Tu connais un exemple "simple" où l'on peut faire les calculs ? Parce que je vais vraiment avoir du mal a encaisser les fermetures intégrales et tout sans une motivation, je ne suis pas assez costaud pour affronter toute la théorie (td)
Par exemple, pour le genre, je suis resté sur une formule dans le cadre lisse plane (j'ai pas de définition du genre, comme d'habitude).
@flip flop
Avoir la main, avoir la main. Ici, le calcul de la fonction zeta d'une courbe lisse projective $C$ (en fait de son corps de fonctions algébriques $L$, t'es lourd CQ), je n'ai aucune idée des algorithmes mis en jeu. J'ai cru comprendre, dans les dernières versions de magma, que l'on peut même calculer, sous forme de fraction rationnelle, la fonction zeta d'une courbe non nécessairement lisse.
J'essaie de répondre à tes posts. J'ai voulu insister sur le fait que nous, petits joueurs de la dimension 1 avec les courbes projectives lisses, on a intérêt à travailler avec les corps de fonctions algébriques, tout en coloriant la chose de manière géométrique, quand on est capable de le faire.
Ne pas nécessairement vouloir aller jusqu'au bout pour choper la courbe lisse. Tu as vu gai-requin : il n'a pas envie de se payer encore une fois ``quartic to cubic'' gai requin : quartic pas quadric. Mais toi, tu peux penser que gai requin, c'est un petit joueur, et peut être essayer sur $\mathcal F_4/\langle \sigma \rangle$ avec ton $\sigma$ d'ordre 4.
J'ai traité (mais pas montré sur le forum) $\{x^4 + y^4 = z^4 \} /\langle x \leftrightarrow y\rangle$ jusqu'au bout. Effectivement, cela calme.
Calcul du genre. Nous à la main, dans des cas simples, on peut parfois utiliser Riemann-Hurwitz. On l'a fait de temps en temps. Pour une courbe plane définie par un polynôme en deux variables $F$ de degré $d$, le genre (géométrique) de $\{ F = 0\}$ est donné par :
$$
g = {(d-1)(d-2) \over 2} - \sum_P \dim_k {\mathcal O'_P /\mathcal O_P}
$$
La somme de droite porte sur les points singuliers de la courbe y compris les points à l'infini. Ici $\mathcal O_P$ désigne l'anneau local au point $P$ et $\mathcal O'_P$ sa fermeture intégrale (désolé) dans le corps des fonctions. Inconvénient : on sort du corps de base i.e. ce n'est plus $k$-rationnel. A la main sur des petits exemples c'est jouable. De manière automatique, faut être lucide, ce n'est pas si simple : $\overline k$ sur le papier, c'est peinard mais en algorithmique algébrique efficace, beaucoup moins.
Un cas facile cependant (mais toujours si on accepte de sortir du corps de base) c'est quand les points sont de multiplicité ordinaire. Alors :
$$
\dim_k {\mathcal O'_P /\mathcal O_P} = {e_P(e_P - 1) \over 2} \qquad \hbox {où $e_P$ est la multiplicité de $P$}
$$
Tiens au lieu de causer dans le vide. Une courbe qui provient du Perrin (j'espère que je ne commets pas d'erreur en recopiant) :
$$
F(X,Y) = 4(X^2 + Y^2)^2 - 4X(X^2-3Y^2) - 27(X^2 + Y^2) + 27 = 0
$$
Elle a 3 points singuliers ordinaires de multiplicité 2. Donc elle est de genre 0. Excellent exercice : la paramétrer par $\mathbb A^1$ ou $\mathbb P^1$ en utilisant des points rationnels. On en trouve en faisant $Y = 0$, par exemple $(X=1, Y=0)$.
Lucide, Bis. Ne pas être dupe : quand on demande telle chose à magma, il faut avoir conscience que des algorithmes pas piqués des vers s'exécutent, dans des terrains que tu n'aimes pas toujours (anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind ...etc..). Et que l'on est bien content quand même d'avoir le résultat.
Enfin, est ce que je peux reprendre ta session sur les invariants ? Même si je n'ai pas compris où tu voulais en venir (1-1). Une partie de pour l'instant. Car telle quelle, elle est difficilement compréhensible. Sais tu que j'y ai appris des choses ?
@flip flop
Je jette juste un oeil sur ton quotientfermat.pdf
Frileux ? T'as besoin d'une petite laine ? Mais non, je ne parle pas de la température à Grenoble. Juste que tu démarres en affine. Pourquoi ne pas avoir comme ambition, dès le départ, de déterminer le quotient $\{x^4 + y^4 + z^4 = 0\}/\langle\sigma\rangle$ ton $\sigma$ d'ordre 4 ? De la courbe projective. Pourquoi se mettre en affine dès le départ ? Par contre, présenter le corps des fonctions de $\mathcal F_4$ de manière affine, oui. Ce n'est pas la même chose. Car de toutes manières, avec des notations que tu devines :
$$
\Q(x,y,z)_0 = \Q(x/z,\ y/z) = \Q(x/y,\ z/y) = \Q(y/x,\ z/x)
$$
Je vois aussi que tu quotientes plus que la courbe affine (tu quotientes son ambiant $\mathbb A^2$). A suivre.
Pour la session magma : je ne sais pas comment bien présenter les choses ! C'est un peu le soucis ! (ps : le calculateur du site n'a pas de mémoire ...si tu vois ce que je veux dire ... il fait un clear all a chaque exécution).
Ah non, je veux pas faire quadric to cubic, j'ai bien compris que vous aviez vraiment galéré ! Naïf comme je suis, je voulais trouver un truc qui donne la courbe lisse direct :-)
Pour le pdf ... je n'ai pas encore fais mon $\sigma$ ... enfin c'est fait dans ma tête (et par morceau dans le fil) mais pas écrit sur le papier. A faire. Faut trouver la motivation !
Froid à Gre, non non pas la moindre trace de neige (< 2000m) les stations de ski de moyenne montagne vont encore avoir du mal cette année.
@flip flop
Pas quadric to cubic, mais quartic to cubic : fournir une équation cubique pour une quartique (degré 4), pas de n'importe quelle forme, connaissant un point rationnel. J'estime qu'il faut faire cela une fois dans sa vie, sinon on passe à côté d'un grand moment, je t'assure.
En ce qui concerne magma et les exécutions sous le calculateur en ligne, c'est purement et simplement de la folie. Vous allez vous tuer (je sais de quoi je parle, je connais un peu magma .. mais pas le calculateur en ligne). De toutes façons, un langage de programmation c'est forcément cryptique donc le rendu est toujours compliqué (de plus, pour vous, c'est la galère).
A propos de langage ou système, je ne compare jamais untel ou untel car c'est bien connu de la part des programmeurs ou utilisateurs de systèmes: nous sommes tous de mauvaise foi et en général, c'est du genre ``mon langage est mieux que le tien''. J'émets juste un bémol (donc je me contredis) sur ce qu'a dit gai-requin l'autre jour en parlant de ``maple plus intuitif". Ben, en 20 ans d'enseignement (de maple), je n'ai jamais compris la sémantique de ce système et pire que cela, je me suis toujours demandé s'il y en avait une (sémantique). Comme je suis un gentil garçon (sic), j'ai bien commencé à lire (mais c'était juste au début de ma retraite) le maple-explique d'une personne en qui j'ai beaucoup confiance in https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/Papers/Maple-explique.pdf. En particulier, le fameux modèle ``Read-Eval-Print'' (chapitre 2). Bon globalement, cela fait 195 pages, cela ne se lit pas en prenant son café.
Venons en aux invariants. Bien sûr, je ne crois pas mais pas du tout que cela va aider à trouver la belle courbe lisse (je ne crois pas du tout au Père Noël). Mais cela peut aider à AUTRE CHOSE.
J'essaie de rendre compte de la première partie de ce que tu as fourni. C'est pas si facile. J'ai changé les noms de variables (dans ce que tu as montré, il y avait de la destruction de variables) et à mon âge, depuis des années, je désigne par $h_1, h_2, \cdots$ un h.s.o.p. (homogeneous system of parameters).
Bon jusque là, en principe, on doit comprendre de quoi il est question. J'ai montré le groupe $G$ et on voit que cela se passe dans $\Q[x,y]$ noté ici P. Là où cela se complique, c'est ta ligne Module qui vient ensuite. Il faut savoir que $R = \Q[x,y]^G$ est un module de type fini sur $\Q[h_1, h_2]$ où $h_1 = x^2 + y^2$ et $h_2 = x^4 + y^4$. En fait, ce module est ici libre.
Ci-dessus, cela devient cryptique à mon avis. Le grading de $M$ c'est parce que $1$ est de degré $0$ et $x^3y - xy^3$, de degré 4. Mais j'ai essayé de montrer ce que tu ne pouvais pas faire (et qui d'ailleurs va être inutilisé, mais c'est une autre histoire).
Là où cela se complique encore, c'est quand on regarde l'anneau sur lequel est monté le module (je fais d'ailleurs cela pour donner les noms que je souhaite).
> // L'anneau A, isomorphe à k[Hsop], sur lequel est monté M
> // h1 <-> Hsop[1], h2 <-> Hsop[2]
> A<h1,h2> := BaseRing(M) ;
> A ;
Graded Polynomial ring of rank 2 over Rational Field
Order: Lexicographical
Variables: h1, h2
Variable weights: [2, 4]
> Degree(h1) ;
2
> Degree(h2) ;
4
C'était juste un aperçu de .. Je n'ai pas traité ici ta dernière ligne i.e. Algebra(R) car encore des choses pas si simples à comprendre.
La petite blague : c'est gai requin qui a dit quadric to cubic :-D, D'ailleurs il est pas là Gai requin :-S
Oui oui, pour le calculateur, j'ai juste le script (que je laisse ouvert sur un page web, c'est pour ça que j'ai mis les matrices s1 s2 s3 etc) que j'ai montré et des autres trucs mais c'est vraiment chiant ! Disons que c'est pas trop grave pour l'instant si on arrive a comprendre cette situation, je serai déjà super content de l'aide de Magma ;-)
Mapple, je ne connais pas du tout ! Si je me souviens, j'ai du faire un truc sur Grobner en licence mais je me souviens de rien ! NI la théorie, ni le langage !
Merci pour l'analyse Claude ! Je te suis pour l'instant !
Maintenant, y'a le dernier truc à régler ...
Déjà un truc dans mon code :
M, f := Algebra(R); // l'algebre
f;M;
En fait je n'utilise pas du tout ça ! C'était un test je pense (pas enlevé because calculateur).
Je pense que le truc important c'est :
L := Relations(R);
L;
Géométriquement --- je fais le méga bourrin, ça passe ou ça casse comme dirai Krivine premier paragraphe --- Donc géométriquement, ce n'est pas possible que le quotient de $\mathbb{A}^2$ soit un truc isomorphe à $\mathbb{A}^3$. D'ailleurs, si tu te souviens a un moment je t'ai demandé si tu avais une interprétation du fait que tu as enlevé un invariant ? (a part que l'on veut être dans le plan, je pense c'était l'exemple de Klein).
Du coup, le quotient de $\mathbb{A}^2$ se réalise dans l'espace comme une surface d'équation la relation $L$ du code Magma.
Qu'est ce que tu en dis ? N'hésites vraiment pas a détruire ce que je raconte par ce que pour le moment c'est vraiment spéculatif, je ne maîtrise vraiment rien ! Mais comme je vois une certaine harmonie, je me dis que c'est probablement pas si stupide que ça !
Si ça passe faudra que je me tape le cours sur les invariants B-)-
@flip flop Je réponds à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1381720#msg-1381720
Soit, en caractéristique $\ne 2$, le groupe cyclique $G$ d'ordre 4 engendré par $\pmatrix {0 & -1\cr 1 & 0\cr}$ que l'on fait agir sur $\mathbb A^2$ comme on le pense et également sur $k[X,Y]$ (attention à gauche versus droite, mais ne pas trop se faire peur avant 2017).
L'algébriste dit :
$$
k[X,Y]^G = k[u,v,w] \quad \hbox {avec} \quad \cases {u = X^2 + Y^2\cr v = X^4+Y^4\cr w = XY(X^2-Y^2)\cr} \quad \hbox {et} \quad
k[u,v,w] = k[U,V,W]/\langle F\rangle, \quad F = U^4 - 3U^2V + 2V^2 + 2W^2
$$
Le géomètre dit l'application canonique $\mathbb A^2 \to \mathbb A^2/G$ est un morphisme de variétés affines qui s'identifie à
$$
\mathbb A^2 \to V(F) \subset \mathbb A^3, \qquad
(x, y) \mapsto \big(u=x^2+y^2,\ v = x^4+y^4,\ w= xy(x^2-y^2)\big)
$$
Ils disent la même chose.
Est-ce que le géomètre ne pourrait pas aussi être tenté d'introduire
$$\pi : \mathbb P^2\rightarrow \mathbb P^3,\qquad (x:y:z)\mapsto (x^2z^2+y^2z^2:x^4+y^4:xy(x^2-y^2):z^4)?$$
@flip - flop
T'as vu, moi je suis resté en affine comme tu voulais. Tandis que gai-requin, il veut absolument t'embarquer dans du projectif. C'est pas moi, c'est lui.
