Homographies et petits groupes de Galois

@gai requin.

J'avais noté (en 2016) ``plusieurs choses à faire'' (!?)

(1) Ce que j'ai baptisé, le coup de ``If the author is polite ...'' , évoqué en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1382604#msg-1382604 c.a.d l'équivalence :
$$
\exp \left ( \sum_{n \ge 1} {N_n \over n} T^n \right) = {\prod_i (1 - \alpha_i T) \over \prod_j (1 - \beta_j)}
\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad
N_n = \sum_j \beta_j^n - \sum_i \alpha_i^n \quad \forall\quad n \ge 1
$$
Certes, cela n'explique pas tout-à-fait pourquoi on a pris comme définition de fonction zeta ce que l'on sait, mais au moins cela dit quelle est la signification du fait que cette série est une fraction rationnelle. Note : toute fraction rationnelle $F \in \Q(T)$ telle que $F(0) = 1$ s'écrit, de manière unique, dans $\C(T)$ sous la forme que l'on voit à gauche dans le membre droit de l'égalité.

(2) C'est quoi une courbe elliptique ? Une courbe elliptique sur un corps fini ? As tu vu que j'avais choisi $X^3 + Y^3 + Z^3 = 0$ qui n'est pas sous la forme d'une cubique de Weierstrass ?

(3) Quid du théorème de Hasse ? Sous la forme suivante : soit $E/\mathbb F_q$ une courbe elliptique sur un corps fini et $t = q+1 - \#E(\mathbb F_q)$. C'est une définition pas très structurelle de la trace de l'endomorphisme de Frobenius, c'est le moins que l'on puisse dire. En notant $\alpha, \beta$ les racines :
$$
T^2 - tT + q = (T-\alpha)(T - \beta), \qquad \hbox {i.e.} \qquad \alpha + \beta = t, \quad \alpha\beta = q
$$
alors (c'est cela l'énoncé) :
$$
|\alpha| = |\beta| = q^{1/2}, \qquad q^n + 1 - \#E(\mathbb F_{q^n}) = \alpha^n + \beta^n
$$
On n'a pas perdu l'inégalité de Hasse puisque $|t| = |\alpha + \beta| \le 2q^ {1/2}$. Et ``réciproquement'' comme dit l'autre (je me comprends).

Il y a eu, depuis Hasse (1933), des preuves ``élémentaires'' (Manin, Zimmer), cf par exemple https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1102971286. Mais désormais, il me semble qu'une preuve structurelle passe par l'étude de l'endomorphisme $\mathrm {Id}_E - \varphi$ où $\varphi$ est l'endomorphisme de Frobenius de $E$.

(4) Le cas particulier de $E : y^2 = x^3 - x$ et le (super-) théorème de Gauss. Dans le cas $p \equiv 1 \bmod 4$ avec la factorisation normalisée $p = \pi\overline \pi$ dans $\mathbb Z[i\rbrack$, au sens où $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$ :
$$
p^n + 1 - \#E(\mathbb F_{p^n}) = \pi^n + \overline\pi^n
$$
Gauss : c'est le cas $n=1$. Ireland & Rosen ou Koblitz ont choisi un traitement à la Gauss-Jacobi (sommes de Gauss et Jacobi). Pas besoin de Hasse mais on retrouve Hasse dans ce cas particulier.

(5) La fonction zeta d'une cubique projective SINGULIERE de Weierstrass sur un corps fini $\mathbb F_q$, cubique notée $E$
$$
Z_{E/\mathbb F_q}(T) = {1 - tT \over (1-T)(1 - qT)}, \qquad
\hbox {avec} \quad t \in \{0, \pm 1\} \quad \hbox {selon le type de la singularité}
$$

(6) L'assemblage (terminologie naïve de CQ), pour une courbe elliptique $E$ définie sur $\Q$, des $t_p$ de $E/\mathbb F_p$, en une suite multiplicative
$(t_n)_{n \ge 1}$. Afin de pouvoir apprécier (?) la forme modulaire de comptage (encore une terminologie naïve de CQ) qui habite $S_2(\Gamma_0(N))$ où $N$ est le conducteur de $E$, et dont le développement est $\sum_{n \ge 1} t_n q^n$ (ici $q$ est une variable, $q \leftrightarrow e^{2i\pi\tau}$, $\tau$ dans le demi-plan de Poincaré).

