Homographies et petits groupes de Galois
Réponses
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@CQ :
Laisse tomber. Tout est dans le Hindry ! -
C'est quoi le livre d'Hindry, Gai requin ?
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J'allais proposer une liste. En commençant par un ouvrage d'algèbre générale in http://www.math.stonybrook.edu/~aknapp/download.html. Advanced Algebra de Knapp. Cf les chapitres 1 et 5 (formes quadratiques à la Gauss dans le 1, ce n'est pas fait partout).
Et d'autres plus tard. Mais si tu as le Hindry.. -
Hello,
J'ai besoin d'un petit lemme sur les groupes abéliens et les caractères. Pour faire le lien entre la formule qu'on a obtenu y'a deux semaines et celle que tu as présenté hier. -
@flipflop : Je parle du Hindry "arithmétique" chez C&M. Une véritable mine d'or !
J'ai passé mon après-midi à lire les symboles de Legendre et Jacobi, les sommes de Gauss et les séries de Dirichlet dans le cas des anneaux d'entiers et dans celui des caractères de Dirichlet modulo $n$.
J'ai failli devenir fou ! :-D
@CQ :
J'ai aussi lu des choses sur les groupes de classes d'idéaux de $\mathcal O_K$ qui est toujours fini et dont le groupe des unités est un galtf qu'on sait décrire !
And last but not least, la constante de Minkowski qui reliée à $\Delta_K$, permet de voir assez rapidement si l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire est principal ou non.
C'est le cas si $K=\Q(i\sqrt{19})$ mais pour $K=\Q(i\sqrt{23})$, on a $\mathcal{C}\ell_K\simeq \Z/3\Z$ donc $\mathcal O_K$ n'est pas principal. -
@flip flop A propos de ton avant dernier post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1408016#msg-1408016 concernant $K = \Q(\root 5\of 1)$. On a un isomorphisme canonique :
$$
\mathrm {Gal}(K/\Q) \quad \buildrel {\rm can.} \over \simeq \quad (\Z/5\Z)^\times
$$
Je note $\chi$ un des deux caractères d'ordre 4 sur ce groupe (cyclique d'ordre 4). C'est un générateur du groupe des caractères. Evidemment, $\chi^2$ c'est le symbole de Kronecker $\chi_5$
J'espère que tu seras d'accord avec le fait que pour TOUT $p$, on a, en ce qui concerne le facteur $p$-Eulérien de $\zeta_K$ :
$$
Z_{K,p}(T) = {1 \over \prod_{i=0}^3 \big(1 - \chi^i(T)\big)} \qquad (\star)
$$
Evidemment, car c'est toi qui l'as écrit. Mais c'est vrai aussi pour $p=5$. Vérifions. On sait de manière générale, en terrain galoisien, que
$$
Z_{K,p}(T) = {1 \over (1 - T^{f_p})^{g_p} } \qquad\quad \hbox {(notations habituelles $g_p$ est le nombre d'idéaux au dessus de $p$ ....etc..)}
$$
Rappel: on ne voit pas l'indice de ramification $e_p$ qui vérifie $e_pf_pg_p = [K : \Q]$
Dans notre histoire 5-cyclotomique, on a $e_5 = 5-1=4$ et $f_5=g_5=1$. Et donc :
$$
Z_{K,5}(T) = {1 \over 1 - T}
$$
Ceci est bien en accord avec $(\star)$. Car, et c'est là où je voulais en venir, quand on prolonge un caractère $N$-modulaire à $\Z$, on lui colle $0$ sur les $m$ tels que $m \wedge N \ne 1$. SAUF si c'est le caractère trivial. Et donc tu vois bien qu'ici il ne faut pas rigoler avec ce genre de convention (cf le choix malheureux de Koblitz).
Toujours dans le cas de $K = \Q(\root 5 \of 1)$ que tu as développé, j'espère que cette fois tu es ok avec la formule qui donne le nombre d'idéaux de norme $m$ de $\mathcal O_K$ :
$$
\nu_K(m) = \sum_{m_0, m_1, m_2,m_3 \atop m_0m_1m_2m_3 = m} \chi^0(m_0) \chi^1(m_1) \chi^2(m_2) \chi^3(m_3)
$$
It's all. -
@gai requin
Formes quadratiques de discriminant $D = -23$ (c'est un discriminant quadratique fondamental). Une petite session pour illustrer le job de Gauss et le fait que le groupe des classes est d'ordre 3.
> D := -23 ; > QD := QuadraticForms(D) ; > QD ; Binary quadratic forms of discriminant -23 > ReducedForms(QD) ; // en correspondance biunivoque (explicite) avec le groupe des classes d'idéaux de Q(\/-23) [ <1,1,6>, <2,1,3>, <2,-1,3> ] > RQD := ReducedForms(QD) ; > q := RQD[2] ; > Iq := Ideal(q) ; > Iq ; Ideal Two element generators: 2 $.2 - 1 > OK := Order(Iq) ; > OK ; Maximal Order of Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 23 over the Rational Field > K<rm23> := NumberField(OK) ; > K ; Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 23 over the Rational Field > ChangeUniverse(Basis(Iq), K) ; [ 2, 1/2*(rm23 + 3) ]
C'est fait dans Knapp. Et j'ai écrit cela comme épreuve d'entraînement ...etc.. -
@CQ :
Tu as toujours cette épreuve ?
Je vais aussi essayer de voir si j'arrive à déterminer $h_K$ pour $K=\Q(\sqrt[3]{2})$ sur lequel on a déjà pas mal travaillé. -
@gai requin
J'ai répondu à ta demande (travail de Gauss sur les formes quadratiques entières $ax^2 + bxy + cy^2$ de discriminant $\Delta$ et lien avec les idéaux de l'anneau quadratique de discriminant $\Delta$).
@flip flop
A propos de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1408334#msg-1408334 et de $\prod_{\chi \in \widehat G} (1 - \chi(g)T)$. Ok, on avance mais il y a encore le souci des premiers ramifiés, cf plus loin, mini résumé.
Typo : au début, système de représentants (avec un s). Vers la fin : Alors on a un isomorphisme (au lieu de on a un isomorphe). Peut-être utiliser \widehat au lieu de \hat pour le groupe des caractères ?
Mini-résumé concernant le facteur $p$-Eulérien de la fonction $\zeta_K$ de Dedekind d'un corps de nombres $K$.
(1) Résultat général ($K$ quelconque) et interprétation du comptage dans $\mathbb F_{p^r}$ des points du $\Z$-schéma associé à $\mathcal O_K$ : cf ``Et les Shadocks comptaient, comptaient ...''
(2) Cas particulier $K/\Q$ galoisien qui se déduit de (1). Avec les notations habituelles, que $p$ soit ramifié ou pas :
$$
Z_{K,p}(T) = {1 \over (1 - T^{f_p})^{g_p}}
$$
(3) Cas $K/\Q$ abélien. On admet évidemment Kronecker-Weber i.e. on prend comme définition (comme Fröhlich & Taylor) qu'une extension abélienne est une sous-extension d'une extension cyclotomique. Mais il faut prendre ``la plus petite'' et faire attention à une histoire de conducteur. Par exemple, si $n$ est impair $\Q(\root 2n \of 1) = \Q(\root n \of 1)$ et il faut faire attention à $2n$ versus $n$. Dit comme cela, c'est nébuleux. Laisse béton, cela ressurgira tôt ou tard.
On vise une expression du type :
$$
Z_{K,p}(T) = {1 \over \prod_{\chi} (1 - \chi(p)T)}
$$
Quel sens ? Comme $K \subset \Q(\root N\of 1)$, on a une surjection :
$$
\mathrm {Gal}(\Q(\root N\of 1)/\Q) \quad \buildrel {\rm can.} \over \simeq\quad (\Z/N\Z)^\times \quad\longmapsto\quad \mathrm {Gal}(K/\Q)
$$
Si je note $G = \mathrm {Gal}(K/\Q)$, on a donc une injection de $\widehat G$ dans le groupe des caractères de $(\Z/N\Z)^\times$.
