Dual

Il n'y a pas de base duale en dimension infinie, c'est une spécificité de la dimension finie. Regarde ce qui se passe: soit $f$ une forme linéaire sur $E$ dont $e$ est une base finie.

si $x = \sum_i a_ie_i$ alors $f(x) = f(\sum_i a_ie_i) = \sum_i a_if(e_i) = \sum_i f(e_i). p_i(x)$, ce qui te permet de prétendre, ceci valant pour tout $x$ que $f = \sum_i f(e_i).p_i$ où $p_i$ est définie par $p_i(\sum_j b_je_j)=b_i$ et est généralement noté $e^*_i$ (ce qui est très maladroit puisque la notation n'est pas de la forme correcte $e^*<i>$, par exemple, faisant apparaitre la dépendance de $e^*$ tout entier de $e$.

Si tu es en dimension infinie tout cela tombe à l'eau car il faudrait "inventer" une sorte de somme infinie des $p_i$ évoquées ci-dessus.

Bon vue l'heure, je ne vais pas y réfléchir, mais je suis persuadé qu'à une terrasse de café il y a 20ans, mon DR me l'avait prouvé en 2 lignes (et 15 secondes à tout casser) via le fait que si $B$ est une base de $K^E$, avec $E$ infini, c'est essentiellement aussi une base de $K^{E^2}$, bref, en gros quelque chose de proche de $B^E$ est une partie libre, je ne sais plus. Mais ton lien me parait bien solennel pour pas grand chose (si la preuve avait été subtile elle m'aurait marqué je pense).

oula, ne le prends pas mal, et non ce n'était pas une "critique inutile", mais une occasion de chercher éventuellement en exercice une preuve que peu de lignes suffisent (je suis sûr à 98% de ce souvenir, mais j'ai 4H de cours d'affilée, mais par exemple je suis persuadé que foys va te les poster tes 3 lignes, dès qu'il se connectera (je me demande d'ailleurs si $B^E$ n'est pas une famille libre de $(K^E)^E$ quand $B$ est une base de $K^E$, mais pas le temps d'y réfléchir))

tu es constamment dans la critique inutile, sans apport probant et explicitement intelligible

Bon bin puisque tu m'attaques (pour le coup gratuitement), permets-moi de répondre, je ne te l'aurais pas dit sinon. J'ai remarqué que tu ne lis pas ce que j'écris: il t'est arrivé bien souvent de poster des liens qui redisent "solennellement" en plus longuement des choses que je viens de dire au post d'avant. Alors, ok, il est possible que tu ne lises pas, ou que tu ne comprennes pas et c'est peut-être de ma faute, mais ce n'est pas une raison pour "m'agresser comme ça". (Pour certains c'est une "mode" ou un "amusement", mais ne te laisse pas influencer :-D)

car le résultat est loin d'être trivial. L'auteur est clair dès le départ et c'est la raison pour laquelle je l'ai proposé

Ca, tu n'en sais riens, ce n'est pas parce que quelqu'un dit qu'un truc est compliqué qu'il l'est forcément. Présentement, ce n'est que de la théorie des ensembles basique*** et j'ai bien précisé que c'est mon DR** et pas un non set theorist qui m'avait fait cette remarque

** Boban Velickovic, et je suis sûr à 100% qu'il s'agissait bien de ce "lemme" d'arithmétique cardinale

*** en plus lis bien le pdf, il dit lui-même qu'il est très long parce qu'il ambitionne de présenter la chose à bac +2. Il ne prétend pas du tout que c'est long pour qui admet qu'un ensemble infini $E$ est en bijection avec $E^2$ par exemple. ce n'est pas moi qui le dit. D'ailleurs, si tu survoles (je l'ai fait hier), il ne ment pas, il ne dit quasiment que des trucs (qu'on qualifie généralement d'évident) qu'il pourrait admettre, mais c'est tout à son honneur, je ne critique pas ça du tout !!! Tu m'as très mal lu

Je pense qu'il faut arrêter de lire les choses négativement: donne-moi un exemple de "critique tous azimut récente" de ma part.

