Groupe quaternionique comme groupe de Galois

On avance quand même un peu, non ? Remarque (banale) : on retrouve $t^2 + 1$ et $t^2 + 2$ dans le corps de décomposition $L$ du polynôme puisque les deux extensions quadratiques $\mathbb Q(\sqrt {t^2+1})$ et $\mathbb Q(\sqrt {t^2+2})$ sont contenues dans $L$. Hum un truc pas clair, dans ce que je viens d'écrire mais que je laisse : je devrais monter les extensions au-dessus de $\mathbb Q(t)$ et donc glisser un $t$ ``quelque part'' i.e. écrire $\mathbb Q(t,\sqrt {t^2+1})$ On retrouve également ces facteurs $t^2+1$ et $t^2+2$ (avec un certain exposant) dans la factorisation du discriminant (que j'ai donnée dans un post).

Vous pouvez regarder les calculs dans maple dans la pièce jointe.

@gai requin : je vois que tes sessions maple sont de plus en plus lisibles. De mon côté, je me suis dit que cela serait une bonne chose de faire sans maple, à la main, de la manière la plus élémentaire possible (c'est plus facile à dire qu'à faire). Mais là, plus le temps pendant xx heures. Pour te montrer que j'ai commencé un petit quelque chose (sinon je ne suis pas crédible), j'attache mon brouillon. Attention: ce n'est pas complet: je compte résoudre le point (5) i.e. $y = (a+\sqrt a)(b+\sqrt b)$ n'est pas un carré dans $\mathbb Q(\sqrt a, \sqrt b)$ où $a = t^2+1$, $b=t^2+2$, en balançant le binz à coup de norme sur $\mathbb Q(\sqrt a)$ par exemple. A suivre plus tard. Je viens de compléter

@gai requin Je viens de modifier mon pdf en justifiant le point (5). Etre indulgent pour les coquilles, c'est du vite fait.

@gai requin : OK, j'avais commencé à taper le (7), comme toi et pas encore réfléchi au (8). Je prévois de compléter les points (7) et (8) de mon pdf (en suivant grosso-modo ton (8)), histoire d'avoir une note complète. Bref, est ce que l'on peut dire que l'on a fini par y arriver en restant relativement élémentaire ? Yann : les sous, les sous...

Merci Claude d'avoir été si patient avec l'enfant que je suis. :-)

Si je pouvais en faire autant avec mes élèves...

Ce que je comprends de ces pages scannées est que les racines d'une équation sont définies à une permutation près.
(ce qui les rend indiscernables).

Mais si on considère des fractions rationnelles symétriques des racines (c'est à dire dont la valeur ne change pas si on permute les $n$ racines comme on veut, ces fractions étant considérées comme des fonctions de $n$ variables) il n'y a plus de problème d'"indétermination". La valeur de cette fonction ne dépend plus de la façon dont on a ordonné les racines.

si $r(x_1,x_2,...,x_n)$ est une fraction rationnelle des racines pour qu'elle soit une fraction rationnelle symétrique il faut qu'on ait:

$\tau (r(x_1,x_2,...,x_n))=r(x_1,x_2,...,x_n)$ et cela est équivalent au fait que $r(x_1,x_2,...,x_n)$ "vive" dans le corps de base (corps $K_0$ engendré par $\mathbb{Q}$ et les coefficients du polynôme dont les $x_1,...,x_n$ sont les racines.)
$\tau$ étant un morphisme du corps engendré par $\K_0$ et les racines du polynôme vers $\mathbb{C}$.


(On considère que tout ce petit monde vit dans le "grand pays" $\mathbb{C}$)



PS:
On a:
$\tau (r(x_1,x_2,...,x_n))=r(\tau(x_1),\tau(x_2),...,\tau(x_2))$

Ce qui fait que $\tau$ restreint à l'ensemble $\{x_1,...,x_n\}$ est une permutation.

(il faut que le polynôme considéré n'ait pas de racines multiples)

PS2:
J'espère ne pas avoir écrit trop d'énormités.

@gai requin : Je viens de compléter. Cela fait 2 pages et j'ai pas voulu aller au delà. Pour éviter de faire un doublon avec ce que tu as écrit, j'ai fait une petite variation. Certains penseront que c'est verbeux (mon défaut ?) et que l'on pourrait faire tenir le tout en 10 lignes. Peut-être. Mais j'ai jamais fonctionné comme cela et comme c'est moi qui tient la plume, je fais comme je veux (surtout à la retraite).

