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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Si $d=5\bmod 8$, $[(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times]=3$ donc si $[B^\times : A^\times]=2$,
$$h_A=\frac{3}{2}h_B.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin Vu (et pigé).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Merci pour la formule de Dedekind-Siegel qu'évidemment je ne connaissais pas.

Le cas qui me semble pertinent : $h_B=1$ donc corps de classes de Hilbert trivial et la méthode de Serre tombe à l'eau.
Mais, comme tu l'as mentionné, si $A^\times=B^\times$, $h_A=3$ et on a quand même un corps de classes avec lequel s'amuser...
Donc on peut étudier avec profit ces histoires d'inversibles.

J'avoue que je ne suis pas intime non plus (décidément) avec les unités fondamentales. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
J'ai proposé à un moment donné $D = -24$ et/ou $D = -40$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@CQ : Tu parles d'exemples pour les unités fondamentales c'est ça ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@Non : ce sont des discriminants négatifs donc pas d'unité autres que $\pm 1$. C'est pour illustrer la théorie du corps de classes pour les bébés. La question est : quelles sont les lois de représentation des premiers par les formes quadratiques de discriminant $D$ pour $D = -24$, $D = -40$ ? Ces lois sont ``parfaites'' en un certain sens.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Je vois.
Baby Class Field Theory, c'est l'isomorphisme entre les classes d'idéaux et les classes de formes quadratiques binaires.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Non, ce que tu dis est banal. Je parle d'autre chose. Par exemple, du fait que l'extension abélienne :
$$
K = \Q(\sqrt {D}) \quad\subset\quad \Q(\sqrt {D_1}, \cdots, \sqrt {D_k}) \qquad \qquad (\star)
$$
est non ramifiée (les $D_i$ sont les discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires qui interviennent dans $D$).

Et de temps en temps (mais rarement), l'extension $(\star)$ est le corps des classes de Hilbert. C'est pas souvent mais il faut en profiter pendant que cela passe.

De temps en temps = le groupe des classes d'idéaux de $K$ est tué par 2.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Est-ce que tu veux dire que la décomposition de $2$ dans $\mathcal O_K$ permet d'obtenir $\C\ell(K)$ qui serait d'ordre $3$ si $2$ est décomposé ou d'ordre $2$ sinon ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Je ne comprends pas du tout ce que tu veux dire. C'est trop fatiguant pour moi d'écrire un post alors je vais faire un scan d'une page. Ce qui va me demander du temps car j'aime bien être le plus précis possible (et je ne suis pas sûr de ``l'utilité'' d'un tel scan).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
J'ai essayé d'expliquer :

Citation

De temps en temps = le groupe des classes d'idéaux de $K$ est tué par $2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
J'ai dû recommencer mon scan 2 fois. Et cela ne tient pas sur une page. Je dois encore tout recommencer. Ce qui serait bien c'est que tu commences à jouer avec la loi de représentation normique (i.e. par la forme neutre) de certains anneaux quadratiques imaginaires. Par exemple $D = -20$ et que tu compares avec ce qui se passe pour $D = -23$. Depuis le départ, tu as considéré des choses dans un certain sens (tu es parti du polynôme $X^3 - X - 1$ par exemple pour $D = -23$) mais là, on ne dispose pas de polynôme, ni du corps des classes. Et on s'intéresse aux lois de représentation des premiers par des formes quadratiques.

Tu dois sentir toi-même la différence entre $-20$ et $-23$. Et un certain miracle se produit pour $D = -20$. Et il se reproduira 65 fois (pour 65 discriminants quadratiques négatifs) et pas plus. Attention les 65 discriminants $D$ qui interviennent vérifient $D \equiv 0 \bmod 4$.

Tu peux t'aider de magma pour ne pas oublier de formes quadratiques (réduites).

Mais peut-être, cela serait encore plus simple, de commencer par les 9 anneaux quadratiques principaux (il n'y en a que 9, la résolution n'a pas été de la tarte : c''est le fameux problème du dixième discriminant in [www.numdam.org], conjecturé par Gauss et résolu dans les années 1950-1960). Expliciter la loi de représentation normique dans ces 9 cas.

