Homographies et petits groupes de Galois

@gai requin
J'essaie de préciser ce que j'ai raconté concernant Hasse et Weil pour les courbes elliptiques, ce qui a provoqué une interrogation de ta part.

Ce que j'ai dit est relatif à un agencement (montage déductif) de preuves : comment démontre-on, pour les courbes elliptiques sur un corps fini, Hasse ? Weil ? Si on ne s'intéresse pas aux preuves, on prend le produit fini (la totale) que l'on connaît et point barre.

Prenons par exemple l'ouvrage de Silverman (The Arithmetic of Elliptic Curves). Il démontre l'inégalité de Hasse :
$$
|q + 1 - \#E(\mathbb F_q)| \le 2 \sqrt {q}
$$
via le Frobenius, le degré, isogénie duale et tout le truc.

D'ailleurs, à ce propos, j'avais préparé une vague analogie $\det(x I_2 - yM) \ge 0$ pour tous $x,y \in \Z$ in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1393678#msg-1393678 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1393736#msg-1393736

Et une fois que Silverman a prouvé l'inégalité de Hasse, il doit continuer à se RETROUSSER les manches pour prouver Weil. Chez Silverman, avec Hasse seulement , c'est loin d'être terminé chez lui (il n'a pas voulu utiliser RR). Weil c'est l'égalité suivante (dont on sait ce qu'elle dit via <<if the author is polite>>)
$$
Z_{E/\mathbb F_q} = {1 - tT + qT^2 \over (1-T)(1 - qT)} \qquad \hbox {avec $t^2 \le 4q$}
$$
Silverman choisit pour prouver cette égalité la linéarisation sur le module $\ell$-adique $T_\ell(E)$ de Tate .. C'est bien sûr du boulot (on est au chapitre V, p. 130).

Ca, c'est la stratégie de Silverman. Tel autre auteur va procéder autrement. Mais je pense qu'ils ne sont pas si nombreux à prendre le truc en charge de A à Z, sans pré-requis. Il y a peut-être Katz (je n'ai pas regardé).

On peut aussi regarder l'histoire. Si j'en crois ce que raconte Lorenzini (An Invitation to Arithmetic Geometry) p. 273, F.K. Schmidt avait déjà en 1931 montré que la série zeta d'une courbe $C$ projective lisse de genre $g$ sur $\mathbb F_q$ était une fraction rationnelle de la forme :
$$
Z_{C/\mathbb F_q}(T) = {c_0 + c_1 T + \cdots + c_{2g} T^{2g} \over (1-T)(1-qT)} \qquad
\hbox {avec $c_0 = 1,\quad$ $c_{2g} = q^g,\quad$ $c_{2g-i} = q^{g-i} c_i$}
$$
En 1931. C'est important de noter la date. L'égalité $c_{2g-i} = q^{g-i} c_i$ c'est exactement l'équation fonctionnelle. Cela a pour conséquence que la connaissance de $N_1, \ldots, N_g$ où $N_i$ est le nombre de points sur $\mathbb F_{q^ i}$ pour $1 \le i \le g$ détermine la fonction zeta (exercice de maths ... et de programmation !) et donc détermine tous les $\#C(\mathbb F_{q^r})$ pour tout $r \ge 1$.

C'est pas rien en 1931 de la part de Schmidt ! Avec de plus obtention d'un résultat relatif aux courbes lisses sur les corps finis (théorème de Schmidt) sur lequel je zappe.

Mais PAS d'inégalité de Hasse. Qui ne viendra pas longtemps après, par Hasse lui-même (courbes elliptiques). Et ensuite dans les années 1940, il y aura Weil qui va régler le cas des courbes de genre $g$ quelconque :
$$
c_0 + c_1 T + \cdots + c_{2g} T^{2g} = (1 - \alpha_1 T) \cdots (1 - \alpha_{2g} T) \qquad \qquad |\alpha_i| = \sqrt q
$$
Et ce que j'ai voulu dire, c'est que tout cet agencement, ce n'est pas toujours complètement clair dans ma tête. Je dois faire un gros effort pour comprendre qui est quoi.


