Homographies et petits groupes de Galois

J'avais marqué sur un bout de papier ``On a des extensions centrales de $S_4$ par $C_2$, et en général il y en a 3 pour $S_n$ et une seule pour $A_n$''. Impossible de savoir où j'ai vu cela. Quel rapport ? $S_4 \simeq \mathrm {PGL}_2(\mathbb F_3)$.

Rien à voir. L'application anti-podale de $\mathbb S^2$ i.e. $-\mathrm {Id}_3$, n'est pas dans $\mathbb {SO}_3(\mathbb R)$, seulement dans $\mathbb {O}_3(\mathbb R)$. Mais on peut ``quand même la passer'' du côté $\mathbb P^1(\mathbb C)$ i.e. du côté $\mathrm {PGL}_2(\mathbb C)$. On trouve combien à ton avis ?

Bon, j'espère que je ne te fais pas perdre ton temps. Moi, j'ai appris pas mal de trucs. J'ai un peu moins peur des groupes de réflections. J'ai pas regardé Shephard-Todd, car en cas de besoin, j'ai le chapitre 7 de Smith. J'ai aussi moins peur des coordonnées homogènes avec poids pour $\mathrm {Aut}(C)$ où $C$ courbe hyperelliptique. Petits progrès.

As tu vu, chez Alexandra van der Waall, example 3.1.5, p. 42 du chapitre 3, que la dernière fraction rationnelle de cet exemple (pour le cube) n'est PAS le carré de notre $F$ (notre fraction rationnelle pour le tétraèdre). Je recopie la sienne en mettant $x$ à la place de $t$ :
$$
j_G(x) = {(x^8 + 14x^4 + 1)^3 \over 108 x^4 (x^4 - 1)^4}
$$
Même pas peur ?

Oui, bien sûr, changer le cube de position. Mais tu me connais : j'ai entrepris de le faire vraiment i.e. trouver une homographie en haut et en bas qui transforment une fraction rationnelle en l'autre. Et hier soir, j'ai reculé pensant que c'était compliqué. Mais en fait c'est ultra-simple, cf un post à venir. En attendant, j'attache une réponse à $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])$, Gelbart-Ribet-Silverberg. C'est bien plus simple que prévu.

Ok, je vais corriger. Déplacement de la ramification de $F^2$ où $F$ est notre fraction rationnelle (galoisienne) tétraédrale. J'en rappelle la structure de ramification avec les points de branchement (en bas) :
$$
F : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(2)}^{(6)}, \qquad (6i\sqrt{3})_{(3)}^{(4)}, \qquad (-6i\sqrt {3}) _{(3)}^{(4)} \qquad\qquad
2 \times 6 = 3 \times 4 = 3 \times 4 = 12
$$
En indice du bas, j'ai mis l'indice de ramification et en haut le nombre de points dans l'image réciproque. Quant à $F^2$, je la considère comme composée de $x \mapsto t = F(x)$ et $t \mapsto t^2$. En utilisant que $t \mapsto t^2$ a sa ramification en $0, \infty$ d'indice 2, cela donne pour $F^2$ :
$$
F^2 : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(2\times2)}^{(6)}, \qquad (-108)_{(3)}^{(4+4)}, \qquad (0)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
4 \times 6 = 3 \times 8 = 2 \times 12 = 24
$$
Note : $-108$ c'est le carré de $\pm 6i\sqrt {3}$. En louchant sur $j_O(x)$ de Waall page 42 ($O$ pour octaédrale) on voit qu'il faut diviser par $-108$ pour assurer le fait que les points de branchement sont $0, 1, \infty$.
$$
{F^2 \over -108} : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(4)}^{(6)}, \qquad (1)_{(3)}^{(8)}, \qquad (0)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
$$
En observant de nouveau $j_O(x)$, on voit qu'il y a un swap des points $0 \leftrightarrow 1$ à faire, réalisé par l'involution homographique $\mathrm {truc} \mapsto 1 - \mathrm {truc}$:
$$
1 - {F^2 \over -108} = 1 + {F^2 \over 108} : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(4)}^{(6)}, \qquad (0)_{(3)}^{(8)}, \qquad (1)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
$$
En bas, c'est bon pour coïncidence. Et en fait, il n'y a rien à déplacer en haut car nous avons installé (en haut) les points de ramification en les points remarquables du cube ou/et tétraèdre. Et Klein aussi évidemment. Dit autrement, on doit avoir $1 + {F^2 \over 108} = j_O$. Et ma foi, c'est bien vrai (calculette). Et dire que j'ai eu peur de le faire. Bilan $F^2$ est une fraction rationnelle (galoisienne) octaédrale tout ce qu'il y a de plus respectable (même si ces points de branchement ne sont pas tout-à-fait là où ils devraient être).

