signature de permutation

Monfort · January 2016

Bonjour,

J'ai du mal à voir comment à partir de la formule algébrique de la signature d'une permutation on déduit que la signature d'une permutation est $\pm 1$. Tous les cours définissent $\sigma$ une permutation puis affirment que la signature est définie par $\epsilon(\sigma)=\prod(\sigma(j)-\sigma(i))/(j-i)$ sur $i<j$ puis que c'est égale à $\pm 1$.

Est-ce que quelqu’un aurait une explication algébrique ? (à partir de la formule)
Merci !

Foys · January 2016

Soit $E$ l'ensemble des parties à 2 éléments de $\{1,...,n\}$. Soit $E'$ l'ensemble des couples $(i,j) \in \{1,...,n\}^2$ tels que $i<j$ (en bijection évidente avec $E$). Soit $\sigma \in \mathfrak S_n$ . Alors $\{i,j\} \in E' \mapsto \{\sigma(i), \sigma(j)\} \in E$ est bijective (elle est évidemment injective et $E$ est fini).
Soit $\{a,b\} \in E$. Il existe donc un $(i,j) \in E'$ unique tels que $\{\sigma(i), \sigma(j)\} =\{a,b\}$ et donc:
$$\left | \prod_{(i,j) \in E'}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\right | = \frac{\prod_{(i,j) \in E'}|\sigma(j)-\sigma(i)|}{\prod_{(i,j) \in E'}|j-i|}=\frac{\prod_{\{a,b\} \in E} |b-a|}{ \prod_{(i,j) \in E'}|j-i|}= \frac{ \prod_{(i,j) \in E'}|j-i|}{ \prod_{(i,j) \in E'}|j-i|}=1$$.

Monfort · January 2016

Y-a-t-il une signification particulière pour les "|" après chaque ensemble que tu définies?

Monfort · January 2016

Et merci bien sur! Je suis encore en train d'y réfléchir...

Niazov · January 2016

les "|" ont bien une signification particulière : par deux, on appelle cela la valeur absolue ....

Sinon, pourquoi poser cette question dans le forum analyse???

Chaurien · January 2016

Bonjour.
Moi aussi, j'observe qu'une barre "|" apparaît après chaque formule, et ce n'est donc pas une barre de valeur absolue.
Le plus curieux c'est que j'ai deux ordinateurs, un portable ancien et un ordinateur de bureau récent, et que ce phénomène ne se produit que sur le récent.
Qui nous donnera la clé de ce mystère ?
Bonne journée.
F. Ch. 48429

michael · January 2016

Je déplace ce fil dans Algèbre.

Le "mystère de la barre verticale" est évoqué ici.

christophe c · January 2016

@Monfort:

Tous les cours définissent

il y a des définitions moins obèses et opaques. Pour tout entier $n$, toutes suites finies $t_1,..,t_n$ de transpositions, et permutation $\sigma$ si $t_1t_2..t_n=\sigma$ alors $signature(\sigma)=(-1)^n$

Le fait que ça donne une définition correcte a été discutée en détails dans un fil du forum, je te mettrai un lien. C'est lié à un théorème intéressant en soi: il n'existe pas de suites de longueur impaire de transpositions dont la composition vaut l'identité.

Foys · January 2016

Je suis d'accord que moralement c'est le bon point de vue mais la définition à base de produit a été faite manifestement pour que la preuve du résultat clé(*) de ce sujet soit la plus courte possible (**)

[size=x-small](*) Si $p,q,n \in \N, a_1,...,a_p,b_1,...,b_q$ sont des transpositions de $\{1,...,n\}$ et si $a_1 \circ ...,\circ a_p= b_1 \circ ... \circ b_q$ alors $p$ et $q$ ont même parité

(**) en acceptant que le produit vale 1 en valeur absolue. Informellement, on peut voir qu'au signe près les mêmes facteurs apparaissent, et ce le même nombre de fois, dans les produits $\prod_{1\leq i<j \leq n}( \sigma(j)-\sigma(i))$ et $\prod_{1\leq i<j \leq n}(j-i)$, j'ai quand même introduit un argument formalisé pour Monfort et je trouve la rédaction un peu lourde à vrai dire.[/size]

Monfort · January 2016

Merci a tous @foys @christophe c.
Je suis sur la bonne voie maintenant, le concept est beaucoup plus clair grace a vous!

christophe c · January 2016

GBMZ explique ça avec un argument de saute-mouton, si je me rappelle bien l'appellation. Au lieu de considérer toutes les transpositions, tu considères uniquement celles (les mini, je vais les appeler) qui échangent deux éléments consécutifs (dans un ordre total fixé une fois pour toute). Tu peux évidemment obtenir toutes les transpositions avec ça. L'avantage c'est qu'il est évident qu'une composition de minis qui donne l'identité a forcément mis en œuvre un nombre pair de facteurs. Or une transposition quelconque s'obtient forcément en composant un nombre impair de minis. Exemple:
\begin{align*}
0:&abcd \\
1:&abdc \\
2:&adbc \\
3:&dabc \\
4:&dbac \\
5:&dbca
\end{align*} (Précisément, échanger deux élément distants de $n$ nécessite $2n+1$ minis.

Il suit qu'un nombre impair de transpositions ne peut pas donner l'identité.

Un autre argument, dû à gb dans le passé du forum est tout à fait à priori différent: soit $n$ un entier (son plus grand élément est $p:=n-1$). Je note $A$ l'ensemble des transpositions de $n$ qui laissent $p$ fixe et $B$ les autres. On alors la chose suivante:

1) tout produit de transpositions $xy$ peut s'écrire sous la forme $az$ avec $a\in A$
2) pour tout $a\in A$ et tout $x$, il existe $b\in A$ et $y$ tel que $xa = by$

Si tu as un "mot" qui est une composition de transpositions, tu peux donc par des réécritures successives obtenir un mot "égal" qui ne soit composé que d'éléments de $A$ à part éventuellement le dernier. Ca permet une récurrence.

signature de permutation

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