trigonalisation
dans Algèbre
Bonjour, j'aimerais savoir si une matrice possédant deux valeurs propres distinctes peut être semblable à une matrice trigonale.
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Réponses
En fait, j'ai une matrice qui dépend de a, et b réels, et je trouve 2 valeurs propres : a+1, et b.
Je dois prouver qu'elle est semblable à une matrice trigonale (avec en première colonne a+1 et 0, et en deuxième 1, puis b).
Je ne comprends pas comment prouver (dans tous les cas, meme si a+1 et b sont différents), comment une matrice diagonalisable peut être semblable à une matrice trigonale.
Est ce assez clair, ou avez vous besoin de la matrice initiale ?
Donc une matrice diagonalisable est nécessairement trigonalisable.
Après, si l'on demande une forme trigonale précise, en effet, c'est différent.
Ici, taille 2 et deux valeurs propres distinctes entraîne que c'est diagonalisable.
Voilà pour "les infos".
Pour tous $a$ et $b$ complexes, on donne les matrices $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a+1&0\\0&b \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a+1&1\\0&b \end{pmatrix}.$
Les matrices $A$ et $B$ sont-elles semblables ?
Les matrices $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si il existe une matrice inversible $P$ telle que $\displaystyle A=PBP^{-1}.$
On écrit cette même relation sous la forme $\displaystyle AP=PB$, pour simplifier les calculs, et $\displaystyle det P \neq 0$, pour assurer que l'inverse existe. On note $\displaystyle P = \begin{pmatrix} x&y\\z&t \end{pmatrix}$, et on trouve que, nécessairement : $\displaystyle z=0, \quad (a+1-b)y=x, \quad det P = (a+1-b)yt.$
On conclut :
- si $\displaystyle a+1-b=0$, $A$ et $B$ ne peuvent pas être semblables ; c'est assez clair car dans ce cas, la matrice $A$ est scalaire et alors, nécessairement, $\displaystyle B = P^{-1}AP$ est aussi une matrice scalaire et ne peut pas avoir le $1$ en haut à droite ;
- si $\displaystyle a+1-b \neq 0$ on peut choisir $\displaystyle y=t=1$, et on a montré que les matrices sont semblables avec $\displaystyle P = \begin{pmatrix} a+1-b&1\\0&1 \end{pmatrix}, \det P = a+1-b \neq 0.$
Ajout : Bien sûr, ta première matrice $M$ est semblable à $A$ qui est sa matrice diagonale dans la base des vecteurs propres. La relation "est semblable à" est transitive, donc $M$ est semblable à $A$ qui est semblable à $B$, donc $M$ est semblable à $B$, sauf si $a+1-b=0.$
Merci beaucoup.