Homographies et petits groupes de Galois
Réponses
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@vous deux
Deux mots à propos de mon post mal fichu http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1417290#msg-1417290 concernant les formes quadratiques de discriminant $D = -4 \times 13 = -52$.
De manière générale, soit $p$ un premier impair $\ge 3$ tel que $D$ soit un carré modulo $p$ où $D$ est un discriminant quadratique fondamental. Ce $D$ n'est pas fichu n'importe comment : on a, ou bien $D \equiv 1 \bmod 4$ (et $D$ est sans facteur carré), ou bien $D \equiv 0 \bmod 4$ et $D/4$ est sans facteur carré et vérifie quelque chose dont je ne me souviens plus. En tout cas, $D \equiv 0, 1 \bmod 4$ et donc $D$ est un carré modulo 4. I.e. un discriminant quadratique fondamental, c'est toujours un carré modulo $4$.
Revenons à nos moutons. Comme $D$ est un carré modulo $p$ et que $p$ est impair, $D$ est aussi un carré modulo $4p$ :
$$
D = b^2 - 4p \times c
$$
Si bien que la forme quadratique $(p, b, c)$ nous tend les bras : elle est de discriminant $D$ et elle représente $p$ en $(x,y) = (1,0)$.
Bilan : si $D$ est un carré modulo $p$, alors $p$ est représenté par une forme quadratique de discriminant $D$.
Mais ici, avec $D = -52$, il n'y a que deux classes : celle de $q_0 = (1, 0, 13)$ et cette de $q_1 = (2,2,7)$. Re-bilan : si $D$ est un carré modulo $p$, alors $p$ est représenté ou bien par $q_0$ ou bien par $q_1$. Ce n'est pas rien !
Par ailleurs, $D$ carré modulo $p$, grâce à la loi de réciprocité quadratique, cela va pouvoir s'inverser en du ``$p$ modulo $D$''. Et on va se retrouver dans $(\Z/D\Z)^\times$ avec certaines valeurs. -
D'accord,
Pour la réciprocité quadratique. On obtient : $-52$ est un carré modulo $p$ si et seulement si
$$p = 1 \pmod{4} \quad \text{ et } \quad p =1,3,4,9,10,12 \pmod{13}$$ ou
$$p = -1 \pmod{4}\quad \text{ et } \quad p =11, 2, 5, 6, 7, 8 \pmod{13}$$
Avec l'isomorphisme chinois inverse, on transporte ça en congruence dans $\Z/52\Z$.
$$p = 1,9,17,25,29,49 , 7, 11, 15, 19, 31, 47 \pmod{52}$$
SI je ne me suis pas mélangé les pinceaux ! -
Du coup, on vérifie que : $29 = q_0(4,1)$ et $ 11 = q_1(1,1)$.
Hum, hum, encore une histoire dingue de Gauss ! -
@flip-flop
Où est ce que l'on trouve une base normale ? Réponse : pas sous le sabot d'un cheval mais plutôt chez Artin. Voilà ce que dit Artin : soit $L/K$ une extension galoisienne de groupe $G$, $x$ un élément primitif de $L/K$ de polynôme minimal $f(X)$. Et donc $f(X)$ est un polynôme unitaire de $K[X]$. Et bien, Artin dit qu'il faut considérer, pour $\lambda \in K$ :
$$
y_\lambda = {f(\lambda) \over (\lambda - x)f'(x)} \qquad \hbox {ou encore} \qquad
y_\lambda = {1 \over (\lambda - x)f'(x)}
$$
Et il dit que, sauf pour un nombre fini de $\lambda \in K$, alors $y_\lambda$ engendre une base normale de $L/K$ i.e. $\sigma(y_\lambda)_{\sigma \in G}$ est une $K$-base de $L$ (évidemment normale, puisque c'est la définition d'une base normale).
Et, comme d'habitude, la preuve d'Artin est extrêmement simple. Je l'attache. Et je dis ``comme d'habitude'', car ce n'est pas le seul endroit en théorie de Galois où Artin a frappé fort. Rappel : une fois que l'on dispose d'une base normale de $L/K$, on trivialise la théorie de Galois en ce qui concerne la correspondance de Galois entre extensions intermédiaires et sous-groupes du groupe de Galois (via la théorie des périodes de Gauss).
Note : le ``Galois Theory'' d'Artin date de 1942-1944, cf https://projecteuclid.org/euclid.ndml/1175197041 -
@flip-flop
A propos de $D = -4 \times 13 = -52$ i.e. de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1417472#msg-1417472
Ce que je vais écrire n'est pas très pédagogique mais de toutes manières, il débarquera un jour ou l'autre. Qui ? Le caractère quadratique $\chi_D$ de Kronecker. Car il va jouer un rôle primordial dans l'histoire.
> D := -4*13 ; > ChiD := KroneckerCharacter(D) ; > [m : m in [1..Abs(D)-1] | ChiD(m) eq 1] ; [ 1, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 25, 29, 31, 47, 49 ]
Pas très pédagogique car tu n'en as pas eu besoin. Tu peux quand même ainsi vérifier tes affaires.
Et il est donc important de METTRE LE PAQUET sur $\chi_D$. De deux manières : d'une part structurelle via l'inclusion $\Q(\sqrt D) \subset \Q(\root |D| \of 1)$ et d'autre opérationnelle via le moyen de calcul de $\chi_D$, en écrivant ici $D = (-4) \times 13$. De temps en temps, ce qui est fait dans littérature n'est pas satisfaisant.