Pendant que l'on y est : expliciter les unités de tous les anneaux quadratiques imaginaires (y compris de ceux qui ne sont pas intégralement clos).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
J'attache un brouillon. Aucune obligation. Mais, en ce qui me concerne, je distingue ce qui est inaccessible (pour moi, je répète), par exemple la théorie du corps de classes (souviens toi de la tentative de flip-flop) et ce qui est abordable (par exemple, je prétends que Dedekind-Siegel est abordable, aucune aucune comparaison avec la théorie du corps de classes).

La théorie des formes quadratiques binaires de discriminant $> 0$ est beaucoup plus compliquée que celle de discriminant $< 0$ (il y a bien une notion de formes réduites mais il n'y a pas dans une classe une seule forme réduite mais ce que l'on appelle un cycle de formes réduites, ...etc..).

Ce que je propose, c'est une infime partie (1/100) de ce Gauss a fait. Ce dernier n'a attendu ni Galois, ni Artin, ni les théories cohomologiques, ni les foncteurs dérivés ..etc.. Une référence (de ce que je propose) est une toute petite partie de Cox, Primes of the form $x^2 + ny^2$. Un joyeux bazard chez cet auteur (ce qui, certes, n'est pas pour me déplaire mais il y a des jours où .... il faut l'avoir sous les yeux pour comprendre). Mais il faut savoir ce que l'on veut : un cours magistral aseptisé où l'on ne comprend rien ou bien un ouvrage à la Cox. Mais je devrais quand même mentionner d'autres auteurs, comme Cohen, qui ont fait un sacré effort pour rendre des choses concrètes.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - BabyClassFieldTheory.pdf (1.04 MB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Hello, merci Claude je garde ton résumé pour un peu plus tard.

Mais, je viens de comprendre un peu pourquoi on étudie les formes quadratiques. Par exemple, dans l'anneau $\Z[j]$ la norme de $a+jb$ c'est $a^2+b^2-ab$. Si je me trompe pas, l'anneau $\Z[j]$ est Euclidien. Et en utilisant la loi de décomposition des premiers dans $\Z[j]$. On obtient : Un nombre premier $p \ne 3$ s'écrit sous la forme : $a^2+b^2-ab$ avec $a$ et $b$ entier si et seulement si il est congru à $1 \mod{3}$. J'ai bon ?

Pourquoi : car $p = 1 \pmod{3}$ implique que $p$ est totalement décomposé, comme l'anneau $\Z[j]$ est principal, la décomposition de $p$ à lieu en terme d'éléments et non en terme d'idéaux. Donc, $p = \pi \overline{\pi}$ et en regardant les normes on obtient que $N(\pi)=N(\overline{\pi})=p$.

Mais je pense que la baby class field theory c'est sûrement de faire l'inverse ? Utiliser des résultats sur les formes quadratiques pour obtenir qu'un certain anneau d'entier est principal ou mieux comprendre le groupe de classes.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Oui, tu as bon pour la première partie car l'anneau est principal (pas besoin qu'il soit euclidien mais il l'est). Je ne réponds pas aux deux dernières lignes pour l'instant.

Ce que tu as fait pour $\Z[j]$, tu peux le faire 9 fois en tout avec la même stratégie. Je ne parle que des anneaux quadratiques imaginaires, petit joueur que je suis.

Et ensuite, tu peux encore faire une loi de représentation normique (avec une seule forme donc) sur 3 (nouveaux) exemples (non principaux). ERREUR c'est 4 au lieu de 3.
Et enfin, tu peux faire un quelque chose 65 fois qui va englober les $9 + 3$, erreur, c'est $9+4$, résultats précédents. Mais il y a cette fois plusieurs formes, pas que la normique. Et là, tu touches à la théorie du corps de classes .. sans te barrer en courant, en principe.

AUTRE ERREUR : cela ne va pas englober car les 65 discriminants négatifs sont multiples de 4.

Et ensuite ? C'est fini : moi je me barre à tout berzingue. Car on ne peut plus rien faire sans elle. Euh, comment elle s'appelle déjà, je l'ai sur le bout de la langue.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Merci beaucoup Claude.
Fini le coup de stress au boulot donc je vais pouvoir me remettre à vous lire avec plus d'attention.

