Homographies et petits groupes de Galois

@gai requin
Tu parles d'une seule classe in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1430822#msg-1430822. Mais je l'ai déjà proposé il y quelques jours (?) et flip-flop a commencé à répondre, disons partiellement mais cela collait (c'est trop compliqué pour moi de chercher dans les posts, je pense que cela remonte à moins de 10 jours). Et je l'ai proposé de nouveau dans mon avant-avant-dernier post, dans la rubrique REGRETS.

Hello

Il y a un peu de ça mais c'est trop approximatif (et donc c'est un peu faux). Quelques remarques. Soit $n \ge 2$ un entier (sans facteur carré ?), $K = \Q(\sqrt {-n})$ et $B$ l'anneau des entiers de $K$.

(1) Ce n'est pas toujours vrai que $x^2 + ny^2$ est la forme normique de $B$. Cela peut être la forme normique de $A = \Z + 2B$.

(2) Il arrive que les formes normiques de $A$ et de $B$ représentent les mêmes premiers. Si on prend $n = 23$ par exemple, la forme normique de $B$ est $x^2 + xy + 6y^2$ mais celle de $A$ est $x^2 + 23y^2$. Mais ``coup de bol'', ces deux formes représentent les mêmes premiers (et probablement les mêmes impairs, je crois)

Par contre, ce n'est pas le cas de $n=-43$. La forme normique de $B$ est $x^2 + xy + 11y^2$, celle de $A$ est $x^2 + 43y^2$. Le premier $11$ est représenté par la première mais pas par la deuxième.

(3) Faire attention au statut de $L/K$ et celui de $L/\Q$. $L$ c'est ... Ainsi $L/K$ est abélienne, mais est ce que $L/\Q$ est galoisienne ?

(4) Bis : le polynôme $P$ c'est qui exactement ? Est ce le polynôme minimal sur $\Q$ d'un élément primitif de $L$ sur $\Q$ ? Par exemple, pour $n=23$, $L/K$ est de degré $3$ donc $L/\Q$ est de degré 6. Ce qui n'est pas le degré du bien connu $X^3 - X - 1$.

Plus simple : $n = 43$. De sorte que $L = K$ et $B$ est principal. Qui c'est $P$ ? Le polynôme $X$ ou bien le polynôme $X^2 + 43$ ? Ce que tu annonces dit quoi ? Par exemple pour $p = 11$ ?

Que dit ce que tu annonces pour les 9 anneaux quadratiques imaginaires principaux ? Est ce que c'est vrai ?

Et en général, pourquoi il y aurait un élément primitif de $L/K$ dont le polynôme minimal est à coefficients dans $\Q$ ? Comme $X^3 - X - 1$ pour $n = 23$.

...etc..

Champagne (ce n'était pas du tout ce que j'avais prévu mais peu importe). Mais encore des hésitations.

Par rapport à ce que j'ai lu (où les auteurs veulent absolument faire avec $x^2 + ny^2$), c'est vachement plus ``simple'' (sic) d'opérer avec la forme normique de l'anneau $B$ des entiers d'un corps quadratique imaginaire $K$.

Je remets donc les acteurs dans l'ordre (en mon sens) : $K$ l'anneau quadratique imaginaire ce qui est la même chose qu'un discriminant quadratique fondamental $D < 0$ (j'utilise mes notations depuis $x$ posts), $B = \mathcal O_K$ son anneau d'entiers et la forme normique de discriminant $D = -|D|$ :
$$
x^2 + {|D| \over 4} y^2 \quad \hbox {si $D \equiv 0 \bmod 4$}, \qquad\qquad
x^2 + xy + {1-D \over 4}y^2 \quad \hbox {si $D \equiv 1 \bmod 4$}
$$
Comme d'habitude (mes habitudes), je paramètre par $D$ et pas par $n$ (sauf quand je change d'avis).

Ta grosse hésitation est le coup de polynôme $P$. Ce qu'on lit en désignant par $L/K$ le corps des classes de Hilbert, c'est qu'UNE réalisation de $L/K$ dans $\C$ est stable par la conjugaison complexe $\tau$. On en tire que $L/\Q$ est galoisienne (bosser), donc une seule réalisation de $L/\Q$ dans $\C$. Alors :
$$
[L : L^\tau] = 2 \quad \hbox {par Artin i.e.} \qquad [L : L \cap \R] = 2
$$
d'où le diagramme :
$$
\xymatrix {
& L\ar@{-}[dl]_h\ar@{-}[dr]^2 \\
K\ar@{-}[dr]_2 & &L \cap \R\ar@{-}[dl]^h \\
&\Q \\
}
\qquad
L \cap \R = \Q(\alpha)
$$
L'élément $\alpha$ (réel !) est par définition un élément primitif de $(L \cap \R)/\Q$ que l'on peut supposer entier sur $\Z$. Et en utilisant
$$
L \cap \R \subset K(\alpha) \subset L \qquad \hbox {et} \qquad [L : L \cap \R] = 2
$$
on voit que :
$$
L = K(\alpha)
$$
C'est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\Q$, qui est un polynôme irréductible de $\Z[X]$ (et qui le reste au dessus de $K$) que l'on convoite. Il est de degré $h = \#\mathrm {Cl}(K)$, l'ordre du groupe des classes d'idéaux de $K$.

Un premier bidouillage en utilisant les polynômes d'Hilbert-Weber (fonction modulaire $j$) car je ne peux pas utiliser HilbertClassField : ma version de magma me donne un polynôme $P$ à coefficients dans $K$ et pas dans $\Q$ et je ne sais pas remonter la conjugaison complexe de $K$ à un corps abstrait $L = K[X]/\langle P\rangle$ (car bien sûr $\C$ n'existe pas à cet endroit). Et donc, je ne sais pas déterminer un $\alpha$ pour l'instant i.e. $L \cap \R$ n'a pas de sens.