En théorie des groupes, j'utilisais magma comme un pied (je m'en doutais un peu). J'ai pris le temps de lire la doc (mais pas les 500 pages)

> Generators(GL2F3) ;
{
    [2 0]
    [0 1],

    [2 1]
    [2 0]
}

Ci-DESSUS, c'est le système de générateurs par défaut de magma. Mais je vais changer de système de générateurs en prenant les matrices $\alpha, \beta$ qui nous sont chères cette semaine (je mets une majuscule, tu vas voir pourquoi)

> Alpha, Beta ;
[2 1]
[2 0]

[1 2]
[1 1]
> GL2F3 := sub < GL2F3 | Alpha, Beta > ;
> assert Generators(GL2F3) eq {Alpha, Beta} ;
> assert GL2F3.1 eq Alpha  and  GL2F3.2 eq Beta ;

Désormais, tout va être référencé par rapport à ces deux matrices, dans l'ordre indiqué. On peut obtenir une présentation en $\alpha, \beta$. On y voit 3 relations, d'ailleurs assez simples : la première est $\alpha^3 = 1$, ...etC..

> G<alpha, beta>, Psi := FPGroup(GL2F3) ;
> G ;
Finitely presented group G on 2 generators
Relations
    alpha^3 = Id(G)
    (alpha * beta^-1)^2 = Id(G)
    (alpha^-1 * beta^-3)^2 = Id(G)
> Psi ;
Isomorphism of GrpFP: G into MatrixGroup(2, GF(3)) of order 2^4 * 3 induced by
    alpha |--> [2 1]
    [2 0]
    beta |--> [1 2]
    [1 1]
> Psi(alpha) eq Alpha and Psi(beta) eq Beta ;
true

Et puis, on peut obtenir l'écriture de n'importe quelle matrice sur $\alpha, \beta$:

> PsiInv := Inverse(Psi) ;
> g := Random(GL2F3) ;
> g ;
[1 0]
[0 2]
> PsiInv(g) ;
alpha * beta * alpha
> g := Random(GL2F3) ;
> g ;
[1 0]
[2 2]
> PsiInv(g) ;         
beta^2 * alpha * beta^2 * alpha * beta^2 * alpha * beta * alpha^-1

Bon, j'arrête de faire joujou. Pour l'instant, cela sert plus à rien mais il est préférable d'être prêt en cas de besoin.

A propos des diverses réalisations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, je commence à y voir un peu plus clair. Mais je vais oser poser une question de débutant sur les représentations linéaires des groupes finis. D'abord, je pense pouvoir dire que la représentation de Ribet-Sillverberg-Wiles est probablement la plus fine du point de vue arithmétique car elle est au dessus de l'ANNEAU quadratique $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$. Ce n'est pas le cas de l'autre $G_{12}$, car, d'une part y a un dénominateur et d'autre part, elle est au-dessus du CORPS $\mathbb Q(\zeta_8)$, qui contient $\mathbb Q(\sqrt {-2})$, mais pas au dessus de l'anneau des entiers de ce corps cyclotomique.

Ces deux représentations sont conjuguées dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb C)$ car j'ai vérifié l'égalité les deux caractères. Et je suis persuadé (hum) qu'elles le sont dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\zeta_8))$. Bêtise : il faut monter plus haut Bien sûr le caractère est à valeurs dans $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$ puisque l'on y tient une représentation. Note que $\mathbb Q(\zeta_8)$ est le plus petit corps cyclotomique contenant le corps quadratique $\mathbb Q(\sqrt {-2})$.