Bilan : des choses à affiner. J'attache un scan de 8 pages de Frölhich & Taylor. Regarde Theorem 47 p. 219, avec leurs notations :
$$
\prod_{\nu \in \widetilde {\Theta}_K} (T - \nu(p)) = T^{fg(e-1)} (T^f - 1)^g \qquad (\star)
$$
Avec tout le respect que je dois à Fröhlich & Taylor, je pense (je peux me tromper) qu'ils ont eu tord de jouer avec des quantités comme $T - a$. Car on sait bien qu'il faut jouer avec $1 - aT$. Il faut donc dare-dare diviser $(\star)$ par $T^{efg}$ ce qui conduit à l'expression plus simple (elle fait disparaître $e$) en posant $U = T^{-1}$
$$
\prod_{\nu \in \widetilde {\Theta}_K} (1 - \nu(p) U) = (1 - U^f )^g
$$
Surveille moi car j'ai un doute. J'ai fait comme si ce machin $\widetilde {\Theta}_K$ était de cardinal $efg$. Mais c'est quoi ce machin ? Ben, c'est à cette occasion que l'on comprend pourquoi on ne comprend pas les maths plus vite. Il y a un $\Theta_K$ qui est défini en haut de la page 217 (aux lignes 5-6) et en cadeau un autre truc noté $\Psi_K$ avec un isomorphisme $\Theta_K \simeq \Psi_K$.
Et il est dit, juste avant Theorem 47 que ``the set of extented residue class characters ... etc... will be denoted by $\widetilde{\Theta}_K$ ; thus $\widetilde {\Theta}_K$ is in bijective correspondance with both $\Theta_K$ and $\Psi_K$''
On a qu'une envie, c'est de se barrer en courant. Mais il faut résister. On pourrait bien sûr se limiter à $K$ corps cyclotomique mais c'est pas de notre faute si on nous a fait miroiter les extensions biquadratiques.
Attention : chez Fröhlich & Taylor, cf en bas de la page 213, a cyclotomic field est un sous-corps de $\Q[m] = \Q(\root m \of 1)$. Je ne comprends pas pourquoi ils n'ont pas pris comme terminologie ``abelian extension of $\Q$ '' ?
Attention bis : j'ai l'air de critiquer ces auteurs, mais on est quand même bien content de pouvoir les lire. -
@CQ :
Je traite le cas de $K=\Q(\theta=\sqrt[3]{2})$ de discriminant $-108$.
On a déjà vu que $\mathcal O_K=\Z[\theta]$.
On sait (depuis hier pour moi) que toute classe d'idéaux contient un idéal de norme inférieure à
$$\frac{4}{\pi}\frac{3!}{3^3}\sqrt{108}\simeq 2,94.$$
Il n'y a que deux tels idéaux, à savoir $\mathcal O_K$ (de norme $1$) et $\langle \theta\rangle$ (de norme $2$).
Donc $h_K=1$ et $\Z[\theta]$ est principal. -
@gai requin
A l'avenir, quelque chose qui pourrait être utile (je pense qu'il y a peut-être des c.nn.rds qui pensent qu'il suffit de taper sur le clavier)
> Z := IntegerRing() ; > ZX<X> := PolynomialRing(Z) ; > F := X^3 - 2 ; > K<x> := NumberField(F) ; > ClK, phi := ClassGroup(K) ; > ClK ; Abelian Group of order 1 > MinkowskiBound(K) ; 2 > BachBound(K) ; 263 > GRHBound(K) ; 8
Je ne suis absolument pas clair sur les deux dernières bornes :
A propos de BachBound(K)
This returns the Bach bound for the maximal order of the given field $K$. This is an integer upper bound for norms of the generators of the ideal class group of the maximal order which holds if the generalized Riemann hypothesis is true.
A propos de GRHBound(K)
This returns an integer upper bound, proven assuming the generalized Riemann hypothesis, for norms of the generators of the ideal class group of the maximal order of the given field $K$. The function returns the best bound obtainable in Magma. In the current version, in addition to the Bach bound, the algorithm uses results of Belabas, which often produce bounds that are significantly smaller than the Bach bound.
Dans le contexte de $\Q(\root 3\of 2)$, ces bornes ne sont pas terribles ; mais je suppose que dans un autre contexte, elles doivent être plus efficaces que la borne de Minkowski
MinkowskiBound(K)
This returns the Minkowski bound for the maximal order of the given field $K$. This is an unconditional integer upper bound for norms of the generators of the ideal class group of the maximal order. -
@CQ :
Merci et ouf ! On est d'accord avec la borne de Minkowski (je débute donc je suis prudent).
Je vois que les deux autres bornes dépendent de la validité de l'hypothèse de Riemann ce qui est un peu gênant.
Je crois que je vais passer à l'article de Serre sur le théorème de Jordan. Des recommandations ? (Serre me fait un peu peur) -
@gai requin
Peter Stevenhagen dans http://library.msri.org/books/Book44/files/08psh.pdf (The arithmetic of number rings) parle de la borne de Minkowski (bas page 244) et celle de Bach (haut page 245). Celle de Bach est ``asymptotically much smaller'' (il y a le carré du log sur la valeur absolue du discriminant !).
Quant à l'article de Serre, je n'ai regardé que cette histoire de comptage de $X^n - X - 1$ modulo $p$ pour $n=2$ et $n=3$. Comme il m'est impossible de rentrer par la grande porte de la citadelle, je me contente de choses minuscules qui me permettent juste d'entrevoir la belle cour.
Pour $n=3$, bien connaître $\Q(\sqrt {-23})$, son groupe des classes. Et également le corps de décomposition $L/\Q$ de $X^3-X-1$. Et l'injection $\Q(\sqrt {-23}) \subset L$ : c'est une extension cyclique de degré 3, non-ramifiée. NON-RAMIFIEE (bis). Lire des choses sur le symbole d'Artin.
Rentrer par les grandes portes des citadelles. Je donne juste deux exemples. Exemple 1 : lire Serre, Corps Locaux de A à Z. Exemple 2 : lire Serre, Groupes algébriques et corps de classes, de A à Z. Effectivement, une fois que cette tâche est accomplie, cela doit pas mal aider à franchir des portes. Au bout de compbien d'années ? -
Je vais tenter le cas $n=3$ (même si je ne connais pas le symbole d'Artin), mais peut-être pas $n=4$ (ça doit pas être de la tarte vu déjà la difficulté des références...).
Quant aux ouvrages de Serre, ce n'est même pas une question de temps mais de niveau dans mon cas. :-( -
@Claude : ici
Merci pour les commentaires, je corrige les typos.
Mais même avec Kronecker-Weber. Il va me manquer un petit truc. Je pense que je dois absolument faire l'histoire des généralisation de $\tau_1$ $\tau_0$ etc de manière convenable ! A mon avis, je dois faire intervenir directement les caractères de $(\Z/m\Z)^*$ pour construire les sous-extensions de $\Q(\root m \of 1)$. C'est un peu flou, mais je pense pouvoir faire quelque chose. Mais j'ai quand même un peu peur car le truc que je vois semble un peu trop jolie et complet pour être vrai ! Le groupe de Galois voit tout vraiment tout :-S
Merci pour Fröhlich & Taylor ! -
@CQ :
Je ne comprends pas bien $\sigma_p$ la substitution de Frobenius en $p$.
On dirait que c'est défini sur $\mathcal O_L$ mais on peut quand même regarder sa signature en tant qu'élément de $\rm{Gal}(L/\Q)=S_3$ ??? -
@vous deux
Pour avoir des exemples : The simplest Cubic Fields de Daniel Shanks in
http://www.ams.org/journals/mcom/1974-28-128/S0025-5718-1974-0352049-8/S0025-5718-1974-0352049-8.pdf
Je crois comprendre maintenant pourquoi Flip flop a pointé l'autre jour l'extension 3-cyclique universelle $X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1$ car c'est l'extension abélienne la plus simple après les corps quadratiques. Ce polynôme cubique est celui qui apparaît dans Shanks. C''est le moment de croire à Kronecker-Weber ! Et pas seulement d'y croire ..
@flip flop
Je suis un peu rentré dans les notations de Frohlich & Taylor. Comme d'habitude, il faut prendre son temps. Il est clair qu'il faut une notation de secours pour
$$
\widehat {(\Z/m\Z)^\times}
$$
De toutes manières, je crois pouvoir dire qu'il y a une notion à laquelle on ne peut pas couper : c'est celle de conducteur. Je commence à en parler. Tout d'abord, on ne peut pas retrouver $n$ à partir de $\Q(\root n \of 1)$. Pour la bonne raison que $\Q(\root 10\of 1) = \Q(\root 5 \of 1)$. Et c'est faux que les premiers $p$ ramifiés de $\Q(\root n \of 1)$ sont les premiers qui divisent $n$. Cf. 10 versus 5.