En ce qui concerne le problème inverse de Galois, pas de réponse à ta question. J'ai simplement fait "Probleme inverse de Galois" sous qui-tu-sais et je suis tombé par exemple sur un exposé de Pierre Dèbes http://www.galois.ihp.fr/wp-content/uploads/2012/03/P.-Debes.pdf Regarde déjà ce qu'il dit pour les groupes résolubles à la page 2. Très joli exposé. A la fin, la géométrie (arithmétique) débarque (théorème d'existence de Riemann, revêtements ramifiés ... et encore c'est du petit lait par rapport à Grothendieck-Teichmuller-Ihara).

@samok J'ai quand même pensé à toi en écrivant cela (si, si, je t'assure, surtout à la page 2).

Bonjour,

sieur Fin de Partie ; à permutations près, les symboles, mais pas toutes. Non?

Je ne sais pas si c'est de l'humour ou si j'ai loupé un épisode sieur Claude Quitté, le dernier téléchargement de vous comme auteur ne fait qu'une page.

De toutes façons, je suis super léger sur le sujet et peut-être que ferais mieux de me taire.

S

Samok a écrit:

sieur Fin de Partie ; à permutations près, les symboles, mais pas toutes. Non?

Je ne suis pas totalement sûr de comprendre la question.

Si un polynôme a deux racine $1+i$ et $1-i$, si je décide de donner un rang de $1$ à $2$ à chaque racine je peux le faire de deux façons:

$x_1=1+i$
$x_2=1-i$

ou:
$x_1=1-i$
$x_2=1+i$

Si le polynôme a $n$ racines, j'ai $n!$ façons de leur attribuer un unique rang entre $1$ et $n$.



Si je considère la fonction à $n$ variables complexes $z_1,z_2,...,z_n$

$F(z_1,z_2,...,z_n)=z_1^2+z_2^2+...+z_n^2$

Peu importe le choix que j'ai fait pour attribuer un rang aux $n$ racines d'un polynôme, si $x_1,...,x_n$ sont ces racines,

le nombre $F(x_1,....,x_n)$ ne dépend pas de ce choix.



Par ailleurs,
Si $K$ est le corps engendré par $\mathbb{Q}$ et les coefficients du polynômes $P$ ayant $n$ racines auquel on s'intéresse.

Soit $\tau$ un morphisme du corps $K(x_1,x_2,....,x_n)$ (corps engendré par $K$ et les racines du polynôme $P$, c'est à dire le plus petit sous-corps de $\mathbb{C}$, au sens de l'inclusion, contenant $K$ et les $n$ racines) vers $\mathbb{C}$

Si $R$ est une fraction rationnelle symétrique (quotient de deux polynômes symétriques à $n$ variables à coefficients dans $\mathbb{Q}$ on a:
$\tau(R(x_1,..,x_n))=R(\tau(x_1),...,\tau(x_n))$ mais $\tau(x_i)$ est encore une racine de $P$ donc $\tau(R(x_1,..,x_n))=R(x_1,..,x_n)$

Les coefficients du polynôme $P$ peuvent être exprimés comme valeurs de polynômes symétriques en $(x_1,...,x_n)$
et donc ainsi, pour tout élément $t$ du corps $K$ on a $\tau(t)=t$.

Ce qui est moins évident, me semble-t-il, est que l'ensemble des $t$ tels que $\tau(t)=t$ est exactement $K$.

En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

Claude Quitté:

Il me semble que le livre dont parle Samok ne présente pas les choses comme on le fait de nos jours, me semble-t-il, pour parler de théorie de Galois. C'est du moins ce que me laisse à penser l'extrait qu'il a mis en copie dans ce fil de messages. La notion de $K$-morphisme n'apparait pas dans l'oeuvre de Galois sauf erreur (et n'apparait probablement que très longtemps après la mort de celui-ci. Artin? Hilbert?).

Dans la présentation "moderne" de la théorie de Galois on s'en cogne de l'indiscernabilité des racines et des fonctions symétriques me semble-t-il, le concept de $K$-morphisme" et du groupe qu'ils peuvent constituer dans certaines conditions est la clef de voute de cette théorie de nos jours si j'ai bien compris.


