Homographies et petits groupes de Galois

Pour une courbe hyperelliptique de genre $g$, l'espace projectif de dimension 2 approprié est $\mathbb P^2(1,g+1,1)$. Ce qui signifie, si $k$ est le corps de base, que l'on fait opérer $k^*$ par :
$$
\lambda \cdot (x,y,z) = (\lambda x, \lambda^{g+1} y, \lambda z)
$$
Et donc, dans cet espace projectf :
$$
(x : y : z) = (x' : y' : z') \quad \hbox {s'il existe $\lambda\ne 0$ tel que } (x', y', z') = (\lambda x, \lambda^{g+1} y, \lambda z)
$$
Je n'en ai pas l'habitude (je travaille en affine $y^2 = f(x)$, ce qui crée des traitements non uniformes selon que $f$ est de degré $2g+1$ ou $2g+2$). Et j'ai des gros trous en ce qui concerne les courbes hyperelliptiques (cf plus loin). Quand tu utilises un logiciel sur des objets que tu ne connais pas bien, cela pose vite des problèmes. C'est ce qui m'est arrivé hier et j'ai donc dû revenir au niveau du bébé. J'étais par exemple pas assez clair sur le fait qu'un automorphisme d'une courbe hyperelliptique détermine une homographie ${ax + b} \over {cx + d}$ et que l'automorphisme en question est de la forme :
$$
(x, y) \mapsto \left( {ax+b \over cx + d},\ {e \over (cx+d)^{g+1}} \right) \qquad \hbox {pour un certain $e \ne 0$}
$$
Ce qui s'écrit en $\mathbb P^2(1,g+1,1)$-homogène :
$$
(x : y : z) \mapsto (ax + bz : ey : cx + dz)
$$
Disons que la forme homogène avec poids $(1,g+1,1)$ ci-dessus des automorphismes d'une courbe elliptique, je ne l'ai pigé qu'hier. Un peu tard pour utiliser un système de calcul formel. Et bien sûr, $(a,b,c,d), e$ ne sont pas quelconques. Avec mes mauvaises habitudes affines, je m'en sortais avec $y^2 = \prod_{i=1}^{2g+2} (x-x_i)$ (je t'ai filé une petite note) sans avoir préparé le cas $y^2 = \prod_{i=1}^{2g+1} (x-x_i)$. Et ici, au niveau de la programmation, c'est mortel car il s'agit de $y^2 = x^5 - x$. Quel faut-il alors faire ? Se poser et apprendre un peu pour pouvoir utiliser efficacement magma. Il faut ainsi arrêter de traiter $2g+1$ et $2g+2$ séparément. Disons que pour l'instant, je ne suis pas opérationnel dans l'utilisation de $\mathrm {Aut}(C)$ en magma ($C$ courbe hyperelliptique). Et d'une.

Le deuxième souci, et c'est la plaie de l'algèbre effective, ce sont les isomorphismes. Quand on utilise que $\mathrm {Aut}(C) \simeq \mathrm {SL}_2(\mathbb F_3)$, et que tu ne sais pas comment, tu es tout simplement dans la m.rde. Pas question de laisser faire magma, ici. Il faut que je ``prenne la main''. Mais prendre la main avec un objet $\mathrm {Aut}(C)$ que tu connais mal et un isomorphisme sur papier, tu ne va pas loin. Et c'est ce qui m'arrive. Et de deux. Attention : ici, je parle au niveau $\mathbb Q(i)$ (mal dit). Disons que j'ai désigné pour pas me fatiguer par $\mathrm {Aut}(C)$ le groupe de Galois $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t))$. Mais je vais pas continuer avec ces notations car cela va créer des confusions. L'isomorphisme $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t)) \simeq \mathrm {SL}_2(\mathbb F_3)$, il a été établi comment ? Par des moyens pas catholiques. Hum, la religion n'a rien à voir là-dedans, il faut que j'explique sinon le fil va être fermé. Je veux dire par des moyens groupistes reposant sur la connaissance des groupes d'ordre 24 qui ont telles ou telles propriétés. Ce n'est pas avec cela que tu fabriques un isomorphisme en machine.