@gai requin
J'ai fait la totale, de A à Z, en partie à la main, de $\{x^4+y^4=z^4\}\rightarrow E$ où $E$ est la courbe elliptique quotient par $x\leftrightarrow y$. J'en ai un peu bavé mais le résultat n'est pas si compliqué et surtout tout est contrôlé.
@gai requin
C'est surtout $y^2 = x^3 + x$ qui m'a occupé. En fait, dans Ireland & Rosen (je te recommande cet ouvrage A classical Introduction to Modern Number Theory, un véritable bijou) le cas ``local'' $y^2 = x^3 - Dx$ est traité. Donc il n'y a plus qu'à recopier. Mais le traitement ($D$ quelconque) fait intervenir un résidu biquadratique et je me suis aperçu que pour $D = -1$ i.e. le cas $y^2 = x^3+x$, le symbole de Legendre suffisait (pour l'instant comme souvent chez moi, c'est expérimental). Ireland & Rosen utilisent les sommes de Gauss et de Jacobi (pas les courbes elliptiques sur les corps finis) et faut voir ce que l'on peut faire directement dans le cas particulier $y^2 = x^3 + x$.
Si $E$ est une courbe elliptique rationnelle définie par une équation de Weierstrass $\mathbb Z$-minimale, on considère, plutôt que $\#E(\mathbb F_p)$, le nombre
$$
t_p = p+1 - \#E(F_p)
$$
Pour notre $y^2 = x^3 + x$, l'anneau $\mathbb Z[i\rbrack$ intervient. Si $p$ est un premier $\equiv 1 \bmod 4$, il s'écrit $\pi\overline \pi$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$, de manière unique si on normalise la factorisation par $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Note que $\pi + \overline \pi$ est un entier. Alors
$$
t_p = \cases {0 & si $p = 2$ ou $p = 3 \bmod 4$ \cr
\left( {2 \over p}\right)(\pi + \overline \pi) & si $p = 1 \bmod 4$}
$$
C'est de l'arithmétique. Mais en l'écrivant comme cela, je constate le côté sordide de la chose. Et on est loin de l'assemblage pour tomber sur la forme modulaire de poids 2 pour $\Gamma_0(64)$.
Stop au sordide, sorry. Ci-après, juste pour jouer. Un petit truc minus. Soit $p$ premier impair et $f \in \mathbb F_p[X]$ un polynôme de degré $\ge 3$. Je note $\#\{ y^2 = f(x)\}_{\mathbb P^1}$ le nombre de points de $y^2 = f(x)$ sur $\mathbb F_p$ en tenant compte de l'unique point à l'infini. Alors
$$
\#\{ y^2 = f(x) \}_{\mathbb P^1} = p+1 - t \qquad \hbox {avec} \quad t = -\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p}\right)
$$
Why ??
Et cela donne quoi si $f$ est impair et $p \equiv 3 \bmod 4$ ?
Tu ne peux pas savoir le nombre d'ouvrages que j'ai rentabilisés grâce à toi. ;-)
Mais là tout de suite, après $500$ bornes de bagnole, je suis incapable de comprendre ta formule de comptage (d'autant qu'il faut que je revoie le symbole de Legendre).
Heureusement, demain est un autre jour.
@gai requin
A propos des ouvrages. Le livre des Douady, mon exemplaire je veux dire, est resté très propre (pas pris le soleil, pas de trace de doigts ni café).
Mon post concernant le comptage de $y^2 = f(x)$ via le symbole de Legendre est très très mal présenté. Pas fier du tout. Je le reprends plus tard. En attendant, cela n'a rien à voir, mais je peux pas m'empêcher de te montrer la preuve d'Euler (1748) de
$$
\sum_{n=0}^\infty {1 \over (2n+1)^2} = {\pi^2 \over 8}
$$
rapportée par Abhyankar, Item 20, p. 418 dans Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebras, que j'ai pointé dans un post d'hier.
En notant $p_1, p_2, \ldots$ les racines de $a_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m = 0$, on a :
$$
\sum {1 \over p_i} = {-a_1 \over a_0}
$$
Par ailleurs, on sait que :
$$
\cos \sqrt x = 1 - {x \over 2} + {x^2 \over 24} - \cdots
$$
Et les racines de $\cos \sqrt x$ sont les
$$
{(2n+1)^2 \pi^2 \over 4}, \qquad n = 0, 1, 2, \cdots
$$
''Donc'', pour la somme des inverses de ces racines :
$$
\sum_{n \ge 0} {4 \over (2n+1)^2 \pi^2} = {- (-1/2) \over 1} = {1 \over 2}
$$
Le compte est bon.
@gai requin
Je reprends mon post (très mauvais) sur un petit truc de comptage de $y^2 = f(x)$. Pas besoin d'être un fana du symbole de Legendre. Je fixe un corps fini $k$ de caractéristique $\ne 2$ et je définis une sorte de caractère quadratique $k \to \{0, \pm 1\}$ par :
$$
\left( {x \over k} \right)_2 = \cases {0 & si $x = 0$ \cr 1 & si $x \in k^*$ est un carré \cr -1 & si $x \in k^*$ n'est pas un carré \cr}
$$
Inutile de se faire peur avec Legendre pour l'instant.
En se concentrant un peu, on voit, pour $z \in k$, que dans tous les cas (!) :
$$
1 + \left( {z \over k} \right)_2 \hbox { est égal au nombre de $y \in k$ tels que $y^2 = z$}
$$
Alors, pour un polynôme $f \in k[X]$, je te laisse vérifier que :
$$
\#\{ (x,y) \in k \times k \mid y^2 = f(x) \} = \#k + \sum_{x \in k} \left( {f(x) \over k} \right)_2
$$
Il est traditionnel de poser $t = -\sum_{x \in k} \left( {f(x) \over k} \right)_2$ mais ici, on s'en fout.
> Z := IntegerRing() ;
> p := 11 ;
> k := GF(p) ;
> Id := map < [k| 0,-1,1] -> [Z| 0,1,-1] | [0->0, -1 -> -1, 1->1] > ;
> Chi := map < Fp -> {0,-1,1} | x :-> Id(x^ExactQuotient(#k-1,2)) > ;
> kx<x> := PolynomialRing(k) ;
> d := Random(4,7) ; f := x^d + &+[Random(k)*x^i : i in [0..d-1]] ;
> f ;
x^5 + 6*x^4 + 4*x^3 + 8*x + 4
> N := #{<x,y> : x,y in k | y^2 eq Evaluate(f,x)} ;
> s := &+[Chi(Evaluate(f,x)) : x in k] ;
> N ;
16
> #k + s ;
16
En oubliant le point à l'infini, on a :
$$p=\#\{x;f(x)=0\}+\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}+\#\{x;f(x) \text{ n'est pas un carré}\}.$$
De plus,
$$\#\{y^2=f(x)\}=\#\{x;f(x)=0\}+2\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}.$$
D'où :
$$\#\{y^2=f(x)\}=p+\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}-\#\{x;f(x) \text{ n'est pas un carré}\}=p-t.$$
Edit : j'ai tapé ça sans lire ton message précédent.
Tout à fait, Jean-Paul. Et tu vois bien que j'avais très très mal raconté le truc, la première fois (hier). En qu'ici, tu l'as raconté de manière encore plus simple que mon dernier post de tout-à-l'heure. Et je sens que tu t'habitues à la notation $t$. L'utilisation de la lettre $t$, du moins pour les courbes elliptiques, c'est pour trace (du Frobenius).
Toujours est-il que tu as vu, tu vas voir, tu verras ... passer (Hellegouarch ou ailleurs), pour une courbe elliptique rationnelle $E$ et un premier $p$, le nombre entier :
$$
t_p = p+1 - \#E(\mathbb F_p)
$$
A droite, le comptage a lieu avec le (un) modèle $\mathbb Z$-minimal de Weierstrass de $E$. Que l'on réduit modulo $p$, et de temps en temps, cette réduction modulo $p$ n'est plus une courbe elliptique (un point singulier, au plus un, peut débarquer). C'est capital de prendre un modèle $\mathbb Z$-minimal car si tu loupes un $t_p$, t'es dans la m.rde pour l'assemblage i.e. pour fabriquer la série en $q$ (qui sera le développement du graal Shimura-Taniyama-Weil, forme modulaire cuspidale de poids $2$ pour $\Gamma_0(N)$ où $N$ est le conducteur de la courbe elliptique) :
$$
\sum_{n \ge 1} t_n q^n = q + \cdots
$$
Les $(t_n)_{n \ge 1}$ sont fabriqués à partir des $(t_p)_{p\ \rm premier}$, on verra plus tard.
Et peut-être que l'on peut causer de $y^2 = x^3 - x$, plus simple en fait que $y^2 = x^3 + x$, évoquée hier. D'ailleurs, $y^2 = x^3 - x$, c'est celle que tu as trouvée en quotientant $\{x^4 + y^4 = z^4\}$ par $x \leftrightarrow y$. C'est bien cela ??
Ben, maintenant, tu peux plus refuser : pourquoi courbe $y^2 = x^3 - x$, on a $t_p = 0$ pour $p \equiv 3 \bmod 4$ ? Et aussi $t_2 = 0$.
Pour $p = 1 \bmod 4$, la formule pour $t_p$ c'est pas du petit lait car c'est un théorème (dû à Gauss). Ce diable d'homme comptait déjà le nombre de points modulo $p$ de certaines courbes (ou variétés) bien avant que la chose modulaire n'envahisse les chaumières.
Si $p=2,3$, $x^3-x=0 \bmod p$ pour tout $x$ donc $t_2=t_3=0$.
Supposons $p>3$ et $p \equiv 3 \bmod 4$.
$\dfrac{p-1}{2}$ est impair donc, si $(x^3-x)^{\frac{p-1}{2}}=1 \bmod p$, alors $(x-x^3)^{\frac{p-1}{2}}=-1 \bmod p$.
Notons alors $E$ l'ensemble des éléments de $\mathbb F_p$ non nuls qui s'écrivent $x^3-x$.
On obtient ainsi une bijection $x^3-x\mapsto x-x^3$ de l'ensemble des éléments de $E$ qui sont des carrés dans l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas des carrés.
D'où $t_p=0$.
Ca baigne. Je pensais à un truc du même genre en utilisant, pour $p \ne 2$, dans une écriture $y^2 = f(x)$ avec $f$ polynôme impair (comme $x^3 - x$, par exemple) la somme
$$
\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p} \right) = \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(-x) \over p} \right) =
\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {-f(x) \over p} \right) =
\left( {-1 \over p} \right) \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p} \right)
$$
Et quand $p \equiv 3 \bmod 4$, cela donne, puisque $-1$ n'est pas un carré modulo $p$, quelque chose du type $-t = (-1) \times (-t) $ i.e. $t = 0$.
Mais c'est aussi bien de voir comme chez toi, l'effet de $x \mapsto -x$ sur les carrés non-carrés.
Un peu en rapport (réduction cusp). Le $t$ pour $y^2 = x^3$ sur tout corps fini, cela fait $t = 0$. Certes, $y^2 = x^3$, ce n'est pas une courbe elliptique mais c'est une cubique de Weirstrass et on peut quand même compter son nombre de points (en comptant toujours l'unique point à l'infini).
Tu prends $y^2 = x^3$ ?
Avec $y^2 = x^3 - x$, j'ai choisi la facilité. On en ``parle un peu partout''. Chez Ireland et Rosen comme déjà dit (cas particulier de $y^2 = x^3 - Dx$). Chez Ribet, un joli papier ``Modular forms and diophantine equations'' que l'on trouve sur le net. Chez Koblitz, GTM 97, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, qui consacre, en partant de rien, une grosse partie de son ouvrage à $y^2 = x(x-n)(x+n) = x^3 - n^2x$.
Pour énoncer le théorème de Gauss et l'assemblage modulaire, on a besoin de $\mathbb Z[i\rbrack$. Cela vient du fait que les courbes $y^2 = x^3 - Dx$ sont à multiplication complexe i.e. $(x,y) \mapsto (-x,iy)$ est un automorphisme de la courbe. Si tu connais la série de Weierstrass d'un réseau et $g_2, g_3$ de $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$, on est dans le cas $g_3 = 0$ pour tout réseau semblable à $\mathbb Z[i\rbrack$.
Mais si tu ne connais pas, c'est pas grave. C'est juste pour ne pas s'étonner du fait que $\mathbb Z[i\rbrack$ débarque avec son arithmétique. Le théorème de Gauss à venir relie l'arithmétique de $y^2 = x^3-x$ sur $\mathbb F_p$ pour $p \equiv 1 \bmod 4$ et celle de $p$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$.
Il va falloir faire avec les inversibles $\pm 1, \pm i$ de $\mathbb Z[i\rbrack$. Il faut prendre son temps (d'où la nullité d'un post hier soir). A mon avis, c'est à chacun de vérifier les petites choses qui viennent.
