Homographies et petits groupes de Galois

@flip flop
Je ne sais pas de quels points tu parles. Il n'y avait pas d'exercice dans ce que je te demandais d'admettre provisoirement ! Je voulais juste que l'on se rende compte de ce que cela disait exactement. Je prends par exemple $D = 8$. On nous anonce qu'il y a un caractère $\chi_8$ :
$$
\chi_8 : (\Z/8\Z)^\times \to \{\pm 1\}, \qquad \chi_8(p) = \left (8 \over p\right) \quad \hbox {pour tout premier impair $p \ge 3$}
$$
CE N'EST PAS RIEN D'AVOIR un tel $\chi_8$ !

Récoltons. Cela dit d'abord que $\left (8 \over p\right)$ ne dépend que de $p$ modulo $8$. Et d'une.

Représentons $(\Z/8\Z)^\times$ par des nombres premiers $p \ge 3$ :
$$
(\Z/8\Z)^\times = \{1, 3, 5, 7\} = \{17, 3, 5, 7\}
$$
Faisons le calcul à la main pour les 4 premiers que l'on voit à droite. Puisque $\left (8 \over p\right) = \left (2 \over p \right)$ vu que $8 = 2 \times 2^2$, il faut se payer :
$$
\left (2 \over 17\right) = 1, \qquad \left (2 \over 7\right) = 1, \qquad\qquad
\left (2 \over 3\right) = -1, \qquad \left (2 \over 5\right) = -1
$$
A gauche, c'est parce que $2 = 6^2 \bmod 17$ et $2 = 3^2 \bmod 7$. A droite facile.

Et puisque $\left (2 \over p\right)$ ne dépend que de $p$ modulo $8$ :
$$
\left (2 \over p\right) = 1 \Leftrightarrow p \equiv 17, 7 \mod 8 \Leftrightarrow p \equiv \pm 1\mod 8
\qquad\qquad
\left (2 \over p\right) = -1 \Leftrightarrow p \equiv 3, 5 \mod 8 \Leftrightarrow p \equiv \pm 3 \mod 8
$$
Bilan : l'existence du caractère $\chi_8$ vérifiant ... c'est la seconde loi complémentaire de réciprocité. Autrement dit savoir que $\left (2 \over p\right)$ ne dépend que de $p$ modulo $8$ est un renseignement CAPITAL.

C'est simplement cela que j'ai voulu dire : si on admet les points (1), (2) et que l'on récolte comme il faut, alors on tombe sur les lois de réciprocité. A voir plus tard.

Mais bien sûr, il faudra les montrer ces points (1) et (2). Je pense que tu l'as fait pour $D = p^*$, $p$ premier impair.

@flip flop Une mission

(A) Mettre de côté (pour un moment) cette histoire de $\chi_D$ et de chose galoisienne. Si je t'en ai parlé, c'est parce que TOI, dans ton petit pdf, tu as utilisé l'expression ``interprétation galoisienne''. On verra cela un peu plus tard.

(B) Donne une preuve tout seul de la loi de réciprocité générale ($p,q$ deux premiers impairs distincts) en suivant l'exo exoSommeGauss.pdf. Tu prends $k = \mathbb F_p$ mais au lieu de prendre une racine primitive $p$-ème de l'unité $\zeta$ dans $\C$, tu la prends dans une extension $K \supset \mathbb F_q$. Et tu construis la somme quadratique $\tau \in K$ de Gauss de manière ANALOGUE :
$$
\tau = \sum_{i \in \mathbb F_p^*} \Bigl ({i \over p}\Bigr)\, \zeta^i \in K
$$
Tu as $\tau^2 = \cdots$. Et il te faut un critère algébrique, pour un élément $z \in K$, d'appartenance à $\mathbb F_q$ : $z \in \mathbb F_q \Leftrightarrow \cdots$.
Puis tu récoltes.

PS : avec un peu d'aplomb (mais plus tard), tu pourrais même quotienter les objets de la caractéristique $0$ pour tomber sur les objets de la caractéristique $q$.

Oui, mais cela n'arrive (presque) jamais. Déjà, pour $p$ premier impair, il vaut $(-1)^{p-1 \over 2} p^{p-2}$.

Je vous assure que $\Z[\root n\of 1]$ intégralement clos, ce n'est pas du tout évident. Souvent, on trouve le cas $n=p$ premier (un peu partout) mais pour $n$ quelconque; beaucoup moins.

