@cc J'ai bien compris que ton objectif principal consistait en la prise du village d'Astérix. Mais j'ai jeté un oeil sur ton "enquetedeterminant.pdf" (si, si)
et j'ai envie de te poser quelques questions autour de cela (même si nos points de vue sont probablement différents).
(1) Est ce que ta définition initiale du déterminant n'est pas trop "naïve" ?
(2) Pourquoi n'y figurent pas les 36 visages de "la formule de Cramer" ? Par exemple, celle que j'ai
donnée dans l'autre fil (en dim $3$ pour faire simple)
$$
\det(v_1,v_2,v_3) v = \det(v,v_2,v_3)v_1 + \det(v_1,v,v_3)v_2+ \det(v_1,v_2,v)v_3
$$
Cela pourrait remplacer avantageusement ta propriété 1 (le déterminant est productible par la matrice)
car l'identité ci-dessus est beaucoup plus précise que ta propriété 1.
(3) Avais tu vu la "formule de Cramer" ci-dessus dans l'autre fil ? Ou alors, estimes tu que
c'est hors-sujet ? i.e. ce n'est pas ton point de vue ...etc... et cela n'a rien à faire dans ton
"enquetedeterminant.pdf" ?
(4) Soit $M$ une matrice carrée. J'ai l'impression que tu juges difficile l'énoncé suivant :
$M$ est injective si et seulement si $\det(M)$ est régulier. Et s'il y avait une
preuve assez simple "quelque part" de ce fait. Y as tu pensé ? Ici, il y a une allusion
à tes propriétés 4 et 5.
De mon téléphone je réponds à ton (4) pour le reste ce sera d'un PC. "Difficile" est être un peu exagéré puisque ça découle du fait que la nullité du déterminant implique la liaison de la matrice en 2 lignes. Mais c'est plutôt le fait que la nullité du det => liaison qui nécessité un peu de travail (mais en fait dès "qu'on a" le déterminant il n'y a plus grand chose de vraiment difficile.
C'est quand on ne l' a pas. . .
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ma sensibilité me conduit à éviter les énoncés contenant une négation. Il y en a un certain nombre (de négations) dans tes énoncés
ou dans ce que tu viens de me dire à l'instant. Dans ma manière d'énoncer (4), il n'y a pas de négation.
En passant (rien à voir). Soit $M$ une matrice carrée $n \times n$ et $c$ dans le conducteur de $M$ i.e. $cA^n \subseteq {\rm Im} M$.
Alors $c^n$ est multiple de $\det(M)$, énoncé plus précis que ton théorème 3 (à cause de l'exposant sur $c$). Justification :
par définition, il existe une matrice carrée $N$ $n \times n$ telle que $cI_n = MN$. Un coup de déterminant donne $c^n = \det(M) \det(N)$
(j'ai utilisé que le déterminant d'un produit de deux matrices est le produit des déterminants des matrices).
J'ai une petite préférence pour cette preuve (sensibilité).
Tu te doutes que je n'y suis absolument pour rien : c'est le B-A-BA dans cette thématique (des matrices sur des
anneaux commutatifs quelconques $A$, disons des applications linéaires entre $A$-modules libres). Le
truc que j'ai donné est un cas particulier des relations qui existent entre l'annulateur d'un $A$-module de
présentation finie et son $0$-Fitting. J'ai déjà prononcé le nom Fitting (et Northcott).
Et aussi le fait de "revenir sur terre". Alors que j'ai vu, dans ton pdf, "lemme de Zorn" : conséquence des
énoncés avec négation.
Une coquille dans la deuxième partie de ta propriété 6 : Autrement dit si $f : A^n \to A^p$ est une application
linéaire injective, alors $n \le p$ (au lieu de $p \le n$) ou $1_A = 0_A$. Mais peut-être que ma version
n'est pas à jour ?
En voilà, un énoncé sans négation (ou presque); si on veut virer ce "ou", la conclusion est $X^n$ divise $X^p$ dans $A[X]$.
J'ai essayé de réfléchir à la nature d'une preuve montrant l'existence d'un élément régulier dans le conducteur
d'une matrice carrée injective. Je dis bien "réfléchir à la nature d'une preuve" et pas "réfléchir à une preuve".
En l'appliquant au cas de la matrice générique $2\times 2$ sur $Z$ (ou $3 \times 3$ sur $Z$). Je ne sais pas
quoi en penser ; sachant, dans le cas générique, que l'idéal conducteur est engendré par le déterminant, il faudrait
qu'une telle preuve soit hautement non constructive si on veut qu'elle ne réinvente pas le déterminant.
Espérons qu'à l'avenir, tu puisses prendre des bains de manière plus apaisée.
PS : après deux heures de marche (chacun son truc), il semble qu'il y ait bien une preuve sans déterminant ...
Mais cette preuve le réinvente (ou presque).
C'est inoffensif puisque les énoncés considérés sont calculatoires du 1er ordre. Dès lors qu'on les a prouvé, on sait qu'il y a un simple calcul qui les donne (et il suffira d'ailleurs "d'exécuter la preuve"), puisqu'ils sont de la forme $\forall ... P$ où $P$ est une formule sans quantificateur, le tout écrit dans la théorie des anneaux (pour être même plus précis, on obtient un $P$ de la forme $H\to (0=1)$)
A vrai dire, ce qui m'intéresse peut-être le plus est de trouver (un peu à la manière dont la géométrie passe de l'affine au porjectif) une façon d'exprimer la liaison dans... les anneaux triviaux. Autrement dit, de construire un environnement dans lequel la preuve INVALIDE suivante marche:
Preuve [large]invalide:[/large] on prouve l'énoncé "il existe un élément dans le conducteur tel que tout idéal qui le contient ressent la matrice comme liée" par récurrence. On procède de manière banale en ramenant à une sous-matrice n-1 P la matrice de départ (our une récurrence). On dit alors "soit J un idéal". Soit $K$ l'ensemble des éléments $x$ de l'anneau tels que $\exists n\in \N: a^nx=0$. Le truc est vrai pour P donc K voit P liée, donc banalement J voit M liée"
L'invalidité de cette preuve vient du fait que K peut contenir 1 (les coefficients de liaison devraient alors être magique (plus 1 que 1 lui-même in some sense). Mais on a envie de "sortir de l'univers" et "forcer" l'argument à être valable. Je n'ai pas trop eu le temps d'étudier comment, mais c'est un de mes désirs de réussir à donner corps à "cette sortie de l'univers"
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@cc J'ai relu 3 ou 4 fois ton dernier post mais je n'ai pas compris (en passant, on ne voit pas ce qu'est $a$, cela doit être
l'élément qui est dans le conducteur). Visiblement cela ``relève de la logique'' et comme je te l'ai dit, je suis ignare en ...
Je suis pourtant sensible à une certaine ``logique des anneaux commutatifs'' : par exemple, je m'impose (par expérience)
de ne pas manier de négations générales (il faudrait que j'insiste sur cet adjectif ``générales'' mais j'ai la flemme et en plus,
je ne saurais quoi dire vraiment). Je me l'impose mais pas aux autres évidemment.
Tu me dis ``je vais réfléchir à cela tranquillement'' mais je ne crois pas que cela te soit possible. Physiquement,
vu tes interventions sur le forum, cela me semble impossible. Tu n'es pas un sur-homme. Si ?
Mais c'est pas grave (que tu n'aies point le temps de réfléchir à mes affaires).
Ce qui m'importe c'est de faire des choses les plus élémentaires possibles. Je te refais encore un coup plus précis
sur le conducteur d'une matrice carrée $M$ d'ordre $n$, mieux que le coup de $c^n$ est multiple de $\det(M)$
(sinon, je vais me faire engu..ler par Fitting). Soient $c_1, .., c_n$ $n$ scalaires dans le conducteur i.e. $c_i A^n \subseteq {\rm Im} M$.
Je dis que le produit $c_1 \cdots c_n$ est multiple de $\det(M)$.
Justification : on écrit qu'il y a un $n$-vecteur $C_i$ tel que $c_ie_i = MC_i$ (of course $e_i$ est la base canonique) donc
avec des notations que l'on devine ${\rm diag}(c_1,\cdots,c_n) = MC$ puis un coup de déterminant.
Certes, je n'ai pas compris ton post, mais j'ai compris que tu comptais beaucoup sur la logique pour parvenir à tes fins.
Alors, comme je suis un bon garçon (sic), j'ai été lire (attentivement) les échanges consacrés à l'algèbre linéaire ainsi que
ton pdf ``Algèbre linaire, L1-L2". Je le dis le plus gentiment du monde : j'ai été effaré, sidéré et parfois même choqué,
peiné (pour toi, le forum, tes collègues). Là, je trouve cela "plus grave".
Regarde ce que tu dis dans certains échanges :
| Bon, je récapitule, car on a bien avancé! Je vous en remercie d'ailleurs. Le
| déterminant est "presque vaincu". Tout a été prouvé en douceur, sans calcul,
| sans inspiration et par la seule "logique". Il ne reste qu'un point non établi
| en se passant du déterminant.
Et puis, de temps en temps, ce coup de la démarche "chien-chien" ...etc... sur les enseignants.
Je n'en cite pas plus car, sorti du contexte, cela pourrait être dangereux. En plus, voir
écrit des choses noir sur blanc, cela peut faire de la peine et j'en ai pas envie.
Il me semble que tu n'es pas assez modéré.
Par ailleurs, dans ton pdf algèbre linéaire, je n'ai pas vu beaucoup de rapport avec l'algèbre linéaire que
j'ai apprise (sur les corps, sur les anneaux). On a quand même l'impression qu'un résultat important
pour toi est : si $A$ n'est pas l'anneau nul, alors il n'y a pas d'injection de $A^{n+1} \to A^n$
(tiens, deux belles négations générales). Tu vois que je prends des précautions : je ne dis pas
``il n'y a pas d'algèbre linéaire dans tes affaires'', encore moins ``WC, pourri ...etc..".
Je dis que l'on ne pratique pas du tout l'algèbre linéaire de la même manière. Mais ce n'est
pas grave.
Quant à Bourbaki, il y a des points sur lesquels je suis d'accord avec toi. Mais, il y aussi des
grands ratages chez lui : par exemple l'algèbre multilinéaire, l'algèbre extérieure et l'algèbre
intérieure. J'ai passé des années à comprendre qu'il y avait deux produits intérieurs :
heureusement, que je suis tombé sur les observations de Chevalley (Bourbaki, rédaction 186,
cote nbr 089, Titre Algèbre Re-éedition du chap III d'Algèbre, 19 pages). Malheureusement, Chevalley n'a
pas été suivi (pour les ré-éditiions, c'est probablement Dieudonné qui a imposé son point de vue).
Donc en toutes choses, y compris sur Bourbaki, de la modération.
Pourrons nous échanger ? J'ai maintenant quelques doutes.
Pardon pour le post de ce midi quelqu'un attendait debout que je libéré le PC. Oui t'inquiète pas tu peux échanger avec moi et je ne comprends pas trop le procès un peu global que tu fais subitement. Au contraire je suis très content d'avoir un pro de l'algèbre commutative qui dialogue avec moi je suis bien plus amateur que tu le crois (et quelle idée d'aller lire mes brouillons. . . mais c'est de ma faute quand j'ai vu que le fichier bugguait j'aurais du le retirer).
a n'est pas un élément du conducteur je reecrirai le post (c'est un peu long)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Précision: je suis multifacettes je peux être excité et caricatural dans les fils politiques et échanger tranquillement dans des fils algébriques t'inquiète. Et je ne fais jamais le malin quand je ne comprends pas je le dis. Par contre je taffe donc poste avec fréquence ecliptique
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@cc Tu dis : procès un peu global que tu fais subitement.