Mais j'ai encore des soucis avec l'inclusion $\Q(\sqrt D) \subset \Q(\root |D| \of 1)$. Tout n'est pas réglé ! Par exemple, je ne sais pas montrer que $|D|$ est le conducteur cyclotomique de $\Q(\sqrt D)$. Et quand les choses DE BASE ne sont pas réglées, c'est la cata pour travailler.
Suite de $D = -52$. Séparer les 12 valeurs de $(\Z/D\Z)$ que l'on voit en 2 paquets de 6, un paquet pour $q_0$, l'autre pour $q_1$. Tout doit être prouvé. Note : 12 c'est la moitié de 24 et 24 c'est $\varphi(52)$, ce 12 = 24/2 c'est bien moral car l'indice de $\ker\chi_D$ dans $(\Z/D\Z)^\times$ c'est 2. -
Intéressant si on peut remplacer la loi de réciprocité quadratique et le théorème chinois par $\chi_D$.
Est-ce que si $K=\Q(\sqrt{D})$, $\chi_D(p)$ est la signature du Frobenius associé à $p$ ? -
Pour séparer les valeurs : pour $q_0$ ce sont les valeurs tels que les deux caractères $\chi_{13}$ et $\chi_{-4}$ ? prennent la valeurs $1$ et pour $q_1$ ... la valeurs $-1$ :-S
Et il y a un lien entre les deux formes $q_0$ et $q_1$ et le groupe de classe d'idéaux de $\Q(\sqrt{-13})$ ?
Je continu la lecture de l'épreuve, mais j'ai encore une semaine chargée la semaine prochaine ... je ne pourrais pas trop faire de maths (td)
Ils se sont bien amusé les étudiants de la prépa Agreg :-D -
Et du coup, on devrait avoir
$$\chi_D (p)=(-1)^{(p-1)/2}\left(\dfrac {p}{13}\right). $$ -
@vous deux
Oui c'est ``normal'' car $-52 = -4 \times 13$ est la décomposition en discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires (premiers deux à deux) donc par ``théorème'' d'une part
$$
\chi_{-52}(m) = \chi_{-4}(m) \chi_{13}(m),
$$
Et d'autre part, pour $p$ premier impair $\ge 3$ :
$$
\chi_{-52}(p) = \left( {-52 \over p} \right) =
\left( {-4 \over p} \right) \left( {13 \over p} \right) = \left( {-1\over p} \right) \left( {13 \over p} \right) = (-1)^{p-1 \over 2} \left( {13 \over p} \right)
= (-1)^{p-1 \over 2} \left( {p \over 13} \right)
$$
Mais le problème est de FONDER $\chi_D$ (on recule donc de plusieurs semaines). Est ce que je veux faire comme dans l'extrait attaché de Ribenboim ? NON. Est ce que je veux faire comme dans l'exercice 2 de https://webusers.imj-prg.fr/~dominique.bernardi/MM120/Nombres2.pdf ? NON
Je veux faire comment, alors ? De manière structurelle, comme dans mon torchon que j'attache MAIS que j'utilise pour programmer (depuis des semaines). -
@vous deux
J'attache juste le cas $D = -4 \times 13 = -52$. Je me suis embarqué de nouveau dans cette histoire (= Baby Class Field Theory via Gauss et les formes quadratiques) parce que flip flop était dépité par son cours Class Field Theory. Mais j'ai absolument besoin que les bases soient assises pour traiter des exemples : les bases désignant en particulier les anneaux quadratiques, les extensions cyclotomiques, les caractères multiplicatifs, les caractères de Kronecker, les lois de réciprocité et il faut absolument être clair sur $\chi_{-4}, \chi_8, \chi_{-8}$ ...etc..
Silence radio pendant un certain temps. -
@CQ :
Je suis en train d'essayer de calculer $N_p(X^3+X^2-3X-1)$. Why not !
Du coup, j'ai besoin de $\chi_{148}$ (ce qui m'évite un hors-sujet) mais aussi des formes quadratiques de discriminant $148$.
J'ai donc rejeté un coup d'œil sur ton épreuve d'agreg blanche qui donne la forme neutre ($x^2-37y^2$) associée à $\Delta=148$ mais il reste du boulot ... -
Voilà ce que je trouve en utilisant la méthode de Serre avec $f=X^3+X^2-3X-1$.
Les cas particuliers : $N_2(f)=1$ et $N_{37}(f)=2$.
Soit maintenant $p\neq 37$ un premier impair. On a :
$$\begin{equation*}
N_p(f)=
\begin{cases}
1 & \text{si $\left( \dfrac{p}{37}\right)=-1$} \\
3 & \text{si on peut écrire $p$ sous la forme $x^2-37y^2$}\\
0 & \text{si on peut écrire $p$ sous la forme $3x^2+2xy-12y^2$.}
\end{cases}
\end{equation*}$$
Remarque : $67=20^2-37\cdot 3^2$ est le plus petit premier tel que $N_p(f)=3$. -
En bref, une méthode sympathique quand on connaît le corps de classes de Hilbert associé à un discriminant donné.