Pour info, je ne veux pas faire de la théorie du corps de classes pour elle-même. Faut pas croire que j'suis maso à ce point-là.
Tout ce que je veux, c'est compter les racines d'un polynôme sur un corps fini (au bon souvenir de $y^2=\cdots$).
Et si je suis tombé par terre, c'est la faute à Jean-Pierre Serre. cool smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@vous deux
Pour éviter de passer pour un bourreur. Vous vous douter que ci-dessous, la fonction BabyArtinMap, elle ne fait pas partie de la distribution magma. C'est de mézigue. Je fais quoi ci-dessous ? Je prends un discriminant quadratique fondamental $D < 0$ au hasard (via $N$ ..etc..). C'est un peu stupide de tirer au hasard car je veux un peu de matière dans le groupe des classes d'idéaux de $K = \Q(\sqrt D)$. Bref, je suis tombé sur $D = -623$ et pas trop mauvaise pioche car le groupe en question est d'ordre 22. Je vais travailler avec sa version classes modulo $\mathrm {SL}_2(\Z)$ des formes quadratiques binaires de discriminant $D$. Et je vais calculer l'application d'Artin sur des habitants tirés au hasard.

> N := Random(-900, -500) ; D := FundamentalDiscriminant(N) ;  D ; ClassNumber(D) ;
-623
22
> 
> 
> QD := BinaryQuadraticForms(D) ;
> QD ;
Binary quadratic forms of discriminant -623
> ReducedForms(QD) ;
[ <1,1,156>, <2,1,78>, <2,-1,78>, <3,1,52>, <3,-1,52>, <4,1,39>, <4,-1,39>, <6,1,26>, <6,-1,26>, <12,1,13>, 
<12,-1,13>, <6,5,27>, <6,-5,27>, <9,5,18>, <9,-5,18>, <7,7,24>, <8,7,21>, <8,-7,21>, <12,7,14>, <12,-7,14>,
 <11,9,16>, <11,-9,16> ]
> 
> q := Random(QD) ;
> BabyArtinMap(q) ;
27
> 
> q ;
<6,5,27>
> 
> q := Power(q, 10) ;
> q ;
<60466176,41811881,7228146>
> BabyArtinMap(q) ;  
100
> Gcd(100, D) ;
1
> Gcd(27, D) ;
1

Mais c'est quoi cet entier retourné par BabyArtinMap ? Un habitant d'un quotient de $(\Z/D\Z)^\times$, ce dernier étant vu comme $\mathrm {Gal}(\Q(\root |D| \of 1)/\Q)$.
Ou plutôt un habitant d'un quotient de $\ker \chi_D$ i.e. un quotient d'un sous-groupe de Galois. C''est le moment de se réconcilier avec le caractère de Kronecker $\chi_D$.
Aviez vous remarqué que $(\Z/D\Z)^\times$ contient UN sous-groupe d'indice 2 spécial (because $\ker \chi_D$ !). Qui n'est pas le sous-groupe des carrés. Juste par le fait que $D$ est un discriminant quadratique fondamental (et donc c'est la théorie de Galois qui gouverne ici).

Au début, comme d'habitude, il n'y a rien qui marchait. Car je croyais avoir compris .. mais j'avais pas tout compris en fait.

On va faire dans le normique modulo $D$. Si $A$ désigne l'anneau des entiers de $K = \Q(\sqrt D)$, il va falloir considérer :
$$
\xymatrix @C = 4cm {(A/DA)^ \times \ar[r]^-{\text application\ norme} & (\Z/D\Z)^\times}
$$
Si vous n'aimez pas le caractère de Kronecker, c'est foutu.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Oui, j'ai bien vu, depuis le départ, que tu voulais compter $N_p(f)$. J'ai vu et j'ai rien dit. Car le plus important c'est de s'amuser. Et tu t'es amusé en trouvant $D = 37, 101, 197$. Des discriminants $> 0$, bon, c'est plus sport. Et d'ailleurs c'est là que je me suis souvenu que j'avais écrit des choses sur Dedekind-Siegel. Le plus dur c'est de retrouver où.

Mais cela veut dire quoi compter ici ? Je suis tout ce qu'il y a de plus sérieux. On en reparlera plus tard. Et je peux te dire que tu as bénéficié d'un truc très très spécial : le degré 3.

On comprendra mieux plus tard, je pense.

Et j'ai surtout monté cette histoire (pas terminée chez moi comme tout le reste) car flip flop était dépité de reprendre ses cours sur euh .. comment cela s'appelle déjà .. et d'être de nouveau bloqué comme il y a $x$ années ($x = ?$). Probablement parce que c'est (elle) une théorie très très difficile, difficile à illustrer (pas d'ironie ici).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Oh, tu as réussi à coder tous le processus avec les formes quadratiques !