D'abord $1+i$ est un irréductible de $\mathbb Z[i\rbrack$. Dire que $1+i \mid a+ib$, cela signifie que $a,b$ ont même parité. L'anneau quotient $\mathbb Z[i\rbrack/\langle (1+i)^3\rangle$ compte 8 éléments dont 4 inversibles et :
$$
\mathbb U_4 = \{\pm 1, \pm i\} \ni \varepsilon \longmapsto \varepsilon \bmod (1+i)^3 \in \mathbb Z[i\rbrack/\langle (1+i)^3\rangle
$$
est un isomorphisme sur le groupe des inversibles.
Ceci va faire que pour tout $z \in \mathbb Z[i\rbrack$ premier avec $1+i$, alors il existe un seul $z'$ tel que $z \sim z'$ (à un inversible près) et $z' \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Cela va être vachement important. En magma, c'est la fonction Primary.
> // tirer z = a+ib avec z /\ (1+i) = 1 i.e. a, b de parité contraire
> z := a+i*b where a is 2*Random(-10^2, 10^2) where b is 1 + 2*Random(-10^2, 10^2) ;
> z ;
-141*i + 94
> zprime := Primary(z) ;
> assert zprime in {epsilon*z : epsilon in {1,-1,i,-i}} ;
> IsDivisibleBy(zprime - 1, (1+i)^3) ;
true 59*i + 12
> IsDivisibleBy(z - 1, (1+i)^3) ;
false
Temps d'accoutumance à ces ``petites choses''. Suite plus tard.
@gai requin
En 2017, demande de R.V. avec le directeur du département de maths, ou quelque chose comme cela. Cravate, beau pantalon ...etc.. But de la manip : faire acheter magma par ce labo et obtenir une connexion sur une de leurs machines. Auparavant, tu auras préparé un dossier bien solide du genre ``comprendre plus les mathématiques'' faire avancer la science me parait peut-être dangereux. Tu t'engages dans les 6 mois qui suivent à faire une formation à magma.
Tu gagnerais du temps, ainsi.
T'es trop fort ! (tu)
Le vrai problème, c'est assurer une formation magma. :-S
Combien de temps déjà pour devenir ceinture jaune ?
Je vais quand même me renseigner.
@gai requin.
A une époque, un particulier pouvait se procurer magma. Il pouvait même y avoir des ``arrangements''. Mais Rescassol s'est renseigné il y a quelque temps (2 mois, quelque chose comme cela), et visiblement, Sydney ne commercialise plus qu'aux labos.
Retour à $y^2 = x^3 -x$ sur $\mathbb F_p$ avec $p \equiv 1 \bmod 4$ sinon tu sais que $t_p = 0$. Le théorème de Gauss dit la chose suivante pour $p \equiv 1 \bmod 4$. On sait que $p$ est une somme de deux carrés i.e. $p = \pi\overline {\pi}$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$. On fait en sorte que, quitte à le multiplier par un inversible, $\pi$ soit normalisé i.e. $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Cf le post précédent. Gauss dit alors que :
$$
t_p = \pi + \overline \pi \quad (= \mathrm {Trace}(\pi))
$$
Attention ce n'est pas du tout ``immédiat'' (c'est du Gauss, cela se mérite). En 2017, peut-être que l'on peut regarder les preuves plus générales pour $y^2 = x^3-Dx$ et y faire $D = 1$. Dans le cas $y^2 = x^3 - Dx$, il apparaît un symbole biquadratique (moins connu que le symbole de Legendre). Ou alors regarder Koblitz avec $y^2 = x^3-n^2x$ et y faire $n= 1$. Pour faire mumuse, j'ai dû implémenter $p \mapsto \pi$ à partir d'autres primitives magma :
PrimaryFactor := function(p)
assert IsPrime(p) and p mod 4 eq 1 ;
ok, z := NormEquation(Zi, p) ;
assert ok ;
z := Representative(z) ;
assert Norm(z) eq p ;
pi := Primary(z) ;
assert Norm(pi) eq p and IsDivisibleBy(pi-1, (1+i)^3) ;
return pi, z ;
end function ;
En action. Faut toujours vérifier. C'est délicat ces petites choses là. Souvent on vérifie que l'on a rien compris.
> // Gauss, p = 1 modulo 4, p = pi * conj(pi) avec pi normalisé ---> t_p = Trace(pi)
> p := 4*Random(10,10^3) + 1 ; repeat p := p+4 ; until IsPrime(p) ;
> p ;
3001
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> Ep := EllipticCurve(ChangeUniverse(aInvariants(E), GF(p))) ;
> tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
> tp ;
-102
> assert tp eq p+1 - #Ep ;
> pi := PrimaryFactor(p) ;
> pi ;
-20*i - 51
> assert tp eq Trace(pi) ;
Je peux ressortir le coup du petit bricolage sommatoire :
$$
- \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {x^3 - x \over p}\right)
$$
> f := func < x | x^3 - x > ;
>
> p := RandomPrime(12) ;
> "p =", p ;
p = 1993
> Ep := EllipticCurve(ChangeUniverse(aInvariants(E), GF(p))) ;
> tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
> assert tp eq p+1 - #Ep ;
> assert tp eq -&+[LegendreSymbol(Z!f(x), p) : x in GF(p)] ;
Mais faut pas rêver. Regarde les temps de calcul avec ma somme de m.rde. Et le temps de calcul par l'algorithme SAE (Schoof-Atkin-Elkies)
Faut y aller mollo
> p := 4*Random(10^7,2*10^7) + 1 ; repeat p := p+4 ; until IsPrime(p) ;
> p ;
54055621
> Ep := EllipticCurve(ChangeUniverse(aInvariants(E), GF(p))) ;
> time tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
Time: 0.000
> time tp eq -&+[LegendreSymbol(Z!f(x), p) : x in GF(p)] ;
true
Time: 321.180
Regarde encore ce que savent faire les gens de métier (Schoof-Atkin-Elkies et ceux qui implémentent).
> p := 4*Random(10^70,2*10^70) + 1 ; repeat p := p+4 ; until IsPrime(p) ;
> p ;
49305160363703318983527764312094116190545208782086920634443090907751281
> Ep := EllipticCurve(ChangeUniverse(aInvariants(E), GF(p))) ;
> time tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
Time: 0.070
@Rescassol : Pas de problème.
Au cas où tu n'aurais pas lu tout ce fil (tu m'étonnes John), tu trouveras un calculateur magma en ligne [ici].
C'est beaucoup mieux que rien.
@CQ : Quel bourrin ce Gauss !
Fut un temps où je connaissais bien l'arithmétique de $\mathbb Z[i\rbrack$. :-(
Je trouve par exemple $t_5=-2$.
Reste à calculer $t_n$ si $n$ n'est pas premier...
@gai requin.
Les $t_n$, il va falloir attendre. Il faut d'abord définir chaque $t_{p^k}$ : ce $t_{p^k}$ n'est PAS le bête truc du comptage de $E(\mathbb F_{p^k})$. Le plus simple est de commencer petit en examinant la nature d'une cubique de Weierstrass singulière i.e. en s'occupant, de manière générale, des premiers de mauvaise réduction. Car c'est faisable. Accepterais tu des missions pour 2017 (j'ai un peu réfléchi) ?
En attendant, voilà de quoi vérifier ton $t_5$.
> GetVersion() ; // de magma : important, des choses ont évolué (ma version est vieille)
2 18 2
> EllipticCurve([10, 20, 30, 40, 50]) ;
Elliptic Curve defined by y^2 + 10*x*y + 30*y = x^3 + 20*x^2 + 40*x + 50 over Rational Field
> EllipticCurve([1951, 2017]) ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 1951*x + 2017 over Rational Field
>
> E := EllipticCurve([-1, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> graal := ModularForm(E) ;
> graal ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + O(q^12)
> qExpansion(graal, 50) ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + O(q^50)
> FrobeniusTraceDirect(E,17) ;
2
Sur le lien qu'on uttilise avec flipflop, il est écrit "Running Magma V2.22-6".
Pour le reste, ce serait bien de finir de calculer la forme modulaire associée à qui tu sais sauf qu'après, il faudra m'expliquer à quoi elle sert... Et évidemment, j'accepte volontiers de remplir quelques missions pour 2017 ! (tu)
@gai-requin
Peut-être que je me suis mal expliqué. Il s'agit quand même, de manière générale, de comprendre ce que sont les $(t_n)_{n \ge 1}$ d'une courbe elliptique rationnelle. Il faut simplement prendre son temps, étape par étape.
Mais dans le cas de notre chère $y^2 = x^3 - x$, il y a un caractère de Hecke (on dit aussi, je crois, Grossencharacter) qui est défini comme suit sur les idéaux de $\mathbb Z[i\rbrack$ (idéaux qui sont principaux) :
$$
\chi(I) = \cases { 0 & si $1+i \mid I$ \cr z & sinon où $z$ est le générateur normalisé de $I$}
$$
Alors le graal que l'on cherche à attraper est :
$$
\sum_I \chi(I)q^{N(I)} = \sum_{n \ge 1} t_n q^n = q + \cdots
$$
C'est une manière de tenir compte du théorème de Gauss pour chaque premier $p$. Ci-dessous $S$ est calculée par cette formule (petit bidouillage de division par $4$ car il y a 4 inversibles de $\mathbb Z[i\rbrack$) et comparée ensuite à la forme modulaire de comptage déterminée par magma, notée fE ci-dessous.
> /// Assemblage
> Chi := map < Zi -> Zi | z :-> (Nz le 2 or IsEven(Nz)) select 0 else Primary(z) where Nz is Norm(z) > ;
>
> // 1 < a^2 + b^2 <= precision => a in [-sqrt(precision) .. sqrt(precision)]
> // et b in [-sqrt(precision-a^2) .. sqrt(precision-a^2)]
> S := q + 1/4 * &+[Chi(a+i*b) * q^(a^2 + b^2) :
> b in [-B .. B] where B is Isqrt(precision-a^2), a in [-A .. A] where A is Isqrt(precision)] ;
>
> S := Zq!S ;
> S ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65
- 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97
> fE := ModularForm(E) ;
> S - qExpansion(fE, precision) ;
O(q^100)
Mais ce n'est pas tout. Il y a quelque part, pour tout entier $N \ge 1$, un espace (de formes modulaires de poids 2) noté $S_2(\Gamma_0(N))$, de dimension finie. Ici, $N$ c'est le conducteur $32$ de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - x$.
> M2Gamma0_32 := ModularForms(Gamma0(32), 2) ;
> M2Gamma0_32 ;
Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 8 over Integer Ring.
> S2Gamma0_32 := CuspidalSubspace(M2Gamma0_32) ;
> S2Gamma0_32 ;
Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring.
> graal := Representative(Basis(S2Gamma0_32)) ;
> qExpansion(graal, precision) ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65
- 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)
Tu vois ci-dessus que $S_2(\Gamma_0(32))$ est de dimension 1. Et parfois, des domaines des mathématiques (autres que les courbes elliptiques) produisent des habitants de $S_2(\Gamma_0(N))$. Et tu imagines ce qui se passe : chez nous, dans le Poitou, on dit que ``ça se beugne''. Et ici, cela va beugner car un certain $\eta$-produit habite dans la maison. Il s'agit du produit suivant :
$$
q \left( P(q^4) P(q^8) \right)^2 \qquad \hbox {où} \qquad P(q) = \prod_{n \ge 1} (1 - q^ n)
$$
gai-requin
V2-22-6 (versus 2-18-2), c'est comme les éditions...
A quoi cela sert ? A passer le temps par exemple. Rappel : ce n'était pas prévu. Qui le premier a quotienté $\{x^4 + y^4 + z^4 = 0\}$ par $x \leftrightarrow y$ ne figurant pas dans mes affaires ? TOI. Certes, ensuite on a cherché la petite bête.
Missions 2017 (du coup on revient aux courbes algébriques, référence Hellegouarch, par exemple)
-- Se familiariser avec les cubiques de Weierstrass ``longues''. Exemple, le point (unique) à l'infini $(0 : 1 : 0)$ est toujours lisse.
-- Changements de variables dits admissibles
-- S'il y a un point singulier, il est unique. Et donc sur un corps fini, ce point est rationnel.
-- Etudier, sur un corps fini (toute caractéristique) la nature du point singulier : cusp (réduction additive), ou nodal scindé (nodal split) i.e. deux tangentes rationnelles, ou nodal non scindé (nodal unsplit) i.e. deux tangentes non rationnelles. En particulier sur le modèle où l'on ramène le point singulier en l'origine :
$$
y^2 + a_1xy = x^3 + a'_2 x^2
$$
En présence d'un point singulier, il faut être capable de compter le nombre de points sur $\mathbb F_p$ et également sur $\mathbb F_{p^k}$ pour tout $k \ge 1$. Commencer par $y^2 = x^3$. La courbe elliptique des pauvres.