Ci dessous, la liste des discriminants quadratiques fondamentaux $D < 0$ compris entre $-500$ et $-4$, dont le nombre de classes est 3. La détermination du Graal de degré 3 et un petit coup de discriminant.

> Delta3 ;                          
[ -23, -31, -59, -83, -107, -139, -211, -283, -307, -331, -379, -499 ]
> time HDelta3 := [MyHilbertPolynomial(D) : D in Delta3] ;
Time: 0.720
> HDelta3 ;
[
    X^3 - X^2 + 2*X - 1,
    X^3 + X^2 + 1,
    X^3 + 2*X - 1,
    X^3 + X^2 + X + 2,
    X^3 + X^2 + 3*X + 2,
    X^3 - X^2 + X + 2,
    X^3 - 2*X + 3,
    X^3 + 4*X + 1,
    X^3 - X^2 + 3*X + 2,
    X^3 - X^2 + 3*X - 4,
    X^3 - X^2 + X - 4,
    X^3 + 4*X + 3
]
> [Discriminant(H) : H in HDelta3] ;
[ -23, -31, -59, -83, -107, -139, -211, -283, -307, -331, -379, -499 ]

Faut que je réfléchisse à cette histoire de remonter la conjugaison complexe et à la signification de $L \cap \R$.

Bis : ce n'était pas prévu que j'écrive cela. Je pense avoir mieux compris.

Faudra quand même que l'on puisse répondre à un petit qui demande pourquoi, pour un premier $p$ autre que $3$, on a l'équivalence :
$$
p \equiv 1 \bmod 3 \quad\iff\quad p \hbox { est représenté par $x^2 + xy + y^2$}
$$
Je suis tout ce qu'il y a de plus sérieux. Que réponds tu ? Quels sont les pré-requis .? .etc.. Sinon, cela va encore finir par oeuf-poule.

Bien sûr, dans CERTAINS cas, on peut fournir des PREUVES, toutes les PREUVES concernant cette histoire (Baby Class Field Theory). Ce qui commence par une sérieuse réflexion concernant les 9 anneaux quadratiques imaginaires principaux. Gauss ne se contente pas de dire qu'ils sont principaux. D'ailleurs, peut-être qu'il ne le dit pas car il dit mieux. Mais nous, ``de manière moderne'', c'est ce que l'on retient ou l'on enseigne (dans un enseignement $\lambda$, on ne parle pas en général des formes quadratiques sauf peut-être $x^2 + y^2$ pour le discriminant $-4$ et $\Z[i\rbrack$)

@flip flop
J'ai vu ton idée de quotient $\Z[X,Y]/ \langle P(X), Q(Y) \rangle$. Effectivement, cela demande à être examiné. Mais je ne sais pas si c'est vraiment l'anneau des entiers de ... Mais n'oublie pas que l'on sait écrire $\mathcal O_K$ comme une $\Z$-algèbre de présentation finie (ma vieille histoire de schéma sur $\Z$, je ne sais pas si tu te souviens). Ne pas oublier qu'un polynôme à une variable peut présenter des défauts car son discriminant peut être un multiple strict du discriminant $D$ (d'où la présence de facteurs parasites). Dans les exemples que j'ai donnés (groupe des classes d'ordre 3, il n'y a aucun défaut car les polynômes ont été dégraissés).

Mais j'arrête là concernant ton post (pour l'instant, en ce qui concerne ton post, je me mélange les pinceaux entre $K$ et $L$ !!).

Voici mon histoire $\C$ et petit-lait. Hier soir, je me suis empressé (pour l'histoire gai-requin) de prendre un discriminant $D \equiv 5 \bmod 8$ avec 3 classes d'idéaux ($n$ c'est $-D$). Le premier que j'ai trouvé est $D = -59$.

Car je sais que pour $D \equiv 1 \bmod 8$ ($n$ c'est toujours $-D$ ici), la forme normique de $B$ et la forme normique de $A = \Z + 2B$ (cette dernière est $x^2 + ny^2$) représentent les mêmes entiers impairs. Exercice !

Et voilà, ce que me donne magma :

> load "PetitLait.magma" ;
Loading "PetitLait.magma"
> D := -59 ;
> assert ClassNumber(D) eq 3 ;
> ReducedForms(BinaryQuadraticForms(D)) ;
[ <1,1,15>, <3,1,5>, <3,-1,5> ]
> 
> K<rm59> := QuadraticField(D) ;
> assert rm59^2 eq -59 ;
> OK := MaximalOrder(K) ;
> assert OK eq Order([(1+rm59)/2]) ;
> 
> L := HilbertClassField(K) ;
> L ;
Number Field with defining polynomial $.1^3 - 3*$.1 - 46*rm59 over K
> F<X> := DefiningPolynomial(L) ;
> F ;
X^3 - 3*X - 46*rm59

Le polynôme $F$ est à coefficients dans $K$ pas dans $\Q$.

Comment je fais pour produire un polynôme de degré $3$ à coefficients dans $\Q$ (et même dans $\Z$) qui soit le polynôme minimal sur $\Q$ d'une sous-extension d'indice $2$ de $L$ (je ne demande par la mer à boire : je ne suis pas exigeant en imposant de prendre $L \cap \R$ car de toutes manières, je serais bien en peine de lui donner un sens).

Note : $\mathrm {Gal}(L/\Q) \simeq S_3$ (une fois que $L/\Q$ sera certifiée galoisienne !) et il y a trois éléments d'ordre 2 (correspondant aux 3 transpositions) qui sont deux à deux conjugués. Je cherche le sous-corps des points fixes.

A vous de dire comment je fais. Bricolages interdits.