Enfin, et ce n'est pas étranger au fait de vouloir se clarifier, en ce qui nous concerne : j'ai envie de reprendre dans le contexte de $E_D : y^2 = x^3 - Dx$, tout le travail sur $J(\chi_2, \chi_4)$. Tu vas dire que je me répète. Et bien, pour moi, si je ne le fais pas c'est comme si l'on n'avait rien fait. Dommage.

Je t'assure que chaque élève pourra avoir le sien :

> for i := 1 to 10 do                                                                                
for>  v := Random(1,10) ; u := Random(v+1, v+20) ;
for>  abc := TriangleRectangle(u,v) ;
for>  aire := Aire(abc) ;
for>  n,y := SquareFree(aire) ;
for>  abc := 1/y * abc ;
for>  printf "abc = %o -> n = %o\n", abc, n ;
for> end for ;

abc = (12  5 13) -> n = 30
abc = (   87 380/3 461/3) -> n = 5510
abc = (140  51 149) -> n = 3570
abc = (   57 140/3 221/3) -> n = 1330
abc = (580 741 941) -> n = 214890
abc = (   60 209/2 241/2) -> n = 3135
abc = (4 3 5) -> n = 6
abc = (   60 119/2 169/2) -> n = 1785
abc = (   60 209/2 241/2) -> n = 3135
abc = (3 4 5) -> n = 6

Evidemment, ici je n'ai pas eu trop de bol : 3135 et 6 sont sortis deux fois.

@vous deux
De mon côté, j'ai joué avec la série zeta de $\Phi_n(x) = 0$ sur $\mathbb F_q$ ; il s'agit de ce que j'appelle un ``alibi'' car une fois la formule établie, on constate que l'on n'a plus besoin de $q$ puissance d'un premier.

J'ai pu prouvé mes petites affaires en utilisant le fait suivant : une racine de $\Phi_n$ dans un corps de caractéristique $p$ avec $p \not\mid n$ est un élément d'ordre $n$ i.e. $\langle x\rangle$ est d'ordre $n$. Cela ne va pas de soi, il faut une preuve. Certes qui n'est pas si compliquée. J'ai retrouvé deux notes que j'attache. J'y fais un peu de zèle car je m'amuse avec les racines de $\Phi_n$ dans un anneau commutatif (perversité de l'algébriste). Je donne quelques applications qui n'ont rien à voir avec nos affaires.

Dans la note où il est question de certificat, il s'agit d'une déviation de mézigues : essayer d'avoir des résultats universels sans clause.

Bref, tout va bien. Et j'ai pu passer de $\Phi_n$ à $X^n-1$ comme on le pense. Par exemple, la série GENERATRICE (pas zeta) de $\gcd(q^\bullet-1, n)$ est :
$$
\sum_{d \mid n} {\varphi(d)\, T^{o(q,d)} \over 1- T^{o(q,d)}} \qquad \hbox {où $o(q,d)$ est l'ordre de $q$ dans $(\Z/d\Z)^\times$}
$$
C'est plus mieux (si je peux me permettre) que le coup de la période de Flip-Flop.
Un pdf viendra plus tard.

Mais là où je vais avoir du mal, c'est la chose analytique :
$$
\sum_{n \ge 1} {1 \over n^s} = \prod_p {1 \over 1 - p^{-s}}, \qquad\quad
\sum_{m \ge 1} {1 \over m^s} = \prod_p {1 \over 1 - p^{-s}}
$$
Où $s$ est une variable réelle ou complexe. Ouf je l'ai dit malgré mes blocages. Le fait que j'ai écrit deux fois la même chose ne vient pas du blocage mais du fait que chez nous autres, $n$ is reserved. Ben, il va falloir que je fasse un gros gros effort avec des objets analytiques tels que
$$
L(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}, \qquad\qquad \zeta_K(s) = \sum_{m \ge 1} {\nu_K(m) \over m^s}
$$
où $\nu_K(m)$ est le nombre d'idéaux de $\mathcal O_K$ de norme $m$ ($K$ est un corps de nombres, nous on vise $\Q(\root n\of 1)$ qui s'est invité sans crier gare). A gauche, on parle de $L$-série (j'arrive à le dire).

Dentelle cyclotomique est sur mon imprimante.