Explication : comme je suis totalement obtus "en logique", pour essayer de mieux comprendre ton point de vue,
j'ai été lire en détails TOUS les échanges sur la question (je dis bien TOUS, n'oublie pas que tu as mis un sommaire, et "en détails").
Ainsi que le pdf en question "Alg lin L1-L2". Avant je n'avais rien pas lu (vu) ces échanges. Et c'est là que j'ai pris connaissance de ..
Bon, si je comprends bie, je vais devoir faire le même parcours pour pouvoir me mettre à ta place et parcourir "mon sommaire"... (Je n'ai pas le souvenir d'avoir fait de la logique dans cette série de fils, je verrai bien). Tu me tortures là (m'obliger à me relire) :-D
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@CLaude: j'ai failli oublier, pardon, je te retape la preuve où j'ai été interrompu.
Preuve INVALIDE: on a une matrice $M\in M_n(A)$ dont le coefficient (1,1) est $a$. On remplace les lignes $L_2,..L_n$ par $aL_i-b_iL_1$ où $b_i$ est le premier coefficient de $L_i$.
On obtient une matrice $N$. On regarde la sous-matrice $P$ obtenue en retirant première ligne et première colonne.
On suppose qu'il existe dans le "conducteur droit" de $P$ un élément $r$ tel que tout idéal qui contient $r$ voit $P$ comme non injective. On écrit ensuite "soit $J$ un idéal. Soit $K:=\{x\in A\mid \exists n\in \N: a^nx\in J\}$.". Pour l'instant, rien d'invalide.
Le passage invalide se trouve ici: on écrit "par hypothèse, $K$ voit la matrice $P$ comme étant liée, ce qui se traduit par l'existence d'une liaison des lignes, ie des $c_i$ non tous dans $K$ tels que blabla"
Ca "lie" bien les lignes de la matrice $M$ (les coefficients obtenus étant les $c_ia, etc$) initiale puisque l'un au moins des $c_i$ vérifie $c_i\notin K$, donc $c_ia\notin J$
Fin de cette preuve INVALIDE
Evidemment l'invalidité réside dans le fait que $K$ ne peut pas grossir indéfiniment (c'est mal dit), ie il se peut que $a^{1206987}\in J$ et que $1\in K$, auquel cas "il faudrait sortir de l'anneau" pour aller chercher des coefficients fictifs non tous dans $K$.
Ce que j'aimerais bien faire, c'est remplacer les "anneaux par autre chose" pour que ce raisonnement "magique" (au sens incorrect) acquiert un vrai contenu.
Remarque: c'est ce raisonnement que j'ai fait dans mon papier (qu'il faut que j'enlève d'ailleurs) mis sur HAL, sauf que j'ai sauvé la partie invalide grâce à un lemme : si une colonne entière ne contient que des nilpotents alors la matrice est liée. Mais il marchait parce que je démontrais un autre énoncé qui était "contenir un régulier dans le conducteur droit ou être superliée" (et n'ayant pas initialisé, j'ai juste prouver l'idiotie vraie que si ça c'est vrai pour les matrices 1×1 alors c'est vrai pour toutes les matrices carrées)
Le problème est que ce sauvetage ne marche pas avec "le bon énoncé"** à cause des quantificateurs (la disjonction est précédée d'un $\forall$)
** qui lui est vrai grace au déterminant par exemple (et qui est vrai pour les 1×1).
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@cc
Merci d'avoir mis à jour ton post. Je comprends pas tout MAIS j'y vois une méthode d'élimination (c'est un signe
de bonne santé). Le mot "logique" tu l'as utilisé quelque part ; d'ailleurs quand j'ai vu, dans ton pdf, que, pour $x$ entier,
$x+1$ est une abréviation de $x \cup \{x\}$, j'en suis pas revenu (toute ma vie j'ai fait sans); je comprends pas ce
que cela vient faire dans ton pdf. Cela m'a rappelé l'article célèbre de Benacereff (What numbers could not be),
que tu connais certainement, avec Ernie (pour qui $x+1 = x \cup \{x\}$) et Johnny (pour qui $x+1 = \{x\}$).
On commencera l'échange dans l'autre sens, si tu veux bien aller vers moi, quand tu auras le temps. Je pourrais
te suggérer comment on montre qu'un élément est nul ou qu'un élément est régulier "via le B-A-BA de la théorie
de la profondeur". Avec application à l'algèbre linéaire sur les anneaux. Si tu veux of course. On est loin
de L1-L2, mais c'est pas moi qui ait commencé.
Merci. J'ai oublié de dire en postant le preuve invalide d'hier que j'ai dans l'idée de faire (ou d'apprendre que ça a été fait) aux anneaux ce que la géométrie projective a fait à la géométrie affine. Et cette histoire de $K$ "dont on pourrait toujours parler même s'il contient $1$" m'y incite un peu.
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Je n'ai pas encore fini de recopier la traduction de l'article dont vous parlez Claude, mais je l'ai souvent mis dans les fils où cc présentait le formalisme, comme quelque chose régissant l'Uni ou Multi- vers.
Je trouve ce texte dans sa globalité, superbe, faudrait un jour que j'achève sa recopie pour l'avoir sous la main quand les EPI viendront au lycée, histoire de travailler avec les professeurs de philosophie (j'adorerais que des heures de philosophie soient consacrées à poser des questions techniques sur le vrai|faux, la preuve en mathématiques car cela manque dans les horaires alloués pour faire le programme de nattes).
Il y a un peu de provocation dans mes propos (j'ai des doutes et ne suis pas le seul sur le bien fondé des EPI dans la réforme du collège) mais pas que.
Ça y est cette fois j'ai réussi (à prouver l'existence d'un régulier dans le conducteur. Mais c'est un peu décevant j'ai utilisé une technique finitiste.
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Détail: pour info x+1 c'est réellement x union { {y dans x | y pas dans y} }. Mais on utilise rarement ça pour les entiers (l'important est que le cardinal soit en harmonie: donc il faut ajouter à x un objet qui n'est pas dedans)
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@samok
A propos de Benaceraff. Je me permets de te tutoyer. Figure-toi que c'est dans un de tes posts (je ne sais plus à quelle occasion) que
j'ai trouvé les 2 pages dont tu parles (E99978-preview.pdf). J'ai trouvé ce texte absolument savoureux. Mais il n'y avait aucune référence.
A tout hasard, j'ai fait une recherche sur le web (en spécifiant "Ernie, Johnny, logic, logique") et je suis tombé sur le fameux
"What numbers coud not be".
Sans tes 2 pages, je n'aurais pas apprécié car trop mauvais en anglais.
Que veux tu dire par "pas encore fini de recopier la traduction de l'article" ? Est ce que c'est toi qui as traduit les 2 pages ?
Est ce que dans le fils de discussion, il y avait eu un écho à tes 2 pages ?
J'aimerais te dire oui, mais c'est non, je ne saurais pas traduire le texte et je te donne la source :
Philosophie des mathématiques
Ontologie, vérité et fondements
chez l'éditeur VRIN
J'ai découvert ce livre avec ce forum, je me suis demandé si le titre, les auteurs se la pétaient ou quoi ?
J'ai été satisfait de voir que non. Cela m'a d'ailleurs réconcilié avec ce mot : "philosophie".
Suis-je parano où y aurait-il un zeste de sarcasme dans ta phrase? De toute façon, je crois que je me suis encore trompé...
Sinon, je réitère une question que j'ai posée ci-dessus, exprimée sous une forme légèrement différente: y a-t-il une géométrie projective des modules (qui serait aux modules ce que les espaces projectives sont aux espaces vectoriels)?
Motivation: l'intérêt des espaces projectifs c'est que l'injectivité-surjectivité est obligatoire. La non injectivité se traduit par le fait que l'application n'est pas définie partout (il y a des trous). Je trouve ça plus sympa de chercher ces trous que de chercher des "dépendances linéaires" à priori.
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@cc
Toi : Suis-je parano où y aurait-il un zeste de sarcasme dans ta phrase? De toute façon, je crois que je me suis encore trompé...
--
Allons, allons.
C'était juste un signe pour dire que j'avais pris connaissance de ton post. J'ignore
la signification de "preuve finitiste". J'ai utilisé "content" car j'ai l'impression
qe la résolution du résultat que tu vises te permettrait peut-être d'être (plus) disponible.
A ce propos de disponibilité (de ta part) et d'éléments réguliers. Je t'ai mentionné
l'existence de techniques (cf mon "On commencera l'échange dans l'autre sens,
si tu veux bien aller vers moi, quand tu auras le temps"). Par exemple, si
$\pmatrix {a\cr b\cr c\cr}$ est la première colonne d'une matrice injective $3\times 3$,
alors ${\rm Ann}(a,b,c) = 0$ donc $a + bt + ct^2 \in A[t]$ est un élément régulier
(th de Dedekind-Mertens) : en voilà, un ``latent nonzero divisor'' à la Hochster-Northcott.
Autre chose : est ce que ce fil ne va pas finir par devenir un échange (?) entre
toi et moi ? Si oui, est ce qu'un autre mode de communication ne serait pas plus
approprié ? Est ce que le résultat que tu vises n'est pas essentiellement ta
préoccupation ? Ce n'est pas trop la mienne et j'ignore si cela concerne les
autres (pas vu beaucoup de posts dans ce sens là).
Toi :
Sinon, je réitère une question que j'ai posée ci-dessus, exprimée sous une
forme légèrement différente: y a-t-il une géométrie projective des modules
(qui serait aux modules ce que les espaces projectives sont aux espaces
vectoriels)?
--
Réitère ? Cela veut dire que tu as déja posé une question ? Pas vu.
Une réponse mais sans conviction : si $A$ est un anneau commutatif, $P^n(A)$, cela a du sens.
Il s'agit des $A$-points du schéma $P^n$ (espace projectif de dim $n$), schéma qui est défini sur $Z$.
Les points de $P^n(A)$ sont les sous-modules de $A^{n+1}$ facteurs directs dans $A^{n+1}$ et de rang 1
(au sens de la théorie des modules projectifs de type fini). J'ai des doutes sur la pertinence de ma réponse
par rapport à ta question.
Toi :
--
Motivation: l'intérêt des espaces projectifs c'est que
l'injectivité-surjectivité est obligatoire. La non injectivité se traduit par
le fait que l'application n'est pas définie partout (il y a des trous). Je
trouve ça plus sympa de chercher ces trous que de chercher des "dépendances
linéaires" à priori.
Là, je comprends rien du tout. Cela donne l'impression que tu attribues
à une théorie (dont tu me demandes si elle existe) des vertus mirifiques.
Je crois que tu t'éloignes de plus en plus de l'algèbre linéaire élémentaire.
@Claude: oui, je cherche un peu tous azimuts sans trop me limiter en général. Evidemment le problème est que je travaille (alimentairement) et suis peu disponible. Mais tu as raison, ce que je vise est bien une série de théorèmes qui ne parlent pas de déterminant et qui impliquent tous les énoncés qui n'en parlent pas non plus et sont bien connus à partir de lui.