J'ai donc décidé de revenir à l'autre modèle de $\mathrm {SL}_2(\mathbb F_3)$, qui est le groupe binaire tétraédral, et que je note stupidement $\widetilde {A_4}$. Car il s'agit d'un modèle constitué de matrices $2\times 2$ de déterminant 1, à coefficients dans $\mathbb Q(i) \subset \mathbb C$. Avec un habitant de ce modèle, il ne doit pas y avoir en principe de souci pour fabriquer un habitant de $\mathrm {Aut}(C)$ ou du groupe de Galois $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t))$. Je ne sais pas si tu as regardé ce modèle (je t'avais fourni un pointeur sur une autre discussion). Il y a quelque chose d'important à signaler, qui passe inaperçu (mais pas quand tu utilises magma !!)
$$
\mathrm {PGL}_2(\mathbb C) = \mathrm {PSL}_2(\mathbb C) \qquad \hbox {mais c'est FAUX que} \quad
\mathrm {PGL}_2(\mathbb Q(i)) = \mathrm {PSL}_2(\mathbb Q(i))
$$
C'est faux par manque de racines carrées dans $\mathbb Q(i)$. Et à gauche, c'est ce qui sert, disons :
$$
\mathrm {SL}_2(\mathbb C) / \{ \pm I_2\} \simeq \mathrm {PGL}_2(\mathbb C)
$$
pour fabriquer le binaire polyédral. Mais heureusement, par un miracle que je comprends pas bien, j'ai eu assez de racines carrées dans $\mathbb Q(i)$. Il faut regarder l'autre fil pour comprendre. Dès que tu programmes, tu comprends que de temps en temps tu as besoin qu'un scalaire soit un carré dans ton corps de base. Quand tu ne programmes pas, c'est pas toi qui paye, tu utilises $\mathbb C$ sur le papier et le tour est joué. Cela arrivera plus tard, au niveau $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t^2))$, et c'est là que l'on devra aggrandir $\mathbb Q(i)$ en $\mathbb Q(i,\sqrt 2) = \mathbb Q(i,\sqrt {-2}) = \mathbb Q(\root 8 \of 1)$.

Et tout en fin de course, on espère avoir un point de vue intelligent sur $\mathrm {SL}_2(\mathbb F_3) \simeq \widetilde {A_4}$ (on peut dire que c'est un cas particulier du théorème de Arnaudiés-Bertin que je t'ai indiqué).

Bref, hier, grand recul en arrière. C'est parfois nécessaire et utile.

Pendant quelque temps, il va falloir s'interdire le mot isomorphe (j'exagère). Un nouvel exemplaire de $\mathrm {GL_2}(\mathbb F_3)$ dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\zeta_8))$, avec un groupe de réflections s'il vous plait, à la page 52 de http://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/865/full.pdf. Je crois qu'il s'agit d'une thèse sous la direction de Beukers. Et des nouveautés aussi à la page 6 de Beukers http://math.univ-lyon1.fr/~roblot/ihp/Fermatlectures.pdf. Attention : cela commence à faire pas mal de réalisations de petits groupes linéaires sur les corps finis en caractéristique $0$. Pas eu le temps de comparer avec la réalisation dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])$ de Rubin & Silverberg signalée hier.
Attention aussi au fait que le groupe au dessus du groupe octaédral à la page 6 de Beukers est un groupe d'ordre 48 qui n'est pas un exemplaire de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ mais du groupe binaire octaédral $\widetilde {S_4}$. Il va falloir mettre de l'ordre dans tout ce (beau) monde. A vrai dire, je suis un peu dépassé par les réalisations de tous ces petits groupes. Fort possible que Klein ait frappé dans cette histoire. Et il va bien falloir que je te parle de la $\mathbb Z[j]$-réalisation de $\mathrm {PSL}_2(\mathbb F_3)$, qui est quelque chose de nouveau (et qui vient probablement du demi-plan de Poincaré).
La seule manière de s'en sortir est de faire le point pour le revêtement tétraédral : d'où sommes nous partis ? 4 points équidistants dans notre brave $\mathbb R^3$ euclidien, localisé dans le brave cube euclidien, un tétraèdre euclidien normal, quoi. Tout cela passé sur la droite projective $\mathbb P^1(\mathbb C)$, via le fameux $\mathrm {PSU}_2(\mathbb C) \simeq \mathrm {SO}_3(\mathbb R)$, où l'on remplace $\mathbb C$ par un petit corps de nombres tout en remontant à $\mathrm {SU}_2(\mathbb C)$ ...etc... Y'en a tellement dans ma pauvre tête que je mélange les pinceaux entre :
$$
\mathrm {PGL}, \qquad \mathrm {PSL}, \qquad \mathrm {GL}, \qquad \mathrm {SL}
$$
Urgence : faire le point !

PS : comment une cerise sur le gâteau pourrait-elle être embarrassante ? T'aime pas les sucreries ?

A ta question sur maple, j'en sais rien. De toutes manières (j'ai enseigné maple pendant 10 ans), je ne veux surtout PAS l'utiliser lorsque je fais joujou en maths (c.a.d. assez souvent). J'ai besoin d'un outil solide même si j'ai mis un an avant d'être opérationnel.