De toutes manières, une des propriétés importantes, c'est tout idéal non nul est inversible. Ne pas oublier ce que dit Avigad : il y aura, chez Dedekind, plusieurs versions de la théorie des idéaux. Voir la section 6 (The final version of the theory of ideals) ; je n'ai pas bien compris les dates, mais je pense que chez Dedekind, la mise au point va durer plus de 20 ans.

Et on va bien s'amuser en localisant. Je suis prêt.

@flip flop
J'ai pris $p = 3$ et $q = 7$. Comme cela, $p \mid q-1$ et j'ai pas eu à monter une clôture algébrique $\overline {\mathbb F_q}$ pour aller inventer une racine primitive $p$-ème de l'unité. C'est que c'est fatiguant le DImanche soir de monter un binz comme cela. Et paresseux que je suis, j'ai pris :
$$
\zeta = 2 \hbox { dans $\mathbb F_q = \mathbb F_7$}
$$
Y'a vachement de collapses dans les sommes :

> p := 3 ;  q := 7 ;
> Fq := GF(q) ;
> zeta := Fq ! 2 ;
> zeta^p ;
1
> zeta^2 + zeta + 1 ;
0
> 
> C := CartesianPower({-2,0,2}, 3) ;
> sum := func < c | c[1] + c[2]*zeta + c[3]*zeta^2 > ;
> Sums := {sum(c) : c in C} ;
> #Sums ;
7
> #C ;
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@gai requin
OK, y'a un truc automatique pour tomber dessus. Enfin, c'est ce que je dis. Mais c'est Dimanche soir.

Il y a une tapée de choses à faire de cette nature là, histoire de s'entraîner. Mais essayons d'aller droit au but.

Contexte : $A$ intègre de corps des fractions $K$ et $a/b \in K$ avec $a, b \in A$ non nuls. Je suppose que $a/b$ est entier sur $A$ et que $\langle a, b\rangle$ est inversible. Alors $a/b \in A$ (c'est ce qu'il faut montrer).

Indication On veut montrer que $a \in Ab$. Il suffit le voir en ayant localisé en deux éléments comaximaux $t,u$ car si $a \in A_t b$ et $a \in A_u b$, alors $a \in Ab$. Or il existe $t, u$ tel qu'en localisant en $t$, $a$ engendre $\langle a,b\rangle$ et en localisant en $u$, $b$ engendre $\langle a,b\rangle$ ... Poursuivre (et ne pas oublier d'utiliser que $a/b$ est entier sur $A$, le traduire dans $A$ ...).


Un truc que l'on n'a pas fait : c'est que l'on a de la souplesse pour un idéal inversible $I$ : par définition, il y a un $a$ régulier et des $a_i, b_j$ tels que ...etc.. Mais quelque soit le système générateur $x_1, \ldots, x_p$ de $I$, il y a $y_1, \ldots, y_p$ et un élément régulier $z$ avec une égalité au sens fort :
$$
\langle x_1, \ldots , x_p\rangle \langle y_1, \ldots , y_p\rangle = Az
$$
On l'admet.

@flip-flop
Rédiger au propre : c'est une bonne idée car on ne va pas s'y retrouver sinon.
Le bilan pour l'instant là-dessus, c'est que pour $p$ premier impair $> 0$ (faire vachement attention à la positivité), on est clair sur l'inclusion $\Q(\sqrt {p^*}) \subset \Q(\root p \of 1)$, ou plutôt sa version arithmétique, comme je dis souvent on sait que cela passe par la $p$-somme de Gauss quadratique $\tau$ et sur une preuve de la loi de réciprocité quadratique générale pour $p,q$ qui utilise une $p$-somme de Gauss au dessus de $\mathbb F_q$.

Je veux dire par là que l'on dispose de preuves self-contained.

Et ces deux résultats (l'inclusion et la loi de réciprocité) sont liés. J'explique mon histoire de quotient de la caractéristique $0$. La somme de Gauss quadratique $\tau$, il est important de remarquer qu'elle habite $\Z[\root p \of 1]$. Soit $\mathfrak q$ un idéal maximal de cet anneau contenant $q$ c'est possible car $q$ n'est pas inversible dans $\Z[\root p\of 1]$, why ?. Alors, on dispose de l'inclusion
$$
\mathbb F_q \hookrightarrow \Z[\root p\of 1]/\mathfrak q := K
$$
Et $K$ joue le rôle du surcorps de $\mathbb F_q$ dans lequel on va chercher une racine primitive $p$-ième de l'unité. Le corps $K$ est le $\overline {\mathbb F_q}$ des pauvres qui n'ont pas les moyens de s'acheter une clôture algébrique de $\mathbb F_q$.