J'en viens donc à ma question de débutant (pas fier). Soit $\rho : G \to \mathrm {GL}_n(\mathbb C)$ une représentation linéaire d'un groupe fini $G$ d'ordre $N$ et $\chi$ son caractère. C'est bien vrai que $\chi : G \to \mathbb C$ prend ses valeurs dans le corps cyclotomique $\mathbb Q(\root N \of 1)$ ?? Je note $k$ le corps de nombres engendré sur $\mathbb Q$ par les valeurs de $\chi$. Cela ne doit pas être vrai que $G$ admet une représentation linéaire $\rho' : G \to \mathrm {GL}_n(k)$ ? Modification merci gai-requin. Est ce que c'est vrai que $G$ admet une représentation $\rho' : G \to \mathrm {GL}_n(k)$ conjuguée dans $\mathrm {GL}_n(\mathbb C)$, à la représentation $\rho$ ? Si ce n'est pas vrai, contre-exemple ? Mais si au lieu de $\mathbb C$ au départ j'avais pris un sous-corps $K \subset \mathbb C$ ?? Ajout Je crois que je me mélange les pinceaux entre le lieu de vie des représentations et le lieu de vie des éventuelles conjugaisons.

Ce qui me fait dire qu'il doit y avoir des subtilités, c'est le théorème de Clark-Ewing. Soit $\rho : G \hookrightarrow \mathrm {GL}_n(\mathbb C)$ une représentation linéaire d'un groupe fini engendré par des pseudo-réflections. Alors $\rho$ est équivalente à une représentation définie sur le sous-corps de $\mathbb C$ engendré par les caractères de $G$ sur $\mathbb C^n$.

Je ne suis même pas sûr de comprendre l'énoncé (surtout les 5 derniers mots de la fin) : j'ai essayé de le recopier tel quel. Sauf que j'ai fait une traduction anglais -> français (enfin je pense). Il faut noter le coup de engendré par des pseudo-réflections (sinon, il n'y aurait pas de théorème de Clark-Ewing).

Bref, j'aimerai comprendre un peu mieux cette histoire de rationalité, avec exemples et contre-exemples, si possible. Comme je suis un gentil garçon, j'ai acheté il y a très longtemps l'ouvrage de Serre (Représentations linéaire des groupes finis), mais évidemment je n'ai lu que quelques chapitres. Je vois qu'il est question de rationalité aux chapitres 12, 13 (exemples), qui viennent après les théorèmes d'Artin et de Braueur (mais avant la théorie de Braueur).

Enfin, dans notre petite histoire, il y a une sacrée subtilité : la représentation fine de Ribet-Silverbeg-Wiles n'est pas unitaire i.e. à valeurs dans $\mathbb U_2(\mathbb C)$. Peut-être que l'on ne peut pas gagner sur tous les tableaux ? Mais c'est le cas de $G_{12} = \mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ (Waall). Mais pas n'importe quelle représentation unitaire !! Car en coordonnées habituelles, c'est EXACTEMENT le groupe des automorphismes de $y^2 = x^5 - x$.

Note : pour l'instant, je ne sais pas conjuguer explicitement la représentation de Ribet-.. et celle unitaire de Waall. C'est pas faute d'avoir essayé. J'ai cru comprendre qu'il fallait montrer à $\mathbb Q(i,\sqrt 2, \sqrt 3) = \mathbb Q(\zeta_{24})$, mais je cale.

AJOUT Il y a des choses contradictoires dans ce que j'ai écrit. Car les deux représentations (celle de Ribet-... et celle de Waall) sont des groupes de réflections. Fort possible que je me mélange les pinceaux en faisant intervenir une troisième représentation, celle que que j'ai obtenue en unitarisant celle de Ribet-... (moyenne du produit hermitien habituel sur le groupe fini, truc classique quand on baigne dans $\mathbb C$ et que l'on se fiche de la rationalité). Ce qui m'a obligé à monter à $\mathbb Q(\zeta_{24})$. Et dire que j'ai mentionné au début ``je commence à y voir plus clair''. J'ai maintenant envie de dire : je n'y comprends plus rien (où a lieu l'équivalence dans le théorème de Clark-Ewing ?). Mamma-mia.