Je vais de surprise en surprise. Je t'attache un pdf résultat d'une exécution magma sur le ``modèle de Waall de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$'' dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\zeta_8))$. Est ce que c'est lisible par une personne qui ne connait pas magma ? Disons surtout par toi ? Je suis en train de lister (comme un bourrin) ses propriétés. Sans avoir lu Waall (je verrais plus tard). Je crois que le modèle de Rubin & Silverberg n'a pas ses qualités. Je ne sais plus comment nommer ces groupes (surtout pas $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, c'est nul) et de plus, dans mes sources magma, c'est le bazard.

Ajout Le modèle de Waall est contenu dans $\mathbb U_2(\mathbb C)$. Encore un qui n'était pas invité. Avoir avec soi la classification de Shephard & Todd (Finite Unitary Reflection Groups, Canad. J. Math 6, 1954) ne peut pas faire de mal. Inutile de me demander ce qu'est un ``refection group''.

Plusieurs questions ou remarques
(1) Tu n'es pas sûr, au niveau $\mathrm {Gal}(k(x)/k(t))$ ou $\mathrm {Gal}(k(x)/k(t^2))$ de tes isomorphismes ?
(2) Je ne peux pas répondre à ta question sur les groupes connus : je n'ai découvert le ``groupe de Waall'' que ce matin. Je l'avais dans mes archives, mais jamais regardé (le jour où l'on aura lu tout ce que l'on a dans notre bureau ..)
(3) Tu n'as pas répondu à ma question sur magma : arrives tu à lire, dans l'exécution magma, les propriétés du groupe $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ : il s'agit de l'exemplaire de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ contenu dans $\mathrm {GL_2}(\mathbb Q(\zeta_8))$ fourni par Waall.

Devinette. Soit
$$
A = \pmatrix {a & b\cr c &d \cr} \in \mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)
$$
Comment lui associer un automorphisme de la courbe hyper-elliptique $y^2 = x^5 - x$
$$
(x : y : z) \mapsto (ax + bz : ey : cx + dz) \qquad \hbox {avec $e$ = combien en fonction de $A$ ?}
$$
Au pif. C'est ce que j'ai fait. Et j'ai gagné.

(4) D'où vient le groupe de Waall (Klein, Beukers) ??
(5) Mon exécution est maintenant passée à 3 pages et un chouillas. Mais si tu ne peux pas lire (cf question 3), inutile de faire une mise à jour.

Que reste-t-il à faire ?? Ben, TOUT. Mais c'est mieux d'avoir quelque chose à montrer que rien.

Une dernière : pas du coupé-collé de l'exercice de Douady, n'est ce pas ? (que j'ai pas encore compris !)
Ajout Je me force à écrire correctement Waall : Alexa van der Waall. Page 52, elle dit que son groupe $G$ est IDENTIQUE au groupe $G_{12}$ de la classification de Shephard & Todd. Elle mentionne Beukers pour les invariants $J_6, J_8$ de ce groupe (sa représentation en dimension 2) et le fait que Felix Klein avait (visiblement) réalisé des calculs avec ce groupe. Cela vaut le coup de jeter un coup d'oeil sur la page 2 de son introduction où l'on voit les noms de Fuchs, Riemann, Scharwz, Gordan, Klein, Jordan. Et à la page 3 des noms plus récents (van der Put, Springer, Ulmer, J.A. Weil). Et beaucoup d'autres que je ne connais pas. Sans oublier Lamé qui figure dans le titre de sa thèse. Du beau monde. Respect.

En ce qui concerne $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$, il faut apprendre à le connaître tout seul avec ce qui est mentionné à la page 52 de Waall (peut-être aller voir ce qu'en disent Shephard & Todd, je l'ai pas encore fait). Et c'est justement pour cette raison que j'ai écrit mon programme magma pour gagner du temps.
De la même manière que $\mathrm {Aut}(C)$ sur $\mathbb Q(i)$, c'est $\widetilde {A_4}$, le groupe $\mathrm{Aut}(C)$ sur $\mathbb Q(\zeta_8)$, c'est $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$. Mieux : $\widetilde {A_4}$ est contenu dans $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ : c'est exactement le sous-groupe constitué des matrices de déterminant 1. ``Rappel ': les matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ ont pour déterminant $\pm 1$. Cela devrait te permettre de deviner le ``$e$", si tu vois ce que je veux dire par là.

Il faudrait donner un nom de code intelligent au groupe tétraédral. C'est un groupe d'homographies canoniquement isomorphe à $\mathrm {SO}(T)$, donc canoniquement isomorphe à $A_4$, à condition de préciser le $4$ : par exemple, les 4 sommets du tétraèdre (mais on n'a pas envie de les passer dans $\mathbb P^1(\mathbb C)$, because expression compliquée). De même $\mathrm {SL}_2(\mathbb F_3)$ est canoniquement isomorphe à $A_4$ à condition de préciser le 4 : c'est le cardinal de la droite projective $\mathbb P^1(\mathbb F_3)$ i.e. les 4 droites (vectorielles) de $\mathbb F_3^2$. Donc, tous les groupes de ce paragraphe sont isomorphes à $A_4$.

