Homographies et petits groupes de Galois

@vous deux
J'ai repris la preuve du lemme 1 p. 59 de Koblitz qui contient 2 coquilles et qui est tellement serrée qu'elle en est incompréhensible. J'ai mis des références à mon épreuve Agrégation car gai requin n'a pas Koblitz (n'avait pas Koblitz ?).

@flip flop
Tu as pris $n=8$ ; je ne comprends pas ton $n= 8 = 5^2$. Parce qu'ici à Poitiers, $5^2$, cela fait 25. Et à Grenoble ?
Mets un s à carré dans ``somme de carrés'' car si Chaurien passe par là, t'es joli garçon.
Corrige $N = 17^{15} + 1 - ((1+4i)^{15} + (1-4i)^{15})$ : il y a 2 corrections à apporter, le $+1$ et les parenthèses.

> n := 8 ;
> E := EllipticCurve([-n^2, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 64*x over Rational Field
> p := 17 ;
> Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
> #Ep(GF(p^15)) ;
2862423049790217488

@flip flop
Oui, mais je suis partisan d'avoir des résultats généraux de manière à ce que l'on apprenne le plus de choses possible. Par exemple, dire qu'un caractère (multiplicatif) $\chi_m $ sur $\mathbb F_q$ est d'ordre $m$, cela signifie que $\chi_m : \mathbb F_q \twoheadrightarrow \mathbb U_m \cup \{0\}$ est surjective. D'où en composant par la norme qui est surjective, on obtient un caractère surjectif donc d'ordre $m$
$$
\xymatrix @C = 1.7cm {
\mathbb F_{q^r} \ar[r]^{N_{\mathbb F_{q^r}/\mathbb F_q}} & \mathbb F_q \ar[r]^{\chi_m} & \mathbb U_m \cup \{0\}
}
$$
Autre chose (à propos de choses générales). Je me suis aperçu qu'il y a une coquille (pas grave mais c'est toujours ch.ant) dans le scan attaché ce matin (preuve du lemme 1 p. 59 de Koblitz). Mais je me suis surtout aperçu qu'il y a un résultat général qui n'a rien à voir avec $q \equiv 1 \bmod 4$ et $\chi_4$. C'est l'égalité qui vient, $q$ n'étant pas une puissance de $2$ et $\chi$ un caractère non trivial :
$$
J(\chi_2,\chi) = \chi(4) J(\chi,\chi)
$$
Autant apprendre un peu de maths.

@gai requin
Dans le contexte que tu sais, soit $\alpha \in \mathbb Z[i\rbrack$ vérifiant :
$$
\alpha \overline\alpha = q, \qquad \alpha \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3
$$
S'assurer qu'il n'y a que deux tels $\alpha$ : $\alpha$ et $\overline\alpha$ mais ils ont même trace. Of course, $\alpha$ dépend de $q$ et $n$. Obtenir que la fonction zeta de $E_n/\mathbb F_q$ est fournie par :
$$
Z_{E_n / \mathbb F_q}(T) = {1 - tT + qT \over (1-T)(1-qT)}, \qquad \qquad \hbox {avec} \quad t = \mathrm {Tr}(\alpha)
$$
Et ceci en court-circuitant Hasse-Davenport.

C'est à la fois ``bien et pas bien'' de court-circuiter Hasse-Davenport : on va plus vite mais on n'apprend pas Hasse-Davenport.

Ensuite, se concentrer sur $n = 1$ i.e. $y^2 = x^3 - x$. Et collecter tous les $p$. Mais il y a des $p$ de mauvaise réduction dont il faut s'occuper à part. Je n'ai pas le courage mais depuis un certain temps, j'ai posté des choses trés précises à faire (il the author is polite .. etc..). Mais pour l'instant on se concentre sur les sommes de Gauss-Jacobi et les applications à $E_n$. Plus tard, il faudra pouvoir remonter les posts.

@flip flop
Comment je fais ? Je lis. J'attache : c'est vachement astucieux et on comprend alors que dans le lemme 1 de Koblitz, l'auteur (avec tout le respect que je lui dois) a la tête dans le guidon.

Autre chose : pour $y^2 = x^3 - Dx$ en général, on ne peut pas se passer de Hasse-Davenport. Alors que si $D = n^2$, oui. C'est dommage de ne pas avoir fait $y^2 = x^3 - Dx$ car on comprend vachement mieux ce qui se passe (sur des exemples) en quoi ont peut s'en passer ou pas. Ne pas oublier que probablement les exemples ont eu un grand rôle dans certains des posts.

@vous deux
Traiter $D$ quelconque permet de MIEUX comprendre. Comprendre quoi ? Avec les notations habituelles, dans le contexte que l'on sait, par exemple, que l'on a :
$$
\alpha \equiv \overline {\chi_4(D)} \bmod (1+i)^3
$$
Ce n'est pas PLUS DIFFICILE, je vous assure.
Et je permets de dire encore une fois que je VOIS des choses, beaucoup de choses : je n'ai pas fait qu'implémenter une calculette sommes de Jacobi, j'ai aussi implémenté, dans certains cas, lorsque l'on va tenir compte de tous les $p$ pour $y^2 = x^3 - Dx$, i.e. pour déterminer la forme modulaire de comptage pour le groupe $\Gamma_0(N)$, la détermination du Grossen-character ...etc...