Heu... :-S
Une référence donnée par Serre lui-même : [Jacques Martinet] -
Le polynôme $X^3+X^2-3X-1$ engendre une extension de degré $6$ sur $\Q$ et il y a une sous-extension quadratique. Tu veux dire que tu connais le corps de classe de cette extension quadratique et tu peux l'utiliser pour obtenir des infos sur
les racines de $X^3+X^2-3X-1$ sur les corps finis ? -
Je dirais même plus.
Le corps de décomposition de $f=X^3+X^2-3X-1$ est le corps de classes de Hilbert de $\Q(\sqrt{148})$ ce qui permet de déterminer les $N_p(f)$ en jouant avec la substitution de Frobenius. -
Salut flipflop.
Si cette méthode t'intéresse, je peux essayer de te faire un résumé de ce que j'ai compris demain.
Ce ne sera pas aussi précis que Claude ;-) mais j'ai quand même deux exemples à te présenter. -
Ah je veux bien ! Mais j'ai un peu peur que ce soit un peu complexe !
Je n'ai pas encore regardé proprement les formes quadratiques et le lien avec les groupes de classes. -
A ce propos, j'ai pas mal galéré avec l'exemple ci-dessus parce que $\rm{disc}(f)=148>0$.
Dans l'épreuve blanche de Claude, il y a une étude exhaustive des classes de formes quadratiques de discriminant négatif donné.
Mais on y trouve aussi une méthode effective pour se ramener à un nombre fini de cas ce qui m'a permis de trouver les trois classes de formes quadratiques de discriminant $148$. -
@fliflop : L'idée de départ est la suivante.
Soit $P\in \Z[X]$ et $L$ son corps de décomposition dans $\C$.
Soit $\mathfrak P$ un idéal premier de $\mathcal O_L$ au-dessus de $p$ premier.
Alors $M=\dfrac{\mathcal O_L}{\mathfrak P}$ est un corps fini de caractéristique $p$ qui décompose $P$ en tant que polynôme de $\mathbb F_p[X]$.
De plus, $\rm{Gal}(M/\mathbb F_p)$ est cyclique engendré par le Frobenius.
Donc l'étude de la substitution de Frobenius en $p$ dans $\rm{Gal}(L/\Q)$ permet d'avoir des informations sur les racines de $P$ dans $M$. -
Hello Gai requin,
D'accord je "vois" l'idée. Tu récupères explicitement de l'information via la réduction modulo $p$. C'est amusant c'est un peu ce que je voulais faire avec mes extensions cyclotomiques (pour l'instant, il y a que celle là que je "maîtrise" un peu).
Mais je ne comprends pas comment faire en pratique.
Disons que l'on numérote les racines $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ les racines de $f := X^3+X^2-3X-1$. Alors, on a un morphisme de groupe $\text{Gal} \left( L \mid \Q\right) \to \mathfrak{S}_3$. Et tu veux identifier, image de ce morphisme via des réductions modulo $p$ ? Ou je suis à côté de la plaque ? -
@gai requin
Quelque chose que je ne comprends pas (du tout) : $148 = 4 \times 37$ donc $\Q(\sqrt {148}) = \Q(\sqrt {37})$. Et magma me dit que l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt {37})$ est principal.
> K<r37> := QuadraticField(37) ; > OK := MaximalOrder(K) ; > ClassGroup(OK) ; Abelian Group of order 1 Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of OK
-
@flipflop : en pratique, on examine d'abord l'action de la substitution de Frobenius sur le discriminant pour savoir si c'est une permutation paire ou impaire.
@CQ : Très bonne question indeed dont je n'ai pas la réponse !
Je sais juste que j'ai testé positivement les résultats que je donne [ici] pour un grand nombre de valeurs de $p$. :-S
Et combien y a-t-il de classes de formes quadratiques de discriminant $148$ ? -
@CQ : Peut-être que magma va nous aider.
> D := 148 ; > BQF := BinaryQuadraticForms(D) ; > BQF ; Binary quadratic forms of discriminant 148 > RF := ReducedForms(BQF) ; > RF ; [ <3,10,-4>, <1,12,-1>, <-3,8,7> ] BINGO > q0, q1, q2 := Explode(RF) ; > q3 := BQF ! <1,0,-37> ; Pour mézigue > IsEquivalent(q1,q3) ; true > q4 := BQF ! <3,2,-12> ; Pour mézigue > IsEquivalent(q2,q4) ; true
Il faut peut-être regarder du côté de $\Z[\sqrt{37}]$ même si ce n'est pas l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt{37})$... -
@gai requin
Ma réponse est simple : je ne suis pas clair (du tout) sur les formes quadratiques binaires de discriminant $> 0$. La notion de forme réduite est bien plus complexe... Peut-être de la lecture en https://people.math.ethz.ch/~perretgc/static/documents/correspondence-bqf-qf.pdf
Autre chose : il y a une notion de ``Narrow Class Group'' qui POURRAIT entrer en ligne de compte ici car l'unité fondamentale $u = 6 + \sqrt {37}$ (de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt {37})$) est de norme $-1$. Mais je ne crois pas qu'elle intervienne ; si je la mentionne, c'est juste pour indiquer que les choses sont un tantinet plus compliquées et pour dire à nouveau que je ne suis vraiment pas clair du tout.