Etant donnée une extension abélienne $K/\Q$ (i.e. contenue dans une extension cyclotomique), elle possède un conducteur qui est un entier $\ge 1$. C'est le plus petit $N$ tel que:
$$
K \subset \Q(\root N \of 1) \qquad (\star)
$$
Et le plus petit est en fait au sens de la divisibilité. En effet :
$$
\Q(\root N_1\of 1) \cap \Q(\root N_2\of 1) = \Q(\root N\of 1) \qquad \hbox {avec} \quad N = \gcd(N_1,N_2)
$$
Et donc prenons $N$ le plus petit comme dans $(\star)$. Si $M$ vérifie aussi $K \subset \Q(\root M \of 1)$, il en est de même de $\gcd(N,M)$ qui est $ \le N$. Et comme $N$ est le plus petit, il y a égalité et donc $N \mid M$. Bilan : le conducteur $N$ de $K$ vérifie :
$$
K \subset \Q(\root M \of 1) \quad \Longleftrightarrow\quad N \mid M
$$
Exemples :
(1) le conducteur de $\Q(\root 10 \of 1)$ est $5$ (et pas 10).
(2) Si $D$ est un discriminant quadratique fondamental, alors le conducteur de $\Q(\sqrt D)$ est $|D|$. Ce n''est pas étranger au fait que le symbole de Kronecker $\chi_D$ est primitif. Cf ma note torchon RingGaussSum.pdf
(3) le conducteur d'une extension abélienne, ce n'est pas un entier quelconque. Il vérifie $N \not\equiv 2 \bmod 4$. Car si $N = 4k+2$ (comme 10) alors $\Q(\root N\of 1) = \Q(\root 2k+1\of 1)$. Ou encore, si $m$ est un entier impair, alors $\Q\root m \of 1) = \Q(\root 2m\of 1)$.
Et cette fois, pour une extension abélienne $K/\Q$, on a l'équivalence :
$$
\hbox {$p$ est ramifié dans $K$ } \quad\Longleftrightarrow \quad \hbox {$p$ divise le conducteur de $K$}
$$
Et donc, il va falloir faire avec ce $N$ (le conducteur) et contempler l'inclusion des groupes de caractères :
$$
\widehat {G} \longmapsto \widehat {(\Z/N\Z)^\times} \qquad \hbox {avec} \quad G = \mathrm {Gal}(K/\Q)
$$
Tout caractère sur le groupe de Galois $G$ est donc vu comme un caractère $\chi$ sur $(\Z/N\Z)^\times$ et va se poser l'épineuse question de prolonger (relever) $\chi$ à $\Z$. -
@gai requin
Deux mots sur le symbole d'Artin, Artin map and co.
Contexte : $K'/K$ une extension galoisienne de corps de nombres, $B', B$ les anneaux d'entiers, $\mathfrak p'$ un idéal premier (from Gai Requin) de $B'$ et :
$$
\mathfrak p = \mathfrak p' \cap B, \qquad k = B/\mathfrak p \hookrightarrow k' = B'\mathfrak /p'
$$
A droite, $k,k'$ sont deux corps finis. On note $D(\mathfrak p')$ le sous-groupe de décomposition de $\mathfrak p'$ :
$$
D(\mathfrak p') = \{\sigma \in \mathrm {Gal}(K'/K) \mid \sigma(\mathfrak p') =\mathfrak p' \}
$$
Alors, le morphisme de réduction modulo $\mathfrak p'$ est SURJECTIF :
$$
D(\mathfrak p') \ni \sigma \longmapsto \overline {\sigma} \in \mathrm {Aut}(k'/k) \qquad (\star)
$$
A droite, au niveau des corps finis, le groupe d'automorphismes est engendré par le Frobenius $x \mapsto x^{\#k}$.
On peut donc remonter de Frobenius dans $D(\mathfrak p')$.
Par ailleurs, si $\mathfrak p$ n'est pas ramifié dans $K'$, presque par définition, $(\star)$ est un isomorphisme.
Cela devrait aider. Plus, plus tard.
PS : il y a en fait un résultat général d'Algèbre Commutative qui prend cela en charge donc ce n'est pas lié aux anneaux d'entiers de corps de nombres i.e. ce n'est pas pour moi de la théorie des nombres. Je me souviens encore de la dernière fois que j'ai raconté quelque chose de ce type dans un autre fil.. Passons. -
Merci !
Je pense que tu as oublié de dire que $\mathfrak p$ et $\mathfrak p'$ sont premiers.
Si je ne m'abuse, on a pour tout $x\in B'$ :
$$\rm{Fr}_{\mathfrak p}(x)=x^{\#k}\bmod \mathfrak p'.$$
Et donc, si $\mathfrak p$ n'est pas ramifié, cette égalité détermine de manière unique $\rm{Fr}_{\mathfrak p}$ par isomorphisme, une fois $\mathfrak p'$ au-dessus de $\mathfrak p$ fixé.
Serre semble dire que les Frobenius (qui dépendent de $\mathfrak p'$) sont conjugués dans $\rm{Gal}(K'/K)$.
J'ai pas trop déliré ? -
@gai requin
Oui, vu le nom, $\mathfrak p'$ est un idéal premier (non nul) de $B'$ (et donc $\mathfrak p$ aussi). Supposons $\mathfrak p$ non ramifié dans $K'$. On dispose alors pour chaque $\mathfrak p'$ au dessus de $\mathfrak p$, d'un automorphisme de $K'/K$ :
$$
\left( {\bullet \over \mathfrak p'}\right) \in D(\mathfrak p') \qquad \hbox {correspondant au Frobenius des corps résiduels $k'/k$}
$$
Ok avec le fait qu'ils soient conjugués. C'est le fameux truc de transitivité du groupe de Galois sur les idéaux premiers au dessus d'un idéal premier du bas fixé. Dont j'avais parlé dans un autre fil (tu ne sais peut-être pas, mais moi, je n'ai pas oublié). Pour souvenir, j'attache une copie d'écran (quelque chose tiré de Bourbaki et adapté aux idéaux maximaux pour l'étudiante M.E.).
Et quand $K'/K$ est abélienne, le fait que les $\left( {\bullet \over \mathfrak p'}\right)$, $\mathfrak p'$ premiers au dessus de $\mathfrak p$ fixé, soient conjugués provoque leur égalité et on peut donc indexer par $\mathfrak p$.
Et ceci est écrit en partie chez Stevenhagen déjà cité http://library.msri.org/books/Book44/files/08psh.pdf. Cf section 15 Galois Theory. Et prendre le temps de lire le Lemma 15.1. C'est une autre formulation de la transitivité de ... J'ai mis un peu de temps pour me convaincre que c'est la même chose. Pas d'utilisation de l'évitement des idéaux premiers vu qu'on ne les voit pas !! Se méfier des intitulés ``Lemma'' chez cet auteur ! Ce sont souvent des résultats primordiaux. Je crois que le lemma 15.1 provient de Tate (vu autrefois dans Jacobson, Basic Algebra, mais je n'en suis plus sûr). Et voir aussi lemma 15.4 : c'est cela dont il est question ici.
Il y a vraiment beaucoup beaucoup de choses à lire dans ce papier de Stevenghagen. Prendre le temps (bis). -
@flip flop
Je suis en train de lire attentivement la documentation magma sur Dirichlet Characters (section du chapitre Integer Residue Class Rings, Part Basic Rings). Je l'avais déjà fait (lire attentivement), enfin je le croyais.
Faut absolument prendre son temps. Par exemple sur la notion de conducteur d'un caractère de Dirichlet i.e. d'un caractère sur un $(\Z/N\Z)^\times$.
> N := 10 ; > G<chi> := DirichletGroup(N) ; > G ; Group of Dirichlet characters of modulus 10 over Rational Field > Order(G) ; 2 > Modulus(chi) ; 10 > Conductor(chi) ; 5
Ci-dessus, les caractères sont à valeurs dans $\Q$, d'où la limitation.
Le vrai groupe des caractères, à valeurs dans $\mathbb U_{\varphi(N)}$
> G<chi> := FullDirichletGroup(N) ; > G ; Group of Dirichlet characters of modulus 10 over Cyclotomic Field of order 4 and degree 2 > Order(G) ; 4 > Modulus(chi) ; 10 > Conductor(chi) ; 5
Tout cela est banal. Mais ce qui vient l'est beaucoup moins. L'évaluation, Mister Flip-Flop. Faut pas rigoler avec cela. Regarde. De la dentelle. On ne prolonge (remonte) pas les caractères ) $\Z$ ``à la petite semaine''. Je te dis ``regarde'' mais c'est aussi et surtout à moi que cela s'adresse.