@gai requin.
Norme d'un idéal ? Il faut être deux. i.e. Il faut deux anneaux (commutatifs) $A \subset B$ et pas n'importe comment. Je zappe sur le cas général car on va se limiter à $A = \Z$ et $B$ un anneau d'entiers (pas nécessairement l'anneau des entiers d'un corps de nombres). On a donc $\Z \subset B \subset \C$, si l'on veut et $B$ est un $\Z$-module de type fini ce qui est pareil que $B$ est un $\Z$-module libre de rang fini.
Ca, c'est le contexte.

Et si $J$ est un idéal NON NUL de $B$, alors la norme de $J$ (sous-entendu relativement à $\Z$ mais on ne le dit pas) est
$$
N(J) \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad \#(B/J)
$$
Je te laisse montrer que le quotient est bien fini. En commençant par un élément non nul $b \in B$ et en montrant que
$$
\hbox {$B/\langle b\rangle$ est un anneau fini de cardinal $|N(b)|$ où $N(b)$ est le déterminant de la multiplication par $b$}
$$
Ensuite, $J$ viendra tout seul (considérer un élément non nul de $J$).

Attention : si $B$ n'est pas l'anneau des entiers de son corps des fractions i.e. n'est pas intégralement clos, alors la norme sur les idéaux n'est pas multiplicative.

@flip flop
J'espère que tu n'as pas pris au sérieux mon ``vous exagérez un peu ... 7 scans''. Car je pense que c'est quand même un peu à moi de mettre de l'ordre. Mais si tu as une idée dans le cas $p \equiv 1 \bmod 4$ comme je l'ai rappelé.

J'ai un tout petit quelque chose qui permettrait d'en venir à bout. Mais je ne sais pas le montrer ce petit quelque chose (qui est vrai parce que ..) et si cela se trouve, c'est aussi difficile que de montrer $-J(\chi_{2,r}, \chi_{4,r}) = \pi^r$.

J'ai relu ta dentelle cyclotomique. Et je suis OK. Je vais cependant me fendre d'un petit pdf pour disposer de plusieurs points de vue.

@gai requin
Bien d'accord avec toi. Il y a des choses (de la vie) importantes à faire passer et autant le faire le plus tôt possible, non ? Et pourquoi pas, ces jeunes, les initier à la calculabilité ou décidabilité ?

Tu as dû voir que je n'ai pas répondu à l'une de tes questions : peut-on tester si un nombre entier $n \ge 1$ est congruent. Ce n'est pas facile d'y répondre et je ne le ferais pas. Car la réponse fait intervenir le critère de Tunnell et surtout la conjecture (faible) de Birch et Swinnerton-Dyer. Je préfère renvoyer au papier de Tibouchi/Caruso vers la fin.

Je ne suis pas persuadé non plus d'avoir été bien clair concernant le statut de calculabilité d'une partie $A$ de $\Z$ vers la fin de mon dernier post sur les nombres congruents. Je suis même persuadé du contraire. J'apporte une petite précision ici, de manière naïve, et avec une terminologie naïve, qui n'est pas la terminologie officielle.

Disons qu'une partie $A$ de $\Z$ est listable si l'on dispose d'un algorithme pour générer tous les éléments de $A$, dans un ordre quelconque et avec éventuellement des répétitions. Et disons que $A$ est testable si l'on dispose d'un algorithme acceptant comme donnée un entier $n$ et qui répond à la question ``est ce que $n$ est dans $A$ ?''. J'utilise les adjectifs ``listable'' et ``testable'' (ni beaux, ni officiels) pour simplifier le discours, en tout cas pour me simplifier la vie ici.

Pour une terminologie plus officielle (en anglais) et des définitions précises, cf Poonen in http://math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf

Pour essayer d'illustrer mes propos ci-dessus, je considère l'exemple (plus simple que l'ensemble des nombres congruents) constitué par l'ensemble $A$ des sommes de 3 cubes $x^3 + y^3 + z^3$ avec $x,y,z \in \Z$.

Peut-on envisager, pour les lycéens, de leur faire écrire un programme qui liste $A$ ? Prouvant ainsi que $A$ est listable.