De plus, pour spécifier un isomorphisme, il me semble que $A_4$ possède une propriété de rigidité : on a $A_4 = \langle x,y\rangle$ avec $x$ d'ordre $2$, $y$ d'ordre $3$. Et quelque soit l'égalité $A_4 = \langle x',y'\rangle$ avec $x'$ d'ordre $2$ et $y'$ d'ordre 3, il existe un et un seul automorphisme de $A_4$ transformant $x$ en $x'$ et $y$ en $y'$. Je dis bien, il me semble. Si c'est ok, cela devrait simplifier le coup de ton $h_3 \mapsto ..$ et $h_2 \mapsto ..$. Et si cela se trouve, il y a encore plus de rigidité : par exemple, si $x$ est d'ordre $2$, $y$ d'ordre $3$, alors $A_4$ est engendré par $x,y$. Il y aussi la rigidité suivante (mais peut-être pas très utile ici) : si $A_4 = \langle x,y\rangle$, alors par exemple, $x$ est d'ordre 2 et $y$ d'ordre 3 ou l'inverse.

Je vais répondre plus loin à ton dernier post. Ici, je raconte comment, dans des cas particuliers, magma s'en sort pour tester si deux groupes finis sont isomorphes et si oui exhiber un isomorphisme. Je dis bien dans des cas particuliers et j'ajoute que n'y connais pas grand chose. On va prendre un exemple qui nous est cher, depuis hier, celui du groupe $G_{12}$ dans la classification de Shephard-Todd. Il se trouve que magma intègre cette classification, dispose d'un chapitre entier sur les groupes de réflections (cela fait partie des 11 chapitres consacrés à ``Lie Theory''). Evidemment, je vais utiliser un tout petit bout de ses possibilités car je suis un peu ignare dans ce domaine (groupes de Coxeter, systèmes de racines, algèbres de Lie, algèbres de Kac-Moody ...etc..).

> G12, plongement := ShephardTodd(12) ;
> G12 ;
MatrixGroup(2, Cyclotomic Field of order 8 and degree 4)
Generators:
    [          -1            0]
    [-z^3 - z + 1            1]

    [          1 z^3 + z + 1]
    [          0          -1]

    [ z^3 + z - 1           -2]
    [-z^3 - z - 1 -z^3 - z + 1]
> plongement ;
Mapping from: GrpMat: G12 to GL(2, CyclotomicField(8))
> GL2F3 := GL(2,GF(3)) ;               
> GL2F3 ;
MatrixGroup(2, GF(3)) of order 2^4 * 3
Generators:
    [2 0]
    [0 1]

    [2 1]
    [2 0]

Voici donc nos deux groupes de la semaine, qui a priori n'ont rien à voir sauf que ``l'on sait'' (il faudra le prouver un jour ou l'autre) qu'ils sont isomorphes. On va demander à magma : mais pour lui, c'est du petit lait car en fait, ils appartiennent à une catégorie de groupes dits polycycliques. Ce que je sais c'est que ce sont des groupes qui ont une présentation très spéciale et qui ont été très étudiés. Et visiblement, magma le ``sait''. Je vais demander une présentation polycyclique de chacun de ces deux groupes :

> PCGroup(G12) ;                       
GrpPC of order 48 = 2^4 * 3
PC-Relations:
    $.1^2 = Id($), 
    $.2^3 = Id($), 
    $.3^2 = $.5, 
    $.4^2 = $.5, 
    $.5^2 = Id($), 
    $.2^$.1 = $.2^2, 
    $.3^$.1 = $.4 * $.5, 
    $.3^$.2 = $.4, 
    $.4^$.1 = $.3 * $.5, 
    $.4^$.2 = $.3 * $.4, 
    $.4^$.3 = $.4 * $.5
Mapping from: GrpMat: G12 to GrpPC
> 
> PCGroup(GL2F3) ;                     
GrpPC of order 48 = 2^4 * 3
PC-Relations:
    $.1^2 = Id($), 
    $.2^3 = Id($), 
    $.3^2 = $.5, 
    $.4^2 = $.5, 
    $.5^2 = Id($), 
    $.2^$.1 = $.2^2, 
    $.3^$.1 = $.3 * $.5, 
    $.3^$.2 = $.4 * $.5, 
    $.4^$.1 = $.3 * $.4 * $.5, 
    $.4^$.2 = $.3 * $.4, 
    $.4^$.3 = $.4 * $.5
Mapping from: GrpMat: GL2F3 to GrpPC

Visiblement, c'est la même présentation polycyclique. C'est donc un jeu d'enfants pour magma