Autre chose (bis). J'ai découvert par hasard la fonction RingClassField qui n'est pas documentée. Ci-dessous, une utilisation
> K<r37> := QuadraticField(37) ; > u := 6 + r37 ; > Norm(u) ; -1 > B := Order([2*r37]) ; > G, phi := RingClassGroup(B) ; > G ; Abelian Group isomorphic to Z/3 Defined on 1 generator Relations: 3*G.1 = 0 > phi ; Mapping from: GrpAb: G to Set of ideals of B given by a rule > phi(G.1) ; Ideal of B Basis: [ 1 43] [ 0 83] > ChangeUniverse(Basis(phi(G.1)), K) ; [ 83, 2*r37 - 27 ] > L := RingClassField(B) ; > L ; FldAb, defined by (<[4 0], [0 4]>, []) of structure: Z/3 > E := EquationOrder(L) ; > E ; Equation Order with defining polynomial x^3 + [-48, -12]*x + [52, 16] over its ground order > F := DefiningPolynomial(E) ; > F ; $.1^3 + [-48, -12]*$.1 + [52, 16] > ChangeRing(F, K) ; $.1^3 + (-6*r37 - 42)*$.1 + 8*r37 + 44 > NumberField(L) ; Number Field with defining polynomial $.1^3 + (-6*r37 - 42)*$.1 + 8*r37 + 44 over K
Exercice (que je n'avais pas réussi à faire dans le cadre de $X^3 - X-1$) : à partir de ces données i.e. de $K = \Q(\sqrt {37})$ et du polynôme de degré $3$ à coefficients dans $K$ définissant $L/K$, trouver un polynôme irréductible de degré $3$ à coefficients dans $\Q$ tel que $L/\Q$ soit la clôture galoisienne du corps engendré par une racine de ce polynôme. Dit autrement, $L/\Q$ est une extension galoisienne de degré 6 dont le groupe de Galois est isomorphe à $S_3$. Expliciter un corps intermédiaire $\Q \subset K' \subset L$ de degré $3$ sur $\Q$ via le polynôme minimal d'un élément primitif de $K'/\Q$. -
@CQ :
Dans ton code, est-ce que $B=\Z[\sqrt{180}]$ ?
Est-ce que tu pourrais me dire comment implémenter $\Z[\sqrt{37}]$ (je n'y arrive pas) ?
Pour ton exercice, $L/K$ est-elle bien définie par $X^3-(6\sqrt{37}+42)X+8\sqrt{37}+44$ ? -
@gai requin
Dans mon code, $B = \Z[2\sqrt {37}]$ (j'ai du mal à comprendre d'où tu sors 180) ; sauf que ce n'est pas ce que je voulais faire ! Je voulais prendre $B = \Z[\sqrt {37}]$. Il suffit donc de mentionner B := Order([r37]). Mais on tombe à un moment donné sur un bug de magma : le fameux défaut ``de non orthogonalité'' déjà évoqué (je ne suis pas sûr de cette terminologie). Il faut utiliser NumberField et pas QuadraticField. Pour éviter les confusions, voir le post suivant.
Oui, $L/K$ est bien défini par le polynôme que tu dis. Mais il est préférable de tout recommencer avec $\Z[\sqrt {37}]$. -
Désolé. J'avais oublié que $4\times 37=148$. (td)
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En suivant ton conseil, $L/K$ est maintenant définie par $X^3-48X+20$. Je préfère. ;-)
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Il s'agit plutôt d'un comportement bizarre, cf ci-dessous. Lorsque l'on dispose d'une inclusion d'anneaux $B \subset B'$, le conducteur de $B'$ dans $B$ est l'idéal de $B$ défini par
$$
\mathfrak f = \{ x \in B \mid xB' \subset B \}
$$
C'est également un idéal de $B'$. C'est le plus grand idéal de $B$ qui soit aussi un idéal de $B'$.
En théorie des nombres, le conducteur d'un anneau d'entiers $B$ de corps des fractions $K$, est le conducteur de $\mathcal O_K$ dans $B$.
> K<r37> := QuadraticField(37) ; > B := Order([r37]) ; > Conductor(B) ; 2 <-------------- pas TOP, cette réponse > B := Order([3*r37]) ; > Conductor(B) ; Ideal of B Basis: [3 1] [0 2]
Utilisation de NumberField
> Z := IntegerRing() ; > ZX<X> := PolynomialRing(Z) ; > K<r37> := NumberField(X^2 - 37) ; > B := Order([r37]) ; > Conductor(B) ; Ideal of B Basis: [1 1] [0 2]
Ne pas se mélanger les pinceaux. Par exemple, ici l'idéal conducteur est l'idéal engendré par $2$ dans $\mathcal O_K$ mais pas dans $B$ !
> OK := MaximalOrder(K) ; > OK eq Order([(1 + r37) / 2]) ; true > > F := OK !! Conductor(B) ; // !! big-bang conversion of ideals > F ; Ideal of OK Basis: [2 0] [0 2] > F eq ideal <OK | 2> ; true > F eq 2*OK ; true
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In http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1424276#msg-1424276 d'où sors tu $X^3 - 48X + 20$ ??
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>KX<X>:=PolynomialRing(IntegerRing()); > K<r37> := NumberField(X^2-37) ; > B := Order([r37]) ; > L := RingClassField(B) ; > E := EquationOrder(L) ; > F := DefiningPolynomial(E) ; > NumberField(L) ; Number Field with defining polynomial $.1^3 - 48*$.1 - 20 over K
C'est $-20$ à la place de $20$. Décidément...:-S -
@gai requin
Un détail : je suppose que KX au lieu de ZX, c'est pour mieux tromper l'ennemi (CQ : grand pinailleur devant l'éternel).