Si on considère un morphisme $\tau$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui possède les propriétés suivantes:

1) $\tau(x+y)=\tau(x)+\tau(y)$
2)$\tau(xy)=\tau(x)\tau(y)$
3) $\tau(0)=0$
4)$\tau(1)=1$

On montre que $\tau$ laisse fixe un élément de $\mathbb{Q}$. (d'abord on montre qu'il laisse fixe un élément de $\mathbb{Z}$ etc)
Si, de plus, $\tau$ restreint à l'ensemble des $n$ racines (distinctes) d'un polynôme est une permutation de cet ensemble alors le corps $K$ engendré par $\mathbb{Q}$ et les $n$ racines de ce polynôme (tout ce petit monde vit dans $\mathbb{C}$) est aussi invariant par $\tau$ c'est à dire que si $a\in K$, $\tau(a)=a$. (les coefficients du polynôme sont les valeurs de polynômes symétriques en la valeur $(x_1,...,x_n)$, les $x_i$ étant les racines du polynôme.)


PS:
Dans l'oeuvre de Galois il est bien question du nombre de valeurs prises par une fonction (je ne sais pas si Galois précise ce qu'il entend par ça mais il s'agit sans doute de fractions rationnelles avec autant de variables que le nombre de racines distinctes du polynôme considéré) par permutation des variables si je me souviens bien.
(ce qui fait que la façon de ranger les racines n'est pas importante avec ce point de vue)

Dans la théorie "moderne" de Galois, l'invariance est celle du corps de base par morphisme et on parle de $K$-morphisme.

PS2:
On peut considérer la restriction de $\tau$ à n'importe quel sous-corps de $\mathbb{C}$, en particulier à $K(x_1,...,x_n)$.

Des informations ici (sur le problème de Galois inverse) http://www.math.cornell.edu/~zywina/papers/smallGalois.pdf. Deux mots sur ce petit papier de 3 pages (la première fois, j'ai écrit 3 lignes et j'ai raconté des bêtises). Je n'ai pas vu de date sur le papier mais on voit dans la bibliographie une référence en date de 2013, donc le papier est assez récent. Il s'agit de cataloguer les groupes simples d'ordre $< 10^8$ et d'indiquer ceux qui sont réalisés ``actuellement'' de manière galoisienne ou pas. Ne figurent pas les groupes abéliens car leur statut IGP (Inverse Galois Problem) est connu (ils sont réalisables de manière galoisienne et régulière au dessus de $\mathbb Q$). Ne pas oublier la borne $10^8$ : on voit par exemple le groupe alterné $A_n$ d'ordre $n!/2$ pour $n \le 11$ mais pas plus (alors que IGP est résolu pour $A_n$ pour tout $n$) : c'est parce que $11!/2 = 19\,958\,400$ est $< 10^8$ mais $12!/2 = 239\,500\,800 > 10^8$. L'auteur parle de la réalisation de ${\rm PSL}_3(\mathbb F_4)$, d'ordre $20\,160$, au dessus de $\mathbb Q(t)$, via un polynôme de degré $21= 3\times 7$.

@fdp J'ai l'intention de te répondre en détails mais dans un autre fil (du type, "Peut-on expliquer la théorie de Galois aux enfants?"). Une obsession chez moi. Qu'en dis tu ? Il s'agirait bien sûr d'une discussion où l'agressivité serait bannie (ici, dans ce fil, il n'y en a pas eu du tout). Je possède deux écrits de Galois aux éditions Gabay (un petit, 1989 Gabay, relatif aux publications de Galois en 1846, suivi d'une étude de Sophus Lie et un plus gros, 540 pages, Gabay, 1997, avec préface de Jean Dieudonné). Mais je suis incapable de vraiment comprendre ce que Galois (sauf un passage sur le théorème de l'élément primitif, dont j'avais analysé 36 versions il y a 15 ans).

@gai requin. J'ai pas laissé tomber $\mathbb Q(a,b,c,d)^{\mathbb Q_8} = \mathbb Q_8(j_1,j_2,j_3,j_4)$ de Gröbner. Rappel : l'action de $\mathbb Q_8$ est l'action linéaire à laquelle on pense (penser à $a + ib + jc + kd$). Monsieur Gröbner nous a fourni $j_1, j_2, j_3, j_4$ assez simples Pour l'instant, on le croit sur parole. J'ai mis au point un programme pour exprimer n'importe quelle fraction rationnelle $\mathbb Q_8$-invariante comme fraction rationnelle en $j_1, j_2, j_3, j_4$, ce que je ne savais pas faire il y a une semaine. Peut-être que cela permettra d'aller au bout, j'en sais rien. Que risque-t-on ? D'apprendre des maths. C'est grave, docteur ? Car on voit par exemple intervenir dans les $j_{\rm truc}$ de Gröbner beaucoup de polynômes semi-invariants i.e. des $F$ tels que $F^g = \chi(g) F$, $g \in \mathbb Q_8$, pour un caractère $\chi$.

