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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 mars 2017, 21:43
@flip flop
En ce qui concerne $D = -20$ in [www.les-mathematiques.net] Ok, tu n'a pas de preuve. Mais tu as les lois ! On va le faire.

D'abord si $p = x^2 + 5y^2$, cela doit impliquer sur $p$ des choses modulo $4$, modulo $5$ i.e. modulo $20$. Idem pour l'autre forme : si $p$ est représenté par la forme $q_1$, tu dois pouvoir dire des choses intelligentes sur $p$ modulo $20$. Pour l'instant, c'est juste une implication :
$$
\hbox {$p$ représenté par $q_0$}\quad \Rightarrow\quad p \equiv ... \bmod 20
\qquad\qquad
\hbox {$p$ représenté par $q_1$}\quad \Rightarrow\quad p \equiv ... \bmod 20
$$
Comme d'habitude $p = 2, 5$ sont exclus du jeu car ils divisent le discriminant $D = -20$.

Pour pouvoir aller dans l'autre sens : si je peux me permettre, peux tu relire les questions 3.a 3.b 3.c de la partie I de l'épreuve sur les formes quadratiques de Gauss ? Cela resservira 100 fois.

Quel est le bilan de ces questions appliquées à $\Delta = -20$. Il est question, pour $n$ impair disons (penser à $n=p$ premier) de $-20$ carré modulo $n$
Cela va dire que si $p$ est comme ceci-cela, alors $p$ est représenté par $q_0$ ou $q_1$, sans que tu ne saches par laquelle..

Et, en tout, ça va le faire.

Damned
Je vois que c'est l'objet de la question 1 de la partie III. Et donc, comme je le disais pas besoin de tout un fourbi pour obtenir les lois de représentation d'un premier $p$ par $x^2 + 5y^2$ et par $2x^2 + 2xy + 3y^2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 mars 2017, 21:49
Bonsoir Flip Flop

Les choses concernant $D = -20$ peuvent s' expliquer avec çà:

$ ( x^2 + 5 y^2 ) ( s^2 + 5 t^2 ) = ( x s - 5 y t)^2 + 5 ( x t + y s )^2$ et ....

$(2 x^2 +2 x y + 3 y^2) ( 2 s^2+ 2 s t +3 t^2 ) = ( x t + y s + 2 x s +3 y t )^2 + 5 ( x t - y s)^2$.

et en utilisant les caractères quadratiques $\left(\dfrac{.}{ 5}\right)$ et $\left(\dfrac{-1}{.}\right)$/.

Amicalement,



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/01/2018 23:04 par LOU16.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 mars 2017, 21:51
@CQ : Ce qui est sûr, c'est que je ne suis pas spécialiste de ces extensions centrales ! confused smiley
Sais-tu que ma question irrésolue n°2 porte là-dessus ? Mais rien ne presse...

Pour le premier point, j'ai lu tes posts de ce matin sur le rôle de $L\cap\R$ pour la recherche d'un élément primitif de $L/K$ entier sur $\Z$ et la preuve de $L/\Q$ galoisienne. Chapeau l'artiste !

Est-ce que $G'$ est abélien si et seulement si $G=\{1\}$ ou $G=C_2$ ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/03/2017 21:52 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 mars 2017, 22:04
@gai requin
$L \cap \R$ : je n'y suis pour rien, il suffit de lire au BON ENDROIT. C'est bien cela le problème.

Il y a d'autres cas qui rendent $G'$ abélien. Tu en as parlé toi-même dans le contexte euh comment on dit déjà ... A plusieurs reprises (que tu en as parlé).

Le coup de $\Z[j]$, je peux le refaire 9 fois. Et même $9 + 4$ fois. $4$ pour les anneaux quadratiques pseudo-principaux.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 mars 2017, 22:24
$G'$ est abélien $\Leftrightarrow \varepsilon$ est triviale $\Leftrightarrow g^2=1$ pour tout $g\in G\Leftrightarrow$ il existe $n\in \N$ tel que $G=(C_2)^n$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 11:18
avatar
@Claude : ici

Je pense que j'ai vu le point qu'il me manque.

Si $p=x^2+5y^2$ alors $p =x^2+y^2 \pmod{4}$ et $p=1\pmod{4}$ et de même (réduction $\pmod{5}$) $p$ est un carré $\pmod{5}$ ... $p = 1, 9 \pmod{20}$.

Je vais remettre tout dans l'ordre. Merci !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 12:22
@gai requin Vu (l'équivalence de droite : sous le couvert de $G$ fini).

@flip-flop Pour $D = -20$, oui tu vas y arriver concernant les lois de représentation des premiers par les deux formes $x^2 + 5y^2$ et $2x^2 + 2xy +3y^2$ (et n'oublie pas, qu'en cas de besoin, tu disposes du corrigé). Ensuite, si tu veux tu pourras examiner l'extension quadratique $L$ de $K = \Q(\sqrt {-20})$ :
$$
\Q \subset\qquad\quad K = \Q(\sqrt {-20}) \subset L = \Q(\sqrt {-4}, \sqrt{5}) = K(\sqrt {5}) = K(\sqrt {-4}) \quad\qquad \subset \Q(\root 20 \of 1)
$$
J'ai encadré $K \subset L$ par $\Q$ et $\Q(\root 20 \of 1)$ en cas de besoin.

Et $L/K$ est non ramifiée (à montrer !) et c'est le corps des classes de Hilbert. C'est le moment d'affronter vraiment un petit quelque chose (le degré 2). Cela risque, la première fois, d'être douloureux. C'est vachement plus difficile de ne pas savoir faire quelque chose que l'on juge élémentaire que quelque chose que l'on juge complexe.