Oui, merci. J'ai corrigé. Enfin, j'ai essayé. Par contre, je n'ai pas essayé de cacher un certain état de confusion dans lequel je suis. Et je crois comprendre, qu'en dimension 2, il y a 3 représentations irréductibles de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ : une serait rationnelle, et les deux autres conjuguées au sens complexe. Peut-être que je devrais arrêter d'utiliser l'adjectif ``conjuguées'' pour deux représentations ? Et dire ``isomorphes'' (en précisant éventuellement sur quel sous-corps de $\mathbb C$ l'isomorphie a lieu) ? Quel est l'usage officiel ? Et réserver le mot conjugaison pour $\mathrm {Aut}(\overline {\mathbb Q}/\mathbb Q)$ qui risque de débarquer. Ou plutôt $\mathrm {Aut}(\mathbb Q(\root\infty\of 1)/\mathbb Q)$ où $\mathbb Q(\root\infty\of 1)$ est l'extension cyclotomique maximale de $\mathbb Q$.

> CharacterTable(GL2F3) ;

Character Table of Group GL2F3
------------------------------

----------------------------------
Class |   1  2  3  4  5  6   7   8
Size  |   1  1 12  8  6  8   6   6
Order |   1  2  2  3  4  6   8   8
----------------------------------
p  =  2   1  1  1  4  2  4   5   5
p  =  3   1  2  3  1  5  2   7   8
----------------------------------
X.1   +   1  1  1  1  1  1   1   1
X.2   +   1  1 -1  1  1  1  -1  -1
X.3   +   2  2  0 -1  2 -1   0   0
X.4   0   2 -2  0 -1  0  1  Z1 -Z1
X.5   0   2 -2  0 -1  0  1 -Z1  Z1
X.6   +   3  3  1  0 -1  0  -1  -1
X.7   +   3  3 -1  0 -1  0   1   1
X.8   +   4 -4  0  1  0 -1   0   0

Explanation of Character Value Symbols
--------------------------------------

# denotes algebraic conjugation, that is,
#k indicates replacing the root of unity w by w^k

Z1     = (CyclotomicField(8: Sparse := true)) ! [ RationalField() | 0, -1, 0, -1 ]

Je crois voir, en dimension 2, X.3 qui serait rationnelle ? Et X.4, X.5 qui seraient conjuguées au sens de la conjugaison complexe ? Je délire ? Mais c'est quoi cette représentation X.3 ? Et on croit voir aussi X.6, X.7 de dimension 3 puis X.8 de dimension 4. Je ne sais pas lire la table ?

Tu parles des deux lignes $p = 2$ et $p = 3$ ?? Ce sont les diviseurs premiers de $48 = \#\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$. On y raconte ce qui s'y passe concernant l'élévation à la puissance $p$. On y voit par exemple que $x \mapsto x^3$ préserve la classe de conjugaison numéro 7 (constituée de 6 éléments d'ordre 8). Bien sûr, elle écrase la classe 4 (qui est constituée de 8 éléments d'ordre 3) sur la classe 1. Peut-être pas grand chose à voir dans ces 2 lignes concernant $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$. Des fois, c'est plus mieux, car on voit que $x \mapsto x^p$ permute des classes.

C'est bien cela que tu demandais ?

La colonne 1, celle où il y a des + ou 0, je ne connais pas (c'est là ou magma indique ce qu'il sait des Frobenius-Schur indicators).

Tu connais la représentation rationnelle en dimension 2 ? Et tant qu'à faire les autres ?

J'allais te le dire (de manière un peu différente mais équivalente). A l'intérieur de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, on a un (unique) sous-groupe des quaternions $Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j \pm k\}$ qui est normal (et même caractéristique). Et l'on a $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)/Q \simeq S_3$ (cf plus loin). En faisant opérer $S_3$ sur l'hyperplan $x_1+x_2+x_3 = 0$ de $\mathbb Q^3$, on obtient une représentation de dimension 2, irréductible rationnelle de $S_3$, et par suite de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ (par quotient).