Exemple pour $y^2 = x^3 - x$. En caractéristique $2$ :
$$
y^2 = x(x^2 - 1) = x(x+1)^2
$$
donc le point singulier est $(x=1, y=0)$. On pose $X = x+1$, si bien que cela s'écrit :
$$
y^2 = (X+1)X^2 = X^3 + X^2, \qquad (y-X)^2 = X^3
$$
C'est de type cusp.
Autre chose : la courbe $X^3Z + 4XZ^3 - Y^4 = 0$ est isomorphe à $X^4 + Y^4 - Z^4 = 0$, mais je ne sais pas pourquoi.
De mon côté, mais en 2017 (là, c'est fini), je vais chercher la preuve la plus simple possible dans les ouvrages dont je dispose du théorème de Gauss pour $y^2 = x^3 -x$ sur $\mathbb F_p$ pour $p = 1 \bmod 4$.
Je crois que les histoires de type de singularité sont expliquées dans Hellegouarch. Et, grosso modo, la plupart des objets qui figurent chez Hellegouarch sont implémentés (utile quand on ne comprend pas, c.a.d. très souvent).
En théorie des nombres, j'ai également le Hindry que je viens de feuilleter et on y trouve aussi beaucoup de choses sur les courbes elliptiques et les formes modulaires.
Au fait, merci de m'avoir présenté $\chi$.
Je comprends mieux pourquoi il y a tant de zéros dans la série de Dirichlet qu'on a (seulement si j'ai bien suivi) commencé à calculer.
@gai-requin
Je viens de regarder de nouveau Hellegouarch. C'est quand même difficile toutes ces notions qui fusent de partout. Faut absolument que j'essaie de cerner des points précis. Et je n'y vois pas vraiment la fonction zeta d'une courbe, enfin pas comme que je voudrais. Une première chose, qui peut être faite indépendamment de tout le binz, serait de montrer, pour une suite complexe $(N_n)_{n \ge 1}$, l'équivalence suivante (à gauche, on baigne dans $\C((T))$) :
$$
\exp \left ( \sum_{n \ge 1} {N_n \over n} T^n \right) = {\prod_i (1 - \alpha_i T) \over \prod_j (1 - \beta_j T)}
\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad
N_n = \sum_j \beta_j^n - \sum_i \alpha_i^n \quad \forall\quad n \ge 1
$$
Explication pour en comprendre la signification. On regarde à gauche. On y voit une série formelle $S(T) = \exp(\quad)$ dont le terme constant $S(0)$ vaut $1$. On suppose que c'est une fraction rationnelle ; et toute fraction rationnelle $F$ telle que $F(0) = 1$ peut s'écrire dans $\C(T)$ sous la forme indiquée (avec les $\alpha_i$ et les $\beta_j$, en nombre fini). Alors cela signifie que $N_n$ est donné par la formule de droite.
Réciproquement si on part d'une famille finie de $\alpha_i$, $\beta_j$ et que l'on définit la suite $(N_n)_{n \ge 1}$ par $N_n = \quad$ par la formule de droite, alors on a l'égalité qui est à gauche qui dit qu'une certaine série formelle est une fraction rationnelle.
Car on va être amené à manier des séries formelles (pas n'importe lesquelles) qui sont des fractions rationnelles d'une certaine forme.
Pas facile à expliquer. Et à comprendre ? Si Hindry en parle (je n'ai pas), cela sera certainement plus facile.
Mais pourquoi ce $\exp$ ? Ben, si l'auteur est poli ...etc.. Je t'attache 3-4 pages.
Hindry (p.207 à 209) motive la définition formelle de la fonction $Z$ (avec $\exp$) associée à une variété algébrique sur $\mathbb F_q$ en montrant une formule analogue pour $\zeta_A(s)$, où $A$ est un anneau de type fini sur $\mathbb Z$ ou $\mathbb F_p$.
Tout à fait, Jean-Paul.
Mais j'ai mal évalué la difficulté. Je pensais, dans le cas particulier $E : y^2 = x^3 - x$, puisque c'est un cas particulier, que pour $p \equiv 1 \bmod 4$, avec $p = \pi\overline {\pi}$, factorisation normalisée dans $\mathbb Z[i\rbrack$ i.e. $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$, que j'arriverai à tirer de Ireland & Rosen ou Koblitz, le fait que :
$$
Z_{E/\mathbb F_p}(T) = {(1 - \pi T) (1 - \overline\pi T) \over (1-T)(1 - pT)}
$$
Cela veut dire quoi cette égalité ? Ben, à cause de $\exp(\cdots) = \cdots \Leftrightarrow N_n = \cdots$, un méga théorème de Gauss (Hasse-Weil pour les bébés) :
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = p^n + 1 - (\pi^n + \overline \pi^n)
$$
Pour $n = 1$, on retrouve Gauss. Mais cela donne également le nombre de points sur $\mathbb F_{p^n}$, pour tout $n \ge 1$.
Et pendant que je ferai cela (chercher démo simple) en 2017, toi tu t'occuperais, pour n'importe quelle $E$, de déterminer $Z_{E/\mathbb F_p}(T)$ lorsque $p$ est de mauvaise réduction. C'est vachement plus facile, je t'assure. Et tu apprendrais des choses sur les points singuliers, tu rentabiliserais les achats Hellegouarch, Hindry ...etc..
Et je constate la difficulté de ce que je m'étais imposé. Pour l'instant, impossible de court-circuiter, soit la loi de réciprocité biquadratique (note, biquadratique, pas quadratique), ou la relation de Hasse Davenport ou .. J'y arrive certes mais peut-être faudra-t-il 50 posts ?
Qu'est ce qui nous reste à faire alors ? Ben, peut-être que dans salons mondains, on pourra placer le fait que la fonction zeta d'une courbe lisse sur un corps fini est une fraction rationnelle (dans le désordre Hasse, Weil, Bombieri, Grothendieck, Deligne pour un ``plus'', un sacré ``plus''). Il y aura des "ah d'admiration'' dans le salon et tout le monde sera content.
gai-requin
Je viens de faire une c.nnerie. J'avais une jolie courbe elliptique $E$ sur un $\mathbb F_p$ et je l'ai perdue. Même que j'ai perdu aussi $\mathbb F_p$. Quel c.n. Mais par chance, j'ai sa fonction zeta :
Est ce que tu pourras retrouver $p$ ? Et aussi le nombre de points sur les $\mathbb F_{p^d}$ pour $d = 1, 2, 3, ..$.
Merci.
C'est dingue que cette petite fractionnelle encode toutes ces informations : sur tous les $\mathbb F_{p^d}$, $p$ fixé, pour TOUS les $d$.
Mais le plus dingue, c'est qu'en fait cette courbe elliptique sur $\mathbb F_p$, c'était la réduction modulo $p$ d'une très très jolie courbe elliptique définie sur $\mathbb Z$. Et je crois que j'arriverais à mettre la main sur la forme modulaire de comptage. Qui encode tous les renseignements pour tous les premiers $p$ et tous les $p^d$. Ben heureusement, qu'elle est là, cette forme modulaire de comptage.
j'ai du pot. J'ai retrouvé la forme modulaire de comptage :
$$
q \left( P(q^3) P(q^9) \right)^2 \qquad \qquad P(q) = \prod_{n \ge 1} (1-q^n)
$$
Mais la courbe, je n'arrive pas à mettre la main dessus.
Salut fliplop et bonne année. ;-)
Je commence à préparer la rentrée de demain, un peu à la bourre.
Tu as eu le temps de terminer les quotients de $\mathcal F_4$ ?
En référence à [www.les-mathematiques.net], je voulais me lancer dans la norme d'un idéal d'un anneau principal mais je n'en ai pas eu le temps. Tu connais ?
Pour la norme : j'ai de très vague souvenir de norme en théorie algébrique des nombres !
Je vais essayé de comprendre les histoires de comptage :-D
J'ai continué un peu les quotients mais je suis tombé sur des trucs un peu compliqué qui porte le nom de "Geometric invariant theory",trop complexe pour moi ! Donc j'oublie !
Sinon, j'ai essayé de comprendre un peu les calculs (invariant) de magma,en lisant le Cox : bon,c'est la théorie des bases de Grobner et théorie de l'élimination.
Donc, en résumant : pas fait grand chose de très concret !
Un petit truc tout simple :
Pour la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $X^4+Y^4=1$ et avec les symétries que l'on a considéré (par exemple $(X,Y) \to (Y,X)$).
On a deux manière de parler de symétries : l'une géométriques $(a,b) \in \mathcal{C}$ si et seulement si $(b,a) \in \mathcal{C}$.
La deuxième manière est sur la symétrie de l'équation : si on échange $X$ et $Y$ dans l'équation de $\mathcal{C}$, on retombe sur l'équation de $\mathcal{C}$.
Au départ, j'avais pas vu la différence mais bon :
si on prend la droite $Y-X=0$, et la même symétrie on voit bien que les deux notions ne sont pas les mêmes.
@gai-requin
Bonne année. Je me sens un tantinet flemmard en 2017 mais je réponds un peu à ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1382766#msg-1382766 avant que cela ne s'enfonce trop. Oui, cela se passait bien sur $\mathbb F_5$. Rappel : la fonction zeta d'une courbe elliptique $E$ sur un corps fini $\mathbb F_q$ (ou bien d'une courbe projective lisse de genre 1 sur $\mathbb F_q$) s'écrit, pour un certain $t \in \mathbb Z$ bien défini, sous la forme :
$$
Z_{E/\mathbb F_q}(T) = {1 - tT + qT^2 \over (1 - T)(1 - q T)} \qquad
\hbox {avec l'inégalité (de Hasse)} \qquad
t^2 \le 4q
$$
C'est donc facile de retrouver $q$ à partir de $Z_{E/\mathbb F_q}(T)$.
``Rappel'' (note les guillemets) : on écrit $T^2 - tT + q = (T - \alpha) (T - \beta)$ i.e. $\alpha, \beta$ sont définis par $\alpha + \beta = t$ et $\alpha\beta = q$. Puisque le discriminant $t^2 - 4q$ est $\le 0$, cela signifie que $\alpha, \beta$ sont complexes conjugués. On peut avoir $\alpha = \beta$ mais ceci force $t^2 = 4q$, ce qui n'est PAS possible si $q$ est un premier $p$. Et la signification (il the author is polite ...etc..) est que pour tout $n \ge 1$ :
$$
q^n + 1 - \#E(\mathbb F_{q^n}) = \alpha^n + \beta^n
$$
Tu te doutes bien que je n'avais pas perdu la courbe elliptique. Car c'était la courbe de Fermat $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$, qui n'est d'ailleurs pas une courbe elliptique tant que je n'ai pas fixé un point base rationnel. Je vais la monter au dessus de $\mathbb Z$ afin de faire un ``BaseChange''
> P2<X,Y,Z> := ProjectiveSpace(IntegerRing(), 2) ;
> C := Curve(P2, X^3 + Y^3 + Z^3) ;
> p := 5 ;
> E<X,Y,Z> := BaseChange(C, GF(p)) ;
> E ;
Curve over GF(5) defined by
X^3 + Y^3 + Z^3
> ZetaE<T> := ZetaFunction(E) ;
> ZetaE ;
(5*T^2 + 1)/(5*T^2 - 6*T + 1)
> Parent(ZetaE) ;
Univariate rational function field over Integer Ring
Variables: T
>
> PSR<t> := PowerSeriesRing(IntegerRing()) ;
> S := T*Derivative(ZetaE)/ZetaE ;
> PSR ! S ;
6*t + 36*t^2 + 126*t^3 + 576*t^4 + 3126*t^5 + 15876*t^6 + 78126*t^7 + 389376*t^8 + 1953126*t^9 + 9771876*t^10 +
48828126*t^11 + 244109376*t^12 + 1220703126*t^13 + 6103671876*t^14 + 30517578126*t^15 + 152587109376*t^16 +
762939453126*t^17 + 3814701171876*t^18 + 19073486328126*t^19 + 95367412109376*t^20 + O(t^21)
On a donc ici, avec $p = 5$, la quantité $t$ qui vaut $0$ :
$$
Z_{E/\mathbb F_p}(T) = {1 + pT^2 \over (1 - T)(1 - p T)}
$$
On écrit $T^2 + p = (T-i\sqrt p)(T + i\sqrt p)$ si bien que :
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = p^n + 1 - (i^n + (-i)^n) p^{n /2}
$$
ce qui donne
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = \cases {
p^n + 1 & si $n$ est impair \cr
p^n + 1 + 2p^{n/2} & si $n \equiv 2 \bmod 4$ \cr
p^n + 1 - 2p^{n/2} & si $n \equiv 0 \bmod 4$ \cr
}
$$
Petite vérification en comparant avec la série $S$. Pour $n= 1, 3$ on voit les coefficients $6, 126$ qui sont bien $5^1 + 1$ et $5^3 + 1$. Pour $n = 2$, on a $36$ comme coefficient , qui est bien $5^2 + 1 + 2 \times 5$. Et enfin pour $n=4$, le coefficient est $576$ qui est bien $5^4 + 1 - 2 \times 25$.
Plus tard la forme modulaire de comptage $q(P(q^3)P(q^9))^2$ avec $P(q) = \prod_{n \ge 1} (1-q^n)$.