Merci pour ton information sur les matrices 3×3 injectives, mais je ne comprends pas: pourquoi t'es-tu restreint aux 3×3? Parce que c'est faux plus généralement? Je ne crois pas, ça fait partie des choses déjà démontrées (et non à démontrer) dans mes divers posts, me semble-t-il, où je chasse le village d'Astérix. (Le conducteur d'un matrice injective est globalement régulier (et réciproquement), on ne peut donc pas annuler une ligne).
Merci pour les autres infos, je vais les lire tranquillement. Je propose une conjecture (probablement fausse) un peu plus forte que le village:
Conjecture:soit $A$ un anneau commutatif, $M\in M_n(A)$. Soit $J$ l'idéal des $r\in A$ tel que $(0,0,...,0,0,r)\in Im(M)$. Alors $J$ est principal.
Concernant le côté public de nos échanges, un forum, c'est fait pour ça justement. Peut-être que ce qu'on raconte fait réfléchir des lecteurs qui de leur côté interviendront une fois abouties leurs réflexions. Par exemple, je doute que quelqu'un ait réussi à prouver de manière simple (et sans déterminant) l'existence d'un élément régulier dans le conducteur d'une matrice injective justement parce qu'avec le bruit fait sinon, il posterait (ce serait méchant de nous priver :-D )
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En ce qui concerne 3, c'était juste pour me simplifier la vie : oui cela fonctionne pour un entier quelconque.
Pour le reste, peut-être faudrait-il que tu "ne raisonnes pas essentiellement
par rapport à tes affaires" ? Il ne s'agit pas de faire des preuves à
n'importe quel prix. J'ai déja mentionné que ce qui compte pour moi, ce sont
des preuves que je qualifie d'élémentaires. Il y a des preuves élémentaires
(en mon sens) de : si $M$ est matrice carrée injective, alors $\det(M)$ est régulier.
Est ce que l'on a pu en parler ? Non : au prétexte que, je te cite "ça fait partie des choses
déjà démontrées (et non à démontrer) dans mes divers posts".
Est ce que je dois en conclure que, par exemple Dedekind-Mertens, cela ne t'intéresse pas ?
Est ce que j'ai pu parler jusqu'à maintenant de suite co-régulière ? Non.
Autre chose : comment se fait-il que tu en sois à ta conjecture numéro je-sais-plus
dans cette histoire ? Est ce que tu as vraîment la maîtrise du conducteur d'une
matrice carrée, notion que tu juges pourtant si naturelle. Dès l'introduction de
cette notion, je pourrais te demander "quid du conducteur de $M$ dans tel cas ?".
Et même demander des exemples.
Je ne le fais pas au cas où tu serais dans l'embarras pour répondre.
Enfin, peut-être que les lecteurs (je ne suis pas sûr qu'il y en ait) s'en
fichent complètement de disposer d'une preuve (sans déterminant)
du résultat que tu vises ?
Oubli : à propos de ta dernière conjecture. Je prends $A = k[X,Y]$ et $M = \pmatrix {0 & 0\cr X & Y\cr}$.
C'est quoi ${\rm Im} M$? Réponse $AXe_2 + AYe_2$. Cela veut dire quoi, pour $r \in A$ que $r e_2 \in AXe_2 + AYe_2$?
Tout simplement que $r \in AX + AY$. Bilan ? Est ce que mon exemple est très technique ?
Est ce que de temps en temps, tu prends des exemples simples ?
Merci, ton exemple est parfait (je m'étais aperçu de la bêtise de la conjecture juste après avoir déconnecté). Pour des preuves élémentaires de la régularité du déterminant les formes alternées marchent très bien.
J'ai une nouvelle conjecture (mais apparemment tu n'apprécies pas spécialement les conjectures trop fréquentes :-D): si $M$ est une matrice ayant $n$ lignes et $p$ colonnes et $n\neq p$ alors il y a une combinaison linéaires des lignes donnant $0$ telle que tout idéal qui contient les coefficients de la combinaison voit les colonnes comme étant liées.
Est ce que je dois en conclure que, par exemple Dedekind-Mertens, cela ne t'intéresse pas ?
Est ce que j'ai pu parler jusqu'à maintenant de suite co-régulière ? Non.
Si ça m'a l'air intéressant, mais je n'avais pas compris que c'était un résultat général, je croyais que ce que tu énonçais était le résultat et non que c'en était un corollaire. Bien sûr que oui, je veux bien que tu en parles!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ton avant dernière conjecture (dont la conclusion est $J$ principal) équivalait en fait à : est ce que tout idéal $J$ de type fini
est principal ? On ne doit pas avoir la même notion de "conjecture".
Ta dernière conjecture n'est pas C.Q.-admissible (elle contient une négation générale). Désolé, je ne peux pas jouer avec.
Mais bien sûr, les autres, toi ... vous pouvez jouer. L'avant dernière conjecture était sous une forme admissible mais
l'hypothèse était trop générale avec une conclusion incrédible (lorsque l'on a un peu d'habitude en algèbre commutative).
J'ai quelques principes : le premier c'est d'avoir la main sur les objets quand je débute dans une théorie. En cas d'ennuis,
je peux alors contrôler si je ne fais pas de contre-sens ...etc.. Ennuis == quand-je-ne-comprends-pas, c'est-à-dire 9/10.
Il suffit d'essayer de lire le chap 10 d'Algèbre commutative de Bourbaki (les 5 premières pages) pour comprendre ce
que veut dire ennui. Avoir la main me permet de programmer par exemple (ce que je pratique beaucoup).
Ainsi la définition ${\rm Cond}(M)$ du conducteur d'une matrice carrée $M$ POURRAIT être problématique pour moi
car ce n'est pas un idéal de type fini, donc par principe, je m'en méfie. Mais je peux quand même jouer avec car cet
idéal est défini par un procédé fini.
Si un débutant me demande : est ce que $\det(M+M') = \det(M) + \det(M')$ pour des matrices $2\times 2$, je vais
pouvoir rapidement lui répondre. Si ce débutant me demande : est ce que ${\rm Cond}(M) = {\rm Cond}(^t\,M)$, je vais
être tout de suite gêné (of course, le débutant en question, c'est moi au début). Est ce que c'est vrai si $\det(M)$ est
régulier ? S'il me demande (parce qu'il n'a pas bien compris tel truc et qu'il veut vérifier si ..) : comment calcule-t-on le
conducteur d'une matrice carrée $2\times 2$, $3 \times 3$, $n \times n$ sur l'anneau $Z$ (qui est principal) ? J'ai intérêt à avoir réfléchi avant.
Idem en ce qui concerne la question : quel est le conducteur de la matrice carrée $k$-générique ? I.e. $A = k[n^2\ \rm indets]$,
($k$ anneau quelconque).
Si je ne contrôle pas les objets de base quand je débute (c.a.d. souvent), cela pourra aller très mal pour moi.
Il faut que je puisse m'auto-contrôler. Ce que je raconte n'a aucun intérêt pour les personnes qui comprennent tout.
Je parle essentiellement de ma pratique. Chacun fait comme il veut.
Convenons de dire qu'une suite $a = (a_1, \ldots, a_n)$ de scalaires d'un anneau $A$ est co-régulière si ${\rm Ann}(a_1, \ldots, a_n) = 0$.
Attention : c'est juste une commodité ici car pas en accord avec le chapitre 10 (Algèbre homologique) de Bourbaki
dans lequel co-régulière est dual de régulière. On dit aussi que $a$ est de profondeur $\ge 1$.
Exercice : soit $x \in A$ et $(a_1, \ldots, a_n)$ une suite co-régulière. Alors $x=0$ si et seulement si $x = 0$ dans chaque localisé $A[1/a_i]$.
Application : soient $v_1, \ldots, v_n$ $n$ vecteurs de $A^n$ linéairement indépendants et $\mu : A^n \to A$ une forme linéaire nulle sur
chaque $v_i$. Alors $\mu = 0$. Ceci est une manière de raconter que si les colonnes d'une matrice carrée sont indépendantes, il en est
de même des lignes.
Justification-sketch de l'application. Les composantes de $v_1$ forment une suite co-régulière (why ?). Pour montrer $\mu = 0$, il suffit de le
faire sur chaque localisé obtenu en inversant chaque composante de $v_1$. Sur $A[1/v_{1,1}]$, par exemple, on peut faire pour $i \ge 2$,
$v'_i := v_i - \lambda_i v_1$ de sorte que le premier coefficient de $v'_i$ soit nul. La forme linéaire $\mu$ est nulle en $v'_2, \ldots, v'_n$
qui sont linéairement indépendants dans $(A[1/v_{1,1}])^{n-1}$. Par récurrence, $\mu$ est nulle en $e_2, \ldots, e_n$ et enfin sur $v_1$.
Tout ceci s'est passé au dessus du localisé $A[1/v_{1,1}]$. Idem pour $A[1/v_{2,1}]$ (deuxième coefficient de $v_1$)... etc..
@cc Oubli
Tu dis : "pour des preuves élémentaires de la régularité du déterminant les formes alternées marchent très bien" (i.e. si
$M$ est carrée injective alors $\det(M)$ est régulier). Oui, bien sûr, tu dois te douter que je connais cette approche
(sinon, je serais gonflé de faire quelques remarques sur ceci ou cela).
Par contre, cela n'empêche pas d'avoir une deuxième preuve élémentaire et pourquoi pas une troisième preuve
élémentaire. Histoire d'apprendre un peu de maths. Et il y en a (d'autres preuves élémentaires).
A vrai, dire retrouver où est écrite (dans les pdf ou les posts) cette preuve via les formes alternées est devenu un
peu compliqué : car y'en a partout et tous les moyens sont bons pour parvenir à ses fins (Zorn, idéaux premiers,
raisonnement par l'absurde ..etc..). Avec un peu d'habitude, on détecte assez vite pourquoi on en arrive là
(négations générales ...etc...). Bien sûr, chacun a sa pratique, conduit ses maths comme il veut. Moi, je
m'en fiche. Par contre, il n'est absolument pas question, mais pas question, que mon petit fils apprenne l'algèbre linéaire
dans ce fourbi. En fait, le problème ne se pose pas car il est trop jeune.
@CLaude: la preuve avec les formes alternées n'est pas de moi, mais de plusieurs intervenants qui l'ont postée plusieurs fois dans le passé, je chercherai un lien ou la réécrirai.
Pour des preuves élémentaires avec déterminant, comme tu dis il y en a plusieurs. En fait toutes, je pense, repose sur le fait que la nullité du déterminant entraine la liaison (le passage par un annulateur pour atteindre le cas général est évident).
Ma dernière conjecture est effectivement bizarre, mais je vais créer un fil indépendant, car qu'elle soit vraie ou fausse, elle fait apparaitre des ensembles de couples d'entiers qui ne sont pas très clairs (par exemple, c'est trivial pour la dimension 2×1 ou 4×1, mais ça ne l'est pas (et c'est même peut-être faux) pour la dimension 3×1.
Concernant l'implication lignes liées => colonnes liées (dans une matrice carrée), on l'a sans passer par des lemmes techniques. En fait on a que pour toute matrice carrée, elle est injective ssi son conducteur contient une partie finie $F$ telle que $F$ est corégulier dans le sens où tu l'entends
Effectivement, dans un post précédent tu disais qu'il existe une "géométrie projective" avec les anneaux généraux. Prenons un anneau commutatif $A$. Les points de $E$ sont les droites vectorielles de $A^3$ et les droites de $E$ sont les plans vectoriels de $A^3$. Et on a que deux droites de $E$ se coupent toujours (mais apparemment pas forcément en un seul point). C'est ça?