J'ai tiré ``La preuve par André Weil de l'hypothèse de Riemann ...'' in http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups12-02.pdf

@gai requin
Peut-être qu'en 2016, je ne me rendais pas bien compte (du boulot). La première chose à assurer c'est le point (1) i.e. coup de "If the author is polite ...etc...". Cela se fait en considérant la dérivée logarithmique des intervenants (si je me souviens bien) et éventuellement en décalant via la multiplication par $T$ ($T$ est le nom de l'indéterminée). C'est ok pour toi ?

Rien à voir : tu n'as pas l'impression que flip-flop nous snobe ? Monsieur flip-flop ne veut plus quotienter $X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$ ? Une sanction ?

Norme des idéaux dans $\mathbb Z[i\rbrack$. Si $I = \langle z\rangle$, $N(I) = N(z)$ et peu importe le générateur de $I$ car deux générateurs sont égaux à un inversible près $\pm 1, \pm i$ et la norme d'un inversible vaut 1. De manière plus pédagogique (bigre), j'aurais pu écrire :
$$
\sum_I \chi(I) q^{N(I)} = \sum_{n \ge 1} t_nq^n = q + {1 \over 4} \sum_{a^2 + b^2 \ge 2} \chi(a+ib) q^{a^2 + b^2}
$$
L'idéal $I = 0$ n'intervient pas car $\chi(0) = 0$ (je me demande d'ailleurs si cela ne serait pas mieux de sommer sur $I \ne 0$). J'ai isolé $I = \langle 1\rangle$ qui fournit la contribution $q$ et ensuite le coup du $1 \over 4$, c'est pour tenir compte du fait que les 4 contributions $\pm (a+ib)$ et $\pm i(a+ib)$ correspondent seulement à un idéal. De plus, je vais en avoir besoin (de la version en $a,b$) dans l'implémentation. Tu te doutes que je fais quelques tests.

/// Assemblage
Chi := map < Zi -> Zi | z :-> (Nz le 2 or IsEven(Nz)) select 0 else Primary(z) where Nz is Norm(z) > ; 

// 1 < a^2 + b^2 <= precision  =>   a in [-sqrt(precision) .. sqrt(precision)]
// et   b in [-sqrt(precision-a^2) .. sqrt(precision-a^2)]
S := q + 1/4 * &+[Chi(a+i*b) * q^(a^2 + b^2) : 
              b in [-B .. B] where B is Isqrt(precision-a^2),  a in [-A .. A] where A is Isqrt(precision)] ;

@gai requin
Je reprends le coup figurant dans mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1382004#msg-1382004. En particulier ($k$ corps fini de caractéristique $\ne 2$) :
$$
\{(x,y) \in k \times k \mid y^2 = f(x) \} = \#k - t \quad \hbox {avec} \quad t = - \sum_{x \in k} \left( {f(x) \over k}\right)_2
$$
Je suppose $f$ de degré $d \ge 3$ et je passe en homogène. Ce qui donne une courbe que je note $C_{\mathrm {proj}}$
$$
y^2 z^{d-2} = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} z + \cdots + a_0 z^d
$$
qui n'a qu'un seul point à l'infini à savoir $(0 : 1 : 0)$. Donc, ajout d'une unité :
$$
\#C_{\mathrm {proj}} = 1 + \#k - t
$$
Petite mise en scène :

> k ;
Finite field of size 7
> A2<X,Y> := AffineSpace(k,2) ;
> 
> F := X^5 - 1 ;  C := Curve(A2, Y^2 - F) ;
> ZetaC<T> := ZetaFunction(C) ;
> S := T*Derivative(ZetaC)/ZetaC ;
> 
> Cproj<x,y,z> := ProjectiveClosure(C) ;
> Cproj ;
Curve over GF(7) defined by
x^5 + 6*y^2*z^3 + 6*z^5
> assert ZetaC eq ZetaFunction(Cproj) ;
> Loo := LineAtInfinity(A2) ;    
> Loo ;
Curve over GF(7) defined by
z
> Loo meet Cproj ;
Scheme over GF(7) defined by
x^5 + 6*y^2*z^3 + 6*z^5,
z
> Points(Loo meet Cproj) ;
{@ (0 : 1 : 0) @}
> // #Cproj = 1 + #k - t
> t :=  -&+[LegendreSymbol(Z!Evaluate(F,X,x), p) : x in k] ;
> 1 + #k - t = Coefficient(PSR!S, 1) ;
8 = 8

