<1+i > idéal maximal?
Bonjour,
Alors voilà je suis bloqué sur une question:
On se place dans l'anneau $\mathbb{Z}(i)=\{a+ib, a,b\in\mathbb{Z}\}$, il s'agit de montrer que l'idéal $(1+i)\mathbb{Z}(i)$ est maximal.
Je me dis qu'il faudra passer par le quotient $\mathbb{Z}(i)/(1+i)\mathbb{Z}(i)$ et montrer que c'est un corps mais je ny arrive pas.
(j'ai aussi une autre petite question plus générale, est ce que si on a $A$ un anneau et $I$ un idéal alors $A/I$ est un anneau? la réciproque? )
Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
Alors voilà je suis bloqué sur une question:
On se place dans l'anneau $\mathbb{Z}(i)=\{a+ib, a,b\in\mathbb{Z}\}$, il s'agit de montrer que l'idéal $(1+i)\mathbb{Z}(i)$ est maximal.
Je me dis qu'il faudra passer par le quotient $\mathbb{Z}(i)/(1+i)\mathbb{Z}(i)$ et montrer que c'est un corps mais je ny arrive pas.
(j'ai aussi une autre petite question plus générale, est ce que si on a $A$ un anneau et $I$ un idéal alors $A/I$ est un anneau? la réciproque? )
Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
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Réponses
La classe de \((1+i)^2\) dans \(\mathbf{Z}[ i]/(1+i)\mathbf{Z}[ i]\) présente un certain intérêt.
(Sauf erreur: j'ai supposé que tu parlais du "fameux" $i$ tel que $i^2=-1$)
Du coup j'ai peut-être une idée pour le prouver sans passer par $\mathbb{Z}(X)$ (trop compliqué pour moi pour l'instant!) :-(
Alors en gros je dis que l'idéal $<1+i>$ c'est en fait l’ensemble $\{ a+ib,$ a et b de même parité$\}$ (je l'ai déjà prouvé)
Après on dit du coup que qu'on a déjà que la classe de $0$ c'est notre idéal $<1+i>$
et tout $a+ib$ tels que $a,b$ ne sont pas de même parité on a $a-1,b$ d même parité donc $a+ib -1\in <1+i>$ donc tout ceux qui ne sont pas de même parité sont dans la classe de 1.
> de suite !!!
Tu dessines sur un quadrillage quelques éléments de la forme a+ib autour de 0, puis tu regardes où se trouvent les multiples de 1+i. Il ne reste alors qu'à écrire proprement ce que l'on devine...
Dans ton contexte, tu as l'élément un élément $i$ dont tu sais qu'il vérifie $i^2=-1$ et tu te places dans un idéal qui en plus de ça force $i$ à être $(-1)$. Il en découle que $(-1)^2 = (-1)$. Tu sais par ailleurs que $(-1)^2=1$. Tu obtiens donc $1=(-1)$. C'est ce que je t'ai dit dès mon premier post. Quotienter rajoute simplement des égalités entre des éléments de l'anneau de départ de sorte (c'est pour ça qu'on quotient par un idéal) que les règles de calcul dans un anneau continuent d'être valables.
Je te sketche la transformation de cette vision en égalités "officielles" de ton idéal.
Tu sais d'avance que $i^2 = -1$, ie $i^2+1=0$. Or tu as mis $i+1$ dans ton idéal $J$. Il suit que $i^2+1 -( i+1)$ est dans $J$. Donc $i^2-i\in J$ donc $i(i-1)\in J$. Donc (là j'utilise le fait que $i\equiv_J (-1)$) $(-1)(i-1)\in J$ donc $1-i\in J$ donc $1-(-1)\in J$ donc $2\in J$.
Alors les derniers donc peuvent te paraitre mystérieux, j'en détaille un : Lorsque je passe de $i(i-1)\in J$ à $(-1)(i-1)\in J$, je ne fais pas un tour de magie, je remarque "bêtement" que l'un moins l'autre est dans $J$ car l'un moins l'autre c'est $(i-(-1))$ fois la parenthèse $(i-1)$. Ici compte le fait qu'un idéal est stable par multiples. As-tu besoin de plus de détails?
C'est mon avis, en tout cas.
Tout dépend du niveau auquel on se place...
Alors, l'idéal engendré par cet élément est maximal. Comme dans $ \mathbb{Z}$. Pas besoin de normes d'idéaux, de structures-quotients, de Dedekind, etc.
Gardons les solutions compliquées pour les questions compliquées, comme dit christophe c, pas de bombe H pour ouvrir le garage.
Jyeuses Pâques.
F. Ch.
On peut aussi utiliser le travail réalisé par @harstao, l'auteur de la discussion, puisqu'il dit qu'il a montré que
l'idéal $\langle 1+i\rangle$ est constitué des $a + ib$ avec $a,b$ de même parité. L'application
$A \ni a+ib \mapsto \overline {a+b} \in Z/2Z$ est un morphisme d'anneaux (petite vérification
facile à faire) et ce qu'à prouvé @harstao c'est que son noyau est l'idéal $\langle 1+i\rangle$.
D'où, par passage au quotient, un isomorphisme $A/\langle 1+i\rangle \simeq Z/2Z$, certificat
du fait que l'idéal $\langle 1+i\rangle$ est maximal avec $Z/2Z$ comme corps résiduel.
Peut-être que l'auteur de la discussion sera satisfait de ne pas avoir travaillé pour rien ?