Récupère-t-on des axiomes d'incidence intéressants?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Encore une conjecture trop belle pour être vraie. Soit $A$ un anneau pour qui la relation $Annul(x)\subset Annul(y)$ coincide avec $x| y$. Soit des éléments $b,a_i$ tels que $Annul(b)\supset Annul(a_1)\cap ..\cap Annul(a_k)$. A-t-on forcément $b\in Aa_1+..Aa_k$?
Si (ce dont je doute quelque peu, mais c'est à voir) c'est oui, alors le village d'Astérix en est un corollaire "sans fatigue".
En voici une autre. Soient $A,B$ tels que $B$ est un anneau unitaire pas forcément commutatif et $A$ un sous-anneau commutatif de $B$. Soit $P$ un polynome unitaire à coefficients dans $A$, de degré $n$ et $z\in B$ tel que $P(z)=0$. On suppose de plus que $(x\mapsto zx)$ est injective de $B$ dans $B$ et qu'aucun polynôme unitaire à coefs dans $A$ de degré $<n$ n'annule $z$. A-t-on forcément que les coefficient constant de $P$ est régulier?
edit: j'avais fait une confusion
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@cc Tu dis "dans un post précédent tu disais qu'il existe une "géométrie projective" avec les anneaux généraux."
Absolument pas, je n'ai jamais dit cela ! J'ai simplement dit que le schéma $P^n$ est défini sur $Z$ et j'ai
précisé quels sont ses $A$-points (les bons sous-espaces de rang $1$ de $A^{n+1}$). J'ai précisé "bon".
Ensuite, tu dis " Prenons un anneau commutatif A. Les points de $E$ sont les droites vectorielles de $A^3$ et les droites de $E$
sont les plans vectoriels de $A^3$. Et on a que deux droites de E se coupent toujours
(mais apparemment pas forcément en un seul point). C'est ça?"
C'est quoi $E$ ? Un bon sous-espace de rang 1 n'est pas une droite (en général ce n'est pas un module libre) : un schéma doit
vérifier des conditions de recollement et la condition "être un sous-espace libre de dim 1" n'est pas locale-globale.
Quant au reste, ma réponse est ???? (je suis gentil). Peut-être que de temps en temps, tu devrais ouvrir un livre de maths ?
@Claude, je pensais à voix haute pour cette histoire de géométrie projective. Mais ce qui m'importe c'est un ensemble d'axiome d'incidences. Je ne sais pas ce qu'est un schéma. Je n'ai aucune culture en algèbre commutative ou en algèbre linéaire (ou en géométrie algébrique).
Quant au reste, ma réponse est ???? (je suis gentil). Peut-être que de temps en temps, tu devrais ouvrir un livre de maths ?
Attention :-D tu attrapes le virus du forum (qui est de parler durement). Je n'ai pas hélas pas de livre [small](enfin j'en ai que je pourrais tenter de lire (ce ne sont pas le bons je pense), mais ils sont à ma cave et je n'ai plus de lumière dedans pour les sélectionner, la copro changera probablement les ampoules un jour)[/small]
Ci-dessous, je tente un résumé de peut-être comment envahir le V d'Astérix. Soit $M\in M_n(A)$ injective. On peut supposer**** que pour tous éléments $u,v$ de $A$ si $Annul(u)\subset Annul(v)$ alors $u$ divise $v$. Ca entraine entre autre que tout élément régulier de $A$ est inversible.
**** ce serait à justifier
Soit $r$ un élément non nul du conducteur et par exemple $C$ une colonne telle que $MC = (r,0,0,...,0)$. Si $er=0$ alors $eC=0$. Donc il existe une colonne $D$ telle que $C=rD$. Soit $(u,\epsilon_2,..,\epsilon_n):=MD$. On obtient $r=ru$; $r\epsilon_i=0$ et $r(1-u)=0$. Dans la suite on note $u(r)$ le $u$ ainsi obtenu.
Soit $K$ l'idéal des $x$ tels qu'il existe $r_1,..,r_p$ dans le conducteur de $M$ vérifiant $x(1-u(r_1))(1-u(r_2))...(1-u(r_p))=0$ (***). On remarque qu'il contient le conducteur de $M$.
Soit $Z$ l'ensemble des $x\in A$ tels que pour tout $V\in A^n$, il existe $U\in A^n$ tel que $MU-V\in K^n$. Autrement dit, $Z$ est "le conducteur de $M$ tel que le voit $A/K$".
Comme $M$ est vue injective par $A/K$, il existe $t\in Z\setminus K$. Soit par exemple $C\in A^n$ tel que $MC=(t,o_2,.., o_n)$, les $o_i$ étant dans $K$. Soit $p$ un produit de la forme (***) qui annule les $o_i$, ie on obtient $M(pC) = (pt,0,..,0)$. Bref, on obtient une contradiction car on peut le faire pour chaque coordonnée, donc on établit que $t$ est dans le vrai conducteur de $M$ donc qu'il est dans $K$.
Finalement, il existe $r_1,..,r_q$ dans le conducteur de $M$ tels que $(1-u(r_1))...(1-u(r_q)) = 0$, ce qui montre que $1$ est dans l'idéal engendré par $u(r_1),..,u(r_q)$. Autrement dit, il existe une colonne $C$ et des $o_i$ telle que $MC = (1,o_2,..,o_n)$. Oups, j'améliorerai ça, j'ai dû rater un épisode, j'ai oublié d'annuler les $o_i$ avant d'arriver là...
A modifier
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C'est bon j'ai réussi, mais ma dyscalculie m'a grandement handicapé. En fait, il y a un petit calcul à faire qui est du niveau des toutes petites classe et qui... classe l'affaire.
Dans un anneau $A$ quelconque (commutatif), on ne risque rien à prendre certaines fractions, mais pas n'importe lesquelles. On a le droit d'utiliser $\frac{a}{b}$ uniquement quand $b$ est non nul (évidemment :-D ) et $Annul(b)\subset Annul(a)$. Ce qu'il y a de formidable alors est qu'on peut additionner, multiplier des fractions selon les règles habituelles dans rien casser (ie sans annuler un élément non nul). On peut aussi diviser deux fractions sous les mêmes conditions.
Au final, on peut toujours supposer que $a|b$ ssi $Annul(a)\subset Annul(b)$ (enfin toujours, en tout cas, pour certaines activités). Et là, l'élément régulier du conducteur d'une matrice injective vient tout seul. A vrai dire, dans un tel anneau une matrice injective est toujours bijective.
Preuve: soit $Z$ le conducteur de $M$ injective (j'appelle $A$ l'anneau). Ce qu'il y a de remarquable c'est que si $C$ est une colonne et $MC=(r,0,0,..,0)$ alors il existe une colonne $D$ telle que $C=rD$. Il s'ensuit que le conducteur dans $M$ vu par l'anneau $A/Z$ est.. encore $Z$ lui-même. Il ne s'agrandit pas. Par conséquent $M$ n'est pas injective vue par l'anneau $A/Z$, puisqu'elle a un conducteur nul. Mais ça c'est une contradiction. La seule porte de sortie, c'est que $Z=A$. On obtient donc une fraction égale à $1$ dans le conducteur de $M$. Et le numérateur (ou le dénominateur peu importe) de cette fraction est un élément régulier du conducteur de $M$.
Je donne juste une indication rapide des calculs :-X qui me sont toujours difficiles qui justifient ça. La fraction produit $\frac{ab}{uv}$ est légitime ou a un numérateur nul. Soit en effet $euv=0$. Alors $eav = 0$ alors $eab=0$.
La fraction somme $\frac{ay+bx}{xy}$: soit $exy=0$. Alors $ebx=0$. De même $eay=0$ et finalement $e(ay+bx)=0$. Etc, etc..
Comment s'appelle la procédure d'enrichissement de cet anneau?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ou faire "fraction rings" sous un moteur de recherche.
Surtout, surtout, cesse de spécifier tes contraintes du type $\ne 0$ : fais au moins confiance aux professionels,
ici à Chevalley qui a inventé, en 1944, la localisation générale (dans les anneaux non intègres, avec des dénominateurs
absolument quelconques, généralisant le travail de Grell en 1926).
Tu peux aussi essayer de m'écouter quand je dis qu'il n'y a pas que ton conducteur dans la vie. Sais tu
qu'un article important de Fitting date de 1937 ? Sais tu que tu aurais dû faire porter le conducteur,
non pas sur $M$, matrice quelconque $M : A^m \to A^n$, mais sur son image ${\rm Im} M$ puisqu'il
s'agit de l'annulateur de $A^n / {\rm Im} M$; ainsi on voit que c'est invariant par équivalence et
en fait bien plus que cela !
Concernant l'implication lignes liées => colonnes liées (dans une matrice carrée), on l'a sans passer par des lemmes techniques. En fait on a que pour toute matrice carrée, elle est injective ssi son conducteur contient une partie finie F telle que F est corégulier dans le sens où tu l'entends
Cela voulait dire quoi ta réponse ? Pourquoi "lemmes techniques" ? Où est l'échange, Christophe ?
As tu montré un intérêt pour le résultat là-haut ? Sais tu que c'est encore vrai si on remplace $x=0$
par $x$ régulier ? En passant : tous les résultats que je t'ai donnés sont des résultats relativement
classiques en algèbre commutative (là haut, le B-A-BA de la notion de recollement en profondeur $\ge 1$).
Je suis vraiment désolé mais je considère que, depuis le début, l'échange (?) a été unilatéral.
Pour moi, tu ne t'intéresses qu'à tes affaires.
Tu m'as donné une référence (sur le forum) pour le résultat que tu cites.
Je te signale que tout matheux qui travaille sur les anneaux connaît évidemment ce résultat.
En passant, ce résultat n'est évidemment absolument pas au niveau L1-L2 ni au niveau Agrégation.
Est en ce qui concerne $(1,3)$ bleu ou pas bleu, cela t'intéresse de savoir quelle est mon approche ?
Tu es bien sévère avec moi. Que de reproches. Oui je te lis avec attention. Mais tu fais référence à beaucoup de choses extérieures que je ne connais pas. Ça permet de capitaliser en documentation mais je ne peux suivre et comprendre tout et tout de suite. Il y a des choses sur lesquelles je me promets de revenir etc.
vec
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai lu les pages 4,5 du chap0 comme tu me l'avais suggéré. Mais je connaissais un peu (un peu!) ça. Mais le déterminant est admis dans le lemme de Nakayama dans sa version pure (si JM=M alors $\exists a\in J: (1+a)M=0$).
Il ne parle pas des propriétés des matrices injectives. Par ailleurs, page3, il prouve que si $M\in M_n(A)$ est surjective alors elle est bijective, mais en fait, ceci découle d'un background bien plus faible (j'ai donné une preuve plus haut, je la remets):
Par noethérianité (pour la matrice générique dans l'anneau $\Z[X_{11},..,X_{nn}]$, il existe un polynôme unitaire $P$ qui annule $M$. Soit $N$ telle que $MN=1$. Alors en multipliant $P(M)$ par une puissance convenable $p$ (le degré de $P$) de $N$ à droite, on obtient $1+a_1N+..+a_pN^p$, ce qui donne une matrice $H$ telle que $1=NH$. Et on termine en remarquant que $H=MNH=N$ donc que $NM=1$.