Tout va bien (jusqu'à maintenant). Mais je change le polynôme $X^5 - 1$ ci-dessus en $X^6 - 1$ ci-dessous (Ajout et je fais les choses de manière correcte cette fois, merci gai-requin)

> delete F, ZetaC, S, C, Cproj, t ;
> F := X^6 - 1 ;  C := Curve(A2, Y^2 - F) ;
> ZetaC<T> := ZetaFunction(C) ;
> S := T*Derivative(ZetaC)/ZetaC ;
> Cproj<x,y,z> := ProjectiveClosure(C) ;
> Cproj ;
Curve over GF(7) defined by
x^6 + 6*y^2*z^4 + 6*z^6
> assert ZetaC eq ZetaFunction(Cproj) ;
> Loo meet Cproj ;
Scheme over GF(7) defined by
x^6 + 6*y^2*z^4 + 6*z^6,
z
> Points(Loo meet Cproj) ;
{@ (0 : 1 : 0) @}
> t :=  -&+[LegendreSymbol(Z!Evaluate(F,X,x), p) : x in k] ;
> 1 + #k - t = Coefficient(PSR!S, 1) ;
7 = 8          <-------------------------------------------------------- GLOUPS !!

Comprends tu ce qui se passe ?
C'est en lisant Hindry, en bas de la page 70 de http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups12-02.pdf que m'est venue cette idée.

Note : bien sûr qu'il faut absolument pinailler entre 7 et 8. Si on commence à accepter que les choses sont égales à quelque chose près, c'est la porte ouverte à toutes les catastrophes.

@gai requin
Oui, mais pourquoi ? De manière précise, soit $k$ un corps de caractéristique $\ne 2$ et $f(X) \in k[X]$ un polynôme de degré $\ge 4$. Alors la projectivisée de la courbe $y^2 = f(x)$ admet un seul point à l'infini qui est $(0 : 1 : 0)$ et celui-ci est singulier. Si de plus, $f(X)$ est séparable, c'est le seul point singulier de la projectivisée.

Tu dis ``avec mes notations''. Mais quelle est la définition précise de ton $i$ ?

Je pense que l'on ne va pas tarder à mettre sur le tapis une courbe de type $y^a = x^b - 1$ (que sera ton $i$ ?). A suivre.

@gai requin
Je préfère cette (dernière) réponse. La lissifiée, on ne la ``verra pas entièrement'' mais ceci n'empêche pas d'en parler. Ben, il va falloir faire quelque chose car on ne peut pas toujours mettre la poussière sous le tapis. Tôt ou tard, ce type de problème va se reposer (pour des courbes hyperelliptiques ou pas). On ne peut pas dans ce domaine faire dans l'approximatif.

A propos de la fonction ZetaFunction(C), voici ce que dit la doc de magma.
The function of the projective normalisation of the curve $C$ over the base ring of $C$, which must be a finite field.

Autre chose : as tu des pointeurs sur les courbes hyperelliptiques ?

Peut-être qu'il faut revenir en arrière ? J'avais proposé à une époque (à flip-flop) de regarder le cas beaucoup plus simple $y^n = x^n( x + a)$ sur un corps quelconque avec $n \ge 2$. Peut-être que cela serait une bonne chose de traiter cet exemple A FOND ??

PS : la lissifiée de $y^2 = x^5 - 1$ ou de $y^2 = x^6 - 1$, on peut quand même, avec quelques efforts, la voir ; mais ce n'est pas utile.

@gai-requin
Je ne comprends pas ta première ligne (qui utilise le fait que $-1$ n'est pas un carré modulo $7$ et qui prouve que $y=0$) et qui pourtant est juste. Ensuite, je ne comprends plus rien (en particulier $(0 : 1 : 0)$ est maintenant lisse ?). De toutes manières, cette histoire est indépendante du corps de base et ne dépend que du fait que $6$ est pair. Je te propose un changement de variables après la trace d'exécution. Dans laquelle, j'ai simplement remplacé $X^6 - 1$ par $X^6+1$ pour varier les plaisirs :