Par contre, tester si un entier est une somme de 3 cubes, ce n'est pas une mince affaire et j'ignore quel est en le statut en janvier 2017. J'emprunte à Poonen, dans un autre article, cf http://math.mit.edu/~poonen/papers/h10_notices.pdf, l'exemple suivant. C'est sûr que 29 est une somme de 3 cubes puisque $29 = 3^3 + 1^3 + 1^3$. Mais pour $30$, c'est un peu plus délicat :

> x := -283059965 ; y := -2218888517 ; z := 2220422932 ;
> x^3 + y^3 + z^3 ;
30

J'ai cru comprendre, qu'en un certain sens, c'est la plus petite solution de $x^3 + y^3 + z^3 = 30$.

@gai requin
Non ce n'est pas vrai que $B/\langle b\rangle$ est isomorphe à $\Z/N\Z$, même en tant que groupe abélien (je dis groupes abéliens car ce sont des anneaux). Peux tu trouver des contre-exemples (que tu connais) dans $B = \Z[i\rbrack$ ? Un certain élément de norme $8$. Mais on doit pouvoir encore trouver plus simple.

Suggestion : soit $M \in M_n(\Z)$ de déterminant $\ne 0$. Alors, $\Z^n / \mathrm {Im}(M)$ est fini, d'ordre $|\det(M)|$.

(1) Le faire quand $M$ est diagonale
(2) Le faire pour $n=2$ quand $M$ est triangulaire supérieure
(3) Le faire pour $n=2$ pour $M$ quelconque (mais de déterminant non nul)
(4) Prendre des ailes

@flip flop
Mon idée (sic) sur $J := J(\chi_{2,r}, \chi_{4,r})$ ? Pourrie (je viens de m'en apercevoir).
Une remarque quand même : $J$ est de norme $p^r$, norme au sens $z\overline z$, dans $\Z[i\rbrack$. Cela vient des identités qui relient sommes de Jacobi et sommes de Gauss (attention, les sommes de Gauss SORTENT de $\Z[i\rbrack$, elles tombent dans $\Z[\root p^r \of 1]$).
Et grâce à la norme, la factorisation de $J$ dans $\Z[i\rbrack$ est du type :
$$
J = u\, \pi^ a\, \overline \pi^b, \qquad \quad \hbox {$u$ inversible, $\quad a+b = r$}
$$
Cela ne fait pas avancer le schmilblick

@gai requin
Je vois que tu as révisé ! Petite suggestion quand même : cela serait bien de le faire dans le contexte ``moins chargé'' d'une matrice $M \in M_n(\Z)$ de déterminant non nul (pas besoin d'anneaux d'entiers ...etc...), cf mon dernier post. Et voici plusieurs contre-exemples à ce que tu pensais. Le quotient $\Z[i\rbrack/\langle 2\rangle$ : quel est son ordre ? Est ce un groupe cyclique ? Et plus généralement si $B$ est un anneau d'entiers de dimension $n$ sur $\Z$, quel est l'ordre du quotient $B/\langle m\rangle$ pour un entier $m \ge 1$ ? Quand est ce que ce quotient est cyclique ?

@vous deux
BINGO. $p$-Euler facteur de : c'est bon, j'avais raison. Et on ne s'égare pas car il va falloir, pour un $n$ fixé, globaliser les séries zeta de flip-flop pour tous les premiers $p$ (y compris ceux qui divisent $n$). Tout cela, pour réinventer l'eau chaude, eau chaude qui se nomme ici Dedekind zeta function de $\Q(\root n\of 1)$. Et on ne s'égare pas du tout du tout car c'est exactement ce que l'on voulait faire (et que l'on fera) pour les courbes elliptiques, disons pour certaines $E_D$.

Il va falloir s'habituer (inutile de se barrer en courant) à des choses du type :
$$
\sum_{m \ge 1} {a_m \over m^s} = \prod_p \left (1 + a_p {1 \over p^s} + a_{p^2} \Bigl({1 \over p^s}\Bigr)^2 + a_{p^3} \Bigl({1 \over p^s}\Bigr)^3 + \cdots \right)
= \prod_p Z_p \Bigl({1 \over p^s}\Bigr)
$$
A droite, on voit ce que l'on appelle un $p$-Euler-product. Et $Z_p(T)$ est souvent, enfin en tout cas pour nous, une fraction rationnelle qui est l'inverse d'un polynôme. Dans le contexte du comptage des idéaux de $\Q(\root n\of 1)$, pour $p$ ne divisant pas $n$, $Z_p(T)$ sera la série de FlipFlop de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$.