A propos de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)/Q \simeq S_3$. Tu sais bien comme je suis capricieux, et il faut absolument que l'on me dise qui est ce 3. Géométriquement, cela doit être lié aux trois axes $\mathbb Re_1, \mathbb Re_2, \mathbb Re_3$ de $\mathbb R^3$ et à $\mathrm {SO}(\mathrm {cube)}$ qui est le quotient de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ par son centre $\pm 1$. Plus terre à terre (et algébriquement, en restant là où l'on est), le $3$ c'est l'ensemble $X = \{ \{\pm i\}, \{\pm j\}, \{\pm k\}\} $. Le groupe $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ agit par conjugaison sur $X$, et le morphisme obtenu $\mathbb {GL}_2(\mathbb F_3) \to \mathrm {Perm}(X) = S_3$ est surjectif, de noyau $Q$.

Et le coup des axes, c'est bien lié au cube avec la surjection :
$$
\mathrm {SO}(\mathrm {cube}) = \mathrm {SO}(\{ e_1, e_2, e_3, -e_1, -e_2, -e_3\}) \twoheadrightarrow
\mathrm {Perm}(\mathbb Re_1, \mathbb Re_2, \mathbb Re_3) = S_3
$$
Retournerait-on de là où l'on est parti ?

Note : je crois que l'on peut ainsi obtenir les deux représentations irréductibles de dimension 3.

Enfin, je ne peux pas m'empêcher de me faire le petit plaisir qui vient. La surjection ci-dessus a pour noyau les 4 matrices diagonales (de déterminant 1, à coefficients $\pm 1$), groupe isomorphe à $C_2 \times C_2$. Et cette surjection est canoniquement scindée par $\sigma \mapsto \varepsilon(\sigma)P_\sigma$. Et c'est bien pour cette raison que l'on peut écrire les 48 isométries du cubes (directes ou indirectes) en une seule ligne :
$$
(x_1, x_2, x_3) \mapsto (\epsilon_1 x_{\sigma(1)}, \epsilon_2 x_{\sigma(2)}, \epsilon_3 x_{\sigma(3)}), \qquad \sigma \in S_3, \qquad \epsilon_i \in \{\pm 1\}
$$
Bon, on cause, on cause. Et ``notre affaire'' ? (euh, laquelle ?)

Oui, ce groupe fini unitaire de réflections $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ mérite notre estime. Ainsi que tous les groupes finis qui gravitent autour (Waall, Shephard-Todd). Je le dis au pif mais je suis persuadé de l'importance des groupes $G(m, p, n)$ qui interviennent chez Shephard-Todd p. 291 (9.1, 9.2, 9.3), et sous une nomenclature légèrement différente chez Smith. Je me pose l'éternelle question : comment se fait-il que je n'arrive pas à lire l'inforrmation en 5 minutes, en ce qui concerne ce $G(m,p,n)$, alors que des gens l'ont fait puisque c'est implémenté en magma.

Suite à ta question. Il s'agit d'une question sur les automorphismes de la courbe hyper-elliptique $y^2 = x^5-x$. On sait ce qu'il faut montrer (on n'est pas à la recherche d'un isomorphisme entre deux groupes abstraits) : il n'y a plus qu'à le faire ! Il faut donc régler dans un cadre le plus général possible le coup de l'homographie ${a x + b \over cx +d}$ et du $e$, si tu vois ce que je veux dire par là.

Et je viens de comprendre que $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ est aussi le groupe des automorphismes de $y^2 = x^8 + 14x^4 + 1$. Le polynôme de degré 8 que tu vois a pour racines les 8 sommets du cube. Alors que $x^5 - x$ a pour racines les 6 centres des faces (je suis à jeun et je sais bien que $5 \ne 6$ mais il faut tenir compte de $\infty$, je me comprends). Donc ici, une courbe hyper-elliptique de genre $g=3$ because $2g + 2 = 8$.

Et on pourrait faire la même chose avec les 12 milieux d'arêtes. Et même mélanger les genres (c'est le cas de le dire) car j'ai fait mu-muse (avec magma) avec $y^2 = (x^5-x)(x^8 + 14x^4 + 1)$. Tout cela étant dû au fait que les homographies attachées aux matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ permutent l'ensemble des points fondamentaux.

Réalisation habituelle du groupe diédral $D_n$, cela ne veut absolument rien dire : "habituelle" pour qui ?