Il faut que je garde un peu d'avance sur vous et implémenter tout ce binz sert à nous sécuriser.

J'apprends plein de trucs. Exemple : le coup de la tête dans le guidon, je ne suis pas mécontent de mon $J(\chi_2,\chi_4)$.
On ne veut pas (toujours) faire du coupé-collé des auteurs.

Ce n'est pas que l'on a perdu du temps. C'est qu'un apprentissage, c'est long. Et il me semble que nous, on a tout notre temps, enfin on a du temps. On ne veut pas faire avancer la science et aller causer dans les salons mondains. On veut juste s'amuser un peu. Attention, faire avancer la science, c'est sérieux et les personnes qui font avancer la science (articles ...etc..), elles n'ont pas trop le temps.

Inconvénient (risque) : c'est que flip-flop pour l'instant assure le TeX et avec des aller-retours dans tous les sens, il pourrait finir par me faire la g.eule. Mais j'ai quand même une idée : il suffirait de comprendre tout de manière claire et rapidement. Elle est pas bonne mon idée ?

@flip flop
Au fait, tu as bien vu dans un fil précédent (?), il y a un certain temps, un pdf attaché de 2 pages de nom KoblitzPage58.pdf ??

gai requin
Ne pas confondre pour les yeux (T affiché) et pour le ventre.

@gai requin
Pas demain ni après demain. Peut-être que dans 6 mois, tu en sauras plus. Mais je pense que mon idée était probablement stupide.
Et pendant ce temps là, flip-flop TeXe à fond la caisse, en maudissant le jour où il s'est engagé à je ne sais trop quoi.

@flip-flop
J'ai vu que tu t'es sensibilisé à ``la normalisation'' dans $\mathbb Z[i\rbrack$ et que tu en as un peu bavé si j'ai bien compris. J'espère que tu veux quand même continuer. C'est effectivement au coeur du sujet.

@vous deux
On peut peut-être envisager, après une certaine agitation, d'essayer de faire un premier point. Pas si facile. Il en faudra plusieurs à mon avis. Je viens de fouiller dans les posts précédents, c'est quand même un sacré bazard !

Soit $E/\mathbb F_q$ une courbe elliptique. Le graal que l'on cherche est un nombre complexe $\alpha$ qui doit vérifier :
$$
\alpha\overline\alpha = q, \qquad q^r + 1 - (\alpha^r + \overline\alpha^r) = \#E(F_{q^r}) \quad \forall \ r \ge 1
$$
Il faut remarquer que si $\alpha$ convient, il en est de même de $\overline\alpha$. Et on a les égalités :
$$
\alpha\overline\alpha = q, \qquad \alpha + \overline \alpha = t \qquad \hbox {avec} \quad t = q+1 - \#E(F_q)
$$
D'où un polynôme qui résiste à $\alpha \leftrightarrow \overline\alpha$, à savoir :
$$
L(T) = (1 - \alpha T) (1 - \overline \alpha T) = 1 - tT + qT^2
$$
Exemple : $E : y^2 = x^3 - Dx$ avec $\gcd(2D,q) = 1$ et $q \equiv 1 \bmod 4$ :
$$
\alpha = \overline {\chi_4(D)} \times \big(-J(\chi_2, \chi_4) \big)
$$
Sauf que : pour élire $\alpha$ comme graal de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - Dx$, on a besoin de la relation de Hasse-Davenport. A voir à un moment donné, on ne peut pas tout faire en même temps.

On va ``ancrer le graal'' dans un machin baptisé fonction zeta. Afin de comprendre cela, je nous suggère de faire une mini-pause et de résoudre le coup de ce que j'ai baptisé ``Il the author is polite''. Deux posts sont consacrés à cela : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1382604#msg-1382604 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1388176#msg-1388176

Cette activité n'a rien à voir avec les courbes elliptiques. Il me semble qu'elle peut-être réglée rapidement. Elle l'est peut-être d'ailleurs. Une fois cette histoire de fonction zeta assurée, on pourra reprendre le contexte de $y^2 = x^3 - Dx$ et $y^2 = x^3 - n^2x$.

@gai requin
J'ai modifié mon post pour montrer que good_alpha est comme il faut modulo $(1+i)^3$.

@vous deux
C'était tout cela ``le truc qui tue''.
Remarque : si $D$ est un carré, alors $\chi_4(D) = \pm 1$, et cette fois si $\alpha$ vérifie la congruence, il en est de même de $\overline\alpha$.

Ce qui a été compliqué, c'est que l'on a voulu opérer ``en faisant nous mêmes'' un peu dans tous les sens. Il a fallu se payer des exos, des démos pas toujours limpides (tête dans le guidon de la part des auteurs) que nous avons simplifiées. Et pour vous, se mettre aux sommes de Gauss-Jacobi. Et nous avons réussi à nous passer de Hasse-Davenport dans le cas $D = n^2$. Bref, on n'est pas restés sur notre c.l à attendre je ne sais trop quoi.

Imaginons que nous disposions du théorème de Hasse (c'est ``par théorème'', comme disent parfois les étudiants). Ben, c'est pas cela qui aurait permis de traiter le cas particulier $y^2 = x^3 - Dx$.

Je pense qu'il faut laisser cela reposer un peu. On va se faire bientôt ``If the author is polite''.