Je dis et j'affirme que l'on va pouvoir comprendre cela. J'ai commencé à mettre la main à la pâte. Et je ne fuis plus quand je vois une $L$-série. J'ai préparé je ne sais combien d'exemples dans notre cadre et dans d'autres.

J'anticipe mais tant pis. Que voit-on ci-dessous ? Ben, même si on ne comprend pas, on voit bien qu'il y a des trucs maison. LK, c'est une $L$-série analytique fournie par magma tandis que DedekindZeta, c'est le développement sur $10^3$ de la série de comptage des idéaux de $\Q(\root 19 \of 1)$. Il y a 6 idéaux de norme 343 et on est très content de l'apprendre, n'est ce pas ?

> K ;
Cyclotomic Field of order 19 and degree 18
> LK ;
L-series of Cyclotomic Field of order 19 and degree 18
> DedekindZeta := FormalSeries(LK, precision) ;     // FormalSeries : maison
> DedekindZeta ;
t + t^19 + 18*t^191 + 18*t^229 + 6*t^343 + t^361 + 18*t^419 + 18*t^457 + 18*t^571 + 18*t^647 + 18*t^761
> 
> for p in PrimesInInterval(2,30) do
>   if Gcd(n,p) ne 1 then continue ; end if ;
>   printf "p=%o ", p ;
>   pZeta := FlipFlopCyclotomicZetaFunction(n,p) ;  // FlipFlop .. : maison
>   assert pZeta eq 1 / IntegralEulerFactor(LK, p) ;  // IntegralEulerFactor : maison 
>   assert &and[Coefficient(PSR!pZeta, k) eq Coefficient(DedekindZeta,p^k) : k in [1..Ilog(p,precision)]] ;
> end for ;
p=2 p=3 p=5 p=7 p=11 p=13 p=17 p=23 p=29 

Je parie que vous voulez savoir combien il y a, dans (l'anneau des entiers de) $\Q(\root 19\of 1)$, d'idéaux de norme $343 = 7^3$. Et bien, il y en a 6 (oui, je l'ai déjà dit). Et ci-dessous, trois moyens de le voir.

> n ;
19
> EulerPhi(n) ;
18
> p := 7 ;
> f := OrderMod(p,n) ;
> f ;
3
> g := ExactQuotient(EulerPhi(n), f) ;
> g ;
6
> pZeta := FlipFlopCyclotomicZetaFunction(n,p) ;
> k := 1 ; i := k*f ;
> // nb d'idéaux de norme p^i
> p^i ;
343
> Coefficient(PSR!pZeta, i) ;
6
> Coefficient(PSR!DedekindZeta, p^i) ;
6
> Binomial(k+g-1, g-1) ; 
6

Inutile de changer de pseudo, je vous retrouverais.
En attendant, j'attache une épreuve que j'ai retrouvée : factorisation de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_q$ (des choses classiques).

Et je répète, on peut comprendre cela. Et même que l'assemblage va être plus simple que pour les courbes elliptiques. Certes, il va falloir bosser un peu. Mais qu'est ce que l'on a fait jusqu'à maintenant ?

@gai requin
Pour ton dernier post, on peut aussi utiliser la surjection $B/\langle b\rangle \twoheadrightarrow B/I$, qui prouve que $B/I$ est fini et le bonus : $N(I)$ divise $N(b)$.

Comme déjà dit, ton post où tu dis que tu as révisé .....etc .. est pour moi ``chargé'' ($v$, $u$, $u_b$) et je préfère un point de vue plus général où l'on ne fait pas intervenir d'anneaux d'entiers mais une matrice carrée à coefficients entiers de déterminant non nul (plus tard, cela sera la multiplication par $b$). Enfin, c'est comme cela que je pense pour moi. D'ailleurs, quand tu dis ``je me suis trompé sur les facteurs invariants'', je n'ai pas vraiment pris le temps de regarder ...etc..