@dom pas le temps là, de le retaper, de toute façon l'agression gratuite de TP, je ne l'ai pas comprise et je ne perdrai pas de temps à editer le post précédent (les pc du lycée me font "guru meditation" à chaque fois que j'edite, je dois cliquer 20 fois sur envoyer à chaque fois)

erratum: prendre plutôt $\otimes_{ i\in E} K^E$ (isomorphe à $K^{E^2}$ si $E$ infini)

J'ai mis le nom de mon DR: et non il me l'a dit de vive voix:

<< moi: à propos de HC, sait-on (je demandais ça sans réfléchir) si $\R^\N$ a une base strictement plus petite que $\R$?
DR: évidemment que non car blabla (il m'a exhibé une famille libre de cardinal IR "routinière"***)>>

C'était basique et en quelques mots. Maintenant si TP n'aime pas qu'on raconte un souvenir neutre, bin tant pis. Et désolé, je ne me rappelle pas le quelques mots (ça me reviendra mais pas aujourd'hui surement)

*** il ne s'agissait pas d'un truc chiadé avec des polynomes

De mon téléphone et du métro: l'argument m'est revenu, il est sans surprise et sans saveur. Je ne le poste raï pas nananinanere

@foys ça n'a rien "d'évident" ton PSG rouge ( je pense même que c'est faux)

De mon téléphone

Je reviens sur "les preuves de 3 lignes" (je veux parler en général, et pas dans le contexte du fil).
Je ne sais pas s'il faut s'en réjouir, sauf par amusement ou défi personnel.
Mais franchement, si les notions utilisées sont des objets lourds qui appellent eux-mêmes des pages de définitions et lemmes, je pense que cela perd de son intérêt.
La formule d'Euler se démontre par un raisonnement de topologie algébrique. Ce fut l'objet d'un des mes oraux de maîtrise, entre autre. C'est "court" mais l'artillerie est lourde.
Des méthodes "plus classiques" (disons plus consensuelles) sont quand même davantage pertinentes : si les preuves convaincantes que demandent les mathématiques (dans leurs définitions) ne le sont (convaincantes) que pour une petite population, c'est bien la peine d'essayer d'être compris...

Là, dans ce fil précis, je ne sais pas, en effet, de quoi il s'agit.
Mieux, je ne chercherai pas : le genre de discours "je ne le dirai pas" me laisse de marbre. Personne n'ira se mettre à genoux pour entendre la preuve du siècle trouvé en prenant un café.
Je note que l'on est passé d'une preuve en deux lignes à un argument de trois lignes...à moins qu'il ne s'agisse de façon de parler...

Inutile de donner une réponse de 100 pages, hein ?

Certains éléments du poly en lien peuvent être raccourcis.
Lemme3: Pour tout $\ell \in \{1,...,k\}$, Comme $b_1 \neq b_{\ell}$, choisissons $j_{\ell} \in \{1,...,n\}$ tel que $b_1(j_{\ell}) \neq b_{\ell}(j_{\ell})$ et posons $P(X_1,...,X_n) = \prod_{q=2}^k \big (X_{j_q} -b_q(j_q)\big )$. Alors $P(b_1) \neq 0$ et $P(b_q)=0$ pour $q=2,...,n$.
Lemme 7: Soient $E,F$ deux espaces vectoriels isomorphes, autrement dit il existe $f \in Hom(E,F)$ et $g \in Hom(F,E)$ tels que $g \circ f =id_E $ et $f \circ g = id_F$. Posons $f^T:=\alpha \in F^* \mapsto \alpha \circ f \in E^*$ et $g^T:= \beta \in E^* \mapsto \beta \circ g \in F^*$. On montre que $f^T$ et $g^T$ sont linéaires et surtout que $g^T \circ f^T=id_{F^*}$ et que $f^T \circ g^T =id_{E^*}$ (plus généralement, un foncteur -contravariant ici- va envoyer un isomorphisme sur un autre).

Citons quand même un énoncé et une preuve du théorème d'indépendance des caractères (il est évoqué mais évité dans le poly ce qui est dommage car c'est très simple).
Soit $M$ un monoïde (associatif et unitaire) et $K$ un corps (commutatif). soit $E\subseteq K^M$ un ensemble de morphismes (i.e pour tout $\varphi \in M$, $\varphi(1_M)=1_K$ et $\forall a,b \in M$, $\varphi(ab)=\varphi(a) \varphi(b)$.
Alors $E$ est vectoriellement libre.