Ces 4 lignes triviales me semblent sans commune mesure avec la difficulté qu'il y a à gérer les injectives. (Remarque: on ne peut pas faire le même raisonnement en échangeant gauche droite car on ne peut pas dire "soit $N$ telle que $NM=1$", quand $M$ est injective (exemple la fonction $n\mapsto 2n$ de $\Z\to \Z$))
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
En fait, je voulais juste dire page 5 (Localisation ou anneau de fractions).
Bien lu ton coup de surjectif. Mais moi, je ne tiens pas trop à noethérien pour ma propre gouverne
(bien sûr, dans le cadre de l'enseignement, j'ai pas d'hésitation, ici je parle pour moi).
J'ai besoin de construire $P$ ...etc.. J'ai besoin d'avoir la main sur tout si je peux.
Pourquoi ? Parce qu'un jour ou l'autre, en faisant je-sais-pas-quoi, on est dans la m.rde (cf l'autre discussion).
Car on comprend PAS tel truc .. On sait pas si machin est vrai ou faux. Moi, tous les jours je suis dedans
(la m.rde) car je connais pas l'objet que je veux comprendre.
Et rapidement, je dois vérifier si tel truc est tangible ou pas (est ce que j'ai bien pigé ou rien du tout).
Et en cas de besoin, je vais être content qu'une personne ait donné une preuve effective de ...
Et tu te rends bien compte, que ton énoncé c'est du petit lait car les objets qui y interviennent sont
totalement élémentaires. Et on fait les malins pour pas utiliser le déterminant. Mais en alg. comm. que
tu connais pas, tu tombes pas sur du petit lait. Quand tu essaies de comprendre la théorie de la
profondeur ds Bourbaki qui attaque par le foncteur Ext, là tu rigoles plus. Idem quand tu essaies
de comprendre ce qu'est une algèbre étale (au dessus d'un anneau QUELCONQUE) ou une
algèbre lisse (au dessus d'un anneau QUELCONQUE, les deux sont des inventions extraordinaires de Groth.)
Encore une fois, cela ne concerne que moi.
Je peux fournir un certain nombre d'objets que je comprends pas.
Je vois que tu t'inscris dans une promotion (je ne sais pas quel mot employer) d'une sorte de constructivisme (ou plutôt qu'à titre personnel tu souhaites du constructivisme dans les preuves). Je ne sais pas si ça te passionnera (et puis tu as pas mal d'autres trucs à faire j'imagine), mais, par exemple, les machines de Krivine exécutent toutes les preuves de maths.
Autrement dit, il n'y a de frontière qu'apparente qui sépare le constructivisme du reste (en un certain sens toutes les preuves sont constructives, dès lors qu'on dispose d'un bon pc et du matos Krivinien, etc).
Si un jour cette recherche t'intéresse, ça te fait un nom et des mots. Il n'y a pas tellement d'alternatives. Trop de chercheurs en correspondance de Curry Howard*** ont voulu coder trop tôt, trop vite (et désirent trop de reconnaissance), et ont donc drastiquement tordu artificiellement ce que la théorie proposait: du coup on se retrouve souvent avec des logiciels qui n'acceptent que les preuves constructives (qui sont hélas les moins plaisantes et les moins mystérieuses, alors que ce sont surtout les autres qu'on voudrait voir exécutées)
*** c'est une spécialité qui s'appuie sur la découverte que toute preuve est un programme, appelée (à tort) l'isomorphisme de Curry-Howard.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
et j'ai envie de te poser quelques questions autour de cela (même si nos points de vue sont probablement différents).
(1) Est ce que ta définition initiale du déterminant n'est pas trop "naïve" ?
(2) Pourquoi n'y figurent pas les 36 visages de "la formule de Cramer" ? Par exemple, celle que j'ai
donnée dans l'autre fil (en dim $3$ pour faire simple)
$$
\det(v_1,v_2,v_3) v = \det(v,v_2,v_3)v_1 + \det(v_1,v,v_3)v_2+ \det(v_1,v_2,v)v_3
$$
Cela pourrait remplacer avantageusement ta propriété 1 (le déterminant est productible par la matrice)
car l'identité ci-dessus est beaucoup plus précise que ta propriété 1.
(3) Avais tu vu la "formule de Cramer" ci-dessus dans l'autre fil ? Ou alors, estimes tu que
c'est hors-sujet ? i.e. ce n'est pas ton point de vue ...etc... et cela n'a rien à faire dans ton
"enquetedeterminant.pdf" ?
(4) Soit $M$ une matrice carrée. J'ai l'impression que tu juges difficile l'énoncé suivant :
$M$ est injective si et seulement si $\det(M)$ est régulier. Et s'il y avait une
preuve assez simple "quelque part" de ce fait. Y as tu pensé ? Ici, il y a une allusion
à tes propriétés 4 et 5.
C'est quand on ne l' a pas. . .
ou dans ce que tu viens de me dire à l'instant. Dans ma manière d'énoncer (4), il n'y a pas de négation.
En passant (rien à voir). Soit $M$ une matrice carrée $n \times n$ et $c$ dans le conducteur de $M$ i.e. $cA^n \subseteq {\rm Im} M$.
Alors $c^n$ est multiple de $\det(M)$, énoncé plus précis que ton théorème 3 (à cause de l'exposant sur $c$). Justification :
par définition, il existe une matrice carrée $N$ $n \times n$ telle que $cI_n = MN$. Un coup de déterminant donne $c^n = \det(M) \det(N)$
(j'ai utilisé que le déterminant d'un produit de deux matrices est le produit des déterminants des matrices).
J'ai une petite préférence pour cette preuve (sensibilité).
anneaux commutatifs quelconques $A$, disons des applications linéaires entre $A$-modules libres). Le
truc que j'ai donné est un cas particulier des relations qui existent entre l'annulateur d'un $A$-module de
présentation finie et son $0$-Fitting. J'ai déjà prononcé le nom Fitting (et Northcott).
Et aussi le fait de "revenir sur terre". Alors que j'ai vu, dans ton pdf, "lemme de Zorn" : conséquence des
énoncés avec négation.
Une coquille dans la deuxième partie de ta propriété 6 : Autrement dit si $f : A^n \to A^p$ est une application
linéaire injective, alors $n \le p$ (au lieu de $p \le n$) ou $1_A = 0_A$. Mais peut-être que ma version
n'est pas à jour ?
En voilà, un énoncé sans négation (ou presque); si on veut virer ce "ou", la conclusion est $X^n$ divise $X^p$ dans $A[X]$.
J'ai essayé de réfléchir à la nature d'une preuve montrant l'existence d'un élément régulier dans le conducteur
d'une matrice carrée injective. Je dis bien "réfléchir à la nature d'une preuve" et pas "réfléchir à une preuve".
En l'appliquant au cas de la matrice générique $2\times 2$ sur $Z$ (ou $3 \times 3$ sur $Z$). Je ne sais pas
quoi en penser ; sachant, dans le cas générique, que l'idéal conducteur est engendré par le déterminant, il faudrait
qu'une telle preuve soit hautement non constructive si on veut qu'elle ne réinvente pas le déterminant.
Espérons qu'à l'avenir, tu puisses prendre des bains de manière plus apaisée.
PS : après deux heures de marche (chacun son truc), il semble qu'il y ait bien une preuve sans déterminant ...
Mais cette preuve le réinvente (ou presque).
Elle le redécouvrira probablement mais en douceur et à la fin. Ce n'est pas grave, du moment qu'on fait bien semblant de ne pas le connaitre.
C'est inoffensif puisque les énoncés considérés sont calculatoires du 1er ordre. Dès lors qu'on les a prouvé, on sait qu'il y a un simple calcul qui les donne (et il suffira d'ailleurs "d'exécuter la preuve"), puisqu'ils sont de la forme $\forall ... P$ où $P$ est une formule sans quantificateur, le tout écrit dans la théorie des anneaux (pour être même plus précis, on obtient un $P$ de la forme $H\to (0=1)$)
A vrai dire, ce qui m'intéresse peut-être le plus est de trouver (un peu à la manière dont la géométrie passe de l'affine au porjectif) une façon d'exprimer la liaison dans... les anneaux triviaux. Autrement dit, de construire un environnement dans lequel la preuve INVALIDE suivante marche:
Preuve [large]invalide:[/large] on prouve l'énoncé "il existe un élément dans le conducteur tel que tout idéal qui le contient ressent la matrice comme liée" par récurrence. On procède de manière banale en ramenant à une sous-matrice n-1 P la matrice de départ (our une récurrence). On dit alors "soit J un idéal". Soit $K$ l'ensemble des éléments $x$ de l'anneau tels que $\exists n\in \N: a^nx=0$. Le truc est vrai pour P donc K voit P liée, donc banalement J voit M liée"
L'invalidité de cette preuve vient du fait que K peut contenir 1 (les coefficients de liaison devraient alors être magique (plus 1 que 1 lui-même in some sense). Mais on a envie de "sortir de l'univers" et "forcer" l'argument à être valable. Je n'ai pas trop eu le temps d'étudier comment, mais c'est un de mes désirs de réussir à donner corps à "cette sortie de l'univers"
l'élément qui est dans le conducteur). Visiblement cela ``relève de la logique'' et comme je te l'ai dit, je suis ignare en ...
Je suis pourtant sensible à une certaine ``logique des anneaux commutatifs'' : par exemple, je m'impose (par expérience)
de ne pas manier de négations générales (il faudrait que j'insiste sur cet adjectif ``générales'' mais j'ai la flemme et en plus,
je ne saurais quoi dire vraiment). Je me l'impose mais pas aux autres évidemment.
Tu me dis ``je vais réfléchir à cela tranquillement'' mais je ne crois pas que cela te soit possible. Physiquement,
vu tes interventions sur le forum, cela me semble impossible. Tu n'es pas un sur-homme. Si ?
Mais c'est pas grave (que tu n'aies point le temps de réfléchir à mes affaires).
Ce qui m'importe c'est de faire des choses les plus élémentaires possibles. Je te refais encore un coup plus précis
sur le conducteur d'une matrice carrée $M$ d'ordre $n$, mieux que le coup de $c^n$ est multiple de $\det(M)$
(sinon, je vais me faire engu..ler par Fitting). Soient $c_1, .., c_n$ $n$ scalaires dans le conducteur i.e. $c_i A^n \subseteq {\rm Im} M$.
Je dis que le produit $c_1 \cdots c_n$ est multiple de $\det(M)$.
Justification : on écrit qu'il y a un $n$-vecteur $C_i$ tel que $c_ie_i = MC_i$ (of course $e_i$ est la base canonique) donc
avec des notations que l'on devine ${\rm diag}(c_1,\cdots,c_n) = MC$ puis un coup de déterminant.
Certes, je n'ai pas compris ton post, mais j'ai compris que tu comptais beaucoup sur la logique pour parvenir à tes fins.
Alors, comme je suis un bon garçon (sic), j'ai été lire (attentivement) les échanges consacrés à l'algèbre linéaire ainsi que
ton pdf ``Algèbre linaire, L1-L2". Je le dis le plus gentiment du monde : j'ai été effaré, sidéré et parfois même choqué,
peiné (pour toi, le forum, tes collègues). Là, je trouve cela "plus grave".