Mon point de vue :

> n := 3 ;
> A := Matrix(3,3, [Random(-9,9) : ij in [1..n^2]]) ;    
> A := 5*A ;
> ElementaryDivisors(A) ;
[ 5, 5, 950 ]
> D, P, Q := SmithForm(A) ;
> D eq P*A*Q ;     
true
> Determinant(P), Determinant(Q) ;
1 1
> ImA := Image(Transpose(A)) ;
> ImA ;
RSpace of degree 3, dimension 3 over Integer Ring
Echelonized basis:
(  5  10 110)
(  0  25  65)
(  0   0 190)
> Generic(ImA) ;
Full RSpace of degree 3 over Integer Ring
> #(Generic(ImA)/ImA) = Abs(Determinant(A)) ;
23750 = 23750

@vous deux
Pour un corps quadratique, connaissez vous les lois de décompositions d'un premier dans l'anneau des entiers ? De manière élémentaire .. pas la peine d'avoir bossé des choses trop savantes en théorie algébrique des nombres.

Peut-être que $\Q(\root n\of 1)$ est tout aussi simple que les anneaux quadratiques. Ce qu'il faut savoir :

(1) Que $\Z[\root n\of 1]$ est l'anneau des entiers de $\Q(\root n\of 1)$. Ce n'est pas si difficile si on fait ce qu'il faut. Le comportement du polynôme cyclotomique $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$ joue un rôle dans cette histoire.

(2) La loi de factorisation de $p$ dans $\Q(\root n\of 1)$. Mais c'est vachement simple car c'est la loi de factorisation de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$. Cela fait apparaître $f_p, g_p, e_p$ qui sont liés à l'ordre de $p$ dans $(\Z/m\Z)^\times$ où $m$ c'est $n$ dégraissé de $p$.

J'anticipe : pour $p \mid n$, je tiens le $p$-Euler facteur de $\Q(\root n\of 1)$. The so called FlipFlop zeta series of $\Phi_n/\mathbb F_p$ (sauf que $p$ divise $n$).

J'en ai ch.é car je suis tombé sur un bug de magma sur les $L$-séries (une $L$-série connaît ses $p$-Euler facteurs). J'ai bien raison de ne faire jamais confiance en magma.

gai requin
Facteurs invariants et forme de Smith, c'est kif-kif. Le premier point de vue est disons plus abstrait ($\Z$-modules) et le second plus matriciel. Mais les deux s'épaulent.

@vous deux
Loi de décomposition d'un premier dans une extension quadratique. C'est une très bonne chose de le faire. Et de le faire de manière la plus directe et la plus élémentaire. Pouvez vous chercher sur le web ? Sinon, je peux vous envoyez de manière directe un .ps. Du postscript, cela vous va ou bien je recompile pour obtenir du pdf ?

@vous deux

J'ai scanné 3 pages de Cohen (A course in Computationnal Algebraic Number Theory .. il en a écrit beaucoup d'ouvrages). C'est le paragraphe de 5 lignes qui vient avant 7.3.2 :

Rectificatif (le lendemain) j'en ai scanné un peu plus (6 pages).

One recovers the ordinary Riemann zeta function by taking for $V$ the single point $O$. More generally, one can recover the Dedekind zeta function of a number field by taking for $V$ the $0$-dimensional variety defined in the projective line by $P(X) = 0$, where $P$ is a monic polynomial with integer coefficients defining the field over $\Q$

qui a fait tilt ces jours-ci.

Tout à fait, Jean-Paul. Et en un premier temps, tu peux supposer (histoire de se faire la main) que $p \not\mid n$. Et les deux $\mathbb F_p$-algèbres que tu dis isomorphes sont des produits de $g_p$ corps finis tous isomorphes au même corps $\mathbb F_{p^{f_p}}$ avec :
$$
f_p = \hbox {ordre de $p$ dans $(\Z/n\Z)^\times$}, \qquad\quad
g_p = {\varphi(n) \over f_p}
$$
J'ai changé un peu les notations pour être plus conformes à ce que l'on peut lire dans la littérature ; inutile de se trimballer $n$, il est fixé.

La décomposition de $p$ est alors (ci dessous, je mets $f$ à la place de $f_p$ et $g$ à la place de $g_p$)
$$
\langle p\rangle = \mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_g \qquad \mathfrak p_i = \langle p, F_i(\zeta_n) \rangle
\qquad \hbox {avec} \qquad
\Phi_n(X) = F_1 \ldots F_g \quad \hbox {dans $\mathbb F_p[X]$} \qquad \deg F_i = f
$$

PS 1 : j'avais commencer à écrire un petit pdf mais il est déjà obsolète.