Preuve: sinon soit $\{\varphi_1,...,\varphi_n \} \subseteq E$ une partie liée avec $n$ le plus petit possible. $n\geq 2$ (car $\emptyset$ est libre, de plus aucun $\varphi_i$ n'est nul car ils envoient $1_M$ sur $1_K$) et il existe $(\lambda_1,...,\lambda_n) \in K^n \backslash \{(0,0,...,0)\}$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i=0$. Par minimalité de $n$ aucun $\lambda_i$ n'est nul. Soit $x\in M$ tel que $\varphi_1(x) \neq \varphi_2 (x) $. Soit pour tout $i$, $\mu_i:=\lambda_i \big ( \varphi_i(x) - \varphi_1(x) \big )$. On a $\mu_1 = 0$, $\mu_2\neq 0$ et en fait, pour tout $ y \in M,$ $$ \sum_{i=2}^n \mu_i \varphi_i (y)= \sum_{i=1}^n \mu_i \varphi_i (y) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i(x) \varphi_i (y) - \lambda_i \varphi_1(x) \varphi_i (y)= \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i(xy) - \varphi_1(x) \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i (y) = 0$$
Autrement dit $\varphi_2,...,\varphi_n$ est liée, ce qui contredit la minimalité de $n$.

Oui, mais le fait de passer par les polynômes peut donner l'impression que c'est une sorte de nécessité de faire compliqué comme ça. Alors que la construction formelle de "ce que font les polynômes" dans la preuve ne pose pas de difficulté et a le mérite de clore une présentation à n'importe qui est de bonne volonté. Pour faire une analogie, c'est un peu la même chose que pour prouver Weirstrass avec les polynômes de Bernstein ou de façon pure.

christophe c a écrit:

@dom, il est clair que quand on parle de preuve courte, on sous-entend (en tout cas moi je sous-entends) qu'on ne cache pas sous le tapis des lemmes de background hyper-sophistiqués.

christophe c a écrit:

On peut supposer que le corps est infini( sinon c'est trivial) et donc qu'il y a une injection $\sigma$ de l'ensemble des suites finies de $K$ dans $K$.

Sauf que la majorité des gens qui vont lire ce genre de documents ont en général l'habitude de calculer dans un corps mais que beaucoup n'ont aucun background en théorie des ensembles.

Les preuves les plus courtes sont les meilleures ! Preuve en une demi-ligne que $2^{1/n}$ est irrationnel pour tout naturel $n>2$.

Si $2^{1/n} = \frac{p}{q}$ alors $ p^n = q^n + q^n$ d'où contradiction par le théorème de Fermat-Wiles.

@fluorhydrique: je ne sais pas ce que veut dire "traiter en adulte" ici: on est sur un forum où la majorité des gens ne se connaissent pas et ne se rencontreront vraisemblablement jamais.
Ce que fait christophe c habituellement est de 1) rappeler la nature des maths, faite de démonstrations et de théorèmes et qu'il faut les présenter telles qu'elles sont et 2) l'utilisation de méthodes types ne sert à rien (HS ici mais de toute façon on progresse pas si on essaie pas de chercher soi-même).
Je suis d'accord avec 1) et 2) ci-dessus.
Mais ce n'est pas de ça qu'il s'agit ici, mais de l'attribution des qualificatifs "trivial" ou de "background hyper-sophistiqué" à telle ou telle partie des mathématiques, ce qui est hautement arbitraire et subjectif. Peu importe qu'on soit adulte ou non, normalement une preuve est facile à lire quand les éléments elliptiques ou carrément admis sont familiers au lecteur et compliquée dans le cas contraire. A part peut-être CC, il n'y a personne à ma connaissance qui voit la moindre manipulation algébrique comme une montagne insurmontable tout en ayant toute la théorie des ensembles (niveau M2 disons) comme seconde langue maternelle. Après chacun voit midi à sa porte mais mon expérience perso avec étudiants ou d'autre gens qui s'efforcent de faire des maths est que le lecteur ordinaire (celui qui viendra sur ce site: les maths sont quand même une niche)a très vraisemblablement un profil inverse (il peut gérer une somme d'éléments de $K[X_1,...X_n]$ sans obstacle psychologique majeur et méconnaît les liens entre $card(\N^{(I)})$, $card (\N^I)$ etc)


EDIT: l'intervention de fluorhydrique ayant disparu le message ci-dessus peut sembler étrange...

dom a écrit:

le genre de discours "je ne le dirai pas" me laisse de marbre

C'était destiné à TP, qui m'avait un peu énervé. Je t'envoie la retranscription des 15 secondes de conversation en MP

Juste une dernière précision: dans le cas présent, je n'ai pas du tout parlé de trivialité (je n'ai utilisé le mot "trivial" que pour les corps finis et bien plus tard à propos d'autre chose). Je clame à longueur de temps sur le forum que tout est difficile dans les maths), que les maths sont difficiles, qu'il faut chercher des heures, etc.