> ok, f := IsIsomorphic(GL2F3, G12) ;
> ok ;
true
> f ;
Mapping from: GrpMat: GL2F3 to GrpMat: G12
Composition of Mapping from: GrpMat: GL2F3 to GrpPC and
Mapping from: GrpPC to GrpPC and
Mapping from: GrpPC to GrpMat: G12

Tu vois que l'isomorphisme exhibé passe par un intermédiaire (l'exemplaire polycyclique).
Mais bien sûr, tous les groupes finis sont loin d'être polycycliques. Alors comment fait magma ? Je n'en sais bigre rien, faut demander à un spécialiste des groupes qui s'intéresse à l'aspect ``computationnel''.

Du nouveau : la réalisation de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ dûe Rubin & Silverberg (je pense), donnée il y a quelques jours :
$$
\mathrm {RSGL}_2(\mathbb F_3) \subset \mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])
$$
est un groupe de transvections me dit mon outil habituel. Mais sa réalisation n'est pas unitaire. Je parie qu'il est linéairement conjugué à $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3) = G_{12}$. Je vais essayer d'en savoir plus. Rappel :
$$
\mathbb Q(\zeta_8) = \mathbb Q(i,\sqrt 2) = \mathbb Q(i,i\sqrt 2) = \mathbb Q(\sqrt 2,i\sqrt 2)
$$
Bref, tout baigne dans $\mathbb Q(\zeta_8)$. Et ce qui est bien avec la réalisation de Rubin & Silverberg, c'est que $1 + \sqrt {-2}$ est de norme 3 dans $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$, (attention pas dans $\mathbb Z[\zeta_8]$ !) et donc permet la réduction modulo l'idéal maximal $\langle 1+z\rangle$ de $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$, de corps résiduel $\mathbb F_3$, acoquinant ainsi la caractéristique $0$ et caractéristique $3$ et permettant une comparaison quasi-canonique. En passant : le groupe binaire tétraédral $\widetilde {A_4}$ est, par définition, à coefficients dans $\mathbb Q(i)$. Tous les intervenants sont là.

Je viens de voir, dans A First Course in Modular Forms (Diamond & Shurman), que la réalisation de Ribet & Silverberg figure dans (la question a de) l'exercice corrigé 9.6.4 pages 397-398. Mais le corrigé est grossièrement faux. il va falloir s'y coller. L'exercice est consacré à la première partie des arguments de Wiles dans son fameux papier (1995) apportant la solution au célèbre résultat (Fermat's last theorem). Du coup, je ne sais pas si la réalisation ci-dessus est dûe à Ribet & Silverberg ou à Wiles. De toutes manières, le $W$ est déja pris pour la réalisation de Waall. Il va sans dire que je ne connais absolument rien au contenu de l'exercice 9.6.4 (il est question de représentations galoisiennes) mais je sais quand même détecter l'erreur dans le corrigé de la première question.

Pour la deuxième question, c'est non, mais il faudra que je donne des exemples pour expliquer ce non.
Quant à ta première phrase, je pense que tu peux ``virer'' le Aut. A mon avis, et on en a déja parlé ... c'est le lien entre l'algèbre et la géométrie !!
$$
\mathbb P^1(\mathbb C) \quad \hbox {versus} \qquad \mathbb C(z)
$$
A gauche, j'ai mis un objet géométrique et à droite un objet algébrique. Qui est le truc de qui ?
Dit autrement, jusqu'à maintenant, on a réussi à s'en sortir avec peu de connaissances sur les courbes algébriques (ou les corps de fonctions algébriques de dimension 1, qui en sont la contre-partie algébrique). Mais combien de temps peut-on (pourra-t-on) tenir ? Comprendre ce qu'est le genre (que ce soit de manière géométrique ou algébrique) n'est quand même pas une mince affaire (on veut pas qu'en causer dans les salons mondains).

Voici une première définition pas tout à fait juste. On dit que $E/k$ est une extension hyper-elliptique si $E$ n'est pas un corps de fractionnelles (à une indéterminée, on baigne toujours dans la dimension 1) et s'il existe $K$, $k \subset K \subset E$, vérifiant :
$$
K \hbox { est un corps de fractions rationnelles à une indét. sur $k$}, \qquad
[E : K] = 2
$$
Et le premier résultat (pour moi spectaculaire) : c'est que $K$ est unique. Ce qui n'est absolument pas évident. Et puisque $K$ est unique, on peut parler de $\mathrm {Aut}(E/K)$ qui est engendré par un automorphisme $\sigma$ de $E/K$, donc d'ordre 2 (un $k$-automorphisme mais aussi un $K$-automorphisme) : c'est l'involution hyperelliptique de $E/k$.