Mais si on va réussir à comprendre grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@CQ : Oui, j'ai vu avec $X^4-X-1$ chez Serre que le degré $3$, c'est pour les enfants. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@vous deux
J'ai raconté un certain nombre de bêtises en ce qui concerne les nombres 3 et 65. Je vais apporter en rouge les modifications. Ici, je dis qu'il y a 4 anneaux quadratiques imaginaires pseudo-principaux et pas 3 comme dit auparavant.

Pour m'excuser, je vous attache la liste des 9 anneaux quadratiques principaux avec certains renseignements (parmi lesquels la forme normique). Je n'ai pas fait figurer le groupe des unités.

Le nombre 65 dont j'ai parlé correspond à 65 nombres entiers $n \ge 1$ auxquels il faut associer le discriminant quadratique $D = -4n$. Bien noter, ce facteur $-4$ et pas $4$. Ces nombres $n$ sont dits nombres convenables d'Euler (convenient numbers) ; la forme normique qui intervient est $x^2 + ny^2$ de discriminant $-4n$. Un pointeur parmi d'autres pour éviter de croire que je cache l'information [www.tcnj.edu]

Enfin, parmi ces 65 discriminants quadratiques négatifs $D = -4n$, tous ne sont pas fondamentaux. Comme on est des petits joueurs (et surtout parce ce que je ne suis pas clair), on jouera uniquement avec ceux qui sont fondamentaux. Il y en a 34 (parmi 65). Les voici (les discriminants).

[ -4, -8, -20, -24, -40, -52, -88, -148, -232, -84, -132, -120, -168, -228, -280, -312, -340, -372, -408, -520, -532, 
-708, -760, -1012, -420, -660, -840, -1092, -1320, -1380, -1428, -1540, -1848, -5460 ]


Rappel : ne JAMAIS faire confiance à magma.

Autre chose : dans [www.mast.queensu.ca] :

In reading over the literature on idoneal numbers, I was surprised to find a multitude of misleading or erroneous statements. While some of these have been discussed in various sources (Grube [23], Steinig [52] or Weil [61]), many others have not been mentioned, but instead were reproduced by other authors. It thus seems worthwhile to give a survey of the main results on idoneal numbers and to address (and to correct) some of these misleading statements; cf. Remarks 7, 13, 21, 24, 26 and §2.5.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 9_anneaux_principaux.pdf (32.5 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
C'est marrant que, comme souvent, tout devienne "plus simple" quand on est vraiment dans $\mathbb C$.
Pourquoi je suis allé me prendre le chou avec $\Delta=148$ ?

J'ai cherché la définition d'anneau pseudo-principal.
Bourbaki-Algèbre commutative : Un anneau intègre $A$ est pseudo-principal si le groupe $K^*/U$ est complètement réticulé.
Heu...confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Arg, pseudo-principal, c'est une invention de mézigue ; j'ai dû en donner la définition dans un post .. parmi les 10 derniers mais j'ai la flemme de retrouver. Ah, je suis sauvé : c'est défini à la ligne 5 (en partant du haut) de la page 1 du brouillon BabyClassFieldTheory : le groupe des classes d'idéaux INVERSIBLES est trivial i.e. tout idéal inversible est principal. Sans pour autant que l'anneau soit principal. Tu as de quoi les trouver à partir des 9 anneaux principaux (indication : Dedekind-Siegel).

Précision : il y en a 4 et pas 3.

Rien à voir avec la définition de Bourbaki. En passant, réticulé, cela signifie que deux éléments ont un pgcd et un ppcm. Complètement réticulé, je ne sais pas, mais on s'en fiche. Cependant : dois je en déduire que tu possèdes le chapitre 7 (Diviseurs) d'Algèbre Commutative de Bourbaki ? Cachotier.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@CQ :
Est-ce que ce ne sont pas les $A=\Z[\sqrt{d}]$ tels que $d<0$, $d=1\bmod 4$, $B=\mathcal{O}_K$ est principal et $[B^\times : A^\times]=3$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Quelque chose dans ce goût là. Mais avant de commencer quoi que ce soit, il faut comprendre que le groupe des unités d'un anneau quadratique imaginaire quelconque (pas nécessairement l'anneau des entiers de ..) est réduit à $\{\pm 1\}$ sauf dans les 2 cas exceptionnels $\Z[i\rbrack$ et $\Z[j]$.