Regarde ce que tu dis dans certains échanges :
| Bon, je récapitule, car on a bien avancé! Je vous en remercie d'ailleurs. Le
| déterminant est "presque vaincu". Tout a été prouvé en douceur, sans calcul,
| sans inspiration et par la seule "logique". Il ne reste qu'un point non établi
| en se passant du déterminant.
Et puis, de temps en temps, ce coup de la démarche "chien-chien" ...etc... sur les enseignants.
Je n'en cite pas plus car, sorti du contexte, cela pourrait être dangereux. En plus, voir
écrit des choses noir sur blanc, cela peut faire de la peine et j'en ai pas envie.
Il me semble que tu n'es pas assez modéré.
Par ailleurs, dans ton pdf algèbre linéaire, je n'ai pas vu beaucoup de rapport avec l'algèbre linéaire que
j'ai apprise (sur les corps, sur les anneaux). On a quand même l'impression qu'un résultat important
pour toi est : si $A$ n'est pas l'anneau nul, alors il n'y a pas d'injection de $A^{n+1} \to A^n$
(tiens, deux belles négations générales). Tu vois que je prends des précautions : je ne dis pas
``il n'y a pas d'algèbre linéaire dans tes affaires'', encore moins ``WC, pourri ...etc..".
Je dis que l'on ne pratique pas du tout l'algèbre linéaire de la même manière. Mais ce n'est
pas grave.
Quant à Bourbaki, il y a des points sur lesquels je suis d'accord avec toi. Mais, il y aussi des
grands ratages chez lui : par exemple l'algèbre multilinéaire, l'algèbre extérieure et l'algèbre
intérieure. J'ai passé des années à comprendre qu'il y avait deux produits intérieurs :
heureusement, que je suis tombé sur les observations de Chevalley (Bourbaki, rédaction 186,
cote nbr 089, Titre Algèbre Re-éedition du chap III d'Algèbre, 19 pages). Malheureusement, Chevalley n'a
pas été suivi (pour les ré-éditiions, c'est probablement Dieudonné qui a imposé son point de vue).
Donc en toutes choses, y compris sur Bourbaki, de la modération.
Pourrons nous échanger ? J'ai maintenant quelques doutes.
Cordialement.
a n'est pas un élément du conducteur je reecrirai le post (c'est un peu long)
Explication : comme je suis totalement obtus "en logique", pour essayer de mieux comprendre ton point de vue,
j'ai été lire en détails TOUS les échanges sur la question (je dis bien TOUS, n'oublie pas que tu as mis un sommaire, et "en détails").
Ainsi que le pdf en question "Alg lin L1-L2". Avant je n'avais rien pas lu (vu) ces échanges. Et c'est là que j'ai pris connaissance de ..
Preuve INVALIDE: on a une matrice $M\in M_n(A)$ dont le coefficient (1,1) est $a$. On remplace les lignes $L_2,..L_n$ par $aL_i-b_iL_1$ où $b_i$ est le premier coefficient de $L_i$.
On obtient une matrice $N$. On regarde la sous-matrice $P$ obtenue en retirant première ligne et première colonne.
On suppose qu'il existe dans le "conducteur droit" de $P$ un élément $r$ tel que tout idéal qui contient $r$ voit $P$ comme non injective. On écrit ensuite "soit $J$ un idéal. Soit $K:=\{x\in A\mid \exists n\in \N: a^nx\in J\}$.". Pour l'instant, rien d'invalide.
Le passage invalide se trouve ici: on écrit "par hypothèse, $K$ voit la matrice $P$ comme étant liée, ce qui se traduit par l'existence d'une liaison des lignes, ie des $c_i$ non tous dans $K$ tels que blabla"
Ca "lie" bien les lignes de la matrice $M$ (les coefficients obtenus étant les $c_ia, etc$) initiale puisque l'un au moins des $c_i$ vérifie $c_i\notin K$, donc $c_ia\notin J$
Fin de cette preuve INVALIDE
Evidemment l'invalidité réside dans le fait que $K$ ne peut pas grossir indéfiniment (c'est mal dit), ie il se peut que $a^{1206987}\in J$ et que $1\in K$, auquel cas "il faudrait sortir de l'anneau" pour aller chercher des coefficients fictifs non tous dans $K$.
Ce que j'aimerais bien faire, c'est remplacer les "anneaux par autre chose" pour que ce raisonnement "magique" (au sens incorrect) acquiert un vrai contenu.
Remarque: c'est ce raisonnement que j'ai fait dans mon papier (qu'il faut que j'enlève d'ailleurs) mis sur HAL, sauf que j'ai sauvé la partie invalide grâce à un lemme : si une colonne entière ne contient que des nilpotents alors la matrice est liée. Mais il marchait parce que je démontrais un autre énoncé qui était "contenir un régulier dans le conducteur droit ou être superliée" (et n'ayant pas initialisé, j'ai juste prouver l'idiotie vraie que si ça c'est vrai pour les matrices 1×1 alors c'est vrai pour toutes les matrices carrées)
Le problème est que ce sauvetage ne marche pas avec "le bon énoncé"** à cause des quantificateurs (la disjonction est précédée d'un $\forall$)
** qui lui est vrai grace au déterminant par exemple (et qui est vrai pour les 1×1).
Merci d'avoir mis à jour ton post. Je comprends pas tout MAIS j'y vois une méthode d'élimination (c'est un signe
de bonne santé). Le mot "logique" tu l'as utilisé quelque part ; d'ailleurs quand j'ai vu, dans ton pdf, que, pour $x$ entier,
$x+1$ est une abréviation de $x \cup \{x\}$, j'en suis pas revenu (toute ma vie j'ai fait sans); je comprends pas ce
que cela vient faire dans ton pdf. Cela m'a rappelé l'article célèbre de Benacereff (What numbers could not be),
que tu connais certainement, avec Ernie (pour qui $x+1 = x \cup \{x\}$) et Johnny (pour qui $x+1 = \{x\}$).
On commencera l'échange dans l'autre sens, si tu veux bien aller vers moi, quand tu auras le temps. Je pourrais
te suggérer comment on montre qu'un élément est nul ou qu'un élément est régulier "via le B-A-BA de la théorie
de la profondeur". Avec application à l'algèbre linéaire sur les anneaux. Si tu veux of course. On est loin
de L1-L2, mais c'est pas moi qui ait commencé.
Je trouve ce texte dans sa globalité, superbe, faudrait un jour que j'achève sa recopie pour l'avoir sous la main quand les EPI viendront au lycée, histoire de travailler avec les professeurs de philosophie (j'adorerais que des heures de philosophie soient consacrées à poser des questions techniques sur le vrai|faux, la preuve en mathématiques car cela manque dans les horaires alloués pour faire le programme de nattes).
Il y a un peu de provocation dans mes propos (j'ai des doutes et ne suis pas le seul sur le bien fondé des EPI dans la réforme du collège) mais pas que.
S
S
A propos de Benaceraff. Je me permets de te tutoyer. Figure-toi que c'est dans un de tes posts (je ne sais plus à quelle occasion) que
j'ai trouvé les 2 pages dont tu parles (E99978-preview.pdf). J'ai trouvé ce texte absolument savoureux. Mais il n'y avait aucune référence.
A tout hasard, j'ai fait une recherche sur le web (en spécifiant "Ernie, Johnny, logic, logique") et je suis tombé sur le fameux
"What numbers coud not be".
Sans tes 2 pages, je n'aurais pas apprécié car trop mauvais en anglais.
Que veux tu dire par "pas encore fini de recopier la traduction de l'article" ? Est ce que c'est toi qui as traduit les 2 pages ?
Est ce que dans le fils de discussion, il y avait eu un écho à tes 2 pages ?
@cc On est content pour toi.
Philosophie des mathématiques
Ontologie, vérité et fondements
chez l'éditeur VRIN
J'ai découvert ce livre avec ce forum, je me suis demandé si le titre, les auteurs se la pétaient ou quoi ?
J'ai été satisfait de voir que non. Cela m'a d'ailleurs réconcilié avec ce mot : "philosophie".
S
Suis-je parano où y aurait-il un zeste de sarcasme dans ta phrase? De toute façon, je crois que je me suis encore trompé...
Sinon, je réitère une question que j'ai posée ci-dessus, exprimée sous une forme légèrement différente: y a-t-il une géométrie projective des modules (qui serait aux modules ce que les espaces projectives sont aux espaces vectoriels)?
Motivation: l'intérêt des espaces projectifs c'est que l'injectivité-surjectivité est obligatoire. La non injectivité se traduit par le fait que l'application n'est pas définie partout (il y a des trous). Je trouve ça plus sympa de chercher ces trous que de chercher des "dépendances linéaires" à priori.
Toi : Suis-je parano où y aurait-il un zeste de sarcasme dans ta phrase? De toute façon, je crois que je me suis encore trompé...
--
Allons, allons.
C'était juste un signe pour dire que j'avais pris connaissance de ton post. J'ignore
la signification de "preuve finitiste". J'ai utilisé "content" car j'ai l'impression
qe la résolution du résultat que tu vises te permettrait peut-être d'être (plus) disponible.
A ce propos de disponibilité (de ta part) et d'éléments réguliers. Je t'ai mentionné
l'existence de techniques (cf mon "On commencera l'échange dans l'autre sens,
si tu veux bien aller vers moi, quand tu auras le temps"). Par exemple, si
$\pmatrix {a\cr b\cr c\cr}$ est la première colonne d'une matrice injective $3\times 3$,
alors ${\rm Ann}(a,b,c) = 0$ donc $a + bt + ct^2 \in A[t]$ est un élément régulier
(th de Dedekind-Mertens) : en voilà, un ``latent nonzero divisor'' à la Hochster-Northcott.
Autre chose : est ce que ce fil ne va pas finir par devenir un échange (?) entre
toi et moi ? Si oui, est ce qu'un autre mode de communication ne serait pas plus
approprié ? Est ce que le résultat que tu vises n'est pas essentiellement ta
préoccupation ? Ce n'est pas trop la mienne et j'ignore si cela concerne les
autres (pas vu beaucoup de posts dans ce sens là).
Toi :
Sinon, je réitère une question que j'ai posée ci-dessus, exprimée sous une
forme légèrement différente: y a-t-il une géométrie projective des modules
(qui serait aux modules ce que les espaces projectives sont aux espaces
vectoriels)?
--
Réitère ? Cela veut dire que tu as déja posé une question ? Pas vu.
Une réponse mais sans conviction : si $A$ est un anneau commutatif, $P^n(A)$, cela a du sens.
Il s'agit des $A$-points du schéma $P^n$ (espace projectif de dim $n$), schéma qui est défini sur $Z$.
Les points de $P^n(A)$ sont les sous-modules de $A^{n+1}$ facteurs directs dans $A^{n+1}$ et de rang 1
(au sens de la théorie des modules projectifs de type fini). J'ai des doutes sur la pertinence de ma réponse
par rapport à ta question.
Toi :
--
Motivation: l'intérêt des espaces projectifs c'est que
l'injectivité-surjectivité est obligatoire. La non injectivité se traduit par
le fait que l'application n'est pas définie partout (il y a des trous). Je
trouve ça plus sympa de chercher ces trous que de chercher des "dépendances
linéaires" à priori.
Là, je comprends rien du tout. Cela donne l'impression que tu attribues
à une théorie (dont tu me demandes si elle existe) des vertus mirifiques.