En ce qui concerne $D_n$, peut-être que l'on ne se comprend pas. Par exemple, Serre utilise (avec les notations que tu devines) :
$$
r \mapsto \pmatrix {\omega & 0\cr 0 & \omega^{-1}}, \qquad
s \mapsto \pmatrix {0& 1\cr 1 & 0}
$$
Ce n'est pas celle fournie par magma via ShephardTodd(n,n,2). Mais bien sûr, elles sont isomorphes (à vérifier quand même !).

Quant à l'autre question, c'est au dessus du corps $\overline {\mathbb Q}$, plus raisonnablement $\mathbb Q(\zeta_8)$. Au dessus de $\mathbb Q$, on obtient seulement 16 automorphismes parmi les $48 = \#\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$. Un peu bourrin mais :

> Q := RationalField() ;
> QX<X> := PolynomialRing(Q) ;
> C<x,y,z> := HyperellipticCurve(X^8 + 14*X^4 + 1) ;
> C ;
Hyperelliptic Curve defined by y^2 = x^8 + 14*x^4 + 1 over Rational Field
> Genus(C) ;
3
> time G, Phi := AutomorphismGroup(C) ;
Time: 0.090
> #G ;
16
> for g in G do Phi(g) : Minimal ; end for ;
(x : y : z) -> (x : y : z)
(x : y : z) -> (x : -y : z)
(x : y : z) -> (x - z : 4*y : -x - z)
(x : y : z) -> (z : y : -x)
(x : y : z) -> (x + z : 4*y : x - z)
(x : y : z) -> (z : y : x)
(x : y : z) -> (x + z : 4*y : -x + z)
(x : y : z) -> (x - z : 4*y : x + z)
(x : y : z) -> (x : y : -z)
(x : y : z) -> (x - z : -4*y : -x - z)
(x : y : z) -> (z : -y : -x)
(x : y : z) -> (x + z : -4*y : x - z)
(x : y : z) -> (z : -y : x)
(x : y : z) -> (x + z : -4*y : -x + z)
(x : y : z) -> (x - z : -4*y : x + z)
(x : y : z) -> (x : -y : -z)

Ceci correspond aux 16 matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ qui sont PROJECTIVEMENT $\mathbb Q$-rationnelles. J'ai mis projectivement en majuscule car il y a ici un truc pas piqué des vers (comme on dit chez moi). Ce n'est pas une mince affaire de savoir si une matrice $2 \times 2$ est égale, à un scalaire près, à une matrice à coeffficients dans $\mathbb Q$. Attention encore une fois de ne pas confondre matrices $2 \times 2$ et homographies. Il y a encore de la dentelle par ici.

Plus sur la géométrie du groupe $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ ; enfin plus de questionnements.

Bonjour Rescassol,

Non, je ne sais pas (pour un particulier). Tu peux peut-être envoyer un mail à admin@maths.usyd.edu.au (Geoffrey Bailey), c'est là que je transmets mes rapports de bugs (ou peut-être directement geoff.bailey@sydney.edu.au). Aucune idée s'il va te répondre : j'ai affaire à eux depuis des années et assez souvent les échanges sont chaotiques (car dans l'équipe, ils m'ont l'air surbookés). Je suppose que sur leur site, tu t'es fait une idée de ce que le langage peut offrir. Je n'arrive pas à mettre la main sur le pdf du handbook total (environ 6000 pages) seulement à des morceaux pas toujours à jour. Je ne pense pas que magma intègre ``des choses comme tu fais'' mais c'est probablement pas cela qui t'intéresse.

Es tu sûr que tu ne peux pas passer par ton école (tes écoles) d'ingénieurs même si cela n'a rien à voir avec ce que tu y pratiques ? Certes, il faut bien avouer que magma est plutôt fait pour des matheux que pour des ingénieurs (pour lesquels des systèmes comme Mathematica seraient plus adaptés, mais en fait je n'en sais rien). Ce que je peux te dire c'est que j'ai appris beaucoup de mathématiques à travers magma.

Salut à toi et bon courage.
PS : je n'ai aucune action dans magma comme on pourrait peut-être le croire.