Base

Et pour ma part, j'ai envie de dire "Il faut essayer à la main, soi-même, pour comprendre cela".

Pour une preuve : On peut écrire bien sûr des égalités du genre : Y'=PY etc.
Préciser ce qu'est P en français et en détail., voire écrire chaque $e_i'$ en fonction des $e_i$ ... ou l'inverse ... ;-)

Mais je crois que "réaliser cela" passe un jour ou l'autre par la pratique sur un exemple.
Pour la dimension 2, j'ai envie de dire "surtout ne pas se placer dans $\mathbb R^2$ mais dans un autre e.v. de dimension 2 (espace de fonction par exemple)."

Voyons ce qu'en pensent les autres.

Prends $x$ dans $E$ de dimension $n$ et essaie de l'écrire dans deux bases $B_1$ et $B_2$ différentes.

On a deux bases : $(e_i)_{1\le i\le n}$ et $(e'_j)_{1\le j\le n}$.
Par définition, la matrice de passage $P=(p_{ij})_{1\le i,j\le n}$ a pour $j$-ème colonne la colonne des coordonnées de $e'_j$ dans la base $(e_i)_i$. Cela se traduit par des égalités :
\[\forall j\in\{1,\dots,n\},\quad e'_j=\sum_{\cdot=1}^np_{\cdot\cdot}e_{cdot}\] (compléter les points par les bons indices).
Ensuite, on prend un vecteur quelconque, disons $v$. Il a des coordonnées $(x_i)_{1\le i\le n}$ dans la base $(e_i)_{1\le i\le n}$ et $(x'_j)_{1\le i\le n}$ dans la base $(e'_j)_{1\le j\le n}$. Cela signifie que \[v=\sum_{i=1}^nx_ie_i=\sum_{j=1}^nx'_je'_j.\] À présent, on remplace dans l'expression de droite $e'_j$ en fonction de $P$ et des $e_i$, on réarrange un peu et on obtient deux expressions de $v$ comme combinaison linéaire des $e_i$ : comme ils forment une base, ces expressions coïncident coefficient par coefficient, ce qui permet d'écrire des égalités : \[\forall i\in\{1,\dots,n\},\quad x_i=\sum_{j=1}^n\cdots\] qui équivaut à l'égalité matricielle $X=PX'$.

Il n'y a plus qu'à remplir les quelques trous.