Gram-Schmidt unique ?

Sinon en aparté j'ai appris que ma méthode c'était du Gram Schmidt
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On m'a dit que c'est du Gram Schmidt
Je dispose d'une base quelconque M représentée par une matrice $M\in GLn(\mathbb {R} )$ je la transforme en une base orthogonale N
pour ce faire on se donne la forme bilinéaire symétrique canonique notée $\langle V|W \rangle =v_1.w_1+...+v_n.w_n $
on note $M_i$ et $N_i$ les vecteurs colonnes des matrices à composantes réelles qui représentent les bases respectivement M et N
alors la base N est telle que
det(M)=det(N)

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$N^{-1}.M$ est une matrice triangulaire supérieure dont toutes composantes sur la diagonale sont 1

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$N^t.N$ est une matrice diagonale
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pour tout naturel $ i $ dans l'intervalle $[2,n]$ alors on vérifie $\langle N_i|M_{i-1} \rangle=0 $
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pour tout naturel $ i $ dans l'intervalle $[1,u]$ avec quelque soit $1\leq u \leq n$ alors on vérifie
le systeme de vecteurs colonnes $N_i$ et le vecteur colonne $M_u$ est un système de vecteurs liés

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*pour tout naturel $ i $ dans l'intervalle $[1,u]$ avec quelque soit $1\leq u \leq n$ alors on vérifie
le systeme de vecteurs colonnes $M_i$ et le vecteur colonne $N_u$ est un système de vecteurs liés
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Convention de notation
Pour ce faire au préalable on note une loi $V*W =Z$ est un vecteur non nul lorsque les vecteurs V et W ne sont pas colinéaires
cette loi selon
$V*W= \sqrt {\frac {A}{B}} .\langle V|V \rangle .W- \sqrt {\frac {A}{B}} .\langle V|W \rangle .V $
avec
$A=\langle V|V \rangle .\langle W|W \rangle-\langle V|W\rangle ^2$
$B= \langle \langle V | V \rangle .W | \langle V | V \rangle .W \rangle .\langle V | V \rangle + \langle \langle V | W \rangle .V | \langle V | W \rangle .V\rangle .\langle V | V \rangle -2. \langle V |W \rangle ^2 . \langle V | V \rangle ^2$
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Solution de N
Construction de la base orthonormée N dans le sens de haut en bas
$N_1=M_1$
$V_{11}=M_2$
$N_2=N_1*V_{11}$
$V_{12}=M_3$
$V_{22}=N_1*V_{12}$
$N_3=N_2*V_{22}$
$V_{13}=M_4$
$V_{23}=N_1*V_{13}$
$V_{33}=N_2*V_{23}$
$N_4=N_3*V_{33}$
et ainsi de suite jusqu'à $N_n$

1) Quelles sont les matrices $A \in M_n(\R)$ telles que a) $M$ est orthogonale (${}^t \! M M=I_n$) b) $M$ est triangulaire supérieure et c) les coefficients diagonaux de $M$ sont tous positifs ?
2) Soient $b=(b_1,\ldots,b_n)$ une base d'un espace euclidien. Soient $e=(e_1,\ldots,e_n),\ f=(f_1,\ldots,f_n)$ deux autres bases On suppose les choses suivantes: A) $e$ et $f$ sont orthonormales pour tout $k \leq n,\ vect(e_1,\ldots,e_k)=vect(b_1,\ldots,b_k)=vect(f_1,\ldots,f_k)$ et C) pour tout $p \leq n,\ <e_p\mid b_p>\ \geq 0$ et $<f_p\mid b_p>\ \geq 0$.
Montrer que $f_i=e_i$ pour tout $i$.