Je crois que tu t'éloignes de plus en plus de l'algèbre linéaire élémentaire.
Merci pour ton information sur les matrices 3×3 injectives, mais je ne comprends pas: pourquoi t'es-tu restreint aux 3×3? Parce que c'est faux plus généralement? Je ne crois pas, ça fait partie des choses déjà démontrées (et non à démontrer) dans mes divers posts, me semble-t-il, où je chasse le village d'Astérix. (Le conducteur d'un matrice injective est globalement régulier (et réciproquement), on ne peut donc pas annuler une ligne).
Merci pour les autres infos, je vais les lire tranquillement. Je propose une conjecture (probablement fausse) un peu plus forte que le village:
Conjecture: soit $A$ un anneau commutatif, $M\in M_n(A)$. Soit $J$ l'idéal des $r\in A$ tel que $(0,0,...,0,0,r)\in Im(M)$. Alors $J$ est principal.
Concernant le côté public de nos échanges, un forum, c'est fait pour ça justement. Peut-être que ce qu'on raconte fait réfléchir des lecteurs qui de leur côté interviendront une fois abouties leurs réflexions. Par exemple, je doute que quelqu'un ait réussi à prouver de manière simple (et sans déterminant) l'existence d'un élément régulier dans le conducteur d'une matrice injective justement parce qu'avec le bruit fait sinon, il posterait (ce serait méchant de nous priver :-D )
Pour le reste, peut-être faudrait-il que tu "ne raisonnes pas essentiellement
par rapport à tes affaires" ? Il ne s'agit pas de faire des preuves à
n'importe quel prix. J'ai déja mentionné que ce qui compte pour moi, ce sont
des preuves que je qualifie d'élémentaires. Il y a des preuves élémentaires
(en mon sens) de : si $M$ est matrice carrée injective, alors $\det(M)$ est régulier.
Est ce que l'on a pu en parler ? Non : au prétexte que, je te cite "ça fait partie des choses
déjà démontrées (et non à démontrer) dans mes divers posts".
Est ce que je dois en conclure que, par exemple Dedekind-Mertens, cela ne t'intéresse pas ?
Est ce que j'ai pu parler jusqu'à maintenant de suite co-régulière ? Non.
Autre chose : comment se fait-il que tu en sois à ta conjecture numéro je-sais-plus
dans cette histoire ? Est ce que tu as vraîment la maîtrise du conducteur d'une
matrice carrée, notion que tu juges pourtant si naturelle. Dès l'introduction de
cette notion, je pourrais te demander "quid du conducteur de $M$ dans tel cas ?".
Et même demander des exemples.
Je ne le fais pas au cas où tu serais dans l'embarras pour répondre.
Enfin, peut-être que les lecteurs (je ne suis pas sûr qu'il y en ait) s'en
fichent complètement de disposer d'une preuve (sans déterminant)
du résultat que tu vises ?
C'est quoi ${\rm Im} M$? Réponse $AXe_2 + AYe_2$. Cela veut dire quoi, pour $r \in A$ que $r e_2 \in AXe_2 + AYe_2$?
Tout simplement que $r \in AX + AY$. Bilan ? Est ce que mon exemple est très technique ?
Est ce que de temps en temps, tu prends des exemples simples ?
J'ai une nouvelle conjecture (mais apparemment tu n'apprécies pas spécialement les conjectures trop fréquentes :-D): si $M$ est une matrice ayant $n$ lignes et $p$ colonnes et $n\neq p$ alors il y a une combinaison linéaires des lignes donnant $0$ telle que tout idéal qui contient les coefficients de la combinaison voit les colonnes comme étant liées.
Si ça m'a l'air intéressant, mais je n'avais pas compris que c'était un résultat général, je croyais que ce que tu énonçais était le résultat et non que c'en était un corollaire. Bien sûr que oui, je veux bien que tu en parles!
est principal ? On ne doit pas avoir la même notion de "conjecture".
Ta dernière conjecture n'est pas C.Q.-admissible (elle contient une négation générale). Désolé, je ne peux pas jouer avec.
Mais bien sûr, les autres, toi ... vous pouvez jouer. L'avant dernière conjecture était sous une forme admissible mais
l'hypothèse était trop générale avec une conclusion incrédible (lorsque l'on a un peu d'habitude en algèbre commutative).
J'ai quelques principes : le premier c'est d'avoir la main sur les objets quand je débute dans une théorie. En cas d'ennuis,
je peux alors contrôler si je ne fais pas de contre-sens ...etc.. Ennuis == quand-je-ne-comprends-pas, c'est-à-dire 9/10.
Il suffit d'essayer de lire le chap 10 d'Algèbre commutative de Bourbaki (les 5 premières pages) pour comprendre ce
que veut dire ennui. Avoir la main me permet de programmer par exemple (ce que je pratique beaucoup).
Ainsi la définition ${\rm Cond}(M)$ du conducteur d'une matrice carrée $M$ POURRAIT être problématique pour moi
car ce n'est pas un idéal de type fini, donc par principe, je m'en méfie. Mais je peux quand même jouer avec car cet
idéal est défini par un procédé fini.
Si un débutant me demande : est ce que $\det(M+M') = \det(M) + \det(M')$ pour des matrices $2\times 2$, je vais
pouvoir rapidement lui répondre. Si ce débutant me demande : est ce que ${\rm Cond}(M) = {\rm Cond}(^t\,M)$, je vais
être tout de suite gêné (of course, le débutant en question, c'est moi au début). Est ce que c'est vrai si $\det(M)$ est
régulier ? S'il me demande (parce qu'il n'a pas bien compris tel truc et qu'il veut vérifier si ..) : comment calcule-t-on le
conducteur d'une matrice carrée $2\times 2$, $3 \times 3$, $n \times n$ sur l'anneau $Z$ (qui est principal) ? J'ai intérêt à avoir réfléchi avant.
Idem en ce qui concerne la question : quel est le conducteur de la matrice carrée $k$-générique ? I.e. $A = k[n^2\ \rm indets]$,
($k$ anneau quelconque).
Si je ne contrôle pas les objets de base quand je débute (c.a.d. souvent), cela pourra aller très mal pour moi.
Il faut que je puisse m'auto-contrôler. Ce que je raconte n'a aucun intérêt pour les personnes qui comprennent tout.
Je parle essentiellement de ma pratique. Chacun fait comme il veut.
Convenons de dire qu'une suite $a = (a_1, \ldots, a_n)$ de scalaires d'un anneau $A$ est co-régulière si ${\rm Ann}(a_1, \ldots, a_n) = 0$.
Attention : c'est juste une commodité ici car pas en accord avec le chapitre 10 (Algèbre homologique) de Bourbaki
dans lequel co-régulière est dual de régulière. On dit aussi que $a$ est de profondeur $\ge 1$.
Exercice : soit $x \in A$ et $(a_1, \ldots, a_n)$ une suite co-régulière. Alors $x=0$ si et seulement si $x = 0$ dans chaque localisé $A[1/a_i]$.
Application : soient $v_1, \ldots, v_n$ $n$ vecteurs de $A^n$ linéairement indépendants et $\mu : A^n \to A$ une forme linéaire nulle sur
chaque $v_i$. Alors $\mu = 0$. Ceci est une manière de raconter que si les colonnes d'une matrice carrée sont indépendantes, il en est
de même des lignes.
Justification-sketch de l'application. Les composantes de $v_1$ forment une suite co-régulière (why ?). Pour montrer $\mu = 0$, il suffit de le
faire sur chaque localisé obtenu en inversant chaque composante de $v_1$. Sur $A[1/v_{1,1}]$, par exemple, on peut faire pour $i \ge 2$,
$v'_i := v_i - \lambda_i v_1$ de sorte que le premier coefficient de $v'_i$ soit nul. La forme linéaire $\mu$ est nulle en $v'_2, \ldots, v'_n$
qui sont linéairement indépendants dans $(A[1/v_{1,1}])^{n-1}$. Par récurrence, $\mu$ est nulle en $e_2, \ldots, e_n$ et enfin sur $v_1$.
Tout ceci s'est passé au dessus du localisé $A[1/v_{1,1}]$. Idem pour $A[1/v_{2,1}]$ (deuxième coefficient de $v_1$)... etc..
Tu dis : "pour des preuves élémentaires de la régularité du déterminant les formes alternées marchent très bien" (i.e. si
$M$ est carrée injective alors $\det(M)$ est régulier). Oui, bien sûr, tu dois te douter que je connais cette approche
(sinon, je serais gonflé de faire quelques remarques sur ceci ou cela).
Par contre, cela n'empêche pas d'avoir une deuxième preuve élémentaire et pourquoi pas une troisième preuve
élémentaire. Histoire d'apprendre un peu de maths. Et il y en a (d'autres preuves élémentaires).
A vrai, dire retrouver où est écrite (dans les pdf ou les posts) cette preuve via les formes alternées est devenu un
peu compliqué : car y'en a partout et tous les moyens sont bons pour parvenir à ses fins (Zorn, idéaux premiers,
raisonnement par l'absurde ..etc..). Avec un peu d'habitude, on détecte assez vite pourquoi on en arrive là
(négations générales ...etc...). Bien sûr, chacun a sa pratique, conduit ses maths comme il veut. Moi, je
m'en fiche. Par contre, il n'est absolument pas question, mais pas question, que mon petit fils apprenne l'algèbre linéaire
dans ce fourbi. En fait, le problème ne se pose pas car il est trop jeune.
Pour des preuves élémentaires avec déterminant, comme tu dis il y en a plusieurs. En fait toutes, je pense, repose sur le fait que la nullité du déterminant entraine la liaison (le passage par un annulateur pour atteindre le cas général est évident).
Ma dernière conjecture est effectivement bizarre, mais je vais créer un fil indépendant, car qu'elle soit vraie ou fausse, elle fait apparaitre des ensembles de couples d'entiers qui ne sont pas très clairs (par exemple, c'est trivial pour la dimension 2×1 ou 4×1, mais ça ne l'est pas (et c'est même peut-être faux) pour la dimension 3×1.
Concernant l'implication lignes liées => colonnes liées (dans une matrice carrée), on l'a sans passer par des lemmes techniques. En fait on a que pour toute matrice carrée, elle est injective ssi son conducteur contient une partie finie $F$ telle que $F$ est corégulier dans le sens où tu l'entends
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1242211,1242211#msg-1242211
Récupère-t-on des axiomes d'incidence intéressants?
Si (ce dont je doute quelque peu, mais c'est à voir) c'est oui, alors le village d'Astérix en est un corollaire "sans fatigue".
En voici une autre. Soient $A,B$ tels que $B$ est un anneau unitaire pas forcément commutatif et $A$ un sous-anneau commutatif de $B$. Soit $P$ un polynome unitaire à coefficients dans $A$, de degré $n$ et $z\in B$ tel que $P(z)=0$. On suppose de plus que $(x\mapsto zx)$ est injective de $B$ dans $B$ et qu'aucun polynôme unitaire à coefs dans $A$ de degré $<n$ n'annule $z$. A-t-on forcément que les coefficient constant de $P$ est régulier?
edit: j'avais fait une confusion
Absolument pas, je n'ai jamais dit cela ! J'ai simplement dit que le schéma $P^n$ est défini sur $Z$ et j'ai
précisé quels sont ses $A$-points (les bons sous-espaces de rang $1$ de $A^{n+1}$). J'ai précisé "bon".