> N := 100 ; > G<chi1, chi2> := FullDirichletGroup(N) ; > G ; Group of Dirichlet characters of modulus 100 over Cyclotomic Field of order 20 and degree 8 > Modulus(chi1) ; 100 > Conductor(chi1) ; 4 > Conductor(chi2) ; 25 > > chi1(5) ; 0 > Chi1 := AssociatedPrimitiveCharacter(chi1) ; > Modulus(Chi1) ; 4 > Conductor(Chi1) ; 4 > Chi1(5) ; 1 > > Epsilon := G!1 ; > Epsilon ; 1 > Epsilon(0) ; 0 <------ Et moi qui pensait que le boulot était mal fait. En fait, utilisation comme un pied de ma part. > Epsilon := AssociatedPrimitiveCharacter(Epsilon) ; > Epsilon ; 1 > Epsilon(0) ; 1
Vous avez dit ``extended residue class of characters'' (from Frohlich-Taylor, BEFORE Theorem 47) ? -
@Claude, oui prendre son temps, oui oui. Je viens de comprendre un truc qui m'a un peu refroidi (disons que j'ai cru à quelque chose de plus simple). Je laisse un peu de mystère mais je suis entrain de texter mon exemple pour une extension d'ordre $3$ (celle inclusion dans $\Q(\zeta_13)$). Je devrai finir mon exemple ce matin.
pour ici j'ai déjà vu quelque part le texte qui tu as mis en lien :-X
Je voulais répondre à Gai requin :Il me semble que l'on a une action transitive de $\text{Gal}(K^\prime | K)$ (terrain Galoisien) sur les idéaux $\mathfrak{p}^\prime$ au dessus d'un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $K$. Et les stabilisateurs sont conjugués (D. Perrin appelle ça le principe de conjugaison). La conjugaison n'est pas abstraite : si $\sigma (\mathfrak{p}_1^\prime) =\mathfrak{p}_2^\prime$, alors $$\sigma D_{\mathfrak{p}_1^\prime} \sigma^{-1}= D_{\mathfrak{p}_2^\prime}$$
C'est la transitivité que tu démontres, c'est bien ça ? -
@CQ : Cette notation
$$\left( {\bullet \over \mathfrak p'}\right) \in D(\mathfrak p')$$
c'est le symbole d'Artin ?
Je vais essayer de comprendre comment Serre trouve dans le cas $n=3$ :
$$\rm{sgn}(\sigma_p)=\left(p\over {23}\right) ???$$ -
@gai requin
Oui pour la terminologie symbole d'Artin.
@flip flop
Ce que j'ai voulu dire, c'est que dans le cas abélien $K/\Q$, si on veut pour TOUS les $p$, ramifiés ou pas (et surtout pour ceux qui sont ramifiés) avoir, avec des notations que tu devines :
$$
(1 - T^{f_p})^{g_p} = \prod_\chi (1 - \chi(p)T)
$$
y'a pas intérêt à se louper sur $\chi(p)$. Ne surtout pas lui coller la valeur $0$ sous prétexte que $\chi : (\Z/N\Z)^\times \to \mathbb U_\infty$ où $N$ est le conducteur de $K$. C'est un tantinet plus subtil. Juste un aperçu de mon exécution magma :
> load "ExtendedResidueClassCharacters.magma" ; Loading "ExtendedResidueClassCharacters.magma" > N := 3^2 * 5 * 7 ; > N ; 315 > G := FullDirichletGroup(N) ; > G ; Group of Dirichlet characters of modulus 315 over Cyclotomic Field of order 12 and degree 4 > assert #G eq EulerPhi(N) ; > C := BaseRing(G) ; > C ; Cyclotomic Field of order 12 and degree 4 > C<T> := PolynomialRing(C) ; > > K<z> := CyclotomicField(N) ; > K ; Cyclotomic Field of order 315 and degree 144 > assert Degree(K) eq EulerPhi(N) ; > assert Conductor(K) eq N ; > > D := PrimeDivisors(N) ; > D ; [ 3, 5, 7 ] > > for p in PrimeDivisors(N) do > Dp := DecompositionType(K,p) ; // [<fp,ep>, <fp,ep> ... ] > Dp ; > gp := #Dp ; > fp := Dp[1][1] ; > pEulerFactor := &*[1 - AssociatedPrimitiveCharacter(chi)(p)*T : chi in Elements(G)] ; > assert pEulerFactor eq (1 - T^fp)^gp ; > end for ; [ <12, 6>, <12, 6> ] [ <6, 4>, <6, 4>, <6, 4>, <6, 4>, <6, 4>, <6, 4> ] [ <12, 6>, <12, 6> ]
Regarde bien : surtout pas $1 - \chi(p)T$ mais 1 - AssociatedPrimitiveCharacter(chi)(p)*T. Le fameux $\widetilde {\Theta}_K$ de Fröhlich-Taylor.
Autre chose : sais tu que moi aussi, comme toi probablement, je joue avec des nombres premiers $q$ tels que $3 \mid q-1$ ? Toi : $q = 13$, mézigues $q = 31$. Je vais avoir quelque chose de joli à te montrer dans la journée. Pourquoi 31 ? Parce ce que $2$ est totalement décomposé dans l'unique sous-extension cubique $K$ de $\Q(\root 31 \of 1)$ et que cela empêche $\mathcal O_K$ d'être monogène. Et à ce moment là, je ressors mon $\Z$-schéma de $\mathcal O_K$ qui posséde un groupe d'automorphismes 3-cyclique. Cela se voit sur les équations et cela me plaît bien.
Ah, simplest cubic field, quand tu me tiens.
Exercice : injecter le corps cubique 3-cyclique défini par une racine de $F_a(X) = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1$ dans une extension cyclotomique. Trouillard, je suis parti à l'envers avec 31 !! -
@Claude : $31$ j'aime bien car $9$ ne divise pas $30$ ! Par contre, pour l'exercice ... je me fais très très petit pour l'instant mais j'aime bien la question :-D
Bon stop, pour aujourd'hui, c'est dimanche quand même :-P et je me suis encore mélangé entre sous-groupe, quotient, sous groupe de caractères, et quotient du groupe des caractères ... Je suis certain qu'il y a une formulation très simple :-D
Un dernier exemple avec $p=31$, bonne idée de changer !
Un exemple : je prend $\ell = 4 \pmod{31}$, par exemple $\ell = 283$ ... $K$ c'est le corps cubique.
Je trouve :
$$
Z^\zeta_\ell (T) = \frac{1}{(1-T^5)^6} \quad \quad Z^K_\ell (T) = \frac{1}{(1-T)^3}
$$
J'ai bon ?
Dis, Il est vraiment jolie ton schéma ? J'ai un peu peur là ! Mais je dirai qu'il possède $3$ points sur $\mathbb{F}_{283}$ :-D, on est pas un peu fou ! Par contre, ce qui est un peu ennuyeux c'est que je n'ai aucun moyen de vérifier (informatiquement) !
Sinon, si on perd l'extension cyclotomique (conducteur) ... on a tout perdu : les caractères qu'il faut considérer proviennent de là :-S
Remarque : dans le pdf quand je dis $\ell = 2,5$ etc je veux dire que $\ell$ est un premier congru à $2 \pmod{13}$ etc. -
@flip flop
Tu as raison, c'est Dimanche. Je tire et je lirai plus tard.
Je commence à l'envers pour te rassurer. Cela risque d'être obscur (de commencer par la fin)
> NombreDePoints := func < q | #Points(BaseChange(OKscheme, GF(q))) > ; > > l := 283 ; > // L'extension 31-cyclotomique L > DecompositionType(L, l) ; [ <5, 1>, <5, 1>, <5, 1>, <5, 1>, <5, 1>, <5, 1> ] > // L'extension cubique K > DecompositionType(K, l) ; [ <1, 1>, <1, 1>, <1, 1> ] > // Nombre de points du schéma associé à O_K > NombreDePoints(l) ; 3
Cela colle avec ce que tu dis. Le type de décomposition c'est la suite $[<f_p,e_p], <f_p,e_p>, ..]$ $g_p$ fois. Mais t'es quand même petit joueur car tu as tapé en dehors de la ramification. Il n'y en a d'ailleurs pas beaucoup (de ramification) car 31 est un nombre premier.
Je repars au début. Je vais aller un peu vite. J'ai pris 31 car 3 divise $31-1$ et que $2^5 = 1 \bmod 31$. On considère la petite tour
$$
\Q \quad\subset\quad \Q(\root 31 \of 1)^{\sigma_2} \quad\subset\quad \Q(\root 31 \of 1)
$$
$\sigma_2$ c'est l'automorphisme de Galois élévation au carré sur $\mathbb U_{31}$. Cet automorphisme $\sigma_2$ est d'ordre 5 car $2$ est d'ordre 5 dans $\mathbb F_{31}^*$. Donc le corps intermédiaire des points fixes par $\sigma_2$ est de degré $6 = 30/5$ sur $\Q$.