J'ai parlé de preuve courte, ce qui n'a strictement rien à voir. J'ai envoyé l'argument de mon DR (dont j'ai fini par me souvenir), il fait 3 lignes, il est comme je l'ai dit sans surprise ni saveur, etc. Il n'a rien ni de trivial, ni de complet, ni d'inspiré. C'est une simple remarque de théorie basique des ensembles (version naive). Ce n'est pas parce que TP a mal pris mon tout premier post à ce sujet que j'ai voulu lancé un débat sur l'utilisation du mot "trivial" en maths (il l'est constamment selon l'humeur du moment et il signifie presque toujours un refus neutre de la personne de détailler un point: c'est certes une drôle de politesse inversée, mais c'est ainsi (et ce n'est pas très gentil pour qui se le prend dans la figure, mais il faut savoir décoder les formules de politesse automatiques, ne pas savoir que "trivial" abrège "je n'ai pas le temps ou l'envie de détailler", peut effectivement conduire à des malentendus.

Une question connexe.

Soit $I$ un ensemble infini et $K$ un corps. Alors l'espace vectoriel $V_I$ de base $I$ se plonge canoniquement dans son bidual et cette injection n'est pas surjective. Je m'étais convaincu que l'on ne peut pas exhiber un élément du bidual qui n'est pas dans l'image du plongement sans utiliser l'axiome du choix. Cependant, je n'ai pas de preuve. Est-ce que les logiciens qui fréquentent le forum ont une idée la-dessus ?

Bonjour.

Puisque $I$ est une base de $V_i$ il existe une forme linéaire qui prend la valeur $1_k$ sur chaque élément de cette base et comme $I$ est infini, cette forme linéaire n'est pas dans l'image de l'injection de $V_I$ dans son bidual. Pas besoin de l'axiome de choix, puisque la base de l"espace est donnée dans les hypothèses.

Bruno

@Bruno (bon je suis sur un poste qui semble très en colère après le flux internet, ce post n'apparaitra peut-être pas), je ne comprends pas ton argument. Bien sûr qu'il y a des formes linéaires de ce genre, mais en quoi ça nous parle du dual du dual (là j'ai l'impression que tu parles du dual tout court)?

Comme je ne suis pas rancunier, je copie-colle le mp que j'ai envoyé à dom:

conversation il y a 20ans a écrit:

c'est bien connu que
> $dim(K^E)=card(K^E)$ quand $E$ est infini. Il te
> suffit de construire un sous-espace de $K^{K^E}$
> qui sépare*** les points de $K^E$ et qui est de
> dimension $E$, ce qui peut se faire de tout plein
> de manières différentes (comme dans IR, avec les
> fonctions à image finie, ou encore les affines
> par morceaux, ou encore les polynômes, etc).
>
> *** il n'a pas précisé ce que veut dire
> "séparer", mais à l'époque j'étais jeune, j'ai
> compris peut-être plus vite qu'aujourd'hui:
> étant donné $a_1$ d'un côté et $a_2,..,a_n$ de
> l'autre, $f(a_1)\neq 0$ et $f(a_i)=0$ pour $i>1$.

La partie verte est à quelques virgules près la retranscription. Comme je l'ai dit, c'est sans saveur ni surprise et ça avait bien pris 15 secondes...

Remarque: ce n'est pas du tout une preuve, mais si on appelle ça "une indication ou un sketch", c'est quand-même = "essentiel est dit" (le reste est de la rédaction). Mais je n'en veux pas du tout à TP de vénérer la rédaction, je pense même qu'il a parfaitement raison (c'est parfois en rédigeant qu'on s'aperçoit qu'un muret était une montagne)

A vrai dire je ne sais pas ce qu'avait christophe c en tête mais voici une famille libre de $\R^{\N}$, indexée par $\R_+^*$, et qui est présentable en colle ou en TD de fac. Soit $\alpha \in \R^*_+$, posons $u_{\alpha}(n):= \alpha^n$. Soient $0<t_1<...<t_p$ des réels et $\lambda_1,...,\lambda_p $ des réels non tous nuls; quitte à élaguer on peut supposer que $\lambda_p \neq 0$. Mais alors $\sum_{k=1}^p \lambda_k u_{t_k}(n) = \sum_{k=1}^p \lambda_k t_k^n \sim \lambda_p t_p ^n $ quand $n\to +\infty$. La somme $\sum_{k=1}^p \lambda_k u_{t_k}$ n'est donc pas nulle et $(u_{\beta})_{\beta \in \R^* _+}$ est $\R$-libre.

Oui, oui, c'est ce que tu disais plus haut.
Les formules pour ne pas (ré)démontrer.