@flipflop : on se connaît ?

Claude Quitté:

Oui, à mon humble avis, ce forum aurait bien besoin d'un "Peut-on expliquer la théorie de Galois aux enfants".
Il y a déjà eu ici, sans doute, dans le passé des tentatives dans ce sens.

Claude Quitté a écrit:

Mais je suis incapable de vraiment comprendre ce que Galois (sauf un passage sur le théorème de l'élément primitif, dont j'avais analysé 36 versions il y a 15 ans).

Je pense qu'il existe des ouvrages contemporains qui tentent de faire comprendre le point de vue de Galois.

Il existe, en particulier, un petit fascicule qui a été publié par l'éditeur de la revue Tangente consacré à Evariste Galois dans lequel figure une analyse du travail de Galois par Gérard Cohen-Zardi.
Un jour j'espère comprendre ce travail. B-)-

@gai requin J'avais commencé à en parler en degré 3 dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1244317,1245109#msg-1245109 Mais il n'y a pas eu de suite et j'en suis resté là.

Un tout petit exemple qui parait minable c'est de commencer par l'homographie $x \mapsto 1/x$ de $L := k(x)$ où $k$ est un corps commutatif. Je veux dire que je parle de l'automorphisme $\tau$ de $L$ associé à $1/x$ i.e. $\tau : g(x) \mapsto g(1/x)$. C'est un automorphisme d'ordre $2$. Je note $K = L^\tau$ i.e. le sous-corps des fractions rationnelles invariantes par $\tau$. Il faut identifier $K$. Le théorème de Luröth dit que $K$ est de la forme $K = k(t)$ pour une certaine fraction rationnelle $t$. Enoncé ainsi, cela nous fait une belle jambe. En fait, il faut travailler au corps le théorème de Luröth pour qu'il nous donne sur un plateau une telle fraction rationnelle $t$. C'est faisable et concret (disons que chez moi, c'est réglé et écrit quelque part). Ici, pourquoi le cacher plus longtemps, on peut prendre $t = x + 1/x$ qui est bien invariante par $\tau$. J'aurais pu prendre $t = -(x+1/x)$ mais cela fait bizarre le Premier Mai. Je suis donc en train de dire que toute fraction rationnelle invariante par $\tau$ est une fraction rationnelle en $x + 1/x$. Ensuite, il faut rendre compte que $L/K$ est une extension de degré $2$ : c'est quoi une base de $L/K$ ? C'est quoi le polynôme minimal de $t$ sur $K$ ? Of course, je l'ai pas dit, mais je le dis maintenant, on a évidemment $L = K(t)$.

Inutile de le cacher, le polynôme minimal de $t$ sur $K$, c'est $X^2 - tX + 1$. Et ses deux racines sont $x$ et $1/x$. Si, si !
On renverse la vapeur : on vient de trouver un polynôme universel séparable en degré $2$ pour le groupe cyclique $C_2$ : c'est le polynôme ci-dessus.
Cela paraît minable mais je t'assure que pendant ce temps là, on fait de la théorie de Galois et on contrôle ce que l'on fait car on est parti du haut, on connaît le groupe, les racines, ..etc..

Une fois que c'est bien pigé, on s'attaque à des sous-groupes finis plus compliqués de ${\rm PGL}_2(k)$. Bien sûr, ${\rm GL}_2(k)$ n'est pas loin ainsi que ${\rm Aut}(k(t)/k$. Je veux dire par là que toute ``homographie'' $h \in {\rm PGL}_2(k)$ fournit un automorphisme de $k(t)/k$ du type $g \mapsto g\big(\frac{ax+b}{cx+d}\big)$, où $h$ est représenté par $\pmatrix {a & b\cr c & d\cr}$.

Et maintenant, on peut jouer. On va prendre $k = \mathbb Q$. Malheureusement, Il n'y a que 8 classes de conjugaison (ou d'isomorphie je sais plus) de sous-groupes finis de ${\rm PGL}_2(\mathbb Q)$. Là haut, on a joué avec $1/x$. Tu peux jouer avec $(x+1)/(-x+1)$ qui est une homographie d'ordre 4. Tu vas ainsi trouver un polynôme de degré $4$, $X^4 + \cdots +\ $, avec un paramètre $t$ que tu auras pris pour $L^G = \mathbb Q(t)$. Rappel $L = \mathbb Q(x)$ et $G$ est le groupe d'automorphismes engendré par $g(x) \mapsto g\big((x+1)/(-x+1)\big)$. Comment fabriquer $t$ ? Faire des $G$-moyennes en attendant. En attendant quoi ? De travailler au corps le théorème de Luröth. Tu auras alors explicité un polynôme universel de groupe de Galois $C_4$, universel pour la caractéristique $0$ (en fait pour la caractéristique $\ne 2$).