L'extension cubique cherchée $K$ est contenue dedans (le corps de degré 6).
$$
\Q \quad\subset\quad K \quad\subset\quad \Q(\root 31 \of 1)^{\sigma_2} \quad\subset\quad \Q(\root 31 \of 1)
$$
Et $2$ est totalement décomposé dans $\Q(\root 31 \of 1)^{\sigma_2}$ car $\sigma_2$ c'est l'identité dessus !!
A fortiori, 2 est totalement décomposé dans le corps cubique $K$. Mais il n'y a que deux polynômes irréductibles sur $\mathbb F_2$ de degré 3. Ceci empêche $\mathcal O_K$ d'être monogène.
Construction explicite de $K$ avec les périodes de Gauss. D'abord un générateur du groupe de Galois de $\Q(\root 31 \of 1)/\Q)$ : $\sigma_3$ car $3$ est d'ordre 30 dans $\mathbb F_{31}^*$. Ces 3 périodes de Gauss sont baptisées $s_0, s_1, s_2$, ci-dessous :
> q := 31 ; > Fq := GF(q) ; > // 31-1 = 3*10. Dans Fq : 2 est d'ordre 5, 3 est un générateur > assert Order(Fq!2) eq 5 and Order(Fq!3) eq 30 ; > L<z> := CyclotomicField(q) ; > // Aut(L/Q) = <tau> > tau := iso < L -> L | z^3 > ; > > // périodes de longueur 10 > tau3 := tau^3 ; > // Périodes de Gauss : classe à droite modulo <tau^3> d'ordre 10 > C := [tau3^i : i in [0..10-1]] ; > s0 := &+[sigma(z) : sigma in C] ; > s0 ; -z^28 - z^26 - z^25 - z^24 - z^22 - z^21 - z^20 - z^19 - z^18 - z^17 - z^14 - z^13 - z^12 - z^11 - z^10 - z^9 - z^7 - z^6 - z^5 - z^3 - 1 > s1 := tau(s0) ; s2 := tau(s1) ; > s1 ; z^28 + z^25 + z^24 + z^19 + z^17 + z^14 + z^12 + z^7 + z^6 + z^3 > s2 ; z^26 + z^22 + z^21 + z^20 + z^18 + z^13 + z^11 + z^10 + z^9 + z^5 > F := ZX!MinimalPolynomial(s0) ; > F ; X^3 + X^2 - 10*X - 8 > assert F eq ZX!MinimalPolynomial(s1) and F eq ZX!MinimalPolynomial(s2) ; > assert Discriminant(F) eq (2*31)^2 ;
Mise sous forme officielle (c'est pour le fun) i.e. recherche d'un élément primitif ad-hoc de $K/\Q$.
> K<s0> := sub < L | s0 > ; > // Mise sous la forme F_a(X) = X^3 - a*X^2 - (a+3)*X - 1 > // Prendre u de trace nulle > u := s0 - s1 ; > // Et chercher t de trace 1 sous la forme tau(u)/u [[pas le choix Hilbert 90]] > t := tau(u) / u ; > G<X> := MinimalPolynomial(t); > G ; X^3 + 5/2*X^2 - 1/2*X - 1 > a := -5/2 ; > assert G eq X^3 - a*X^2 - (a+3)*X - 1 ;
On est bien content mais on s'en fiche (sauf que j'aime bien croire à ce que je fais i.e. j'ai lu le corrigé de mon exo !).
L'anneau des entiers :
> OK := MaximalOrder(K) ; > ChangeUniverse(Basis(OK), K) ; [ 1, s0, 1/2*(s0^2 + s0) ] > s1 := K!s1 ; s2 := K!s2 ; > assert OK eq Order([s0,s1]) ; > Decomposition(OK,2) ; [ <Prime Ideal of OK Two element generators: [2, 0, 0] [1, 1, 0], 1>, <Prime Ideal of OK Two element generators: [2, 0, 0] [0, 0, 1], 1>, <Prime Ideal of OK Two element generators: [2, 0, 0] [1, 1, 1], 1> ] > [ChangeUniverse(Generators(P[1]),K) : P in Decomposition(OK,2)] ; [ [ 2, s0 + 1 ], [ 2, 1/2*(s0^2 + s0) ], [ 2, 1/2*(s0^2 + 3*s0 + 2) ] ] > DecompositionType(OK,2) ; [ <1, 1>, <1, 1>, <1, 1> ]
Et enfin, le schéma :
> // OK n'est pas monogène > ZS0S1S2<S0,S1,S2> := PolynomialRing(Z,3) ; > time equations := OrderPresentationEquations([s0,s1,s2] : PolRing := ZS0S1S2) ; Time: 0.020 > IZ := Ideal(equations) ; > IZ ; Ideal of Polynomial ring of rank 3 over Integer Ring Order: Lexicographical Variables: S0, S1, S2 Basis: [ S0 + S1 + S2 + 1, 2*S1 + S2^2 + S2 - 6, S1*S2 + 2*S2 + 4, S1^2 - S1 - 2*S2 - 8 ] > A3 := AffineSpace(Generic(IZ)) ; > A3 ; Affine Space of dimension 3 Variables: S0, S1, S2 > OKscheme := Scheme(A3, IZ) ; > OKscheme ; Scheme over Integer Ring defined by S0 + S1 + S2 + 1, 2*S1 + S2^2 + S2 - 6, S1*S2 + 2*S2 + 4, S1^2 - S1 - 2*S2 - 8 > > S3 := Sym(3) ; > Tau := S3 ! (1,2,3) ; > assert &and [equation^Tau in IZ : equation in equations] ; > eq1 := equations[1] ; assert eq1^Tau eq eq1 ; > eq3 := equations[3] ; > Eqs := [eq1] cat [eq3^sigma : sigma in sub <S3 | Tau> ] ; > Eqs ; [ S0 + S1 + S2 + 1, S1*S2 + 2*S2 + 4, S0*S2 + 2*S0 + 4, S0*S1 + 2*S1 + 4 ] > assert IZ eq Ideal(Eqs) ;
J'ai l'impression que tu as peur du mot schéma. Mais regarde ce beau système d'équations sur $\Z$. Rappel : le nombre de points sur $\mathbb F_p$ ($p$ premier, pas puissance d'un premier) de ce schéma c'est le nombre d'idéaux de norme $p$ de $\mathcal O_k$.
J'ai été un peu vite. -
@CQ :
J'avance un peu.
Tout d'abord, pour tout premier impair $\neq 23$, on a :
$$\left({-23}\over p\right)\left(p\over {23}\right)=1.$$
Ainsi, si $\left(\dfrac{p}{23}\right)=-1$, $\sigma_p(\sqrt{-23})=-\sqrt{-23}$ donc $\sigma_p$ est une transposition.
Si $\left(\dfrac{p}{23}\right)=1$, $\sigma_p(\sqrt{-23})=\sqrt{-23}$ donc $\sigma_p$ est d'ordre $1$ ou $3$. -
@flip flop
J'ai lu ton exemple13.pdf. Attentivement (je n'ai cependant pas vérifié toutes les tables). J'ai des coquilles à te signaler quand tu voudras (mais c'est Dimanche).
Le bilan pour nous ? C'est que nous ne reculons pas, nous comprenons des choses à notre manière (nous réinventons probablement l'eau chaude ...etc.. mais peu importe). Dans ton exemple3.pdf, on voit bien l'importance du groupe des caractères du groupe de Galois de $K/\Q$ ($K$ est l'extension de degré 3).
Les preuves ? Nous n'en sommes pas encore là puisque nous avons encore des choses à comprendre. Je peux t'assurer que je dispose du Fröhlich & Taylor depuis des années mais je n'avais pas pu franchir les fameuses 8 pages attachées il n'y a pas longtemps. Maintenant, il y a un gros progrès (je ne sais pas si mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1409220#msg-1409220 est ``bien passé''). Une partie des 8 pages était illisible par mézigues, c'est encore un peu le cas mais moins (cf le post auquel je fais allusion à l'instant).
Ce que j'ai compris, c'est qu'il me paraît important de comprendre
(1) pourquoi le conducteur d'une extension abélienne ``tient la ramification'' (c'est fait dans Fröhlich & Taylor)
(2) la notion de caractère de Dirichlet primitif, la notion du conducteur d'un caractère de Dirichlet.
Le conducteur d'un caractère $\chi : (\Z/N\Z)^\times \to \mathbb U$, c'est le plus petit $N'$ (au sens de la divisiblité, il faut le montrer) tel que $\chi$ transite :
$$
\xymatrix {
(\Z/N\Z)^\times \ar@{->>}[dd] \ar[rd]^\chi \\
& \mathbb U \\
(\Z/N'\Z)^\times \ar[ru]_{\chi'} \\
}
$$
Il est primitif si $N' = N$ i.e. si le ``modulus'' est égal au conducteur.