Autres choses :
(1) Ma version (de magma) ne me fournit pas ce polynôme $X^3 - 48X - 20$ (qui est à coefficients dans $\Q$) mais un polynôme à coefficients dans $K$. Il a fallu que je fasse un gros effort (ce matin) pour trouver un polynôme de degré 3 à coefficients dans $\Q$ qui définisse de ``manière galoisienne'' $L/\Q$. Et j'ai justement trouvé ce polynôme (il a fallu que je prolonge la conjugaison de $\Q(\sqrt {37})$ en un $\Q$-automorphisme de $L$ ...etc...).
(2) Ce polynôme $X^3 - 48X - 20$ définit sur $\Q$ un corps de nombres isomorphe au corps de nombres défini par $X^3 + X^2 - 3X-1$ avec lequel tu avais joué.
> E1<x> := NumberField(X^3 + X^2 - 3*X - 1) ; > E2<y> := NumberField(X^3 - 48*X - 20) ; > ok, phi := IsIsomorphic(E1,E2) ; > ok ; true > phi(x) ; 1/18*(-y^2 - 2*y + 26) > Inverse(phi)(y) ; 3*x^2 - 7
Ajout $X^3 - 48X - 20$ ou $X^3 - 48X + 20$, c'est kif-kif car si $x$ est une racine du premier, alors $-x$ est une racine du second. Et réciproquement. Peut-être qu'il t'a donné le second polynôme à un moment donné et le premier à un autre moment ? -
Et donc certainement que pour tout premier impair $\neq 37$, on a $N_p(X^3 - 48X -20)=N_p(X^3 + X^2 - 3X-1)$ !
Est-ce que tu crois qu'on est en train de parler du corps de classes de l'anneau $\Z[\sqrt{37}]$ qui n'est pas l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt{37})$ ??? -
@CQ : Tu as raison pour $+20$ vs $-20$ ! (tu)
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@CQ :
Le discriminant de $X^3 - 48X -20$ vaut $2^4\times 3^6\times 37$.
De plus, après un test sur les $10000$ premiers nombres premiers, il semblerait que
$$N_p(X^3 - 48X -20)=N_p(X^3 + X^2 - 3X-1)\text{ pour tout $p\neq 3$}.$$ -
@CQ :
J'ai trouvé un exemple similaire avec $\Z[\sqrt{101}]$ en prenant pour $L$ le corps de décomposition de $X^3-48X^2+576X-1616$.
Et $\mathcal O_K$ est encore principal !
Ma stratégie : je choisis $p=1\bmod 4$, je regarde dans magma si $\Z[\sqrt{p}]$ a un corps de classes non trivial et, si c'est le cas, y'a plus qu'à bidouiller pour trouver un polynôme à coefficients rationnels qui définit ce corps de classes. -
J'ai oublié de poster le code.
> Z<X>:=PolynomialRing(Integers()); > K<r> := NumberField(X^2-101) ; > A := Order([r]) ; > L:=RingClassField(A); > L:=NumberField(L); > L; Number Field with defining polynomial $.1^3 - 24*$.1 + 4*r over K
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Et un petit dernier pour la route. ;-)
> Z<X>:=PolynomialRing(Integers()); > K<r> := NumberField(X^2-197) ; > A := Order([r]) ; > L:=RingClassField(A); > L:=NumberField(L); > L; Number Field with defining polynomial $.1^3 - 96*$.1 - 20*r over K
Et on peut prendre $L=D_\Q(X^3-192X^2+9216X-77200)$.
Et on pourrait déterminer les $N_p(f)$ pour tous les exemples que j'ai fournis.
Mais bon, du point de vue de la théorie, il y a du travail... -
-
Hello Gai requin,
D'après ce que j'ai lu, c'est plus simple à comprendre sur les corps locaux (nombres $p$-adiques) ? Tu connais un peu les $p$-adiques ? A priori, c'est un truc qui permet de faire un lien entre la caractéristique $p$ et la caractéristique $0$. (pfff, c'est vraiment ce que je veux faire dans l'autre fil).
Mais finalement, je ne comprends pas le but de cette théorie ... Est-ce que l'on veut établir des lois de réciprocités ? Est-ce que l'on veut comprendre la loi de décomposition des idéaux ? Est-ce qu'on veut construire les extensions abéliennes ?
J'ai un peu mis de côté pour l'instant l'idée. -
Pour l'instant, je sais que la théorie du corps de classes sert à établir une connexion entre la caractéristique nulle et la caractéristique $p$ via la substitution de Frobenius.
Le problème soulevé par Claude est le suivant : que fait-on quand le corps de classes de Hilbert d'un corps quadratique $K$ est trivial (i.e. quand son anneau des entiers $\mathcal O_K$ est principal) ?
Et bien, apparemment, on peut considérer le corps de classes $L$ d'un sous-anneau $A$ de $\mathcal O_K$ qui peut avoir le bon goût de ne pas être trivial ! Et on aurait peut-être un isomorphisme entre les classes d'idéaux de $A$ et $\rm{Gal}(L/K)$ ! :-S -
@vous deux
Comme déjà dit, théorie du corps de classes, c'est pas pour moi ; je suis trop vieux et de plus, j'ai un super-alibi : je suis retraité. Sauf peut-être, Baby Class Field Theory. Par exemple : quelles sont les lois de représentation des nombres premiers par les formes quadratiques de discriminant $D$ pour $D = -24$ et $D = -40$ ? J'ai choisi ces deux discriminants car d'une part, ils sont négatifs (donc pas de problème avec les unités, cf la suite) et d'autre part en posant $n = -D/4$, on a $n=6$ et $n=10$ qui sont des nombres convenables d'Euler (le carré du groupe des classes d'idéaux inversibles de $\Z[\sqrt n]$ est trivial).