Revenons même à la base en prenant un anneau quadratique quelconque (imaginaire ou réel) $A = \Z[\theta]$ de discriminant $\Delta \equiv 0,1 \bmod 4$ avec :
$$
\theta^2 - S\theta + P = 0, \qquad S, P\in \Z, \qquad \Delta = S^2 - 4P
$$
L'égalité normique suivante pourra être utile plus tard (elle va l'être maintenant) :
$$
4N(x + \theta y) = (2x+Sy)^2 - \Delta y^2 \qquad \qquad \hbox {$N$ est la norme de $A$ sur $\Z$}
$$
Dire que $x+\theta y$ est inversible signifie que $N(x+\theta y) = \pm 1$ ou encore que :
$$
(2x+Sy)^2 - \Delta y^2 = \pm 4
$$
MAINTENANT, on suppose $\Delta < 0$ (donc la norme est à valeurs dans $\N$) et comme $-\Delta \equiv 0, 3 \mod 4$, cela fait que $|\Delta| = -\Delta \ge 3$:
$$
(2x+Sy)^2 + |\Delta| y^2 = 4, \qquad |\Delta| \ge 3
$$
Ca coince vachement la nature cette égalité. Je veux dire que cela force $y = 0$ donc $x = \pm 1$ SAUF dans les cas .. je te laisse terminer.

Et puis soulagé sur le groupe des unités des anneaux quadratiques imaginaires, tu peux reprendre et finaliser ce que tu m'as dit.

Tu vois maintenant une sacré différence entre le cas imaginaire et réel.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Si $|\Delta| \geq 5$, il y a deux inversibles.
Si $\Delta=-4$, il y en a $4$.
Si $\Delta=-3$, il y en a $6$.

On retrouve bien le fait que $[B^\times : A^\times]=1,2$ ou $3$.
Et je peux bosser plus sereinement avec Dedekind-Siegel. smoking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Mais il faut aussi regarder comment $2$ se décompose dans $A$ et $B$...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Je sèche pour l'instant. Je regarde juste le cas $B = \Z[i\rbrack$ et $A = \Z[fi\rbrack \subsetneq B$ d'indice $f \ge 2$. L'idéal conducteur est $fB$ et on a :
$$
A/fB \simeq \Z/f\Z
$$
On veut savoir quand ce quotient exact fait 1 :
$$
{[(B/fB)^\times : (A/fB)^\times] \over [B^\times : A^\times]} = {\#(B/fB)^\times /\varphi(f) \over 2}
$$
Comme je sèche :

> Qi := QuadraticField(-1) ;                 
> Zi<i> := IntegerRing(Qi) ;
> U := func < f | UnitGroup(quo< Zi | f>) > ;
> U(3) ;
Abelian Group isomorphic to Z/8
Defined on 1 generator
Relations:
    8*$.1 = 0
Mapping from: Abelian Group isomorphic to Z/8
Defined on 1 generator
Relations:
    8*$.1 = 0 to Quotient Ring of Principal Prime Ideal of Zi
Generator: 3
> [#U(f) : f in [2..20]] ;                            
[ 2, 8, 8, 16, 16, 48, 32, 72, 32, 120, 64, 144, 96, 128, 128, 256, 144, 360, 128 ]
> [ExactQuotient(#U(f), EulerPhi(f)) : f in [2..20]] ;
[ 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 12, 8, 12, 16, 12, 16, 16, 16, 16, 24, 20, 16 ]
> [ExactQuotient(#U(f), 2*EulerPhi(f)) : f in [2..20]] ;
[ 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 8, 8, 8, 12, 10, 8 ]

Donc pour $f = 2$, le quotient est 1 et $\Z[2i\rbrack$ est pseudo-principal. Et ensuite faut expliquer pourquoi 2 divise le quotient. A suivre !

Dès que l'on met les mains dans le cambouis on se salit.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
A cause de cette histoire de conducteur, je ne suis même plus sûr que $h_B=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
On a $h_A = q \times h_B$ où $q$ est un nombre entier. Si on veut $h_A = 1$, cela force $q=1$ et $h_B=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Je ne savais pas que
$$q={[(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times] \over [B^\times : A^\times]}$$
était un entier.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Si je peux me permettre : relis [www.les-mathematiques.net].