Ensuite, tu dis " Prenons un anneau commutatif A. Les points de $E$ sont les droites vectorielles de $A^3$ et les droites de $E$
sont les plans vectoriels de $A^3$. Et on a que deux droites de E se coupent toujours
(mais apparemment pas forcément en un seul point). C'est ça?"
C'est quoi $E$ ? Un bon sous-espace de rang 1 n'est pas une droite (en général ce n'est pas un module libre) : un schéma doit
vérifier des conditions de recollement et la condition "être un sous-espace libre de dim 1" n'est pas locale-globale.
Quant au reste, ma réponse est ???? (je suis gentil). Peut-être que de temps en temps, tu devrais ouvrir un livre de maths ?
Attention :-D tu attrapes le virus du forum (qui est de parler durement). Je n'ai pas hélas pas de livre [small](enfin j'en ai que je pourrais tenter de lire (ce ne sont pas le bons je pense), mais ils sont à ma cave et je n'ai plus de lumière dedans pour les sélectionner, la copro changera probablement les ampoules un jour)[/small]
Ci-dessous, je tente un résumé de peut-être comment envahir le V d'Astérix. Soit $M\in M_n(A)$ injective. On peut supposer**** que pour tous éléments $u,v$ de $A$ si $Annul(u)\subset Annul(v)$ alors $u$ divise $v$. Ca entraine entre autre que tout élément régulier de $A$ est inversible.
**** ce serait à justifier
Soit $r$ un élément non nul du conducteur et par exemple $C$ une colonne telle que $MC = (r,0,0,...,0)$. Si $er=0$ alors $eC=0$. Donc il existe une colonne $D$ telle que $C=rD$. Soit $(u,\epsilon_2,..,\epsilon_n):=MD$. On obtient $r=ru$; $r\epsilon_i=0$ et $r(1-u)=0$. Dans la suite on note $u(r)$ le $u$ ainsi obtenu.
Soit $K$ l'idéal des $x$ tels qu'il existe $r_1,..,r_p$ dans le conducteur de $M$ vérifiant $x(1-u(r_1))(1-u(r_2))...(1-u(r_p))=0$ (***). On remarque qu'il contient le conducteur de $M$.
Soit $Z$ l'ensemble des $x\in A$ tels que pour tout $V\in A^n$, il existe $U\in A^n$ tel que $MU-V\in K^n$. Autrement dit, $Z$ est "le conducteur de $M$ tel que le voit $A/K$".
Comme $M$ est vue injective par $A/K$, il existe $t\in Z\setminus K$. Soit par exemple $C\in A^n$ tel que $MC=(t,o_2,.., o_n)$, les $o_i$ étant dans $K$. Soit $p$ un produit de la forme (***) qui annule les $o_i$, ie on obtient $M(pC) = (pt,0,..,0)$. Bref, on obtient une contradiction car on peut le faire pour chaque coordonnée, donc on établit que $t$ est dans le vrai conducteur de $M$ donc qu'il est dans $K$.
Finalement, il existe $r_1,..,r_q$ dans le conducteur de $M$ tels que $(1-u(r_1))...(1-u(r_q)) = 0$, ce qui montre que $1$ est dans l'idéal engendré par $u(r_1),..,u(r_q)$. Autrement dit, il existe une colonne $C$ et des $o_i$ telle que $MC = (1,o_2,..,o_n)$. Oups, j'améliorerai ça, j'ai dû rater un épisode, j'ai oublié d'annuler les $o_i$ avant d'arriver là...
A modifier
Dans un anneau $A$ quelconque (commutatif), on ne risque rien à prendre certaines fractions, mais pas n'importe lesquelles. On a le droit d'utiliser $\frac{a}{b}$ uniquement quand $b$ est non nul (évidemment :-D ) et $Annul(b)\subset Annul(a)$. Ce qu'il y a de formidable alors est qu'on peut additionner, multiplier des fractions selon les règles habituelles dans rien casser (ie sans annuler un élément non nul). On peut aussi diviser deux fractions sous les mêmes conditions.
Au final, on peut toujours supposer que $a|b$ ssi $Annul(a)\subset Annul(b)$ (enfin toujours, en tout cas, pour certaines activités). Et là, l'élément régulier du conducteur d'une matrice injective vient tout seul. A vrai dire, dans un tel anneau une matrice injective est toujours bijective.
Preuve: soit $Z$ le conducteur de $M$ injective (j'appelle $A$ l'anneau). Ce qu'il y a de remarquable c'est que si $C$ est une colonne et $MC=(r,0,0,..,0)$ alors il existe une colonne $D$ telle que $C=rD$. Il s'ensuit que le conducteur dans $M$ vu par l'anneau $A/Z$ est.. encore $Z$ lui-même. Il ne s'agrandit pas. Par conséquent $M$ n'est pas injective vue par l'anneau $A/Z$, puisqu'elle a un conducteur nul. Mais ça c'est une contradiction. La seule porte de sortie, c'est que $Z=A$. On obtient donc une fraction égale à $1$ dans le conducteur de $M$. Et le numérateur (ou le dénominateur peu importe) de cette fraction est un élément régulier du conducteur de $M$.
Je donne juste une indication rapide des calculs :-X qui me sont toujours difficiles qui justifient ça. La fraction produit $\frac{ab}{uv}$ est légitime ou a un numérateur nul. Soit en effet $euv=0$. Alors $eav = 0$ alors $eab=0$.
La fraction somme $\frac{ay+bx}{xy}$: soit $exy=0$. Alors $ebx=0$. De même $eay=0$ et finalement $e(ay+bx)=0$. Etc, etc..
Comment s'appelle la procédure d'enrichissement de cet anneau?
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html
Ou faire "fraction rings" sous un moteur de recherche.
Surtout, surtout, cesse de spécifier tes contraintes du type $\ne 0$ : fais au moins confiance aux professionels,
ici à Chevalley qui a inventé, en 1944, la localisation générale (dans les anneaux non intègres, avec des dénominateurs
absolument quelconques, généralisant le travail de Grell en 1926).
Tu peux aussi essayer de m'écouter quand je dis qu'il n'y a pas que ton conducteur dans la vie. Sais tu
qu'un article important de Fitting date de 1937 ? Sais tu que tu aurais dû faire porter le conducteur,
non pas sur $M$, matrice quelconque $M : A^m \to A^n$, mais sur son image ${\rm Im} M$ puisqu'il
s'agit de l'annulateur de $A^n / {\rm Im} M$; ainsi on voit que c'est invariant par équivalence et
en fait bien plus que cela !
Et que tu m'as répondu :
Cela voulait dire quoi ta réponse ? Pourquoi "lemmes techniques" ? Où est l'échange, Christophe ?
As tu montré un intérêt pour le résultat là-haut ? Sais tu que c'est encore vrai si on remplace $x=0$
par $x$ régulier ? En passant : tous les résultats que je t'ai donnés sont des résultats relativement
classiques en algèbre commutative (là haut, le B-A-BA de la notion de recollement en profondeur $\ge 1$).
Je suis vraiment désolé mais je considère que, depuis le début, l'échange (?) a été unilatéral.
Pour moi, tu ne t'intéresses qu'à tes affaires.
Tu m'as donné une référence (sur le forum) pour le résultat que tu cites.
Je te signale que tout matheux qui travaille sur les anneaux connaît évidemment ce résultat.
En passant, ce résultat n'est évidemment absolument pas au niveau L1-L2 ni au niveau Agrégation.
Est en ce qui concerne $(1,3)$ bleu ou pas bleu, cela t'intéresse de savoir quelle est mon approche ?
vec
Je te parle d'échanges pas de remerciements.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD
Pour le coup, si car je voulais souligner le mot comprendre dans le texte de christophe. Rémi]
Vraiment ? (:P)
Il ne parle pas des propriétés des matrices injectives. Par ailleurs, page3, il prouve que si $M\in M_n(A)$ est surjective alors elle est bijective, mais en fait, ceci découle d'un background bien plus faible (j'ai donné une preuve plus haut, je la remets):
Par noethérianité (pour la matrice générique dans l'anneau $\Z[X_{11},..,X_{nn}]$, il existe un polynôme unitaire $P$ qui annule $M$. Soit $N$ telle que $MN=1$. Alors en multipliant $P(M)$ par une puissance convenable $p$ (le degré de $P$) de $N$ à droite, on obtient $1+a_1N+..+a_pN^p$, ce qui donne une matrice $H$ telle que $1=NH$. Et on termine en remarquant que $H=MNH=N$ donc que $NM=1$.
Ces 4 lignes triviales me semblent sans commune mesure avec la difficulté qu'il y a à gérer les injectives. (Remarque: on ne peut pas faire le même raisonnement en échangeant gauche droite car on ne peut pas dire "soit $N$ telle que $NM=1$", quand $M$ est injective (exemple la fonction $n\mapsto 2n$ de $\Z\to \Z$))
Bien lu ton coup de surjectif. Mais moi, je ne tiens pas trop à noethérien pour ma propre gouverne
(bien sûr, dans le cadre de l'enseignement, j'ai pas d'hésitation, ici je parle pour moi).
J'ai besoin de construire $P$ ...etc.. J'ai besoin d'avoir la main sur tout si je peux.
Pourquoi ? Parce qu'un jour ou l'autre, en faisant je-sais-pas-quoi, on est dans la m.rde (cf l'autre discussion).
Car on comprend PAS tel truc .. On sait pas si machin est vrai ou faux. Moi, tous les jours je suis dedans
(la m.rde) car je connais pas l'objet que je veux comprendre.
Et rapidement, je dois vérifier si tel truc est tangible ou pas (est ce que j'ai bien pigé ou rien du tout).
Et en cas de besoin, je vais être content qu'une personne ait donné une preuve effective de ...
Et tu te rends bien compte, que ton énoncé c'est du petit lait car les objets qui y interviennent sont
totalement élémentaires. Et on fait les malins pour pas utiliser le déterminant. Mais en alg. comm. que
tu connais pas, tu tombes pas sur du petit lait. Quand tu essaies de comprendre la théorie de la
profondeur ds Bourbaki qui attaque par le foncteur Ext, là tu rigoles plus. Idem quand tu essaies
de comprendre ce qu'est une algèbre étale (au dessus d'un anneau QUELCONQUE) ou une
algèbre lisse (au dessus d'un anneau QUELCONQUE, les deux sont des inventions extraordinaires de Groth.)
Encore une fois, cela ne concerne que moi.
Je peux fournir un certain nombre d'objets que je comprends pas.
Autrement dit, il n'y a de frontière qu'apparente qui sépare le constructivisme du reste (en un certain sens toutes les preuves sont constructives, dès lors qu'on dispose d'un bon pc et du matos Krivinien, etc).
Si un jour cette recherche t'intéresse, ça te fait un nom et des mots. Il n'y a pas tellement d'alternatives. Trop de chercheurs en correspondance de Curry Howard*** ont voulu coder trop tôt, trop vite (et désirent trop de reconnaissance), et ont donc drastiquement tordu artificiellement ce que la théorie proposait: du coup on se retrouve souvent avec des logiciels qui n'acceptent que les preuves constructives (qui sont hélas les moins plaisantes et les moins mystérieuses, alors que ce sont surtout les autres qu'on voudrait voir exécutées)
*** c'est une spécialité qui s'appuie sur la découverte que toute preuve est un programme, appelée (à tort) l'isomorphisme de Curry-Howard.