Cette terminologie ``baby'' est d'ailleurs mal choisie car cela donne l'impression d'un travail mineur de Gauss alors que c'est tout le contraire. De toutes façons, qui, de nos jours, veut aborder des choses inconnues avec des problèmes ``dits de bébé'' ?
Autres choses (abordables !) en liaison avec $d = 37, 101, 197$, choisis par gai-requin. Mots-clé : conducteur, évitement du conducteur de Dedekind, formule de Dedekind-Siegel, ...etc... Abordable qualifie le corps de nombres de base $K$ (le corps quadratique) et surtout pas le corps des classes $L$ (je suis trop vieux, air connu ..)
Soient $A \subset B$ deux anneaux d'entiers de même corps des fractions un corps de nombres $K$ (chez gai-requin, $K$ est le corps quadratique mais ci-dessous, c'est général) et $\mathfrak f$ le conducteur de $B$ dans $A$ :
$$
\mathfrak f = \{ y \in B \mid yB \subset A \} = \{ y \in A \mid yB \subset A \}
$$
C'est à la fois un idéal de $A$ et de $B$ et c'est le plus grand qui ...
Formule de Dedekind-Siegel entre les ordres des groupes de classes d'idéaux inversibles :
$$
h_A = h_B \times {[(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times] \over [B^\times : A^\times]} \qquad \qquad \hbox {(quotient exact)}
$$
qui provient d'une suite exacte explicite :
$$
1 \to B^\times/A^\times \to (B/\mathfrak f)^\times / (A/\mathfrak f)^\times \to \mathrm {Cl}(A) \to \mathrm {Cl}(B) \to 1
$$
Cas particulier. On fixe $B$ un anneau de nombres de corps des fractions $K$ et on prend $A = \Z + fB$ où $f \in \N$ est un entier $\ge 1$. Alors $A$ est un anneau de nombres de corps des fractions $K$ et le conducteur de $B$ dans $A$ est l'idéal $fB$. Je n'ai pas réfléchi à son expression comme idéal de $A$. De plus $A/fB = \Z/f\Z$, ce qui simplifie un morceau du binz.
Dans le cas quadratique, on paramètre ainsi (via $f$) les sous-anneaux quadratiques $A$ de $B$ et $f = [B : A]$. Un travail à faire ici.
Cas particulier du cas particulier. $K = \Q(\sqrt d)$ un corps quadratique réel ; on devrait commencer, bébé oblige, par imaginaire because les unités mais un peu de sport ne fait pas de mal. Ici, $d$ est un entier $> 0$ sans facteur carré. Et on prend $B= \mathcal O_K$ et $f = 2$, $A = \Z + 2B = \Z[2y]$ si $B = \Z[y]$.
Si $d \equiv 5 \mod 8$ (c'est le cas des 3 entiers de gai-requin), alors 2 est inerte dans $B$ et donc $B/2B \simeq \mathbb F_4$ tandis que $A/2A \simeq \Z/2\Z = \mathbb F_2$. Donc $(B/2B)^\times$ est cyclique d'ordre 3 tandis que $(A/2A)^\times$ est trivial. Je recouche la formule de Dedekind-Siegel avec $\mathfrak f = 2B$ :
$$
h_A = h_B \times {[(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times] \over [B^\times : A^\times]}
$$
On voit se pointer, au numérateur, le groupe cyclique d'ordre 3 :
$$
(B/\mathfrak f)^\times / (A/\mathfrak f)^\times
$$
Un autre ingrédient est le groupe qui intervient au numérateur via son ordre i.e. le groupe quotient $B^\times / A^\times$. On sait bien dans le cas réel, que pour n'importe quel anneau quadratique réel $B$, on a (Pell-Fermat)
$$
B^\times \simeq \{\pm 1\} \times \Z
$$
Et c'est donc également vrai pour $A$ sous-anneau quadratique de $B$ i.e. $A^\times \simeq \{\pm 1\} \times \Z$. Mais c'est une autre paire de manches d'étudier l'injection $A^\times \to B^\times$.
Y compris dans le cas particulier $B = \mathcal O_K$ et $A = \Z + 2B$. J'ai juste constaté, dans ce cas, que l'indice $[B^\times : A^\times]$ était $1,2,3$. Mais je n'ai pas compris (en fonction du discriminant et de la norme de l'unité fondamentale de $\mathcal O_K$ ??) quelle était la valeur de cet indice.
Ce (ne pas comprendre) m'a rendu très modeste : il s'agit seulement (sic) du groupe des unités d'un corps quadratique réel.
Et la liste des ingrédients à la base n'est pas épuisée, car il y a encore $h_B$ !! Et j'insiste : nous sommes ici à la base, avec $K$ corps quadratique. Non, décidément, l'étage au dessus (corps de classes), ce n'est pas pour moi. -
@CQ : Welcome back. :-)
Je suis d'accord avec toi.