Et par exemple, dans un cadre plus général des anneaux de nombres, si $A = \Z + fB$, il y a plein de choses à assurer (les énoncés figurent dans le post pointé).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Ah oui la suite exacte m'avait échappé.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Voilà ce qui m'arrive : j'ai bien sûr la liste des 4 anneaux quadratiques imaginaires ``pseudo-principaux'' (terminologie de mézigue) dans mes affaires mais impossible de me souvenir où je l'avais trouvée. Et donc, je m'y suis collé ; je croyais (autrefois) que c'était immédiat lorsque l'on a Dedekind-Siegel avec soi mais il a fallu que je m'accroche. Mon approche repose sur une formule type indicateur d'Euler du numérateur $N$ (du quotient exact)
$$
N \quad \buildrel {\rm def} \over =\quad [(B/fB)^\times : (A/fB)^\times], \qquad A = \Z + fB, \qquad \hbox {$B$ anneau des entiers d'un corps quadratique}
$$
J'attache un début, la suite viendra plus tard.

Note : en établissant la formule encadrée à la page 1, on apprend des choses mais cela ne contribue pas à ``Baby Class Field Theory''. Je n'avais pas prévu que ..etc.. Les choses de la vie. Je suis quand même bien content que grosso-modo le groupe des unités d'un anneau quadratique imaginaire soit réduit à $\{\pm 1\}$ à l'exception de $\Z[i\rbrack$ et $\Z[j]$. Et dire que ``j'ai voulu te suivre dans le cas réel !''
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - AnneauxQuadratiquesImaginairesPseudoPrincipauxI.pdf (1.03 MB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Magnifique !
Impossible à faire sans l'expression eulérienne de $N$.
Au début de cette histoire, tu en avais recensé $3$. Tu avais oublié $\Z[3j]$ non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
J'aime bien celui-là :

> Z<X>:=PolynomialRing(Integers());
> O:=MaximalOrder(X^2+7);
> RayClassGroup(2*O);
Abelian Group of order 1
Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O
> RayClassGroup(3*O);
Abelian Group isomorphic to Z/4
Defined on 1 generator
Relations:
    4*$.1 = 0
Mapping from: Abelian Group isomorphic to Z/4
Defined on 1 generator
Relations:
    4*$.1 = 0 to Set of ideals of O
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Je fournirai plus tard, sous forme de sketchs, cette histoire de fonction d'Euler généralisée. Il s'agit grosso-modo d'étudier pour un anneau de nombres $A$ quelconque et $m \in \N^*$
$$
\varphi_A(m) = \#(A/mA)^\times
$$
Mais il faut que je me pose (la cohomologie des groupes ce n'est pas reposant quand ce n'est pas ton métier).

Ci-dessous, peut-être des choses utiles pour l'avenir. Je joue EN DESSOUS de $\Z[j]$ de discriminant $-3$ (indice $f$, discriminant multiplié par $f^2$) :

> [ClassNumber(f^2*(-3)) : f in [1..10]] ;                            
[ 1, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 6 ]
> 
> [* ReducedForms(BinaryQuadraticForms(f^2*(-3))) : f in [1..10] *] ; 
[*
    [ <1,1,1> ],
    [ <1,0,3> ],
    [ <1,1,7> ],
    [ <1,0,12>, <3,0,4> ],
    [ <1,1,19>, <3,3,7> ],
    [ <1,0,27>, <4,-2,7>, <4,2,7> ],
    [ <1,1,37>, <3,3,13> ],
    [ <1,0,48>, <3,0,16>, <4,4,13>, <7,2,7> ],
    [ <1,1,61>, <7,-3,9>, <7,3,9> ],
    [ <1,0,75>, <3,0,25>, <4,-2,19>, <4,2,19>, <7,-6,12>, <7,6,12> ]
*]

J'espère que c'est clair. Et cohérent. Mais mais se méfier TOUJOURS de magma. Regarde ce qui se passe sur ma vieille version : un groupe qui devrait être d'ordre 6 avec une correspondance éléments du groupe <-> classes de formes = formes réduites, qui devrait être injective. Et qui visiblement, ne l'est pas !!