Et les évaluations $\chi(p)$ devront être réalisées non pas avec $\chi$ mais avec le caractère primitif $\chi'$ associé à $\chi$. Car il y a une sacré différence entre $p \wedge N = 1$ et $p \wedge N' = 1$.
Donc, je pense qu'il faudra à un moment donné s'investir sur ces histoires de conducteurs.
Un petit exemple : les deux caractères de Kronecker $\chi_8, \chi_{-8}$ sont primitifs. Mais leur produit ne l'est pas. Le caractère primitif associé au produit est la caractère de Kronecker $\chi_{-4}$.
> Chi8 := KroneckerCharacter(8) ; > ChiMinus8 := KroneckerCharacter(-8) ; > Parent(Chi8) ; Group of Dirichlet characters of modulus 8 over Integer Ring > Conductor(Chi8), Conductor(ChiMinus8) ; 8 8 > Conductor(Chi8 * ChiMinus8) ; 4 > Chi := AssociatedPrimitiveCharacter(Chi8*ChiMinus8) ; > Chi eq KroneckerCharacter(-4) ; true
-
@CQ :
J'imagine que si $\left(\dfrac{p}{23}\right)=1$, $p$ n'est représentable que par deux formes quadratiques entières de discriminant $-23$ qu'on doit trouver dans ton épreuve blanche d'agreg. -
@gai requin
C'est, je pense, la question 3.c de la partie I. Elle dit que si $-23$ est un carré modulo $4n$ (pareil que carré modulo $n$ si $n$ est impair), alors $n$ est (proprement) représenté par une certaine forme de discriminant $-23$. Cela s'applique, je crois, à ton $p$.
Il y a 3 classes :
$$
x^2 + xy + 6y^2, \qquad 2x^2 \pm xy + 3y^2
$$
A gauche, j'ai mis la forme neutre. A droite, les deux formes sont inverses l'une de l'autre et représentent (proprement) les mêmes entiers.
En passant : lire l'importance de représenter un même premier (question 6 de la partie I). -
Un mémoire que je trouve excellent sur les anneaux d'entiers et bien d'autres choses.
-
@CQ :
Merci pour ces références précises.
Un dernier truc que je crois comprendre sans arriver à l'expliquer proprement.
Après avoir écrit $p=\mathfrak{p}\overline{\mathfrak{p}}$ dans $K$, Serre affirme que :
$$\sigma_p=\rm{Id}_L\Leftrightarrow \mathfrak{p}\text{ est principal}.$$ -
Hello,
Petit journée sans trop de maths hier.
Je répond à ici
Ok j'ai compris dans les grandes lignes. Je n'ai pas compris le petit raisonnement concernant la décomposition de $2$ dans l'extension de degré $6$, mais je l'obtient autrement (par la décomposition de $2$ dans l'extension cyclotomique).
Par contre, je n'ai pas bien compris pourquoi cela impose que $O_K$ non monogène ? C'est parce qu'il y a que deux polynômes de degré $1$ sur $\mathbb{F}_2$ ? -
@Claude : ici
Pour l'instant, je ne suis pas complètement à l'aise avec les caractères.
Je fais un petit bilan de ce que j'ai compris, il y a sûrement des choses fausses, mais je pense qu'il "faut" trouver une version claire de ce qu'on veut.
1/ J'accepte Kronecker-Weber, sous la forme suivante : Etant donnée une extension abélienne $K \mid \Q$ il existe une extension cyclotomique minimale contenant $K$, la notion de conducteur est contenue dedans. On pourrait nommer cette extension cyclotomique par "clôture cyclotomique de $(K \mid \Q)$. Je pense que la notion est déjà subtil. Mais je vais reléguer à plus tard, son étude précise, juste pour pouvoir annoncer un résultat ! Problème 1.
2/ Acceptant cela, on se place dans cette configuration : $(\Q(\zeta) \mid K \mid \Q)$. Le but est de trouver la fonction zéta de $O_K$.
D'une part, il faut étendre les caractères de $\left(\Z/N\Z\right)^*$, pour obtenir la formule :
$$
Z_\ell^{\zeta} (T) = \prod_{\chi} \frac{1}{1-\chi(\ell)T}
$$
y compris pour $\ell$ ramifié. Problème 2.
3/ Ensuite, j'ai envie de dire que $K$ correspond (via Galois) à un sous-groupe $\mathcal{K}$ de $\text{Gal}(\Q(\zeta) \mid \Q) \simeq \left(\Z/N\Z\right)^*$. Et $\text{Gal}(K\mid\Q)$ est isomorphe à $\text{Gal}(\Q(\zeta) \mid \Q) /\mathcal{K} = : H$, ce quotient correspond à une inclusion $\widehat{H} \to \widehat{\text{Gal}(\Q(\zeta) \mid \Q)}$ et la fonction zéta doit être
$$
Z_\ell^{O_K} (T) = \prod_{\chi \in \widehat{H}} \frac{1}{1-\chi(\ell)T}
$$
où les caractères $\chi$ sont étendus de la même manière que pour le problème 2.
Disons que ça c'est le Problème 3.
Est-ce que ça correspond a ce que tu as en tête Claude ? Ou j'ai pris une "mauvaise" direction ? -
@flip flop
Je suis dans l'ensemble d'accord avec ton résumé mais j'y apporte des précisions.
Tout d'abord, c'est bien normal de ne pas être à l'aise avec les caractères de Dirichlet car cette notion de caractère ne se limite pas à des caractères habituels. Ils doivent être étendus. Si $\chi : (\Z/N\Z)^\times \to \mathbb U$, il faut pouvoir lui coller une valeur en $p$ avec $p$ pas nécessairement premier à $N$. Et la bonne manière, enfin c'est ce que j'ai cru comprendre, c'est la suivante :
$$
\chi(m) = \chi^{\rm prim.}(m) \qquad (\star)
$$
où $\chi^{\rm prim.}$ est le caractère primitif associé à $\chi$.
Il y a deux autres posts (importants pour moi) qui sont http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1409156#msg-1409156 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1409220#msg-1409220
Et donc, ce n'est pas le modulus de $\chi$ qui commande mais son conducteur.
Mais d'où est ce que je tiens cela (i.e. $(\star)$) et pourquoi ? Ben, j'ai cru le décrypter de la lecture de Frohlich & Taylor ``sans pour autant comprendre''. Et ma stratégie dans ces cas là est simple : mettre complètement à plat, cette histoire de conducteur de caractères de Dirichlet. Les étudier pour eux-mêmes indépendamment de leur impact en terrain abélien. C'est fait dans Frohlich & Taylor, et c'est plus facile de s'informer quand les spécialistes ont déjà réfléchi même s'ils sont parfois difficiles à lire. Ils ont noté :
$$
\Theta_m = \widehat {(\Z/m\Z)^\times}
$$
La deuxième précision c'est d'être complètement clair sur la ramification de $\Q(\root N \of 1)$. Il faut absolument prendre $N \not\equiv 2 \bmod 4$ car dans ce cas, on peut remplacer $N$ par $N/2$ sans changer l'extension cyclotomique. Etre clair, c'est disposer de la loi de factorisation de $p$, le minimum syndical étant $p$ est ramifié si et seulement si $p \mid N$, toujours avec la clause $N \not\equiv 2 \bmod 4$. C'est fait dans Frohlich & Taylor, mais tu n'as pas les pages. Ils donnent même plusieurs arguments. Je pense que l'on peut également tirer la loi de factorisation de $p$ de la loi de factorisation de $\Phi_N \bmod p$, que $p$ divise ou ne divise pas $N$, cf l'exercice corrigé.
La troisième précision, c'est que l'on ne peut pas faire avec une extension abélienne $K/\Q$ sans la couvrir par LA BONNE extension cyclotomique $L = \Q(\root N\of 1)$. J'ai un post où j'explique que lorsque que l'on a deux couvertures avec $N_1, N_2$, on a une avec $\gcd(N_1, N_2)$ mais j'arrive pas à mettre la main sur ce post.
Il ne suffit pas d'admettre l'existence de cette couverture cyclotomique : il faut des renseignements supplémentaires. Par exemple, c'est elle qui gouverne la ramification de $K$.