> F := X^6 + 1 ;  C := Curve(A2, Y^2 - F) ;
> ZetaC<T> := ZetaFunction(C) ;
> S := T*Derivative(ZetaC)/ZetaC ;
> Cproj<x,y,z> := ProjectiveClosure(C) ;
> Cproj ;
Curve over GF(7) defined by
x^6 + 6*y^2*z^4 + z^6
> Points(Cproj) ;
{@ (0 : 1 : 1), (0 : 6 : 1), (1 : 3 : 1), (1 : 4 : 1), (2 : 3 : 1), (2 : 4 : 1), (3 : 3 : 1), (3 : 4 : 1), (4 : 3 : 1), 
(4 : 4 : 1), (5 : 3 : 1), (5 : 4 : 1), (6 : 3 : 1), (6 : 4 : 1), (0 : 1 : 0) @}
> assert ZetaC eq ZetaFunction(Cproj) ;
> Loo meet Cproj ;
Scheme over GF(7) defined by
x^6 + 6*y^2*z^4 + z^6,
z
> Points(Loo meet Cproj) ;
{@ (0 : 1 : 0) @}
> t :=  -&+[LegendreSymbol(Z!Evaluate(F,X,x), p) : x in k] ;
> 1 + #k - t = Coefficient(PSR!S, 1) ;
15 = 16

Pourquoi ne pas faire la totale dans le cas $d$ pair :
$$
y^2 = a_d x^d + \cdots + a_1 x + a_0
$$
On pose $d = 2g + 2$ et on fait le changement de variables pour comprendre ce qui se passe au dessus de $x = \infty$ :
$$
x = {1 \over u}, \qquad y = x^{g+1} v
$$
Pourquoi ? D'abord $x = \infty \leftrightarrow u = 0$. Ensuite $k(x,y) = k(u,v)$ (on n'a pas changé le corps des fonctions) et de plus $v$ est entier sur $k[u\rbrack$, ce qui fait plaisir à l'algébriste que je suis. Des choses à vérifier donc et la question est
Que se passe-t-il au dessus de $u = 0$ i.e. dans l'inclusion $k[u\rbrack \subset k[u,v]$ ?

Je reviens à la charge en ce qui concerne l'exemple $y^n = x^n(x+a)$ (plus simple car on va pouvoir mettre la main sur la lissifiée). En le traitant A FOND, on apprendrait à mon avis pas mal de choses. Impossible (pour moi) de s'embarquer dans des choses complexes avec des bases pas assez solides.

Il faut traiter le cas général de $f$ de degré pair dans $y^2 = f(x)$ comme mentionné dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1387724#msg-1387724. Sinon, on ne va pas comprendre (et même pas comprendre ce que dit Hindry). Et j'ai oublié de dire que les deux points trouvés dans le modèle en $(u,v)$, il faut quand même vérifier qu'ils sont lisses !

Il restera le cas où $f$ est de degré impair. Quel changement de variables ? Combien de points à l'infini sur la lissifiée ?

On remarquera l'expression galvaudée ``point à l'infini''. Il s'agit ici, en fait, dans le revêtement hyperelliptique $(x,y) \mapsto x$ , de la lissifiée vers $\mathbb P^1$, des points au dessus de $\{x = \infty \}$.

Sans oublier, mais cela n'a rien à voir, l'exemple $y^n = x^n(x+a)$.

@gai requin
Le cas général (bis, rebis). Car pour $d$ pair, $y^2 = a_dx^d + \cdots$, on veut voir apparaître $\pm \sqrt {a_d}$.

@gai requin
Les voilà donc les deux points, définis sur $k(\sqrt {a_d})$, de la lissifiée au dessus de $x = \infty$. Bien sûr, tu as vérifié qu'ils sont lisses ? Un petit cadeau pour te montrer le bienfait de travailler dans $\mathbb P^2(1, g+1, 1)$. En passant : quand on parle d'une courbe hyperelliptique, il s'agit (presque) toujours de la courbe lisse (que l'on voit rarement). Quelques questions après l'exécution pour occuper les jours à venir.

> k := RationalField() ;
> // Dans P^2(1, g+1, 1)
> g := 2 ;
> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(k, [1, g+1, 1]) ;
> P2 ;
Projective Space of dimension 2
Variables: x, y, z
The grading is:
    1, 3, 1
> CoordinateRing(P2) ;
Graded Polynomial ring of rank 3 over Rational Field
Order: Graded Reverse Lexicographical
Variables: x, y, z
Variable weights: [1, 3, 1]
> // d = 2g+1 ou 2g+2
> d := 2*g+2 ;  f := x^d - 1 ;
> Faff := y^2 - f ;
> Faff ;
-x^6 + y^2 + 1
> F := CoordinateRing(P2) ! (z^(2*g+2) * Evaluate(Faff, [x/z, y/z^(g+1), 0])) ;
> F ;
-x^6 + z^6 + y^2
> IsHomogeneous(F) ;
true
> Cproj := Curve(P2, F) ;
> assert IsNonSingular(Cproj) ;
> assert Genus(Cproj) eq g ;
> Loo := Curve(P2, z) ;  
> Points(Loo meet Cproj) ;
{@ (1 : -1 : 0), (1 : 1 : 0) @}