> G, phi := ClassGroup(BinaryQuadraticForms(f^2*(-3))) where f is 10 ;
> G ;
Abelian Group isomorphic to Z/12
Defined on 1 generator
Relations:
    12*G.1 = 0
> 
> [phi(g) : g in G] ;
[ <1,0,75>, <7,6,12>, <4,-2,19>, <3,0,25>, <4,2,19>, <7,-6,12>, <1,0,75>, <7,6,12>, <4,-2,19>, <3,0,25>, <4,2,19>, <7,-6,12> ]

Je pense que ce bug a été corrigé (??)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
On dirait bien :

> G, phi := ClassGroup(BinaryQuadraticForms(f^2*(-3)))where f is 10 ;
G;
Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 1 generator
Relations:
    6*G.1 = 0
> [phi(g) : g in G] ;
[ <1,0,75>, <7,-6,12>, <4,2,19>, <3,0,25>, <4,-2,19>, <7,6,12> ]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
T'as toujours les dernières éditions, les dernières versions ...etc.. Tandis que moi, pauvre retraité, je dois me contenter de ..
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
$\varphi_A$ est multiplicative (théorème chinois) donc on peut se contenter de calculer $\varphi_A(p^{\alpha})$ pour $p$ premier et $\alpha\in\N^*$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Oui, tout à fait. Histoire de prendre son temps, assurer les quelques points suivants ne peut pas faire de mal même si on a besoin de bien moins.

(1) $I$ un idéal d'un anneau commutatif $R$ quelconque. Alors :
$$
(R/I^e)^\times \longmapsto (R/I)^\times \quad \hbox {est surjective de noyau $1 + I/I^e$}
$$
En conséquence, si les groupes ci-dessus sont finis, alors :
$$
\# (R/I^e)^\times \quad =\quad \# (R/I)^\times \times \# (I/I^e)
$$
Je pense bien sûr à $R$ anneau de nombres et $I$ un idéal non nul. Et si $I$ est inversible, encore une petite simplification.

(2) Soit $A \subset B$ deux anneaux commutatifs avec $B$ entier sur $A$. Si $a \in A$ est inversible dans $B$, il l'est dans $A$. Cas particulier de $1 \in IB \Rightarrow 1 \in I$ pour $I$ idéal de $A$. Lui-même cas particulier d'un déterminant trick :
$$
IB \cap A \subset \sqrt {I}
$$

(3) Soit $B$ un anneau de nombres, $f \in \N^*$ et $A = \Z + fB$. Le conducteur de $B$ dans $A$ est $fB$ : why ? Et pourquoi :
$$
\Z \to A/fB \quad \hbox {induit un isomorphisme} \quad \Z/f\Z \simeq A/fB
$$

(4) Soient $A \subset B$ deux anneaux de nombres d'un même corps de nombres $K$ et $\mathfrak f$ le conducteur de $B$ dans $A$. Pourquoi dispose-t-on d'une injection canonique :
$$
B^\times / A^\times \hookrightarrow (B/\mathfrak f)^\times / (A/\mathfrak f)^\times
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
C'est juste une anecdote qui est liée aux anneaux quadratiques réels qui ont été (provisoirement) mis de côté. Anecdote car ce n'était pas prévu. Pour essayer de te suivre, j'ai donc écrit des petits outils permettant de déterminer l'indice $[B^\times : A^\times]$ quand $B$ est l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel et $A \subset B$ l'unique sous-anneau d'indice $f \in \N^*$ i.e. $A = \Z + fB$.

On sait (Pell-Fermat) que $B^\times$ et $A^\times$ sont isomorphes à $\{\pm 1\} \times \Z$. Ce qui veut dire pour $B$ par exemple qu'il existe un unique élément $u \in B^\times$, avec $u > 1$ tel que $B^\times = \pm u^\Z$. Le groupe quotient $B^\times / A^\times$ est cyclique et il s'agit donc de déterminer le plus petit exposant $n \ge 1$ tel que $u^n \in A$.

Je prends l'exemple le plus simple avec le nombre d'or lié à l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 5)$ :
$$
\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}, \qquad \phi^2 = \phi + 1, \qquad B = \Z[\phi]
$$
Ajout Je dis que c'est le plus simple car $\phi$ est l'unité fondamentale (et $\phi$ est de norme $-1$).

Je considère la suite de Fibonacci :
$$
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \qquad \cdots, \qquad F_{n+2} = F_n + F_{n+1}
$$
Et je la définis même pour $n \le 0$ de sorte que l'on ait $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ pour tout $n \in \Z$:
$$
F_{-1} = 1, \quad F_{-2} = -1, \quad F_{-3} = 2 \qquad \cdots
$$
On a alors :
$$
\phi^n = F_{n-1} + F_n\ \phi \qquad \forall \quad n \in \Z
$$
On se donne $f \ge 1$ et on cherche donc le plus petit $n_0 \ge 1$ tels que $\phi^{n_0} \in \Z[f\phi]$, ce qui signifie $F_{n_0} \equiv 0 \bmod f$.
Et ce $n_0$, c'est l'indice convoité $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$.