Ma stratégie dans ces cas là. Etudier les objets un par un, de manière super précise, avant de se retrouver dans l'aspect plus complexe des facteurs Eulériens. -
Caractères de Dirichlet et tout ce qui va avec. Cela fait plusieurs jours que cela me turlupine. Il y a de la rigidité quelque part. Pour un anneau FINI $R$, il faut penser à $R = \Z/N\Z$ mais pas trop, on a pour tout idéal $I$, le fait (CAPITAL) que le morphisme au niveau multiplicatif :
$$
R^\times \longmapsto (R/I)^\times \quad \hbox {est surjectif}
$$
Ce qui veut évidemment dire : pour tout $x \in R$, inversible modulo $I$, il existe $y \in R^\times$ tel que $y \equiv x \bmod I$.
Mais, en fait, $y$, il n'y a pas à le chercher. Et il est indépendant de $I$ !
La vraie vérité est la suivante : soit $R$ un anneau zéro-dimensionnel (par exemple un anneau fini, par exemple $R = \Z/N\Z$) et $x \in R$. Alors $x$ fait naître un inversible $x'$, très exactement $x' = ex + 1-e$ où $e$ est un idempotent (la suite décroissante $(\langle x^n\rangle)_{n \ge 1}$ stationne sur un idempotent).
Et ce $x'$ vérifie, pour tout idéal $I$ qui débarque ensuite, tel que $x$ soit inversible modulo $I$ :
$$
x' \equiv x \bmod I
$$
Pour comprendre le sel de l'affaire, il faut avoir pataugé et lu à plusieurs reprises les 3 pages 214-216 de Fröhlich & Taylor. Auteurs, un peu la tête dans le guidon (si je peux me permettre) avec $\Z/N\Z$.
Evidemment que pour obtenir l'unicité du caractère primitif associé à un caractère de Dirichlet (point 2.5 bas page 215), il faut d'une part bien faire quelque chose et que d'autre part, il y ait de la rigidité dans le structurel.
Ce n'est pas parce que nous programmons et voulons faire concret et plus élémentaire, qu'il faut refuser le structurel. Et levons la tête de ce fichu guidon. -
Hello Claude,
Merci pour les compléments !
Micro truc sur l'extension des caractères.
Soit $n$ un entier que l'on décompose en produit de facteurs premiers : $n = \prod p_i^{\alpha_i}$, alors
$$
\left( \Z / n\Z \right)^* \simeq \prod \left( \Z / p_i^{\alpha_i}\Z \right)^* \quad \text{et} \quad \widehat{\left( \Z / n\Z \right)^*} \simeq \prod \widehat{ \left( \Z / p_i^{\alpha_i}\Z \right)^*}
$$
Si je ne dis pas de bêtises le second isomorphisme est donné de la manière suivante :
Si l'on considère une famille $(\chi_i)_i \in \prod \widehat{ \left( \Z / p_i^{\alpha_i}\Z \right)^*}$, alors on forme le caractère ,noté $\prod \chi_i$, de $\widehat{\left( \Z / n\Z \right)^*}$ défini par la formule suivante :
$$
\text{Pour } m \in \left( \Z / n\Z \right)^*, \quad \left(\prod \chi_i \right)(m) = \prod \chi_i(m \pmod{p_i^{\alpha_i}}) \quad (\star)
$$
Bilan : si on peut étendre les caractères de $ \left( \Z / p^{\alpha}\Z \right)^*$, avec $p$ premier, alors on peut étendre les caractères de $\left( \Z / n\Z \right)^*$ par la formule $(\star)$. Il y a un travail à faire pour contrôler que cette extension prend bien en charge la ramification je pense que ça résulte de $\Q(\root {p^\alpha} \of 1) \cap \Q(\root {q^\beta} \of 1)= \Q$ lorsque $p$ et $q$ sont premiers.
Ça nous permet de casser un peu le problème 2. Pour le moment, je sais faire pour $\alpha=1$. Bon bah, il faut passer par la ramification de $\Q( \root {p^\alpha} \of 1)$. Et, il faut sûrement faire super attention à $p=2$ ... Il est souvent embêtant $p=2$ !!! -
Hello,
Petit délire magma :-D Je sais ceinture blanche transparente magma !
Un extension bi-cubique B-)-
Je vais utiliser les sommes de Gauss pour construire l'extension de degré $9$ de $\Q$ contenu dans $\Q(\zeta_{31*13})$. Par Galois, elle est le corps stable par le sous-groupe $\left(\Z/13*31\Z\right)^* \simeq \left(\Z/13\Z\right)^* \times \left(\Z/31\Z \right)^*$, engendré par les deux éléments d'ordre $3$ : $(3,1)$ et $(1,5)$. En explcitant l'isomorphisme, ce sous groupe est l'image de du morphisme de groupe :
$$\Gamma : \left(\Z/13*31\Z\right)^* \longrightarrow \left(\Z/13*31\Z\right)^*
$$
$$ \quad \ell \longrightarrow -31\ell^{4} -65\ell^{10}$$> m := 13*31; > R := ResidueClassRing(m); mu3mu3 := {-31*l^4 -65*l^10: l in R | GCD(l, m) eq 1 }; mu3mu3; { 307, 359, 245, 297, 59, 111, 47, 388, 202 }
Je regarde les fibres du morphisme $\Gamma$.fibre307 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 307}; fibre359 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 359}; fibre245 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 245}; fibre297 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 297}; fibre59 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 59}; fibre111 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 111}; fibre47 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 47}; fibre388 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 388}; fibre202 :={ l : l in [1..13*31] | GCD(l,m) eq 1 and R!-31*l^4 -65*l^10 eq 202};La on va créer les sommes de Gauss, en considérant $\zeta$ une racine $31*15$-ième de l'unité
$$
\tau_i := \sum_{l \in \text{fibrei}} \zeta^l
$$///// K<y> := CyclotomicField(m); ///// tau307 :=&+[y^k : k in fibre307]; tau359 := &+[y^k : k in fibre359]; tau245 := &+[y^k : k in fibre245]; tau297 :=&+[y^k : k in fibre297]; tau59 := &+[y^k : k in fibre59]; tau111 :=&+[y^k : k in fibre111]; tau47 :=&+[y^k : k in fibre47]; tau388 :=&+[y^k : k in fibre388]; tau202 :=&+[y^k : k in fibre202]; // Gamma<X> := PolynomialRing(K); P:=(X-tau307)*(X-tau359)*(X-tau245)*(X-tau297)*(X-tau59)*(X-tau111)*(X-tau47)*(X-tau388)*(X-tau202); P; X^9 - X^8 - 94*X^7 + 57*X^6 + 1686*X^5 - 968*X^4 - 4696*X^3 - 96*X^2 + 2560*X + 512
Le polynôme est le polynôme minimal d'une extension de degré $9$ incluse dans $\Q(\zeta_{31*13})$.
Je vais essayer de trouver la fonction zéta :-DZ := IntegerRing() ; > m := 13*31; > R := ResidueClassRing(m); K<y> := CyclotomicField(3); k := GF(13);kbis:=GF(31); Chi3 := map < Z -> {0,1,y,y^2} | l :-> GCD(13,l) eq 1 select y^(4*Log(k!2, k!l)) else 0 > ; Chibis3 := map < Z -> {0,1,y,y^2} | l :-> GCD(31,l) eq 1 select y^(Log(kbis!3,kbis!5)*Log(kbis!3, kbis!l)) else 0 > ; Chibis3(4); Gamma<X> := PolynomialRing(K); zeta := map < Z -> Gamma | l :-> (1-X)*(1-Chi3(l)*X)*(1-Chi3(l)^2*X)*(1-Chibis3(l)*X)*(1-Chibis3(l)*Chi3(l)*X)*(1-Chibis3(l)*Chi3(l)^2*X)*(1-Chibis3(l)^2*X)*(1-Chibis3(l)^2*Chi3(l)*X)*(1-Chibis3(l)^2*Chi3(l)^2*X) > ; zeta(157) eq (1-X)^9; R<X> := PolynomialRing(Rationals()); > K := NumberField(X^9 - X^8 - 94*X^7 + 57*X^6 + 1686*X^5 - 968*X^4 - 4696*X^3 - 96*X^2 + 2560*X + 512); > OK:= MaximalOrder(K); DecompositionType(OK,157) ; [<p,zeta(p),DecompositionType(OK,p)> : p in PrimesInInterval(31, 215) ];
@Claude : tout roule vraiment bien ... somme de Gauss pour construire l'extension et les caractères pour calculer la loi de décomposition. -
Bonsoir. Comment va ?
J'apporte quelques précisions pour le calcul de $N_p(f=X^3-X-1)$ par Monsieur Serre.
Soit $L$ le corps de décomposition de $f$ et $K=\Q(\sqrt{-23})$.
Soit $\theta$ une racine de $f$ dans $L$ de telle sorte que $L=K(\theta)$.