Une fois réalisé $C_4$, tu pourras ``play again'' par exemple avec le groupe diédral $D_6$. Mais c'est pas la peine d'aller trop vite. Faut devenir ici un peu ami intime des groupes d'homographies, des fractions rationnelles, du théorème de Luröth ...etc..

Ajout Inutile d'aller chercher Luröth, c'est lui qui va venir à toi. Fais chauffer ta machine avec maple en calculant $(X-x)(X-\sigma(x))(X-\sigma^2(x))(X - \sigma^3(x))$ où $\sigma(x)$ est l'homographie d'ordre $4$ ci-dessus. Tu vas trouver un polynôme de degré $4$ en $X$ : $X^4 + \cdots + \cdots$ : regarde bien ses coefficients. Ils sont pas tous constants, hein ? Et of course, invariants par $\sigma$. Et à ton avis, c'est quoi ce polynôme de degré $4$ (qui est nul en $x$) ?

@gai requin Je m'attendais à ce que tu me dises d'abord que c'est le polynôme minimal de $x$ sur $K = L^\sigma$. Et je vois que tu proposes une solution. On n'a pas la même car il y a plusieurs fractions rationnelles $t$ qui vérifient $K = k(t)$. Si tu en tiens une, disons $t$, tu peux en faire d'autres : par exemple $-t$ ou $1/t$ ou $1/(t+1)$ ...etc... Toute homographie de $t$ est aussi bonne. Moi, j'ai pris:
$$
t = x + \sigma(x) + \sigma^2(x) + \sigma^3(x)
$$
Et j'ai trouvé $X^4 - tX^3 + 6X^2 + tX + 1$. C'est bizarre, j'ai une petite préférence pour lui.
Coquille : il s'agit de $X^4 -tX^3 - 6X^2 + tX + 1$.

Arg. Damned. Tu viens d'effacer pendant que je répondais. Ce qui compte, c'est que je vois que cela ``t'amuse''. On va continuer certes mais il faut absolument aller doucement et fournir toutes les preuves. Et inviter maintenant Luröth, maintenant que l'on n'a plus peur. Je mettrais en ligne une première version faible mais utile du théorème de Luröth.

Ajout : ce que j'ai vu et que tu as effacé était de quelle hauteur ? La hauteur d'une fraction rationnelle c'est le max des degrés du numérateur et du dénominateur (écriture irréductible of course). Tu as des références sur Luröth de ton côté ?

Mais pour les quaternions, on a besoin de 2 générateurs non ?

@gai requin J'ai ouvert un autre fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1263771#msg-1263771 car cela commençait à être un peu le bazard ici. Imagine un instant que Yann vienne chercher son paquet-cadeau sur $\mathbb Q_8$, il risquerait de ne pas s'y retrouver.

Je peux essayer de faire un petit topo sur la méthode de rigidité (qui est à la base de la réalisation régulière de nombreux groupes, notamment le Monstre (c'est vendeur . Mais se sera vraiment de la vulgarisation, vraiment sans rentrer dans des détails techniques, juste histoire de faire comprendre les méthodes qui entrent en jeux.




(RIGP) sur $\mathbb{C}(t)$

Une extension (régulière) $E|\mathbb{C}(t)$ permet de créer un revêtement topologique de la sphère de Riemann $\mathbb{P}_1$ privée d'un certain nombre de point $\{t_1,\dots,t_n\}$ (les points de ramification) et cette construction va dans les deux sens. Je veux dire un revêtement topologique de $\mathbb{P}_1 \setminus \{t_1,\dots,t_n\}$ nous fournit une extension de corps de $\mathbb{C}(t)$.

Dans le cadre topologique, les revêtements de $\mathbb{P}_1 \setminus \{t_1,\dots,t_n\}$ sont gouvernés par le groupe fondamentale (en fait, c'est un groupe de Galois, le $\pi_1$). Mais le théorème de Van kampen permet de décrire ce groupe fondamentale, c'est le groupe libre $< \Gamma_1,\dots,\Gamma_n>$ quotienté par l'unique relation $\Gamma_1.\dots.\Gamma_n=1$ ($\Gamma_i$ représente un lacet tournant une fois autour du point $t_i$, mais si on tourne autour de tous les points, on passe de l'autre côté pour le rendre trivial).