D'ailleurs, en passant, cela implique que :
$$
\{ n \in \Z \mid F_n \equiv 0 \mod f \} \qquad \hbox {est un sous-groupe non trivial de $\Z$}
$$
Et bien, c'est cela qui n'était pas prévu. Je ne le savais pas a priori.

Et la détermination de $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$ en fonction de $f$. Et bien je ne sais pas. Disons que je ne m'en suis pas du tout occupé.

> [Indice(f) : f in [1..10^2]] ;
[ 1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8,
30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20,
24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, 56, 75, 36, 42, 27, 36, 10, 24, 36, 42, 58, 60,
15, 30, 24, 48, 35, 60, 68, 18, 24, 120, 70, 12, 37, 57, 100, 18, 40, 84, 78,
60, 108, 60, 84, 24, 45, 132, 28, 30, 11, 60, 56, 24, 60, 48, 90, 24, 49, 168, 60, 150 ]




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@CQ : Dans cet exemple, est-ce que l'unité fondamentale de $B$ est $\phi$ .
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Oui et j'ai oublié de le dire. J'ai ajouté cette information. Et c'est bien pour cela que j'ai décrété que c'était l'exemple le plus simple (pour moi) car il n'y a pas à se faire ch.er à la chercher. Bien sûr, tu savais que, pour tout $f \ge 1$, $\{n\in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ était un sous-groupe (non trivial de $\Z$).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Je sais que la suite de Fibonacci modulo $f$ est périodique et comme $F_0=0$, $\{n\in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ est un sous-groupe non trivial de $\Z$.

Ce que je ne connaissais pas, c'était Pell-Fermat...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Peut-être qu'on peut trouver des références pour calculer $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]=\min\{n\in \N^* \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ en fonction de $f$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Le roi des références, c'est toi. J'ignorais cette histoire de périodicité de la suite $(F_n)$ modulo $f$,

Et je comprends bien, en ce qui concerne le groupe des unités des anneaux quadratiques imaginaires, que tu trouves cela fade, ce $A^\times = \{\pm 1\}$ (à l'exception de $\Z[i\rbrack$ et $\Z[j]$). Hum, j'aurais pas dû te parler de la suite de Fibonacci.

Peut-être que si tu jouais avec quelques discriminants $D$ NEGATIFS fondamentaux exceptionnels, quelques uns parmi les 34 qui figurent dans [www.les-mathematiques.net], cela te ferait oublier les anneaux quadratiques réels ?

Si tu découvres en quoi ces discrimants $D$ sont exceptionnels, via les lois de représentation des premiers par les formes quadratiques de discriminant $D$, le champagne va couler à flot. Promis, juré.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Champagne Champagne, je retiens Claude grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@CQ :
1ère observation avant l'apéro smoking smiley : le groupe des classes de ces formes quadratiques est d'ordre une puissance de $2$.

Un exemple :
> G, phi := ClassGroup(BinaryQuadraticForms(-5460));
> G;
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z/2 + Z/2
Defined on 4 generators
Relations:
    2*G.1 = 0
    2*G.2 = 0
    2*G.3 = 0
    2*G.4 = 0


Mais le mystère demeure entier ! confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Oui. Et même mieux, car le groupe des classes en question est isomorphe à $(\Z/2\Z)^\bullet$.

Peut-être, du côté de la représentation des premiers par les formes de discriminant $D$, traiter un exemple, par exemple $D = -40$. Obtenir :
$$
p \equiv \hbox {certaines valeurs modulo un modulus} \qquad\iff\qquad
\hbox {$p$ est représenté par la forme quadratique untel}
\qquad\qquad (\star)
$$
Certes, c'est vague.

J'avais traité $-52$ dans [www.les-mathematiques.net] mais ce n'était pas réussi car laborieux. Peut-être que pour $D = -40$, faut expérimenter pour proposer quelque chose de type $(\star)$ sans en vouloir obtenir tout de suite une preuve. Ce ne sont pas des preuves dont on a besoin ici mais d'avoir quelque chose à prouver.
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