Comme $-23=1\bmod 4$, on a
$$\mathcal{O}_K=\Z\left[\frac{1+\sqrt{-23}}{2}\right].$$
De plus, comme $-23$ est squarefree dans $\mathcal{O}_K$ (n'importe quoi, merci CQ) , on a aussi
$$\mathcal{O}_L=\mathcal{O}_K[\theta].$$
Soit alors $\mathfrak p$ un idéal premier de $\mathcal{O}_K$.
S'il est ramifié dans $\mathcal{O}_L$, on a $\mathfrak p=\mathfrak P^3$, ce qui implique que $f$ modulo $\mathfrak p$ a une racine triple : absurde.
On obtient assez facilement $N_2(f)=0$ et $N_{23}(f)=2$.
Soit alors $p$ premier impair $\neq 23$.
On a déjà vu [ici] que si $\left(\dfrac{p}{23}\right)=-1$, $\sigma_p$ est une transposition donc $N_p(f)=1$.
Sinon, $\sigma_p$ est l'identité (et $N_p(f)=3$) ou un $3$-cycle (et $N_p(f)=0$).
De plus, $-23$ est un carré modulo $p$ dans ce cas-là donc $(p)=\mathfrak p\overline{\mathfrak p}$ dans $\mathcal{O}_K$.
Soit enfin $\mathfrak P$ un idéal de $\mathcal{O}_L$ au-dessus de $\mathfrak p$.
On obtient
$$\sigma_p=1_L\Leftrightarrow \frac{\mathcal{O}_L}{\mathfrak P}=\mathbb F_p\Leftrightarrow \mathfrak p\text{ est principal }\Leftrightarrow \mathfrak p\in [1] \text{ dans }C\ell_K.$$
On conclut alors en utilisant la correspondance entre $C\ell_K$ et les formes quadratiques entières de discriminant $-23$. -
Hello Gai requin,
Ca va bien, et toi encore vacance ?
Merci pour ton résumé, je note le post pour lire plus tard, pour l'instant je comprends pas du tout ! -
@flipflop :
Encore un peu de vacances et quelques copies...
Warning : mon résumé est peut-être bourré d'erreurs. :-S
En tout cas, j'essaie tranquillement d'étudier ces histoires de ramification.
Va encore pour le Frobenius (grâce à Claude) mais l'application d'Artin et la théorie des corps de classes, c'est pas pour tout de suite ! -
@vous deux
Cela va beaucoup trop vite pour moi. Exemple en ce qui me concerne : depuis 3 jours, de temps en temps, j'examine la page 215 de Fröhlich & Taylor, très exactement les 11 lignes qui encadrent les égalités (2.4.a) et (2.4.b). Je ne suis pas d'accord avec la preuve. Et bien sûr, pour moi ce n'est pas un détail.
Je continue à croire à l'importance des caractères primitifs et à l'unique caractère primitif associé à un caractère (de Dirichlet) quelconque. Sauf que .. mais j'ai tout mon temps.
@gai requin
Je n'ai pas compris ton explication du pourquoi $L/K$ n'est pas ramifiée.
@flip flop
Il doit y avoir du vrai dans ce que tu dis car produire le polynôme de degré 9 (et le reste) ne peut pas être le fruit du hasard. Mais est ce que cela ne serait pas une bonne chose de reprendre des points ? Et de détailler un peu pour C.Q. qui est bien vieux.
Exemples : pourquoi une seule extension de degré $9$ de $\Q$ contenue dans ..? Cela correspond à un sous-groupe de Galois d'indice 9 i.e. d'ordre 40 ? Car $(13-1)\times (31-1) = 9 \times 40 = 360$. Il y a un seul sous-groupe d'indice 9 dans $C_{10} \times C_{30}$? C'est quoi ce morphisme $\ell \mapsto -31\ell^4 - 65\ell^{10}$ ? Quelle est l'image de $\ell = 1$ ? J'ai été surpris par l'apparition de sommes de Gauss en terrain cyclotomique de niveau non premier.
Mais, j'insiste : il y a sans aucun doute quelque chose dans ce que tu dis. Peux tu ``le mettre en valeur'' ? -
@CQ : Comment va ?
J'essaie de détailler pourquoi $L/K$ n'est pas ramifiée.
Soit $\mathfrak p$ un idéal premier de $\mathcal O_K$.
Comme $L/K$ est galoisienne de degré $3$, on a $efr=3$, où $e,f,r$ désignent respectivement l'indice de ramification et le degré résiduel de $\mathfrak p$, et $r$ le nombre d'idéaux distincts dans sa décomposition.
Donc si $\mathfrak p$ est ramifié, $e=3,f=r=1$ et on peut trouver un idéal premier $\mathfrak P$ de $\mathcal O_L$ tel que
$$\mathfrak p=\mathfrak P^3.$$
Comme $f=1$ et $\mathcal O_L=\mathcal O_K[\theta]$, cette décomposition signifie que $X^3-X-1$ modulo $\mathfrak p$ a une racine triple.
Un petit calcul montre que ce n'est pas possible. -
@gai requin
Pas trop le temps. Pourquoi $\mathcal O_L = \mathcal O_K[\theta]$, la base n'étant plus $\Q$ ? Invoquer le discriminant sans facteur carré au dessus de ? Quel sens ?
Vu le coup de racine triple pas possible.
Plus généralement, soit $F \in \Z[X]$ unitaire, de degré 3, irréductible et tel que son discriminant $D$ soit sans facteur carré. Alors $K := \Q(\sqrt D) \subset L$ où $L$ est le corps de décomposition de $F$ (c'est une extension galoisienne de $\Q$ de degré 6 de groupe de Galois $S_3$).
Alors $L/K$ est non-ramifiée ? C'est cela que tu peux obtenir plus généralement ?
Impact pour moi (non prévu) : $3 \mid h_K$ où $h_K$ est le cardinal du groupe des classes d'idéaux de $K$. -
@Claude : Oui je vais refaire vraiment proprement ! J'avoue que ça doit être super complexe à décrypter ! Sorry !
Un petit truc : pour les sommes de Gauss, il me faut construire explicitement un isomorphisme entre
$\left(\Z/13*31\Z\right)^*$ et son groupe dual ! Mais ce n'est pas visible dans ce que j'ai écrit, et du coup l'image de $\ell = 1$ ne correspond pas à $1$ mais à $307$ et pourtant je parle de morphisme de groupe ! On va croire que je n'ai jamais fait de théorie des groupes :-D
En fait, c'est juste un petit modulo qui c'est glissé dans ma construction mais ça ne change pas les fibres. -
@CQ :
Tu soulignes bien les tracas que Serre m'a causés !
1) Je pense avoir montré que
$$\mathcal O_L=\Z\left[\frac{1+\sqrt{-23}}{2},\theta\right].$$
2) On peut voir [ici] à l'exercice 3 qu'il n'existe pas d'extension non ramifiée de $\Q$.
Dans notre exemple, $p=23$ est ramifié dans $L$.
3) Donc, et Serre ne l'a pas dit, c'est bien $L/K$ qui devrait être non ramifiée !
Attention : je ne dis pas avoir fourni les justifications correctes parce que, comme tu dis, on a changé de corps de base ! :-S -
@gai requin
Ou est la preuve de $\mathcal O_L = \Z[{1 + \sqrt {-23} \over 2}, \theta]$ ?
Comment Serre ne l'a pas dit ? Ligne 3 du point 5.3 page 437 :
$L$ is a cubic cyclic extension of the quadratic field $K = \Q(\sqrt {-23})$ ; it is unramified, and since $h(-23)=3$, it is the Hilbert class field of $K$.
Et qu'est ce qui perdure pour polynôme plus général de degré 3 comme spécifié dans mon post précédent ?
@flip flop
Tu ne veux pas me spécifier les 9 valeurs que tu trouves à l'aide de ce soi-disant morphisme ? Que représentent-elles ?
Est ce que je peux poser une toute petite question super-précise sur UN point qui me turlupine ? -
@Claude : oui oui pour les questions ?
Si si bien sûr, c'est l'isomorphisme chinois réciproque (avec des compositions sur chaques facteurs), je détails mieux ce soir !
C'est plus simple comme ça !> m := 13*31; > R := ResidueClassRing(m); mu3mu3 := {-5*31*l^4 +12*13*l^10: l in R | GCD(l, m) eq 1 }; mu3mu3; { 1, 211, 222, 191, 94, 315, 118, 373, 87 }
Les autres valeurs sont congrus modulo un sous groupe d'ordre $40$ mais promis je le fait très proprement ce soir, avec les détails manquants ! C'est pas complexe du tout !
Là, j'ai un petit cours :-D
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