $G_3=\{(s,t) \in \mathfrak S_3^2 \mid \varepsilon (s)=\varepsilon(t)\}$. Noter que $G_1$ et $G_2$ sont isomorphes mais $G_3$ n'est pas isomorphe à $G_1$ (ce dernier possède des éléments d'ordre $6$ contrairement à $G_3$).
Appliquer alors le théorème dit du treillis-quotient.
Pour ce qui est de la nature respective des trois sous-groupes d'ordre $18$, le sous-groupe non rectangle est particulièrement intéressant.