Réponses
Tu connais un exemple "simple" où l'on peut faire les calculs ? Parce que je vais vraiment avoir du mal a encaisser les fermetures intégrales et tout sans une motivation, je ne suis pas assez costaud pour affronter toute la théorie (td)
Par exemple, pour le genre, je suis resté sur une formule dans le cadre lisse plane (j'ai pas de définition du genre, comme d'habitude).
Donc y'a un truc pour trouver le nombre de points d'une courbe lisse sur les différentes corps $\mathbb{F}_{p^n}$ rien que ça :-)
Avoir la main, avoir la main. Ici, le calcul de la fonction zeta d'une courbe lisse projective $C$ (en fait de son corps de fonctions algébriques $L$, t'es lourd CQ), je n'ai aucune idée des algorithmes mis en jeu. J'ai cru comprendre, dans les dernières versions de magma, que l'on peut même calculer, sous forme de fraction rationnelle, la fonction zeta d'une courbe non nécessairement lisse.
J'essaie de répondre à tes posts. J'ai voulu insister sur le fait que nous, petits joueurs de la dimension 1 avec les courbes projectives lisses, on a intérêt à travailler avec les corps de fonctions algébriques, tout en coloriant la chose de manière géométrique, quand on est capable de le faire.
Ne pas nécessairement vouloir aller jusqu'au bout pour choper la courbe lisse. Tu as vu gai-requin : il n'a pas envie de se payer encore une fois ``quartic to cubic'' gai requin : quartic pas quadric. Mais toi, tu peux penser que gai requin, c'est un petit joueur, et peut être essayer sur $\mathcal F_4/\langle \sigma \rangle$ avec ton $\sigma$ d'ordre 4.
J'ai traité (mais pas montré sur le forum) $\{x^4 + y^4 = z^4 \} /\langle x \leftrightarrow y\rangle$ jusqu'au bout. Effectivement, cela calme.
Calcul du genre. Nous à la main, dans des cas simples, on peut parfois utiliser Riemann-Hurwitz. On l'a fait de temps en temps. Pour une courbe plane définie par un polynôme en deux variables $F$ de degré $d$, le genre (géométrique) de $\{ F = 0\}$ est donné par :
$$
g = {(d-1)(d-2) \over 2} - \sum_P \dim_k {\mathcal O'_P /\mathcal O_P}
$$
La somme de droite porte sur les points singuliers de la courbe y compris les points à l'infini. Ici $\mathcal O_P$ désigne l'anneau local au point $P$ et $\mathcal O'_P$ sa fermeture intégrale (désolé) dans le corps des fonctions. Inconvénient : on sort du corps de base i.e. ce n'est plus $k$-rationnel. A la main sur des petits exemples c'est jouable. De manière automatique, faut être lucide, ce n'est pas si simple : $\overline k$ sur le papier, c'est peinard mais en algorithmique algébrique efficace, beaucoup moins.
Un cas facile cependant (mais toujours si on accepte de sortir du corps de base) c'est quand les points sont de multiplicité ordinaire. Alors :
$$
\dim_k {\mathcal O'_P /\mathcal O_P} = {e_P(e_P - 1) \over 2} \qquad \hbox {où $e_P$ est la multiplicité de $P$}
$$
Tiens au lieu de causer dans le vide. Une courbe qui provient du Perrin (j'espère que je ne commets pas d'erreur en recopiant) :
$$
F(X,Y) = 4(X^2 + Y^2)^2 - 4X(X^2-3Y^2) - 27(X^2 + Y^2) + 27 = 0
$$
Elle a 3 points singuliers ordinaires de multiplicité 2. Donc elle est de genre 0. Excellent exercice : la paramétrer par $\mathbb A^1$ ou $\mathbb P^1$ en utilisant des points rationnels. On en trouve en faisant $Y = 0$, par exemple $(X=1, Y=0)$.
Lucide, Bis. Ne pas être dupe : quand on demande telle chose à magma, il faut avoir conscience que des algorithmes pas piqués des vers s'exécutent, dans des terrains que tu n'aimes pas toujours (anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind ...etc..). Et que l'on est bien content quand même d'avoir le résultat.
Enfin, est ce que je peux reprendre ta session sur les invariants ? Même si je n'ai pas compris où tu voulais en venir (1-1). Une partie de pour l'instant. Car telle quelle, elle est difficilement compréhensible. Sais tu que j'y ai appris des choses ?
Je jette juste un oeil sur ton quotientfermat.pdf
Frileux ? T'as besoin d'une petite laine ? Mais non, je ne parle pas de la température à Grenoble. Juste que tu démarres en affine. Pourquoi ne pas avoir comme ambition, dès le départ, de déterminer le quotient $\{x^4 + y^4 + z^4 = 0\}/\langle\sigma\rangle$ ton $\sigma$ d'ordre 4 ? De la courbe projective. Pourquoi se mettre en affine dès le départ ? Par contre, présenter le corps des fonctions de $\mathcal F_4$ de manière affine, oui. Ce n'est pas la même chose. Car de toutes manières, avec des notations que tu devines :
$$
\Q(x,y,z)_0 = \Q(x/z,\ y/z) = \Q(x/y,\ z/y) = \Q(y/x,\ z/x)
$$
Je vois aussi que tu quotientes plus que la courbe affine (tu quotientes son ambiant $\mathbb A^2$). A suivre.
Ah non, je veux pas faire quadric to cubic, j'ai bien compris que vous aviez vraiment galéré ! Naïf comme je suis, je voulais trouver un truc qui donne la courbe lisse direct :-)
Pour le pdf ... je n'ai pas encore fais mon $\sigma$ ... enfin c'est fait dans ma tête (et par morceau dans le fil) mais pas écrit sur le papier. A faire. Faut trouver la motivation !
Froid à Gre, non non pas la moindre trace de neige (< 2000m) les stations de ski de moyenne montagne vont encore avoir du mal cette année.
Pas quadric to cubic, mais quartic to cubic : fournir une équation cubique pour une quartique (degré 4), pas de n'importe quelle forme, connaissant un point rationnel. J'estime qu'il faut faire cela une fois dans sa vie, sinon on passe à côté d'un grand moment, je t'assure.
En ce qui concerne magma et les exécutions sous le calculateur en ligne, c'est purement et simplement de la folie. Vous allez vous tuer (je sais de quoi je parle, je connais un peu magma .. mais pas le calculateur en ligne). De toutes façons, un langage de programmation c'est forcément cryptique donc le rendu est toujours compliqué (de plus, pour vous, c'est la galère).
A propos de langage ou système, je ne compare jamais untel ou untel car c'est bien connu de la part des programmeurs ou utilisateurs de systèmes: nous sommes tous de mauvaise foi et en général, c'est du genre ``mon langage est mieux que le tien''. J'émets juste un bémol (donc je me contredis) sur ce qu'a dit gai-requin l'autre jour en parlant de ``maple plus intuitif". Ben, en 20 ans d'enseignement (de maple), je n'ai jamais compris la sémantique de ce système et pire que cela, je me suis toujours demandé s'il y en avait une (sémantique). Comme je suis un gentil garçon (sic), j'ai bien commencé à lire (mais c'était juste au début de ma retraite) le maple-explique d'une personne en qui j'ai beaucoup confiance in https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/Papers/Maple-explique.pdf. En particulier, le fameux modèle ``Read-Eval-Print'' (chapitre 2). Bon globalement, cela fait 195 pages, cela ne se lit pas en prenant son café.
Venons en aux invariants. Bien sûr, je ne crois pas mais pas du tout que cela va aider à trouver la belle courbe lisse (je ne crois pas du tout au Père Noël). Mais cela peut aider à AUTRE CHOSE.
J'essaie de rendre compte de la première partie de ce que tu as fourni. C'est pas si facile. J'ai changé les noms de variables (dans ce que tu as montré, il y avait de la destruction de variables) et à mon âge, depuis des années, je désigne par $h_1, h_2, \cdots$ un h.s.o.p. (homogeneous system of parameters).
> R := InvariantRing(G) ; > Group(R) ; MatrixGroup(2, Rational Field) of order 2^2 Generators: [ 0 -1] [ 1 0] > P<x,y> := PolynomialRing(R) ; > Hsop := PrimaryInvariants(R) ; > Hsop ; [ x^2 + y^2, x^4 + y^4 ] > S := SecondaryInvariants(R) ; > S ; [ 1, x^3*y - x*y^3 ] > FundamentalInvariants(R) ; [ x^2 + y^2, x^4 + y^4, x^3*y - x*y^3 ]Bon jusque là, en principe, on doit comprendre de quoi il est question. J'ai montré le groupe $G$ et on voit que cela se passe dans $\Q[x,y]$ noté ici P. Là où cela se complique, c'est ta ligne Module qui vient ensuite. Il faut savoir que $R = \Q[x,y]^G$ est un module de type fini sur $\Q[h_1, h_2]$ où $h_1 = x^2 + y^2$ et $h_2 = x^4 + y^4$. En fait, ce module est ici libre.
> // M c'est R vu comme k[Hsop]-module > M, RtoM := Module(R) ; > M ; Free Embedded Module R^2 with grading [0, 4] Order: Module TOP: Lexicographical > e1, e2 := Explode(Basis(M)) ; > e1 ; [1, 0] > e2 ; [0, 1] > S ; [ 1, x^3*y - x*y^3 ] > // e1 <-> S[1] = 1, e2 <-> S[2] = x^3*y - x*y^3 > assert RtoM(S) eq Basis(M) ; > MtoR := Inverse(RtoM) ; > MtoR(e1) ; 1 > MtoR(e2) ; x^3*y - x*y^3 > MtoR(Basis(M)) ; [ 1, x^3*y - x*y^3 ]Ci-dessus, cela devient cryptique à mon avis. Le grading de $M$ c'est parce que $1$ est de degré $0$ et $x^3y - xy^3$, de degré 4. Mais j'ai essayé de montrer ce que tu ne pouvais pas faire (et qui d'ailleurs va être inutilisé, mais c'est une autre histoire).
Là où cela se complique encore, c'est quand on regarde l'anneau sur lequel est monté le module (je fais d'ailleurs cela pour donner les noms que je souhaite).
C'était juste un aperçu de .. Je n'ai pas traité ici ta dernière ligne i.e. Algebra(R) car encore des choses pas si simples à comprendre.
Oui oui, pour le calculateur, j'ai juste le script (que je laisse ouvert sur un page web, c'est pour ça que j'ai mis les matrices s1 s2 s3 etc) que j'ai montré et des autres trucs mais c'est vraiment chiant ! Disons que c'est pas trop grave pour l'instant si on arrive a comprendre cette situation, je serai déjà super content de l'aide de Magma ;-)
Mapple, je ne connais pas du tout ! Si je me souviens, j'ai du faire un truc sur Grobner en licence mais je me souviens de rien ! NI la théorie, ni le langage !
Merci pour l'analyse Claude ! Je te suis pour l'instant !
Maintenant, y'a le dernier truc à régler ...
Déjà un truc dans mon code : En fait je n'utilise pas du tout ça ! C'était un test je pense (pas enlevé because calculateur).
Je pense que le truc important c'est :
Géométriquement --- je fais le méga bourrin, ça passe ou ça casse comme dirai Krivine premier paragraphe --- Donc géométriquement, ce n'est pas possible que le quotient de $\mathbb{A}^2$ soit un truc isomorphe à $\mathbb{A}^3$. D'ailleurs, si tu te souviens a un moment je t'ai demandé si tu avais une interprétation du fait que tu as enlevé un invariant ? (a part que l'on veut être dans le plan, je pense c'était l'exemple de Klein).
Du coup, le quotient de $\mathbb{A}^2$ se réalise dans l'espace comme une surface d'équation la relation $L$ du code Magma.
Qu'est ce que tu en dis ? N'hésites vraiment pas a détruire ce que je raconte par ce que pour le moment c'est vraiment spéculatif, je ne maîtrise vraiment rien ! Mais comme je vois une certaine harmonie, je me dis que c'est probablement pas si stupide que ça !
Si ça passe faudra que je me tape le cours sur les invariants B-)-
Je vois que vous êtes déchaînés aujourd'hui ! :-S
Encore un coup de flipflop qui est beaucoup plus jeune que moi. :-)
@CQ : j'ai bien le Hellegouarch en français 3ème édition.
Non, je déc.onne, c'est la 2ème. ;-)
Ouhais toujours des trucs à la c.n, ce flipflop :-D
A lire absolument ici, comment on compte le nombre de point d'une courbe sur un corps fini ... ?
Soit, en caractéristique $\ne 2$, le groupe cyclique $G$ d'ordre 4 engendré par $\pmatrix {0 & -1\cr 1 & 0\cr}$ que l'on fait agir sur $\mathbb A^2$ comme on le pense et également sur $k[X,Y]$ (attention à gauche versus droite, mais ne pas trop se faire peur avant 2017).