La définition est fausse car il faut écarter le cas elliptique (genre $g= 1$), ce qui demande un peu de temps pour savoir comment je pourrais le dire (j'ai exclus $g = 0$ en virant les corps de fractions rationnelles).

Conseil de lecture (courbes algébriques et corps de fonctions algébriques) ? Il me semble que cela a déjà été évoqué sans vraiment que je ne réponde. Je te dirai ``des choses'' plus tard mais ce qui convient à l'un peut ne pas convenir à l'autre. Il y a eu pour moi au moins deux déclics : la découverte (avec Manu, le Manu des entiers de Manu) du fait que l'on pouvait calculer le genre (d'un corps de fonctions algébriques) en regardant le code Axiom de Manuel Bronstein (il est décédé en 2005, cf http://www.ccas.ru/sabramov/ps/PCS56.pdf). Je ne sais pas si tu te rends compte : comprendre la calculabilité d'un tel objet en allant fouiller dans les sources d'Axiom (qui étaient donc ouverts), cela en dit long sur ... On y voyait qu'il fallait savoir calculer des fermetures intégrales (ce qui n'est pas de la tarte).
Le second déclic, c'est dans le cadre que tu dis $t = F(x)$ où l'on a pigé (toujours avec Manu, faut dire que l'on avait passé pas mal de temps sur le chapitre Valuations de Bourbaki et on était donc très ``valuatif'' à l'époque) en posant $L = k(x)$, $K = k(t) \subset L$, en oubliant $x, t$ (en les perdant dixit C.Q.) que le revêtement $\mathbb P^1 \ni x \mapsto t=F(x) \in \mathbb P^1$ (ici, on voit bien que le statut de $x$ a changé), pouvait être valuativement algébrisé en
$$
W \mapsto V = W \cap K
$$
où $W$ parcourt les anneaux de valuation (discrète) de $L/k$ i.e. $W$ est un anneau de valuation pour $L$ contenant $k$ (le ``pour'' étant comme dans Bourbaki) ; bien sûr, $V$ est un anneau de valuation (discrète) de $K/k$.

Tu vas me dire : mais c'est quoi ce machin et cette réponse qui ne répond pas à ma question. Comme d'habitude, j'ai envie de dire ``mais c'est ma réponse''. Une remarque quand même : à l'époque, il n'y avait pas les possibilités actuelles du Net, et on doit certainement trouver de bons tuyaux sous un moteur de recherche. La preuve, c'est que je viens de retrouver cela, https://arxiv.org/pdf/math/0312284v1.pdf, où cela parle de courbes hyperelliptiques (mais c'est pas dedans que l'on apprend les fondements).
A suivre.

A propos des réalisations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, j'attache ``ce qu'il y a à faire''. J'espère que c'est clair (du point de vue typographique et mathématique). En ce qui concerne la dernière question, expliciter une conjugaison linéaire des deux réalisations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\zeta_8))$, pour l'instant je ne sais pas faire (même avec magma, faut éviter de penser que quand tu l'as avec toi, tu peux faire n'importe quoi). Les groupes en question sont des groupes de réflections et je pense qu'un spécialiste saurait quoi faire. Est ce que tu connais ces choses là ? Je crois que je vais faire un truc bourrin en déterminant les invariants (ce sont des anneaux de polynômes, c'est justement le théorème de Shephard-Todd-Serre) et ensuite je sais pas trop. As tu des idées pour la première question ?

Une alternative à magma (pas gratuit) : Sage et G.A.P (spécialisé en théorie des groupes, je pense).

Ce que je pense (à mon âge) ? Dans tout ouvrage ou document, on peut apprendre des choses. Si tu lis tout Le Stum et si tu fais tous les exercices, tu auras gagné quelque chose. Le problème est de rentrer dans le truc et de s'y amuser un peu (je me souviens par exemple d'avoir implémenté en maple la multiplicité d'intersection, et en magma, je crois). Mais on pourra en reparler (car il y a, pour moi, des fameux non dits).

Oui, on s'amuse bien avec le tétraèdre. Il faut bien sûr avoir conscience que F. Klein l'a fait. Il faut vraiment relire le début du chapitre 3 de Alexa van der Waall. En détails, vraiment en détails. Les fractions rationnellles obtenues par Klein (au début), les observer attentivement. Vraiment. Faire attention aux mots utilisés, par exemple, au début de 3.6 p. 52 ``conjugate'' et pas ``isomorphic''. Regarder les tables de la section 3.4. Enquêter sur ``finite primitive reflection groups''. Et ``these reflection groups are irreducible''. Avoir les idées les plus claires possible ...etc... Ne pas hésiter à revenir en arrière et par moment comprendre que l'on ne peut pas (toujours) faire dans l'approximatif.