A propos des Schadoks qui comptaient, comptaient ... Mais que comptaient ils, au fait ? Et bien, cela dépend des jours de la semaine. Ils étaient partis pour compter tel truc puis tel autre machin .. Et c'est pas fini.

On oublie tout (ou presque). Je considère un entier $g \ge 1$. Alors :
$$
{1 \over (1-U)^g} = \sum_{k \ge 0} \binom{k+g-1}{g-1}\, U^k
$$
Une nouvelle indéterminée $U$ qui vient de sortir. Et la série ci-dessus est la série génératrice (je dis bien génératrice) de :
$$
k \mapsto \#\{ \alpha \in \N^g \mid \sum_i \alpha_i = k \} = \hbox {nb de monômes en $g$ indéterminées de degré $k$}
$$
Et c'est bientôt cela que les Shadoks vont compter et intégrer (comme il faut) dans le $p$-Euler facteur de la fonction zeta de Dedekind de $\Q(\root n \of 1)$.

Mais non, j'ai pas bu.

@vous deux
En ce qui concerne l'extension cyclotomique $\Q(\root n\of 1)$ et les fonctions zeta (from Flip-Flop) de comptage de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$, j'ai bien essayé d'écrire quelque chose mais ce n'est pas stable et devient rapidement obsolète.

Je tente ici une sorte de résumé. On fixe un $n \ge 2$ et on note $K = \Q(\root n \of 1)$. Je vais désigner, pour $m \ge 1$, par $\nu_k(m)$, le nombre d'idéaux de $\mathcal O_K = \Z[\root n\of 1]$ de norme $m$ ; je le désignerais aussi par $a_m$ ci-dessous pour alléger. On a $a_1 = 1$ et la suite est multiplicative :
$$
a_{mm'} = a_m a_{m'} \qquad m \wedge m' = 1
$$
Ce n'est très pédagogique mais pour $p$ premier, divisant $n$ ou pas, j'écris $n = mp^k$ avec $m \wedge p = 1$, et je pose
$$
Z_p(T) = {1 \over (1 - T^{f_p})^{g_p}} \qquad \hbox {avec $f_p$ l'ordre de $p$ dans $(\Z/m\Z)^\times$ et $g_p = \displaystyle {\varphi(m) \over f_p}$}
$$

CyclotomicEulerFactor := function(n, p)
  assert IsPrime(p) ;
  k := Valuation(n,p) ;
  m := ExactQuotient(n, p^k) ;
  return ((1 - T^o_pm)^ExactQuotient(EulerPhi(m), o_pm))^-1  where o_pm is OrderMod(p,m) ;
end function ;

Désolé flip-flop, mais quelques unes de mes fonctions n'ont plus le préfixe FlipFlop (mais il en reste beaucoup avec ce préfixe)

(1) Alors, $Z_p(T)$ est une SORTE de série génératrice pour $a_{p^\bullet}$ au sens précis suivant :
$$
Z_p(T) = \sum_{d \ge 0} \nu_K(p^d) T^d = 1 + a_p T^1 + a_{p^2} T^2 + a_{p^3} T^3 + \cdots
$$
Il est fondamental de bien observer l'indexation : ce n'est pas du style $\mathrm {truc}_i\, T^i$. En un certain sens, il faut laisser de la place (assemblage ``plus tard'') pour les coefficients qui ne sont pas des puissances d'un premier.

(2) La dérivée logarithmique décalée de $Z_p(T)$ est la série génératrice (au sens habituel) du comptage $\{\Phi_n(x) = 0\}(\mathbb F_{p^r})$, pour $r \ge 1$ qui varie.

(3) J'évoque juste du bout des lèvres la chose analytique, du bout des lèvres car je suis crasse dans ce domaine, c'est le fait que :
$$
\zeta_K(s) \quad \buildrel {\rm def} \over =\quad \sum_{m \ge 1} {a_m \over m^s} = \prod_p Z_p\Bigl({1 \over p^s}\Bigl) =
Z_2\Bigr( {1 \over 2^s} \Bigl) Z_3\Bigr( {1 \over 3^s} \Bigl)Z_5\Bigr( {1 \over 5^s} \Bigl) \cdots
$$
J'en ai vraiment ch.é car je me suis mélangé les pinceaux entre les diverses séries (dérivée logarithmique décalée ou pas, indexation $a_{p^i} T^i$ au bon endroit ...etc..)