L'algébriste dit :
$$
k[X,Y]^G = k[u,v,w] \quad \hbox {avec} \quad \cases {u = X^2 + Y^2\cr v = X^4+Y^4\cr w = XY(X^2-Y^2)\cr} \quad \hbox {et} \quad
k[u,v,w] = k[U,V,W]/\langle F\rangle, \quad F = U^4 - 3U^2V + 2V^2 + 2W^2
$$
Le géomètre dit l'application canonique $\mathbb A^2 \to \mathbb A^2/G$ est un morphisme de variétés affines qui s'identifie à
$$
\mathbb A^2 \to V(F) \subset \mathbb A^3, \qquad
(x, y) \mapsto \big(u=x^2+y^2,\ v = x^4+y^4,\ w= xy(x^2-y^2)\big)
$$
Ils disent la même chose.
Est-ce que le géomètre ne pourrait pas aussi être tenté d'introduire
$$\pi : \mathbb P^2\rightarrow \mathbb P^3,\qquad (x:y:z)\mapsto (x^2z^2+y^2z^2:x^4+y^4:xy(x^2-y^2):z^4)?$$
T'as vu, moi je suis resté en affine comme tu voulais. Tandis que gai-requin, il veut absolument t'embarquer dans du projectif. C'est pas moi, c'est lui.
Formule de comptage pour $y^2=x^3-x$ ?
C'est surtout $y^2 = x^3 + x$ qui m'a occupé. En fait, dans Ireland & Rosen (je te recommande cet ouvrage A classical Introduction to Modern Number Theory, un véritable bijou) le cas ``local'' $y^2 = x^3 - Dx$ est traité. Donc il n'y a plus qu'à recopier. Mais le traitement ($D$ quelconque) fait intervenir un résidu biquadratique et je me suis aperçu que pour $D = -1$ i.e. le cas $y^2 = x^3+x$, le symbole de Legendre suffisait (pour l'instant comme souvent chez moi, c'est expérimental). Ireland & Rosen utilisent les sommes de Gauss et de Jacobi (pas les courbes elliptiques sur les corps finis) et faut voir ce que l'on peut faire directement dans le cas particulier $y^2 = x^3 + x$.
Si $E$ est une courbe elliptique rationnelle définie par une équation de Weierstrass $\mathbb Z$-minimale, on considère, plutôt que $\#E(\mathbb F_p)$, le nombre
$$
t_p = p+1 - \#E(F_p)
$$
Pour notre $y^2 = x^3 + x$, l'anneau $\mathbb Z[i\rbrack$ intervient. Si $p$ est un premier $\equiv 1 \bmod 4$, il s'écrit $\pi\overline \pi$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$, de manière unique si on normalise la factorisation par $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Note que $\pi + \overline \pi$ est un entier. Alors
$$
t_p = \cases {0 & si $p = 2$ ou $p = 3 \bmod 4$ \cr
\left( {2 \over p}\right)(\pi + \overline \pi) & si $p = 1 \bmod 4$}
$$
C'est de l'arithmétique. Mais en l'écrivant comme cela, je constate le côté sordide de la chose. Et on est loin de l'assemblage pour tomber sur la forme modulaire de poids 2 pour $\Gamma_0(64)$.
Stop au sordide, sorry. Ci-après, juste pour jouer. Un petit truc minus. Soit $p$ premier impair et $f \in \mathbb F_p[X]$ un polynôme de degré $\ge 3$. Je note $\#\{ y^2 = f(x)\}_{\mathbb P^1}$ le nombre de points de $y^2 = f(x)$ sur $\mathbb F_p$ en tenant compte de l'unique point à l'infini. Alors
$$
\#\{ y^2 = f(x) \}_{\mathbb P^1} = p+1 - t \qquad \hbox {avec} \quad t = -\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p}\right)
$$
Why ??
Et cela donne quoi si $f$ est impair et $p \equiv 3 \bmod 4$ ?
Tu veux rentabiliser l'achat de ton Hellegouarch (deuxième édition) ?
Mais là tout de suite, après $500$ bornes de bagnole, je suis incapable de comprendre ta formule de comptage (d'autant qu'il faut que je revoie le symbole de Legendre).
Heureusement, demain est un autre jour.
A propos des ouvrages. Le livre des Douady, mon exemplaire je veux dire, est resté très propre (pas pris le soleil, pas de trace de doigts ni café).
Mon post concernant le comptage de $y^2 = f(x)$ via le symbole de Legendre est très très mal présenté. Pas fier du tout. Je le reprends plus tard. En attendant, cela n'a rien à voir, mais je peux pas m'empêcher de te montrer la preuve d'Euler (1748) de
$$
\sum_{n=0}^\infty {1 \over (2n+1)^2} = {\pi^2 \over 8}
$$
rapportée par Abhyankar, Item 20, p. 418 dans Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebras, que j'ai pointé dans un post d'hier.
En notant $p_1, p_2, \ldots$ les racines de $a_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m = 0$, on a :
$$
\sum {1 \over p_i} = {-a_1 \over a_0}
$$
Par ailleurs, on sait que :
$$
\cos \sqrt x = 1 - {x \over 2} + {x^2 \over 24} - \cdots
$$
Et les racines de $\cos \sqrt x$ sont les
$$
{(2n+1)^2 \pi^2 \over 4}, \qquad n = 0, 1, 2, \cdots
$$
''Donc'', pour la somme des inverses de ces racines :
$$
\sum_{n \ge 0} {4 \over (2n+1)^2 \pi^2} = {- (-1/2) \over 1} = {1 \over 2}
$$
Le compte est bon.
Je reprends mon post (très mauvais) sur un petit truc de comptage de $y^2 = f(x)$. Pas besoin d'être un fana du symbole de Legendre. Je fixe un corps fini $k$ de caractéristique $\ne 2$ et je définis une sorte de caractère quadratique $k \to \{0, \pm 1\}$ par :
$$
\left( {x \over k} \right)_2 = \cases {0 & si $x = 0$ \cr 1 & si $x \in k^*$ est un carré \cr -1 & si $x \in k^*$ n'est pas un carré \cr}
$$
Inutile de se faire peur avec Legendre pour l'instant.
En se concentrant un peu, on voit, pour $z \in k$, que dans tous les cas (!) :
$$
1 + \left( {z \over k} \right)_2 \hbox { est égal au nombre de $y \in k$ tels que $y^2 = z$}
$$
Alors, pour un polynôme $f \in k[X]$, je te laisse vérifier que :
$$
\#\{ (x,y) \in k \times k \mid y^2 = f(x) \} = \#k + \sum_{x \in k} \left( {f(x) \over k} \right)_2
$$
Il est traditionnel de poser $t = -\sum_{x \in k} \left( {f(x) \over k} \right)_2$ mais ici, on s'en fout.
> Z := IntegerRing() ; > p := 11 ; > k := GF(p) ; > Id := map < [k| 0,-1,1] -> [Z| 0,1,-1] | [0->0, -1 -> -1, 1->1] > ; > Chi := map < Fp -> {0,-1,1} | x :-> Id(x^ExactQuotient(#k-1,2)) > ; > kx<x> := PolynomialRing(k) ; > d := Random(4,7) ; f := x^d + &+[Random(k)*x^i : i in [0..d-1]] ; > f ; x^5 + 6*x^4 + 4*x^3 + 8*x + 4 > N := #{<x,y> : x,y in k | y^2 eq Evaluate(f,x)} ; > s := &+[Chi(Evaluate(f,x)) : x in k] ; > N ; 16 > #k + s ; 16$$p=\#\{x;f(x)=0\}+\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}+\#\{x;f(x) \text{ n'est pas un carré}\}.$$
De plus,
$$\#\{y^2=f(x)\}=\#\{x;f(x)=0\}+2\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}.$$
D'où :
$$\#\{y^2=f(x)\}=p+\#\{x;f(x) \text{ carré non nul}\}-\#\{x;f(x) \text{ n'est pas un carré}\}=p-t.$$
Edit : j'ai tapé ça sans lire ton message précédent.
Toujours est-il que tu as vu, tu vas voir, tu verras ... passer (Hellegouarch ou ailleurs), pour une courbe elliptique rationnelle $E$ et un premier $p$, le nombre entier :
$$
t_p = p+1 - \#E(\mathbb F_p)
$$
A droite, le comptage a lieu avec le (un) modèle $\mathbb Z$-minimal de Weierstrass de $E$. Que l'on réduit modulo $p$, et de temps en temps, cette réduction modulo $p$ n'est plus une courbe elliptique (un point singulier, au plus un, peut débarquer). C'est capital de prendre un modèle $\mathbb Z$-minimal car si tu loupes un $t_p$, t'es dans la m.rde pour l'assemblage i.e. pour fabriquer la série en $q$ (qui sera le développement du graal Shimura-Taniyama-Weil, forme modulaire cuspidale de poids $2$ pour $\Gamma_0(N)$ où $N$ est le conducteur de la courbe elliptique) :
$$
\sum_{n \ge 1} t_n q^n = q + \cdots
$$
Les $(t_n)_{n \ge 1}$ sont fabriqués à partir des $(t_p)_{p\ \rm premier}$, on verra plus tard.
Et peut-être que l'on peut causer de $y^2 = x^3 - x$, plus simple en fait que $y^2 = x^3 + x$, évoquée hier. D'ailleurs, $y^2 = x^3 - x$, c'est celle que tu as trouvée en quotientant $\{x^4 + y^4 = z^4\}$ par $x \leftrightarrow y$. C'est bien cela ??
Ben, maintenant, tu peux plus refuser : pourquoi courbe $y^2 = x^3 - x$, on a $t_p = 0$ pour $p \equiv 3 \bmod 4$ ? Et aussi $t_2 = 0$.
Pour $p = 1 \bmod 4$, la formule pour $t_p$ c'est pas du petit lait car c'est un théorème (dû à Gauss). Ce diable d'homme comptait déjà le nombre de points modulo $p$ de certaines courbes (ou variétés) bien avant que la chose modulaire n'envahisse les chaumières.
plus d'internet pendant quelques jours. Mince je vais louper la formule de comptage :-(
Supposons $p>3$ et $p \equiv 3 \bmod 4$.
$\dfrac{p-1}{2}$ est impair donc, si $(x^3-x)^{\frac{p-1}{2}}=1 \bmod p$, alors $(x-x^3)^{\frac{p-1}{2}}=-1 \bmod p$.
Notons alors $E$ l'ensemble des éléments de $\mathbb F_p$ non nuls qui s'écrivent $x^3-x$.
On obtient ainsi une bijection $x^3-x\mapsto x-x^3$ de l'ensemble des éléments de $E$ qui sont des carrés dans l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas des carrés.
D'où $t_p=0$.
$$
\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p} \right) = \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(-x) \over p} \right) =
\sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {-f(x) \over p} \right) =
\left( {-1 \over p} \right) \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {f(x) \over p} \right)
$$
Et quand $p \equiv 3 \bmod 4$, cela donne, puisque $-1$ n'est pas un carré modulo $p$, quelque chose du type $-t = (-1) \times (-t) $ i.e. $t = 0$.
Mais c'est aussi bien de voir comme chez toi, l'effet de $x \mapsto -x$ sur les carrés non-carrés.
Un peu en rapport (réduction cusp). Le $t$ pour $y^2 = x^3$ sur tout corps fini, cela fait $t = 0$. Certes, $y^2 = x^3$, ce n'est pas une courbe elliptique mais c'est une cubique de Weirstrass et on peut quand même compter son nombre de points (en comptant toujours l'unique point à l'infini).
Tu prends $y^2 = x^3$ ?
Avec $y^2 = x^3 - x$, j'ai choisi la facilité. On en ``parle un peu partout''. Chez Ireland et Rosen comme déjà dit (cas particulier de $y^2 = x^3 - Dx$). Chez Ribet, un joli papier ``Modular forms and diophantine equations'' que l'on trouve sur le net. Chez Koblitz, GTM 97, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, qui consacre, en partant de rien, une grosse partie de son ouvrage à $y^2 = x(x-n)(x+n) = x^3 - n^2x$.
Pour énoncer le théorème de Gauss et l'assemblage modulaire, on a besoin de $\mathbb Z[i\rbrack$. Cela vient du fait que les courbes $y^2 = x^3 - Dx$ sont à multiplication complexe i.e. $(x,y) \mapsto (-x,iy)$ est un automorphisme de la courbe. Si tu connais la série de Weierstrass d'un réseau et $g_2, g_3$ de $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$, on est dans le cas $g_3 = 0$ pour tout réseau semblable à $\mathbb Z[i\rbrack$.
Mais si tu ne connais pas, c'est pas grave. C'est juste pour ne pas s'étonner du fait que $\mathbb Z[i\rbrack$ débarque avec son arithmétique. Le théorème de Gauss à venir relie l'arithmétique de $y^2 = x^3-x$ sur $\mathbb F_p$ pour $p \equiv 1 \bmod 4$ et celle de $p$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$.
Il va falloir faire avec les inversibles $\pm 1, \pm i$ de $\mathbb Z[i\rbrack$. Il faut prendre son temps (d'où la nullité d'un post hier soir). A mon avis, c'est à chacun de vérifier les petites choses qui viennent.