Faire dans l'approximatif : C.Q. tu peux parler.
A propos de ToDo.pdf, il faut vraiment laisser tomber les deux dernières questions. Car il s'agit d'un premier jet approximatif et du coup un peu erroné. Par contre, je maintiens la première question. Justement, à propos de l'exemplaire $\mathrm {RSGL}_2(\mathbb F_3)$ (Rubin-Silverbeg), que je note $G$ dans la suite, j'ai repris un peu mes esprits. C'est un groupe de réflections d'ordre 48, mais il n'est pas unitaire. J'ai donc décidé de l'unitariser. J'ai donc moyenné le produit hermitien habituel de $\mathbb C^2$ via $G$:
$$
(z \mid z') = {1 \over \#G} \sum_{g \in G} \langle gz \mid gz'\rangle
$$
de manière à obtenir que $G$ soit unitaire relativement à $(\ \mid\ )$. Et puis utiliser le fait que tous les produits hermitiens sur $\mathbb C^n$ sont ``pareils'' (isomorphes). Du point de vue matriciel, cela revient à (faire) calculer, en désignant par $g^*$ la transposée conjuguée de $g$ :
$$
F = {1 \over \#G} \sum_g g^* g
$$
La matrice $F$ est hermitienne définie positive ; le jeu est de la diagonaliser dans une base orthonormée pour pouvoir écrire $F = W^* W$. Et $W G W^{-1}$ ou bien $W^{-1}G W$ (j'ai pas envire de réfléchir pour l'instant) sera un exemplaire unitaire (pour le produit hermitien habituel) et on espère bien que c'est grosso-modo l'exemplaire $\mathrm {WGL}_2(F_3) = G_{12}$ ($W$ pour Waall, $G_{12}$ pour Shephard-Todd). Hum la lettre $W$ dans $F = W^* W$ n'a rien à voir avec de W de Waalll. Encore que. Bon, çà, c'est la théorie (sur $\mathbb C$), mais nous on doit contrôler les corps de nombres qui vont intervenir. Au début cela se passe dans $\mathbb Q(\sqrt {-2})$ et il ne faut pas hésiter à monter à $\mathbb Q(\zeta_8)$ et plus haut si besoin. A un facteur 2 près, je (enfin magma) trouve
$$
F = \pmatrix {2 & -\zeta_8^3 - \zeta_8 - 1\cr \zeta_8^3 + \zeta_8 - 1 & 2}
$$
Elle est bien hermitienne car $-\zeta_8$ et $\zeta_8^3$ sont conjugués (par la conjugaison complexe) puisque $\zeta_8^4 = -1$. Le polynôme caractéristique est :
$$
\chi_F = T^2 - 4T + 1 \qquad \hbox {de discriminant $12 = 2^2 \times 3$}
$$
Damned : j'ai besoin de $\sqrt {3}$. Je suis donc monté à $\mathbb Q(\zeta_{24})$. Peut-être que j'aurais pu monter moins. Toujours est-il que
$$
F = P \pmatrix {2 + \sqrt 3 & 0\cr 0 & 2-\sqrt 3\cr} P^{-1} \qquad \hbox {avec $P$ unitaire i.e. $P^{-1} = P^*$}
$$
Bref, l'obtention de $W$ est acquise et je n'ai plus qu'à tenter d'achever la chose.

Mais pourquoi $\sqrt {3}$ (ou $j$ c'est pareil car $i$ est dans la course) a-t-il débarqué ?? Je n'en sais rien. Sauf que je me suis souvenu qu'il y a un autre exemplaire de $\mathrm {PSL}_2(\mathbb F_3)$ (attention, ici homographies) qui n'est pas dans $\mathrm {PSU}2(\mathbb C)$ i.e. qui ne provient pas du monde euclidien $\mathbb S^2$ mais du demi-plan de Poincaré (enfin, je crois). J'attache un ``truc''. Il s'agit de l'exécution d'un programme maple. Remplace $\mu$ par $x$ (nos notations). Observe la fraction rationnelle de hauteur 12 et le groupe d'homographies à coefficients dans $\mathbb Z[j]$. Pourquoi $\mu$ ? Plus tard peut-être (le demi-plan de Poincaré ??). A ce propos, regarde le nom que donne Waall aux fractions rationnelles de Klein : $j_G$ car $j$ pour l'invariant modulaire (plus tard peut-être). Bien faire la différence chez Waall entre $G$ et $PG$ (la version projective) $G$ désigne le groupe binaire polyédral. Bien observer les tables au début du chapitre 3 et la notation $\widehat {\mathrm {truc}}$ au lieu de $\widetilde {\mathrm {truc}}$ (chez moi pour $\widetilde {A_4}$). Tout cela est de la dentelle. Ne pas hésiter à revenir en arrière. Bien bétonner le truc et faire le point. Et le cube en homographies ...etc... ?