(1) Quid de $y^2 = a_d x^d + \cdots$ quand $d$ est impair ?
(2) La fonction zeta d'une courbe (projective lisse) $C/\mathbb F_q$ de genre $g$ est de la forme :
$$
Z_{C/\mathbb F_q}(T) = {c_0 + c_1T + \cdots + c_{2g}T^{2g} \over (1-T)(1-qT)}, \qquad
c_0 = 1, \qquad c_{2g} = q^g
$$
Sais tu comment se traduit l'impact de l'équation fonctionnelle vérifiée par cette fonction zeta sur les coefficients $c_i$ du numérateur ?
Note : en ce qui concerne le numérateur, il est parfois nommé L-polynomial de la courbe (LPolynomial en magma).

(3) On reprend $y^2 = x^6 - 1$ sur $\mathbb F_7$. On a vu hier qu'il y avait $6 + 2 = 8$ points sur $\mathbb F_7$. Je t'informe qu'il y a 46 points sur $\mathbb F_{7^2}$. Saurais tu déterminer la fonction zeta de cette courbe ? Il faut avoir répondu à (2)
Et plus généralement, connaissant $N_1, \ldots, N_g$ i.e. le nombre de points sur $\mathbb F_{q^i}$ d'une courbe de genre $g$, comment déterminer sa fonction zeta ?

(4) J'ai oublié ... J'ai retrouvé. Cela concerne ``If the author is polite ...''. On considère la transformation :
$$
\C^{\N^*} \ni u = (u_n)_{n \ge 1} \longmapsto Z_u = Z_u(T) = \exp\left( \sum_{n \ge 1} {u_n \over n} T^n\right) \in 1 + T\CT
$$
Alors $Z_0 = 1$, $Z_{u+v} = Z_u Z_v$ donc $Z_{u-v} = Z_u/Z_v$.

Que vaut $Z_u$ pour $u = (\alpha^n)_{n \ge 1}$ ? En déduire que pour $u = \big(\sum_j \beta_j^n - \sum_i \alpha_i^n\big)_{n \ge 1}$, on a :
$$
Z_u(T) = {\prod_i (1 - \alpha_i T) \over \prod_j (1 - \beta_j T)}
$$

@flip-flop
Tu as le Kobliz, petit cachotier. Lequel, au fait ? Attention le numérateur de la fonction zeta, il ne faut pas l'écrire avec un 2 au centre comme tu l'as fait. Et je préfère noter $t$ le coefficient central parce que $t$ pour trace (du Frobenius). Donc, pour une courbe elliptique $E/\mathbb F_p$ :
$$
Z_{E/\mathbb F_p} = {1 - tT + pT \over (1-T)(1-pT)}
$$
Et $t$ et $\#E(\mathbb F_p)$ sont liés par $p+1 - t = \#E(\mathbb F_p)$ à moins que cela ne soit $p+1 - \#E(\mathbb F_p) = t$.

Ok, beaucoup de black-boxes pour l'instant. On va essayer d'en diminuer (un peu) le nombre et voir ce que l'on peut faire pour $y^2 = x^3 - x$ (c'est déjà difficile, Gauss).

@flip flop
Une mission ? Je détaille l'exercice II.2.3 p. 61 de Koblitz (qui n'est pas corrigé) et c'est toi qui finalise via un pdf. OK ? Indiscret : il me semble que tu as plus de temps que gai-requin : vrai-faux ? Peu importe, il s'agit de montrer dans l'exercice que $\chi_4(-4) = 1$ quand $\chi_4$ est un des caractères d'ordre 4 sur $\mathbb F_q$ pour $q \equiv 1 \bmod 4$.

C'est via ce $\chi_4(-4) = 1$ que Koblitz va apporter une certaine simplification dans le binz.

Faut pas rêver cependant : il va falloir monter un certain nombre de petits résultats sur les caractères sur un corps fini et pendant un certain temps, on se demande où on va. Mais il y aura des pauses avec apéro, paniers déjeuner, café ou quelque chose dans ce goût là.

A toi.