D'abord $1+i$ est un irréductible de $\mathbb Z[i\rbrack$. Dire que $1+i \mid a+ib$, cela signifie que $a,b$ ont même parité. L'anneau quotient $\mathbb Z[i\rbrack/\langle (1+i)^3\rangle$ compte 8 éléments dont 4 inversibles et :
$$
\mathbb U_4 = \{\pm 1, \pm i\} \ni \varepsilon \longmapsto \varepsilon \bmod (1+i)^3 \in \mathbb Z[i\rbrack/\langle (1+i)^3\rangle
$$
est un isomorphisme sur le groupe des inversibles.
Ceci va faire que pour tout $z \in \mathbb Z[i\rbrack$ premier avec $1+i$, alors il existe un seul $z'$ tel que $z \sim z'$ (à un inversible près) et $z' \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Cela va être vachement important. En magma, c'est la fonction Primary.
> // tirer z = a+ib avec z /\ (1+i) = 1 i.e. a, b de parité contraire > z := a+i*b where a is 2*Random(-10^2, 10^2) where b is 1 + 2*Random(-10^2, 10^2) ; > z ; -141*i + 94 > zprime := Primary(z) ; > assert zprime in {epsilon*z : epsilon in {1,-1,i,-i}} ; > IsDivisibleBy(zprime - 1, (1+i)^3) ; true 59*i + 12 > IsDivisibleBy(z - 1, (1+i)^3) ; falseTemps d'accoutumance à ces ``petites choses''. Suite plus tard.
Avec ton exemple, $z'=-141-94i$.
Petite question : comment définir $i$ dans magma le plus rapidement possible ?
Y'a un département de mathématiques ``pas loin de chez toi'' ?
En 2017, demande de R.V. avec le directeur du département de maths, ou quelque chose comme cela. Cravate, beau pantalon ...etc.. But de la manip : faire acheter magma par ce labo et obtenir une connexion sur une de leurs machines. Auparavant, tu auras préparé un dossier bien solide du genre ``comprendre plus les mathématiques'' faire avancer la science me parait peut-être dangereux. Tu t'engages dans les 6 mois qui suivent à faire une formation à magma.
Tu gagnerais du temps, ainsi.
Farfelu ? Irréalisable ?
Le vrai problème, c'est assurer une formation magma. :-S
Combien de temps déjà pour devenir ceinture jaune ?
Je vais quand même me renseigner.
A une époque, un particulier pouvait se procurer magma. Il pouvait même y avoir des ``arrangements''. Mais Rescassol s'est renseigné il y a quelque temps (2 mois, quelque chose comme cela), et visiblement, Sydney ne commercialise plus qu'aux labos.
Retour à $y^2 = x^3 -x$ sur $\mathbb F_p$ avec $p \equiv 1 \bmod 4$ sinon tu sais que $t_p = 0$. Le théorème de Gauss dit la chose suivante pour $p \equiv 1 \bmod 4$. On sait que $p$ est une somme de deux carrés i.e. $p = \pi\overline {\pi}$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$. On fait en sorte que, quitte à le multiplier par un inversible, $\pi$ soit normalisé i.e. $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Cf le post précédent. Gauss dit alors que :
$$
t_p = \pi + \overline \pi \quad (= \mathrm {Trace}(\pi))
$$
Attention ce n'est pas du tout ``immédiat'' (c'est du Gauss, cela se mérite). En 2017, peut-être que l'on peut regarder les preuves plus générales pour $y^2 = x^3-Dx$ et y faire $D = 1$. Dans le cas $y^2 = x^3 - Dx$, il apparaît un symbole biquadratique (moins connu que le symbole de Legendre). Ou alors regarder Koblitz avec $y^2 = x^3-n^2x$ et y faire $n= 1$. Pour faire mumuse, j'ai dû implémenter $p \mapsto \pi$ à partir d'autres primitives magma :
En action. Faut toujours vérifier. C'est délicat ces petites choses là. Souvent on vérifie que l'on a rien compris.
Je peux ressortir le coup du petit bricolage sommatoire :
$$
- \sum_{x \in \mathbb F_p} \left( {x^3 - x \over p}\right)
$$
Mais faut pas rêver. Regarde les temps de calcul avec ma somme de m.rde. Et le temps de calcul par l'algorithme SAE (Schoof-Atkin-Elkies)
Faut y aller mollo
Regarde encore ce que savent faire les gens de métier (Schoof-Atkin-Elkies et ceux qui implémentent).
Gai Requin, si tu trouves une ruse pour qu'un particulier puisse avoir Magma, fais moi signe, ça m'intéresse.
Cordialement,
Rescassol
Au cas où tu n'aurais pas lu tout ce fil (tu m'étonnes John), tu trouveras un calculateur magma en ligne [ici].
C'est beaucoup mieux que rien.
@CQ : Quel bourrin ce Gauss !
Fut un temps où je connaissais bien l'arithmétique de $\mathbb Z[i\rbrack$. :-(
Je trouve par exemple $t_5=-2$.
Reste à calculer $t_n$ si $n$ n'est pas premier...
Les $t_n$, il va falloir attendre. Il faut d'abord définir chaque $t_{p^k}$ : ce $t_{p^k}$ n'est PAS le bête truc du comptage de $E(\mathbb F_{p^k})$. Le plus simple est de commencer petit en examinant la nature d'une cubique de Weierstrass singulière i.e. en s'occupant, de manière générale, des premiers de mauvaise réduction. Car c'est faisable. Accepterais tu des missions pour 2017 (j'ai un peu réfléchi) ?
En attendant, voilà de quoi vérifier ton $t_5$.
Sur le lien qu'on uttilise avec flipflop, il est écrit "Running Magma V2.22-6".
Pour le reste, ce serait bien de finir de calculer la forme modulaire associée à qui tu sais sauf qu'après, il faudra m'expliquer à quoi elle sert... Et évidemment, j'accepte volontiers de remplir quelques missions pour 2017 ! (tu)
Peut-être que je me suis mal expliqué. Il s'agit quand même, de manière générale, de comprendre ce que sont les $(t_n)_{n \ge 1}$ d'une courbe elliptique rationnelle. Il faut simplement prendre son temps, étape par étape.
Mais dans le cas de notre chère $y^2 = x^3 - x$, il y a un caractère de Hecke (on dit aussi, je crois, Grossencharacter) qui est défini comme suit sur les idéaux de $\mathbb Z[i\rbrack$ (idéaux qui sont principaux) :
$$
\chi(I) = \cases { 0 & si $1+i \mid I$ \cr z & sinon où $z$ est le générateur normalisé de $I$}
$$
Alors le graal que l'on cherche à attraper est :
$$
\sum_I \chi(I)q^{N(I)} = \sum_{n \ge 1} t_n q^n = q + \cdots
$$
C'est une manière de tenir compte du théorème de Gauss pour chaque premier $p$. Ci-dessous $S$ est calculée par cette formule (petit bidouillage de division par $4$ car il y a 4 inversibles de $\mathbb Z[i\rbrack$) et comparée ensuite à la forme modulaire de comptage déterminée par magma, notée fE ci-dessous.
> /// Assemblage > Chi := map < Zi -> Zi | z :-> (Nz le 2 or IsEven(Nz)) select 0 else Primary(z) where Nz is Norm(z) > ; > > // 1 < a^2 + b^2 <= precision => a in [-sqrt(precision) .. sqrt(precision)] > // et b in [-sqrt(precision-a^2) .. sqrt(precision-a^2)] > S := q + 1/4 * &+[Chi(a+i*b) * q^(a^2 + b^2) : > b in [-B .. B] where B is Isqrt(precision-a^2), a in [-A .. A] where A is Isqrt(precision)] ; > > S := Zq!S ; > S ; q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 - 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 > fE := ModularForm(E) ; > S - qExpansion(fE, precision) ; O(q^100)Mais ce n'est pas tout. Il y a quelque part, pour tout entier $N \ge 1$, un espace (de formes modulaires de poids 2) noté $S_2(\Gamma_0(N))$, de dimension finie. Ici, $N$ c'est le conducteur $32$ de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - x$.
> M2Gamma0_32 := ModularForms(Gamma0(32), 2) ; > M2Gamma0_32 ; Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 8 over Integer Ring. > S2Gamma0_32 := CuspidalSubspace(M2Gamma0_32) ; > S2Gamma0_32 ; Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring. > graal := Representative(Basis(S2Gamma0_32)) ; > qExpansion(graal, precision) ; q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 - 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)Tu vois ci-dessus que $S_2(\Gamma_0(32))$ est de dimension 1. Et parfois, des domaines des mathématiques (autres que les courbes elliptiques) produisent des habitants de $S_2(\Gamma_0(N))$. Et tu imagines ce qui se passe : chez nous, dans le Poitou, on dit que ``ça se beugne''. Et ici, cela va beugner car un certain $\eta$-produit habite dans la maison. Il s'agit du produit suivant :
$$
q \left( P(q^4) P(q^8) \right)^2 \qquad \hbox {où} \qquad P(q) = \prod_{n \ge 1} (1 - q^ n)
$$
> // P(q) = prod_{n >= 1} (1 - q^n), DedekindEta(q) = q^{1/24} P(q) > // (DedekindEta(q^4) * DedekindEta(q^8))^2) = [q^{4/24} q^{8/24}]^2 * (P(q^4) * P(q^8))^2 > // = q * (P(q^4) * P(q^8))^2 = graal > EtaProduct := Zq ! ((DedekindEta(q^4) * DedekindEta(q^8))^2) ; > S - EtaProduct ; 2*q^101 + O(q^105)V2-22-6 (versus 2-18-2), c'est comme les éditions...
A quoi cela sert ? A passer le temps par exemple. Rappel : ce n'était pas prévu. Qui le premier a quotienté $\{x^4 + y^4 + z^4 = 0\}$ par $x \leftrightarrow y$ ne figurant pas dans mes affaires ? TOI. Certes, ensuite on a cherché la petite bête.
Missions 2017 (du coup on revient aux courbes algébriques, référence Hellegouarch, par exemple)
-- Se familiariser avec les cubiques de Weierstrass ``longues''. Exemple, le point (unique) à l'infini $(0 : 1 : 0)$ est toujours lisse.
-- Changements de variables dits admissibles
-- S'il y a un point singulier, il est unique. Et donc sur un corps fini, ce point est rationnel.
-- Etudier, sur un corps fini (toute caractéristique) la nature du point singulier : cusp (réduction additive), ou nodal scindé (nodal split) i.e. deux tangentes rationnelles, ou nodal non scindé (nodal unsplit) i.e. deux tangentes non rationnelles. En particulier sur le modèle où l'on ramène le point singulier en l'origine :
$$
y^2 + a_1xy = x^3 + a'_2 x^2
$$
En présence d'un point singulier, il faut être capable de compter le nombre de points sur $\mathbb F_p$ et également sur $\mathbb F_{p^k}$ pour tout $k \ge 1$. Commencer par $y^2 = x^3$. La courbe elliptique des pauvres.
Exemple pour $y^2 = x^3 - x$. En caractéristique $2$ :
$$
y^2 = x(x^2 - 1) = x(x+1)^2
$$
donc le point singulier est $(x=1, y=0)$. On pose $X = x+1$, si bien que cela s'écrit :
$$
y^2 = (X+1)X^2 = X^3 + X^2, \qquad (y-X)^2 = X^3
$$
C'est de type cusp.
Autre chose : la courbe $X^3Z + 4XZ^3 - Y^4 = 0$ est isomorphe à $X^4 + Y^4 - Z^4 = 0$, mais je ne sais pas pourquoi.
De mon côté, mais en 2017 (là, c'est fini), je vais chercher la preuve la plus simple possible dans les ouvrages dont je dispose du théorème de Gauss pour $y^2 = x^3 -x$ sur $\mathbb F_p$ pour $p = 1 \bmod 4$.
Je crois que les histoires de type de singularité sont expliquées dans Hellegouarch. Et, grosso modo, la plupart des objets qui figurent chez Hellegouarch sont implémentés (utile quand on ne comprend pas, c.a.d. très souvent).
En théorie des nombres, j'ai également le Hindry que je viens de feuilleter et on y trouve aussi beaucoup de choses sur les courbes elliptiques et les formes modulaires.
Au fait, merci de m'avoir présenté $\chi$.
Je comprends mieux pourquoi il y a tant de zéros dans la série de Dirichlet qu'on a (seulement si j'ai bien suivi) commencé à calculer.