Laisse tomber $h_1, h_2, h_3$ : c'est devenu obsolète (relire mon post précédent) : il s'agissait de 3 réflections du groupe (que j'avais pris un peu au pif parmi les 12 réflections du groupe) dans l'espoir de faire une comparaison avec le groupe de Waall. Mais faut pas rêver tomber pile-poil sur le Graal en faisant des choses au pif. Du coup, j'ai revu un peu d'hermitien (cela rend modeste) et j'ai fait le coup de l'unitarisation qui est un truc sûr (et standard). C'est le post précédent. Enfin, je pouvais pas inventer le $\sqrt {3}$ sans savoir tout explicité (donc la dernière question est fausse) : on ne travaille pas dans $\mathbb C$ mais dans un corps de nombres assez grand (que l'on ignore, c'est cela le sel de l'affaire).

Attention : quelque chose ne va pas dans ta ligne car $\alpha, \beta$ vivent dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ mais pas $h_1, h_2, h_3$. Rectifie (de toutes façons ne plus parler des $h_i$ et mettre ToDO à la poubelle). Et on pourra causer.
Car il reste la première question. Pas du tout touché. Je pourrais te raconter l'erreur (énorme) dans le corrigé de Diamond & Shurman.

Tu t'amuses bien ?

Bien sûr que je dispose d'une présentation de $\mathrm{GL}_2(\mathbb F_3)$. Et toi aussi car j'ai fourni une présentation polycyclique (relis mes posts où je fais un effort). Elle ne te plait pas ? Je me doute que non (et moi non plus). Mais une présentation, ce n'est PAS canonique :
$$
\mathrm {SL}_2(\mathbb Z) = \langle s,t \mid s^2 = (st)^3, s^4 = 1\rangle =
\langle a,b \mid aba = bab, (aba)^4 = 1\rangle = \langle x,y \mid x^2 = y^3, y^4 = 1\rangle
$$
Tu as des préférences ?

Donc une présentation ce n'est PAS canonique (sauf peut-être si c'est polycyclique). Mais parfois la GEOMETRIE en fournit !! Souviens toi du $R_A \circ R_B \circ R_C = 1$ , $R_A^2 = ..$ ...etc.. Un revêtement de Belyi i.e. avec 3 points de branchement. Les générateurs canoniques d'inertie et tout le truc. Tout à fin, on va peut-être tenir cela, je pense dans l'histoire $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t^2))$ car il est géométrique. Fini le temps où on dit
$$
\mathrm {Gal}(\mathrm {truc/machin}) \simeq \mathrm {chose}
$$
A bas les isomorphismes non contrôlés.
Il faut contrôler la ramification et tout le binz. Essayer de faire un peu de géométrie, quoi.

Corrigé (exo de Diamond & Shurman). Ils justifient que $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3) = \langle \alpha, \beta\rangle$. Merci les gars. Ils disent que l'on peut calculer l'ordre de $\alpha', \beta'$ avec le polynôme caractéristique. Encore merci. Et cela se finit (ou a commencé) par $\alpha \mapsto \alpha'$ et $\beta \mapsto \beta'$ en partant de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ au prétexte que les ordres des éléments sont respectés. Bien sûr, tu as raison de vouloir une présentation. Mais pas pour le côté canonique (c'est que tu ne veux plus faire de géométrie ?)

Quand on agit, on avance un peu ! Ou encore, le contraire : si on lit le fameux exo des Doua..., disons il y a des semaines, que fait-on ? Probablement, on referme le livre. Et on n'avance pas. Oui, non ?

Laisse tomber la présentation polycyclique de truc-muche (c'était une boutade).

Générateurs canoniques d'inertie : jusqu'à maintenant, c'était au niveau $\mathbb P^1$ !! Donc ne pas vouloir faire l'impossible tout de suite (courbe hyper-elliptique).

Tu te doutes que j'ai dû regardé cela il y a longtemps ? La réponse est oui, mais jamais terminé car un m.rdi.r dans ma tête. Le gros progrès ici, ce sont les fameux groupes de réflections que j'ai trouvé (dans la littérature !) avant-hier. Un coup de pot. Et çà, on peut s'en occuper car c'est de l'algèbre (sic). Sauf à mon avis, les auteurs n'on pas dit comment ils les ont trouvé donc faut s'y coller. Mais damned, il sort d'où l'exemplaire de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ contenu dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])$ de Wiles-Ribet-Silverberg ? Au petit déjeuner ? Et les suiveurs disent ``vérifier que ...". Merci les gars. Je corrige : Smith en construit un en expliquant (2-3 pages) mais dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\sqrt {-2}))$.

J'insiste avec des mots-clés : dentelle, bilan, retour en arrière, mise au point ..etc...