Comme on veut compter les racines d'un polynôme sur $\mathbb F_p$, on a "seulement" besoin des Baby Class Field d'extensions quadratiques, ce qui est déjà bien compliqué (cf le travail de Serre sur $X^4-X-1$).
J'étudierai ton dernier post avec attention quand j'aurai du temps, et notamment le nébuleux $h_A$.
@flipflop : Dans le papier de Serre [ici] (note 5.3. p.437), on se rend compte que l'ordre d'une substitution de Frobenius permet justement de compter ces racines dans $\mathbb F_p$. -
Pour appuyer mes propos, voici les discriminants quadratiques fondamentaux $D > 0$ compris entre 1 et 101, auxquels j'ai ajouté $D = 197$. Ils figurent dans la colonne de gauche. Mon binz est donc indexé par le discriminant et pas par l'entier sans facteur carré $d$ de $K = \Q(\sqrt d)$. On y voit par exemple $D = 8$ et $D = 12$. La signification de $r13$ est $\sqrt {13}$. uB désigne l'unité fondamentale de $B = \mathcal O_K$ tandis que uA désigne celle de $A = \Z + 2B$ (l'unique sous-anneau quadratique d'indice 2 de $B$). On a (à gauche, cela ne se voit pas toujours à l'oeil nu):
$$
u_A = u_B^{[B^\times : A^\times]}, \qquad\qquad [B^\times : A^\times] = 1, 2, 3
$$
Tout à droite, entre parenthèses, la norme de l'unité fondamentale de $B$. Une lapalissade : quand l'indice $[B^\times : A^\times]$ vaut 1, cela signifie $A^\times = B^\times$ i.e. que l'unité fondamentale de $B$ est dans $A$. C'est le cas de $D = 37, 101, 197$ (dans ces 3 cas, $D = d$ puisque $D \equiv 5 \bmod 8$).
5 [B^x:A^x] = 3 uA = -r5 + 2 uB = 1/2*(-r5 + 1) (-1) 8 [B^x:A^x] = 2 uA = -r8 + 3 uB = 1/2*(-r8 + 2) (-1) 12 [B^x:A^x] = 2 uA = -2*r12 + 7 uB = 1/2*(-r12 + 4) (1) 13 [B^x:A^x] = 3 uA = -5*r13 + 18 uB = 1/2*(-r13 + 3) (-1) 17 [B^x:A^x] = 1 uA = -r17 + 4 uB = -r17 + 4 (-1) 21 [B^x:A^x] = 3 uA = -12*r21 + 55 uB = 1/2*(-r21 + 5) (1) 24 [B^x:A^x] = 1 uA = -r24 + 5 uB = -r24 + 5 (1) 28 [B^x:A^x] = 2 uA = -24*r28 + 127 uB = 1/2*(-3*r28 + 16) (1) 29 [B^x:A^x] = 3 uA = -13*r29 + 70 uB = 1/2*(-r29 + 5) (-1) 33 [B^x:A^x] = 1 uA = -4*r33 + 23 uB = -4*r33 + 23 (1) 37 [B^x:A^x] = 1 uA = -r37 + 6 uB = -r37 + 6 (-1) 40 [B^x:A^x] = 2 uA = -3*r40 + 19 uB = 1/2*(-r40 + 6) (-1) 41 [B^x:A^x] = 1 uA = -5*r41 + 32 uB = -5*r41 + 32 (-1) 44 [B^x:A^x] = 2 uA = -30*r44 + 199 uB = 1/2*(-3*r44 + 20) (1) 53 [B^x:A^x] = 3 uA = -25*r53 + 182 uB = 1/2*(-r53 + 7) (-1) 56 [B^x:A^x] = 1 uA = -2*r56 + 15 uB = -2*r56 + 15 (1) 57 [B^x:A^x] = 1 uA = -20*r57 + 151 uB = -20*r57 + 151 (1) 60 [B^x:A^x] = 2 uA = -4*r60 + 31 uB = 1/2*(-r60 + 8) (1) 61 [B^x:A^x] = 3 uA = -3805*r61 + 29718 uB = 1/2*(-5*r61 + 39) (-1) 65 [B^x:A^x] = 1 uA = -r65 + 8 uB = -r65 + 8 (-1) 69 [B^x:A^x] = 3 uA = -936*r69 + 7775 uB = 1/2*(-3*r69 + 25) (1) 73 [B^x:A^x] = 1 uA = -125*r73 + 1068 uB = -125*r73 + 1068 (-1) 76 [B^x:A^x] = 2 uA = -6630*r76 + 57799 uB = 1/2*(-39*r76 + 340) (1) 77 [B^x:A^x] = 3 uA = -40*r77 + 351 uB = 1/2*(-r77 + 9) (1) 85 [B^x:A^x] = 3 uA = -41*r85 + 378 uB = 1/2*(-r85 + 9) (-1) 88 [B^x:A^x] = 1 uA = -21*r88 + 197 uB = -21*r88 + 197 (1) 89 [B^x:A^x] = 1 uA = -53*r89 + 500 uB = -53*r89 + 500 (-1) 92 [B^x:A^x] = 2 uA = -120*r92 + 1151 uB = 1/2*(-5*r92 + 48) (1) 93 [B^x:A^x] = 3 uA = -1260*r93 + 12151 uB = 1/2*(-3*r93 + 29) (1) 97 [B^x:A^x] = 1 uA = -569*r97 + 5604 uB = -569*r97 + 5604 (-1) 101 [B^x:A^x] = 1 uA = -r101 + 10 uB = -r101 + 10 (-1) 197 [B^x:A^x] = 1 uA = -r197 + 14 uB = -r197 + 14 (-1)
-
@CQ : Est-ce que pour $d=5\bmod 8$, on connaît $h_B$ (qui peut-être pair d'après la formule de Dedekind-Siegel) ?