Et le pire dans l'histoire, c'est que je suis tombé sur un bug incontournable de magma. Il a fallu que je monte moi-même la $L$-série

load "FlipFlopZetaFunctionTools.magma" ;

CyclotomicDedekindZeta := function(n)
  K := CyclotomicField(n) ;
  OK := MaximalOrder(K) ;

  r1,r2 := Signature(K) ;
  assert r1 + 2*r2 eq EulerPhi(n) ;
  gamma := [0^^(r1+r2), 1^^r2] ;
  discK := Abs(Discriminant(OK)) ;

  // cf : coefficient function. d is not used
  cf := func < p,d | Numerator(1/CyclotomicEulerFactor(n,p)) > ;     // CyclotomicEulerFactor est NOTRE truc maison

  hK := #ClassGroup(OK);
  regK := Regulator(K);
  muK := #TorsionSubgroup(UnitGroup(OK));

  return LSeries(1, gamma, discK, cf : Parent := K, Sign := 1, Poles := [1], Residues := 
                                 [-2^(r1+r2)*Pi(RealField())^(r2/2) * regK * hK/muK]) ;
end function ;

Et le bilan, c'est qu'à 18h ce Jeudi 26 Janvier, tout marche sur des roulettes. La calculette Flip-flop-cyclotomique est prête pour exemples.

Ce n'est qu'une tentative de résumé. Maintenant que l'on a de quoi faire mumuse, on peut ralentir le rythme (et dormir)

Ne pas hésiter à poser des questions : par exemple pourquoi $a_m$ est fini ...etc..
Et si cela se trouve, on peut même s'amuser à les générer ces $a_m$ idéaux pour $m$ petit (et $n$ aussi). On peut profiter de certains $n$ (pas beaucoup) pour lesquels $\Z[\root n\of 1]$ est principal. J'ai commencé avec $n = 4$ ce qui correspond à $\Z[i\rbrack$ et fait des comparaisons avec la série :
$$
t + {1 \over 4} \sum_{a,b \in \Z \atop a^2 + b^2 \ne 0} t^{a^2 + b^2}
$$
Certes, c'est petit (le $4$, c'est pour les 4 unités $\pm 1, \pm i$ de $\mathbb Z[i\rbrack$).
Je pense que je vais faire la même chose avec $n = 3$ pour $\Z[j]$.

@gai requin
Vraiment désolé. J'ai rectifié. Peut-être un petit coup de fatigue de ma part (on se demande bien pourquoi).

Un oubli et de taille. Dans ce métier, on ne fait rien tout seul (enfin pas moi). Mes sources pour les L-séries

Frolich & Taylor, Algebraic Number Theory (que j'ai trouvé très bien)

Bordelles, Arithmetic Tales. Très bien aussi.

Cohen, A course in Computational Algebraic Number Theory (merci pour les fameuses 5 lignes déjà signalées qui ont provoqué un déclic). J'ai été frappé par sa manière d'énoncer les conjectures de Weil sur $\mathbb F_p$ : car il part d'une variété définie sur $\mathbb Z$, ce qui est totalement inhabituel. A cogiter.

Ribenboim Classical Theory of Algebraic Numbers

Et bien sûr, la doc magma (dommage de disposer d'une veille version). J'ai fini par comprendre qu'une $L$-série au sens de magma est un objet d'une grande complexité. Certes, il y a la fonction analytique qui est ancrée dedans :
$$
L(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}
$$
Mais l'objet lui-même contient dans son coeur je ne sais combien d'attributs que je ne maîtrise absolument pas. Par exemple, où sont les $a_n$ ? Nulle part. Par contre, dans le coeur, il y a un algorithme de détermination des $a_n$. Pas question de demander $a_{100}$ : il faut demander $a_1, a_2, \ldots a_{100}$, qui vont être élaborés au moment de la demande. Dans le coeur de l'objet, il y a aussi le conducteur, le signe de l'équation fonctionnelle, ...etc... tout un tas de notions que j'ignore.