Cette construction est Galois-compatible dans le sens suivant : Pour construire une extension Galoisienne de groupe $G$ de $\mathbb{C}(t)$ il suffit de ce donner un morphisme (surjectif):

$$
\Phi : \frac{< \Gamma_1,\dots,\Gamma_n>}{\Gamma_1.\dots.\Gamma_n} \to G
$$

(RIGP) est donc résolue sur $\mathbb{C}$... car c'est pas compliqué de construire un tel morphisme (prendre un système de générateur et le compléter pour un autre élément pour que le produit fasse $1$).

(RIGP) sur $\overline{\mathbb{Q}}(t)$

Là c'est la même chose et c'est un résultat d' A.Grothendieck. C'est de la vulgarisation donc je rentre pas dans les détails techniques

(RIGP) sur $\mathbb{Q}(t)$

Là on rentre dans le coeur du problème. On peut construire plein d'extension Galoisienne de $\overline{\mathbb{Q}}(t)$ de groupe $G$ et on voudrait comprendre ceux qui proviennent (par extension des scalaires de $\mathbb{Q}(t)$ à $\overline{\mathbb{Q}}(t)$) d'une extension de $\mathbb{Q}(t)$.

Là l'idée est assez géométrique : un nombre algébrique est rationnel si et seulement si il est invariant par l'action de
$\rm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}} | \mathbb{Q})$.

Donc, je vais construire une action de $\rm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}} | \mathbb{Q})$ sur l'ensemble des extensions régulière de $\overline{\mathbb{Q}}(t)$ ayant la même propriété et il me suffira de construire un revêtement invariant par Galois.

Le problème c'est que ma construction est topologique et que les automorphismes de Galois ne le sont pas ... Alors ...

gai requin écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1258683,1262545#msg-1262545
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Dans le livre de Bernard Deschamps problèmes d'arithmétique des corps et théorie de Galois (problèmes avec corrigés)
il y a le problème 14 (que je n'ai pas travaillé)
dont le but principal est de prouver que si $G$ est un groupe fini,
il existe deux corps de nombres $L,K$ tels que $L/K$ soit une extension galoisienne dont le groupe de Galois est $G$ ;
cela à partir du théorème de Hilbert (admis) : tout corps de nombres est hilbertien.
Cette méthode est une des premières introduites en théorie inverse de Galois.

@claude quitté : une critique élogieuse du Cox : http://www.madore.org/~david/weblog/d.2005-06-16.1016.html#d.2005-06-16.1016.fr

Dans cette discussion, initialement orientée vers le groupe quaternionien réalisé comme groupe de Galois, on a vu passer des choses diverses et variées pas toujours consacrées à ce groupe, mais quand même consacrées à la chose galoisienne. Il a été question à un moment donné de la réalisation du groupe cyclique $C_4$, j'ai la flemme de pointer sur les posts facilement retrouvables dans CETTE discussion. Je me suis fendu d'un petit bilan dans l'AUTRE discussion http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1265179#msg-1265179, bilan concernant une homographie d'ordre 4 participant à la découverte de polynômes galoisiens de groupe $C_4$.

S'il s'agit de montrer uniquement que le groupe de Galois $G=Gal(\Q(x),\Q)$ est $H_8$
à partir du moment où on a le polynôme minimal de $x$ et ses conjugués, les 8 éléments $u_i$ de $G$ se caractérisent de façon habituelle (envoi de $x$ sur un de ses conjugués)
et , sans "calculateur forcené" , contrairement à ce que dit le document, on peut conclure :
pour chaque $u_i$ on peut déterminer les images de $\sqrt{2},\sqrt{3}$ (que 4 cas possibles : on considère $u_i(x^2)$ ) et comme les produits $x$ par un de ses conjugués sont dans $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ , sans gros calculs (ils sont tous identiques ), on voit effectivement que $G$ n'a qu'un seul élément d'ordre 2 (on voit aussi d'ailleurs que tout $u_i$ autre que le neutre et celui d'ordre 2 sont d'ordre 4)
reste à prouver la non commutativité, qui se fait par un calcul analogue à partir de 2 éléments distincts de $G$ pas trop mal choisis
$G$ ne peut donc être que $D_4$ ou $H_8$ mais le cas diédral a 5 éléments d'ordre 2, ce qui permet de conclure.