Je viens de regarder de nouveau Hellegouarch. C'est quand même difficile toutes ces notions qui fusent de partout. Faut absolument que j'essaie de cerner des points précis. Et je n'y vois pas vraiment la fonction zeta d'une courbe, enfin pas comme que je voudrais. Une première chose, qui peut être faite indépendamment de tout le binz, serait de montrer, pour une suite complexe $(N_n)_{n \ge 1}$, l'équivalence suivante (à gauche, on baigne dans $\C((T))$) :
$$
\exp \left ( \sum_{n \ge 1} {N_n \over n} T^n \right) = {\prod_i (1 - \alpha_i T) \over \prod_j (1 - \beta_j T)}
\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad
N_n = \sum_j \beta_j^n - \sum_i \alpha_i^n \quad \forall\quad n \ge 1
$$
Explication pour en comprendre la signification. On regarde à gauche. On y voit une série formelle $S(T) = \exp(\quad)$ dont le terme constant $S(0)$ vaut $1$. On suppose que c'est une fraction rationnelle ; et toute fraction rationnelle $F$ telle que $F(0) = 1$ peut s'écrire dans $\C(T)$ sous la forme indiquée (avec les $\alpha_i$ et les $\beta_j$, en nombre fini). Alors cela signifie que $N_n$ est donné par la formule de droite.
Réciproquement si on part d'une famille finie de $\alpha_i$, $\beta_j$ et que l'on définit la suite $(N_n)_{n \ge 1}$ par $N_n = \quad$ par la formule de droite, alors on a l'égalité qui est à gauche qui dit qu'une certaine série formelle est une fraction rationnelle.
Car on va être amené à manier des séries formelles (pas n'importe lesquelles) qui sont des fractions rationnelles d'une certaine forme.
Pas facile à expliquer. Et à comprendre ? Si Hindry en parle (je n'ai pas), cela sera certainement plus facile.
Mais pourquoi ce $\exp$ ? Ben, si l'auteur est poli ...etc.. Je t'attache 3-4 pages.
Je prends l'exemple cusp $E : y^2 = x^3$. On trouve $\#E(\mathbb F_{p^n}) = 1 + p^n$ (à vérifier, à faire). Donc la fonction zeta $Z_E(T)$ vaut :
$$
Z_E(T) \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad
\exp \left ( \sum_{n \ge 1} {\#E(\mathbb F_{p^n}) \over n} T^n \right) = {1 \over (1-T)(1-pT) }
$$
Pourquoi ? Parce que les $\alpha_i$ y'en a pas et les $\beta_j$ sont $1, p$ from $\#E(\mathbb F_{p^n}) = 1 + p^n = 1^n + p^n$.
Je peux d'ailleurs faire le même type de calcul pour $\mathbb P^1$ au dessus de $\mathbb F_p$ :
Tu seras toujours là en 2017 ?
Hindry (p.207 à 209) motive la définition formelle de la fonction $Z$ (avec $\exp$) associée à une variété algébrique sur $\mathbb F_q$ en montrant une formule analogue pour $\zeta_A(s)$, où $A$ est un anneau de type fini sur $\mathbb Z$ ou $\mathbb F_p$.
Allons, allons. Nostalgie de $G_{12}$ et $y^2 = x^5 - x$ ? Tiens, on n'a jamais compté ses points sur $\mathbb F_{23}$.
Je t'assure que tout cela c'est du concret. Tu pensais qu'elle avait autant de points sur les $\mathbb F_{p^d}$ :
Je stoppe.
Mais j'ai mal évalué la difficulté. Je pensais, dans le cas particulier $E : y^2 = x^3 - x$, puisque c'est un cas particulier, que pour $p \equiv 1 \bmod 4$, avec $p = \pi\overline {\pi}$, factorisation normalisée dans $\mathbb Z[i\rbrack$ i.e. $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$, que j'arriverai à tirer de Ireland & Rosen ou Koblitz, le fait que :
$$
Z_{E/\mathbb F_p}(T) = {(1 - \pi T) (1 - \overline\pi T) \over (1-T)(1 - pT)}
$$
Cela veut dire quoi cette égalité ? Ben, à cause de $\exp(\cdots) = \cdots \Leftrightarrow N_n = \cdots$, un méga théorème de Gauss (Hasse-Weil pour les bébés) :
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = p^n + 1 - (\pi^n + \overline \pi^n)
$$
Pour $n = 1$, on retrouve Gauss. Mais cela donne également le nombre de points sur $\mathbb F_{p^n}$, pour tout $n \ge 1$.
Et pendant que je ferai cela (chercher démo simple) en 2017, toi tu t'occuperais, pour n'importe quelle $E$, de déterminer $Z_{E/\mathbb F_p}(T)$ lorsque $p$ est de mauvaise réduction. C'est vachement plus facile, je t'assure. Et tu apprendrais des choses sur les points singuliers, tu rentabiliserais les achats Hellegouarch, Hindry ...etc..
Et je constate la difficulté de ce que je m'étais imposé. Pour l'instant, impossible de court-circuiter, soit la loi de réciprocité biquadratique (note, biquadratique, pas quadratique), ou la relation de Hasse Davenport ou .. J'y arrive certes mais peut-être faudra-t-il 50 posts ?
Qu'est ce qui nous reste à faire alors ? Ben, peut-être que dans salons mondains, on pourra placer le fait que la fonction zeta d'une courbe lisse sur un corps fini est une fraction rationnelle (dans le désordre Hasse, Weil, Bombieri, Grothendieck, Deligne pour un ``plus'', un sacré ``plus''). Il y aura des "ah d'admiration'' dans le salon et tout le monde sera content.
Slience radio pendant $x$ jours, $x \ge 8$.
Je viens de faire une c.nnerie. J'avais une jolie courbe elliptique $E$ sur un $\mathbb F_p$ et je l'ai perdue. Même que j'ai perdu aussi $\mathbb F_p$. Quel c.n. Mais par chance, j'ai sa fonction zeta :
Est ce que tu pourras retrouver $p$ ? Et aussi le nombre de points sur les $\mathbb F_{p^d}$ pour $d = 1, 2, 3, ..$.
Merci.
C'est dingue que cette petite fractionnelle encode toutes ces informations : sur tous les $\mathbb F_{p^d}$, $p$ fixé, pour TOUS les $d$.
Mais le plus dingue, c'est qu'en fait cette courbe elliptique sur $\mathbb F_p$, c'était la réduction modulo $p$ d'une très très jolie courbe elliptique définie sur $\mathbb Z$. Et je crois que j'arriverais à mettre la main sur la forme modulaire de comptage. Qui encode tous les renseignements pour tous les premiers $p$ et tous les $p^d$. Ben heureusement, qu'elle est là, cette forme modulaire de comptage.
J'essaierai de ne rien perdre en 2017.
$$
q \left( P(q^3) P(q^9) \right)^2 \qquad \qquad P(q) = \prod_{n \ge 1} (1-q^n)
$$
Mais la courbe, je n'arrive pas à mettre la main dessus.
k:=IntegerRing(); A<T>:=PolynomialRing(k); Z:=(5*T^2 + 1)/(5*T^2 - 6*T + 1); S:=T*Derivative(Z)/Z; PSR<t> := PowerSeriesRing(k) ; PSR ! S ; 6*t + 36*t^2 + 126*t^3 + 576*t^4 + 3126*t^5 + 15876*t^6 + 78126*t^7 + 389376*t^8 + 1953126*t^9 + 9771876*t^10 + 48828126*t^11 + 244109376*t^12 + 1220703126*t^13 + 6103671876*t^14 + 30517578126*t^15 + 152587109376*t^16 + 762939453126*t^17 + 3814701171876*t^18 + 19073486328126*t^19 + 95367412109376*t^20 + O(t^21)Bonne année
Je commence à préparer la rentrée de demain, un peu à la bourre.
Tu as eu le temps de terminer les quotients de $\mathcal F_4$ ?
En référence à [www.les-mathematiques.net], je voulais me lancer dans la norme d'un idéal d'un anneau principal mais je n'en ai pas eu le temps. Tu connais ?
Pour la norme : j'ai de très vague souvenir de norme en théorie algébrique des nombres !
Je vais essayé de comprendre les histoires de comptage :-D
J'ai continué un peu les quotients mais je suis tombé sur des trucs un peu compliqué qui porte le nom de "Geometric invariant theory",trop complexe pour moi ! Donc j'oublie !
Sinon, j'ai essayé de comprendre un peu les calculs (invariant) de magma,en lisant le Cox : bon,c'est la théorie des bases de Grobner et théorie de l'élimination.
Donc, en résumant : pas fait grand chose de très concret !
Un petit truc tout simple :
Pour la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $X^4+Y^4=1$ et avec les symétries que l'on a considéré (par exemple $(X,Y) \to (Y,X)$).
On a deux manière de parler de symétries : l'une géométriques $(a,b) \in \mathcal{C}$ si et seulement si $(b,a) \in \mathcal{C}$.
La deuxième manière est sur la symétrie de l'équation : si on échange $X$ et $Y$ dans l'équation de $\mathcal{C}$, on retombe sur l'équation de $\mathcal{C}$.
Au départ, j'avais pas vu la différence mais bon :
si on prend la droite $Y-X=0$, et la même symétrie on voit bien que les deux notions ne sont pas les mêmes.
Bonne année. Je me sens un tantinet flemmard en 2017 mais je réponds un peu à ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1382766#msg-1382766 avant que cela ne s'enfonce trop. Oui, cela se passait bien sur $\mathbb F_5$. Rappel : la fonction zeta d'une courbe elliptique $E$ sur un corps fini $\mathbb F_q$ (ou bien d'une courbe projective lisse de genre 1 sur $\mathbb F_q$) s'écrit, pour un certain $t \in \mathbb Z$ bien défini, sous la forme :
$$
Z_{E/\mathbb F_q}(T) = {1 - tT + qT^2 \over (1 - T)(1 - q T)} \qquad
\hbox {avec l'inégalité (de Hasse)} \qquad
t^2 \le 4q
$$
C'est donc facile de retrouver $q$ à partir de $Z_{E/\mathbb F_q}(T)$.
``Rappel'' (note les guillemets) : on écrit $T^2 - tT + q = (T - \alpha) (T - \beta)$ i.e. $\alpha, \beta$ sont définis par $\alpha + \beta = t$ et $\alpha\beta = q$. Puisque le discriminant $t^2 - 4q$ est $\le 0$, cela signifie que $\alpha, \beta$ sont complexes conjugués. On peut avoir $\alpha = \beta$ mais ceci force $t^2 = 4q$, ce qui n'est PAS possible si $q$ est un premier $p$. Et la signification (il the author is polite ...etc..) est que pour tout $n \ge 1$ :
$$
q^n + 1 - \#E(\mathbb F_{q^n}) = \alpha^n + \beta^n
$$
Tu te doutes bien que je n'avais pas perdu la courbe elliptique. Car c'était la courbe de Fermat $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$, qui n'est d'ailleurs pas une courbe elliptique tant que je n'ai pas fixé un point base rationnel. Je vais la monter au dessus de $\mathbb Z$ afin de faire un ``BaseChange''
> P2<X,Y,Z> := ProjectiveSpace(IntegerRing(), 2) ; > C := Curve(P2, X^3 + Y^3 + Z^3) ; > p := 5 ; > E<X,Y,Z> := BaseChange(C, GF(p)) ; > E ; Curve over GF(5) defined by X^3 + Y^3 + Z^3 > ZetaE<T> := ZetaFunction(E) ; > ZetaE ; (5*T^2 + 1)/(5*T^2 - 6*T + 1) > Parent(ZetaE) ; Univariate rational function field over Integer Ring Variables: T > > PSR<t> := PowerSeriesRing(IntegerRing()) ; > S := T*Derivative(ZetaE)/ZetaE ; > PSR ! S ; 6*t + 36*t^2 + 126*t^3 + 576*t^4 + 3126*t^5 + 15876*t^6 + 78126*t^7 + 389376*t^8 + 1953126*t^9 + 9771876*t^10 + 48828126*t^11 + 244109376*t^12 + 1220703126*t^13 + 6103671876*t^14 + 30517578126*t^15 + 152587109376*t^16 + 762939453126*t^17 + 3814701171876*t^18 + 19073486328126*t^19 + 95367412109376*t^20 + O(t^21)On a donc ici, avec $p = 5$, la quantité $t$ qui vaut $0$ :
$$
Z_{E/\mathbb F_p}(T) = {1 + pT^2 \over (1 - T)(1 - p T)}
$$
On écrit $T^2 + p = (T-i\sqrt p)(T + i\sqrt p)$ si bien que :
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = p^n + 1 - (i^n + (-i)^n) p^{n /2}
$$
ce qui donne
$$
\#E(\mathbb F_{p^n}) = \cases {
p^n + 1 & si $n$ est impair \cr
p^n + 1 + 2p^{n/2} & si $n \equiv 2 \bmod 4$ \cr
p^n + 1 - 2p^{n/2} & si $n \equiv 0 \bmod 4$ \cr
}
$$
Petite vérification en comparant avec la série $S$. Pour $n= 1, 3$ on voit les coefficients $6, 126$ qui sont bien $5^1 + 1$ et $5^3 + 1$. Pour $n = 2$, on a $36$ comme coefficient , qui est bien $5^2 + 1 + 2 \times 5$. Et enfin pour $n=4$, le coefficient est $576$ qui est bien $5^4 + 1 - 2 \times 25$.
Plus tard la forme modulaire de comptage $q(P(q^3)P(q^9))^2$ avec $P(q) = \prod_{n \ge 1} (1-q^n)$.
Un tantinet flemmard ? Ben, par quoi commencer ?