-
@gai requin
Est ce que tu utilises mes notations pour Dedekind-Siegel ? Leur formule exprime $h_A$ en fonction de $h_B$ (et d'autres quantités). Je ne comprends pas ce que tu veux dire quand tu dis que $h_B$ peut-être pair (d'après la formule de Dedekind-Siegel). -
J'utilise tes notations puisque je ne connaissais pas du tout cette formule avant que tu ne la postes.
Si $[B^\times : A^\times]=2$, $h_B$ est pair. -
@gai requin
Je continue à ne pas comprendre. Ton Si .., il faut le comprendre comme Si ... alors ? Je t'affiche de nouveau un extrait de mon binz mais cette fois je fais intervenir $x$ racine du trinôme de discriminant $D$ :
$$
\cases {
X^2 - {D \over 4} & si $D \equiv 0 \bmod 4$ \cr
X^2 - X + {1-D \over 4} & si $D \equiv 1 \bmod 4$ \cr
}
$$
En conséquence, avec $K = \Q(\sqrt D)$, $B := \mathcal O_K$ est égal à $\Z[x]$. OK ? Note : les résultats d'hier étaient vachement difficiles (impossibles ?) à analyser et c'est pour cela que j'ai changé mon fusil d'épaule. Regarde la fin avec $D = 8, 12, 28$, on a $h_B=1$ mais $[B^\times : A^\times] = 2$. EN ADMETTANT qu'il n'y ait pas d'erreur en magma, ce dont je me méfie !!
5 [B^x:A^x] = 3 uA = 2*x + 1 uB = -x + 1 (-1) 8 [B^x:A^x] = 2 uA = 2*x + 3 uB = x + 1 (-1) 12 [B^x:A^x] = 2 uA = 4*x + 7 uB = x + 2 (1) 13 [B^x:A^x] = 3 uA = 10*x + 13 uB = -x + 2 (-1) 17 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 3 uB = 2*x + 3 (-1) 21 [B^x:A^x] = 3 uA = 24*x + 43 uB = x + 2 (1) 24 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 5 uB = 2*x + 5 (1) 28 [B^x:A^x] = 2 uA = -48*x + 127 uB = -3*x + 8 (1) 29 [B^x:A^x] = 3 uA = 26*x + 57 uB = -x + 3 (-1) 33 [B^x:A^x] = 1 uA = 8*x + 19 uB = -8*x + 27 (1) 37 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 5 uB = 2*x + 5 (-1) 40 [B^x:A^x] = 2 uA = -6*x + 19 uB = -x + 3 (-1) 41 [B^x:A^x] = 1 uA = 10*x + 27 uB = -10*x + 37 (-1) 44 [B^x:A^x] = 2 uA = -60*x + 199 uB = -3*x + 10 (1) 53 [B^x:A^x] = 3 uA = 50*x + 157 uB = x + 3 (-1) 56 [B^x:A^x] = 1 uA = 4*x + 15 uB = 4*x + 15 (1) 57 [B^x:A^x] = 1 uA = 40*x + 131 uB = -40*x + 171 (1) 60 [B^x:A^x] = 2 uA = 8*x + 31 uB = x + 4 (1) 61 [B^x:A^x] = 3 uA = 7610*x + 25913 uB = -5*x + 22 (-1) 65 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 7 uB = 2*x + 7 (-1) 69 [B^x:A^x] = 3 uA = 1872*x + 6839 uB = 3*x + 11 (1) 73 [B^x:A^x] = 1 uA = 250*x + 943 uB = 250*x + 943 (-1) 76 [B^x:A^x] = 2 uA = -13260*x + 57799 uB = -39*x + 170 (1) 77 [B^x:A^x] = 3 uA = 80*x + 311 uB = -x + 5 (1) 85 [B^x:A^x] = 3 uA = 82*x + 337 uB = x + 4 (-1) 88 [B^x:A^x] = 1 uA = -42*x + 197 uB = -42*x + 197 (1) 89 [B^x:A^x] = 1 uA = 106*x + 447 uB = -106*x + 553 (-1) 92 [B^x:A^x] = 2 uA = -240*x + 1151 uB = -5*x + 24 (1) 93 [B^x:A^x] = 3 uA = 2520*x + 10891 uB = -3*x + 16 (1) 97 [B^x:A^x] = 1 uA = 1138*x + 5035 uB = 1138*x + 5035 (-1) 101 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 9 uB = -2*x + 11 (-1) 197 [B^x:A^x] = 1 uA = 2*x + 13 uB = 2*x + 13 (-1) Time: 0.810 > [ClassNumber(D) : D in [8, 12, 28, 40]] ; [ 1, 1, 1, 2 ]
Qu'est ce que je ne comprends pas dans ce que tu me dis ? -
Si $d=5\bmod 8$, $[(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times]=3$ donc si $[B^\times : A^\times]=2$,
$$h_A=\frac{3}{2}h_B.$$
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