Bref, on peut réduire modulo $\mathfrak q$.

D'ailleurs, prendre un idéal maximal est une ``idée moderne''. A. Weil, dans ``La cyclotomie jadis et naguère'', dit dans le point 6 que la sixième preuve de Gauss (1818) revient à utiliser des congruences modulo $q$ dans l'anneau $\Z\root p \of 1]$. Modulo $q$ et pas modulo $\mathfrak q$.

Un truc important pour moi (et probablement pour vous, vous n'êtes pas si jeunes) : c'est qu'une fois que l'on en a bien ch.é avec la technique, la tête dans le guidon ...etc.. il faut être capable d'en sortir et de lire un peu d'histoire. Sinon, on ne comprend rien.

Un pointeur sur le célèbre papier de A. Weil : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1973-1974__16_/SB_1973-1974__16__318_0/SB_1973-1974__16__318_0.pdf

Un autre truc Flip-Flop (tout est de ta faute). Il va y avoir, plus tard, un quelque chose pas piqué des vers : c'est ce que l'on appelle la somme de Gauss quadratique ANALYTIQUE. Alors que la nôtre est algébrique :
$$
\tau_{\rm alg} = \sum_{k \in \mathbb F_p^*} \left( k \over p\right) \zeta_p^k \qquad \hbox {versus} \qquad
\tau_{\rm ana} = \sum_{k\in \mathbb F_p^*} \left( k \over p\right) e^{2ik\pi/p}
$$
Pourquoi de ta faute ? Ben, quand tu as pointé l'exposé de Serre, tu as bien vu que celui-ci parlait d'inefficacité des méthodes algébriques en théorie des nombres versus l'efficacité des méthodes analytiques. Dirichlet ...etc... On en reparlera si je n'oublie pas.

Maxime : une fois que l'on en a bien bavé, essayons de prendre du recul et de lire un peu d'histoire.

@gai requin
Par rapport à ton http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1400764#msg-1400764.

Oui, il faut montrer que les idéaux (autres que l'idéal nul) de $\Z[\root n \of 1]$ sont inversibles. Et cela a été dit (par mézigues) au moins 2 ou 3 fois, sinon plus. En commençant par les idéaux premiers ... etc .. Et la morale, c'est que ce n'est PAS vrai que l'on peut communiquer uniquement par posts. Il faut faire des bilans d'une autre manière : des notes au brouillon, des petits pdfs ...etc.. Sinon, on ne va pas s'en sortir (bis).

Et là encore, après la tête dans le guidon, il faut essayer de prendre du recul (on n'a plus 20 ans, le bel âge) et prendre le temps de lire un peu d'histoire. Car cela a été très compliqué pour Dedekind de mettre au point la théorie des idéaux dans les corps de nombres.

A la page 23 du papier de Avigad : http://repository.cmu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1034&context=philosophy, The final version of the theory of ideals.
Un petit extrait. C'est DEDEKIND qui parle :

In §172 of the third edition of the Number Theory, as well as in §23 of my essay Sur la théorie des nombres entiers algébriques, I have emphasized that the greatest difficulty to be overcome for the foundation of the theory of ideals lies in the proof of the following theorem:

1. If the ideal $c$ is divisible by the ideal $a$, then there is an ideal $b$ which satisfies the condition $ab = c$.

This theorem, through which the relationship between the divisibilty and multiplication of ideals is ascertained, is, in the presentation of the time, only provable at nearly the conclusion of the theory. This fact is palpable in a most oppressive way, especially since some of the most important theorems could be formulated in appropri- ate generality only gradually, by successively removing restrictive assumptions. I therefore came back often to this key point over the years, with the intention of obtaining a simple proof of Theorem 1, relating directly to the concept of the integers; or a proof of one of the following three theorems, which, as one easily sees, are of equal significance to the foundation of the theory:

2. Each ideal $m$ can, by multiplication with an ideal $n$, be turned into a principal ideal.

... etc ...

Il s'agit exactement de la notion d'inversiblité. Il aura fallu peut-être 20-30 ans Dedekind pour mettre cela au point.

Est ce que l'on en parle dans les ouvrages ? En général, NON.

Faut-il alors s'étonner que tout cela ne va pas être du petit lait ?