Exo Uber-Group 14

Mon cher Yannguyen
Est-ce un exercice du AD et pourquoi UBER?
Est-ce un exo lambda de la théorie des groupes ou bien a-t-on besoin d'un résultat pointu?
Il suffirait de montrer que les $n-1$ transpositions $(1,i)$ telles que $2\le i\le n$ sont atteintes mais pour le moment je suis un peu fatigué!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bon après-midi
Voici la solution
Amicalement
[small]p[/small]appus

Sinon, je propose une autre rédaction :

Lemme : Si $S \subseteq \{1,...,n\}$, et si $i \in S$ et $j \not \in S$, alors le sous-groupe engendré par $\mathfrak{S}_S$ et $(i \mbox{ } j)$ est $\mathfrak{S}_{S \cup \{j\}}$.

Démo : Pas difficile !

Lemme : Soit $T$ un ensemble de transpositions, et soit $G$ le sous-groupe engendré par $T$. On suppose que $G$ est transitif. Si $\{1,...,n\} = A \sqcup B$ est une partition, alors il existe $i \in A$, $j \in B$ tels que $(i \mbox{ } j) \in T$.

Démo : Pas difficile non plus !

Conclusion : Soit $T$ un ensemble de transpositions, et soit $G$ le sous-groupe engendré par $T$. On suppose que $G$ est transitif. Soit $S$ une partie telle que $\mathfrak{S}_S \subseteq G$ et qui soit maximale pour cette propriété. Alors si $\{1,...,n\} \not = S$, le deuxième lemme assure l'existence d'un $i$ et d'un $j$ comme vérifiant les hypothèses du premier lemme, qui lui-même assure que $S$ n'était pas maximale.

Donc $S = \{1,...,n\}$, et donc $G = \mathfrak{S}_n$.