@flip flop
Tu as raison : il faut prendre son temps. Et commencer par les relations de la page 57. Petit commentaire : l'écriture de Koblitz est ``très serrée'' et il attaque fort en faisant intervenir à la fois les sommes de Gauss et de Jacobi. Et du coup, on en prend plein la gueule en 5 minutes. Pour éviter cela dans mon problème d'entraînement, dans la partie II, j'avais d'abord introduit les sommes de Jacobi (sans les sommes de Gauss) et tout de suite montré en quoi elles pouvaient servir au dénombrement. Les sommes de Gauss ne sont introduites que dans la partie III.

De toutes façons, tu as quasiment accepté d'en prendre plein la g.eule. Mais je t'assure que tu vas être récompensé largement (théorème de Gauss + détermination d'une fonction zeta, tu vas épater tes ami(e)s). Oui ``Straightforward'' signifie sans difficulté particulière (que je préfère à ``trivial'').

Je prépare le terrain pour l'exercice page 61. Probablement un scan.

@flip flop
Vu (et ok). Je ne comprends pas trop le sens de ta question ``cela va être technique ... à chaque fois ?''. En tout cas, on peut ``convenir'' que c'est écrit pour gai-requin qui est au turbin. Essayer d'être le plus précis possible (gai-requin ne dispose pas du Koblitz, je pense). Par exemple, ton post sous-entend que $q = p^r$ et que la trace c'est la trace de $\mathbb F_q/\mathbb F_p$.

Autre point : communication par post ou de temps en temps par pdf ? A ce propos, j'ai vu que tu t'étais bien amusé avec les invariants.

@flip flop
Koblitz a écrit au moins deux ouvrages sur le sujet, d'où le "Straightforward''. Tu verras que demain, tu trouveras cela plus facile. Peut-être que dans (1) de Koblitz, l'égalité la plus difficile est $J(\chi, \chi^{-1}) = -\chi(-1)$. Dans mon problème, c'est la question II.5.b : mais je donnais comme indication une histoire d'homographie. Note, en passant le mot ``homographie'' et la cohérence du fil (je parle du titre). C'est gai-requin qui va être content.

Autre chose : ce que j'appelle les ``non dits''. Car dans notre histoire, le graal est somme de Jacobi $J(\chi_4, \chi_2)$ où $\chi_4$ est un des deux caractères d'ordre 4 sur $\mathbb F_q$ avec $q \equiv 1 \bmod 4$ et $\chi_2$ est le carré de $\chi_4$. Ce graal $J(\chi_4, \chi_2)$ est un habitant de $\mathbb Z[i\rbrack$, de norme $q$, (de norme $q$, faut le savoir pour le trouver dans Koblitz) et $\alpha = -J(\chi_4, \chi_2)$ a la propriété mirifique :
$$
\#E(q^r) = q^r+1 - (\alpha^r + \overline{\alpha}^r) \qquad \qquad E : y^2 = x^3 - x
$$
Je viens de faire un boulot que je n'avais pas fait auparavant : implémenter la somme de Jacobi (avant, je procédais autrement pour déterminer le Graal $\alpha$). Ci-dessous, j'utilise presque les notations de Koblitz :

> Fq ;
Finite field of size 17
> J := &+[Chi4(x)*Chi2(1-x) : x in Fq] ;
> alpha := -J ;
> alpha ;
-4*i + 1
> assert Norm(alpha) eq q ;
> assert IsDivisibleBy(alpha - 1, (1+i)^3) ;
> 
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> Eq := ChangeRing(E, Fq) ;
> Eq ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 16*x over GF(17)
> assert #Eq eq q+1 - Trace(alpha) ;
> r := Random(2,5) ;
> "r = ", r ;
r =  5
> assert #Eq(GF(q^r)) eq q^r+1 - Trace(alpha^r) ; 

Dernier point : l'histoire. Cela vaut le coup de jeter un coup d'oeil à la page 2 de http://www.math.uci.edu/~asilverb/bibliography/silverbergagct.pdf . Peu importe si la technique nous dépasse, je le pointe pour les références historiques. Voilà ce qu'écrit Silverberg :

In 1814, in his last diary entry [8], Gauss stated a similar result for a different curve (see also p. 86 of [5] or §5 of Chapter 11 of [14]). As pointed out by Lemmermeyer in [17], Gauss’s statement was based on numerical evidence, and the first published proof was given by Gustav Herglotz [12] in 1921 (see p. 317 and p. 342 of [17] for more on the history). One formulation of Gauss’s statement is the following.