Voilà le genre d'intervention qui a le don de m'agacer...Qui peut prétendre de quoi a besoin l'éventuel lecteur de ce forum ?
Ma seule ambition dans ce message était de donner un autre point de vue, pas uniquement algébrique. La puissante théorie algébrique des nombres, et Chaurien doit le savoir puisqu'il a affirmé avoir suivi un DEA avec Pisot, fournit le cadre idéal, si je puis dire, de bon nombre de situations plus ou moins abordées en CPGE.
Qui peut en vouloir à ça ? Drôle de forum, tout de même...
Par ailleurs, la norme est un outil fort utile, pour les extensions quadratiques en particulier. Le fait que la norme est à valeurs dans l'anneau de base et le fait que la norme d'un produit est le produit des normes sont des choses tout à fait élémentaires. Bien sûr on peut voir que $1+i$ est irréductible du fait que sa norme est la plus petite possible après $1$, mais il vaut mieux à mon avis comprendre qu'un élément de norme un nombre premier (comme $3+2i$) est forcément irréductible.
Que l'anneau des entiers de Gauss $ \mathbb{G} = \mathbb{Z}[ i] $ soit euclidien, ce n'est pas difficile, c'est intéressant, c'est très joli, c'est géométrique, ça se voit sur le dessin : $\forall z\in \mathbb{C}, \exists \alpha \in \mathbb{G} ,\left| z-\alpha \right| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$. Cela permet de montrer l'existence d'une division euclidienne avec jusqu'à 4 valeurs pour quotient et reste.
Anneau euclidien et géométrie euclidienne, ça reste en famille ;-).
Je l'ai fait en exercice avec des prépas-HEC 1ère année comme exercice sur les complexes, bien sûr sans dire les mots "anneau euclidien". Et en colle en MP, c'est tout à fait à sa place.
J'ai dit que $1+i$ est irréductible au motif que sa norme est la plus petite parce que c'est le cas, et que c'est le problème posé, et que c'est l'argument le plus simple. Mais bien sûr la multiplicativité de la norme montre à l'évidence que si la norme d'un entier de Gauss est un entier naturel premier, alors cet entier de Gauss est irréductible, bien évidemment.
Moi j'ai fait part de mes préférences, maintenant chacun peut faire valoir les siennes. Vive la liberté !
Bonne journée.
F. Ch.
Mon message plus haut me paraissait clair : il commence très exactement par "Façon théorie algébrique des nombres". Ça indique bien l'idée du message : un certain nombre d'intervenants ont proposé des méthodes, plutôt algébriques, et j'ai alors présenté une autre façon de voir. Cela n'enlève strictement rien aux méthodes précédentes, bien au contraire.
Par ailleurs, ceux qui ont des notions de théorie algébrique des nombres auront très certainement vu :
1. L'indication proposée par gb en haut de cette page est très proche de la norme d'un idéal (il suffit de connaître la définition de celle-ci pour constater ça).
2. Les deux messages de GaBuZoMeu sont en fait la base d'un cours de théorie algébrique des nombres (il suffit de consulter n'importe quel ouvrage sur ce sujet pour constater ça).
Bref, mon propre message n'est rien d'autre qu'un condensé de ce qu'ont fait d'autres intervenants plus haut.
Je terminerai en disant aussi que les raisonnements que l'on peut faire en cpge sont acceptables sur les corps quadratiques car le degré est très faible. Mais les mêmes questions sur des corps de nombres de degrés plus élevés nécessitent des outils nettement plus puissants (dont la norme fait partie).
qui est compatible avec la multiplication de l'anneau : $|z_1 z_2 |^2 = |z_1|^2 |z_2|^2 \quad \text{pour tous } z_1,z_2 \in \mathbb{Z}(i)$
donc pour tester si l'idéal $\langle a+ib \rangle = \{ (a+ib) z \ \mid \ z \in \mathbb{Z}(i)\}$ est maximal il suffit de tester tous les $1 < |z|^2 < |a+ib|^2$ et de voir si $a+ib$ est divisible par $z$ (et quand $a^2+b^2$ est premier, l'idéal est automatiquement maximal)
mais il y a-t-il des exemples d'anneaux (commutatifs) où c'est beaucoup plus compliqué de tester dans le cas général si un idéal est maximal ? (et quels genres d'anneaux ? UFD ? noéthériens ? anneaux à PGCD ? ..)
Dans le cas triviaux comme celui du fil***, c'est à rappeler. Après, quand ça devient compliqué... c'est autre chose.
*** on sait déjà que $i^2=-1$, on ajoute l'axiome $i=(-1)$ donc $1=(-1)^2=i^2=-1$ et on se retrouve avec $0=2$, donc dans $\Z/(2\Z)$. Aucune technique ou background.
Voici une preuve en restant au niveau de la définition d'idéal maximum :
on sait que $ I=(1+i)\Z(i) $ est l'ensemble de tous les $a+ib$ avec $a$ et $b$ même parité
Soit $J$ un idéal de $\Z(i) $ contenant strictement $I$.
$u+iv$ étant dans $J$ et pas dans $I$, $u$ et $v$ sont de parités contraires, donc $1+u$ et $v$ ont même parité
et $1+u+iv$ est dans $I$, donc dans $J$ et ainsi $1$ est dans $J$, donc $J=\Z(i)$ et $I$ est maximal.
Ps: pour $\Z(i)$ , si je remplace les parenthèses par des crochets, toujours entre deux dollars, ca coince?