L'étage $K \subset L$ est lié à à la décomposition $-20 = (-4) \times 5$ en discriminants fondamentaux élémentaires dont j'ai parlé 50 fois. Et les 3 caractères de Kronecker $\chi_{-20}$, $\chi_{-4}$ et $\chi_5$ ont leur mot à dire. Mais l'exemple est si petit qu'on risque de ne pas voir leur contribution.

Autre chose : de mon côté, j'estime qu'il faut savoir faire des choses élémentaires : si je ne sais pas montrer que $x^2 + 23y^2$ et $x^2 + xy + 6y^2$ représentent les mêmes entiers impairs, je me sens mal. Et bien sûr, que ce n'est pas un détail ! Car la deuxième forme est la forme normique de l'anneau $B$ des entiers de $\Q(\sqrt {-23})$ et la première celle du sois-aneeau $A = \Z + 2B$ d'indice 2 de $B$. Et la norme, c'est plus qu' important dans cette histoire.

Bon courage à tous les deux.

PS : je viens de voir le traitement des sommes de Gauss générales par Lang (Algebraic Number Theory) et c'est vachement efficace. Je regrette de ne pas l'avoir vu plutôt. Général : c'est le traitement qui permet de définir la somme de Gauss quadratique $\tau_D$ (pour un discriminant quadratique fondamental $D$) et de voir que $\Q(\sqrt {D}) \subset \Q(\root |D| \of 1)$. Encore une fois, ce n'est pas rien dans cette histoire.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 13:07
avatar
Claude, le truc c'est de comprendre ce qu'on veut faire, ça parait c.n comme remarque mais je pense que c'est capital, sinon je vais tout mélanger et rien comprendre grinning smiley

Bon si j'ai compris : il y a $2$ points.

1/ On s'occupe de la loi de représentation des entiers premiers par les formes quadratiques de discriminant $-20$. (Ça c'est Gauss).
2/ Ensuite, on regarde les conséquence de cette loi sur l'anneau $\Z[\sqrt{-20}]$. On voit que cette loi permet de comprendre la structure des idéaux de l'anneau ... par structure, je veux dire : savoir quand un idéal est principal ou non.


Pour le 1/ tout est dans ton épreuve. J'ai fait une partie des questions mais pas toutes ! Mais là au pire, j'ai juste a regarder la correction. Donc dans cette partie, il n'y a pas de corps d'anneau ou quoi que ce soit ... c'est "juste" l'étude des formes quadratiques binaires.

Pour le 2/ Donc j'ai avec moi le 1/ et je l'utilise dans le contexte de l'anneau $\Z[\sqrt{-20}]$.

Je pense que l'on est d'accord avec ce plan ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 13:18
Un début :
Supposons que $n=x^2+xy+6y^2$ avec $y$ pair.
Alors $n=(x+y/2)^2+23\cdot (y/2)^2$.

Je n'aurai peut-être pas le temps d'en faire davantage aujourd'hui.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 18:02
@flip flop
Ce qu'il faut savoir, et c'est l'objet de la partie V, c'est que pour un discriminant quadratique $\Delta < 0$ (qui n'a pas à être fondamental), si je note $A$ l'unique anneau quadratique imaginaire de discriminant $\Delta$, il y a une correspondance biunivoque :
$$
{Q^+(\Delta) \over \mathrm {SL}_2(\Z)} \quad\longleftrightarrow\quad \hbox {Classes d'idéaux de $A$}
$$
Jouer avec des classes de formes quadratiques modulo $\mathrm {SL}_2(\Z)$, c'est la même chose que de jouer avec les classes d'idéaux. En conséquence, le travail de Gauss réalise le traitement sur les 2 plans (formes quadratiques, idéaux) et de manière simultanée.

Je ne sais pas si cela répond à ta question.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 18:11
J'en ai fini avec ce sens-là puisque si $n=x^2+xy+6y^2$ est impair, alors $y$ est pair.

Réciproquement, si $n=x^2+23y^2$, alors $n=(x-y)^2+(x-y)2y+6(2y)^2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 18:24
@gai requin
Ok. Et je note car c'est plus simple que ce que j'avais envisagé ! Et cela doit marcher exactement de la même manière pour tout $D \equiv 1 \bmod 8$ (dans l'exemple, $D = -23$). Faut juste faire attention à $D$ versus $-D = |D|$. Ce que je dis, c'est quand $D \equiv 1 \bmod 8$, les deux formes :
$$
x^2 - Dy^2 \quad \hbox {(de discriminant $4D$)} \qquad\qquad x^2 + xy + {1 - D \over 4}y^2 \quad \hbox {(de discriminant $D$)}
$$
représentent les mêmes entiers IMPAIRS.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 18:36
Même preuve que celle que j'ai donnée pour $D=-23$ en utilisant une petite factorisation canonique (Gauss encore !).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 18:48
D'ailleurs Claude, je vais peut-être bosser [là-dessus] ce week-end.
Un peu d'algèbre commutative ne peut pas faire de mal. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 19:42
@CQ :
Un petit corollaire :
$$p=x^2+23y^2\Leftrightarrow \text{$-23$ est un carré modulo $p$ et $X^3-X-1$ a ses racines dans $\mathbb F_p$}.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 22:35
avatar
Hello Claude,

Y'a du boulot, je vais prendre mon temps pour faire un résumé de ton épreuve car il y a beaucoup beaucoup de chose. Mais je vois "a peu près" où l'on va !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 22:38
avatar
@Gai requin : Tu as déjà vu le film avec Jim carrey, 23
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 23:22
Je n'ai pas vu ce film. Tu crois que je vais finir obsédé par $23$ comme le personnage joué par Jim Carrey ? confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 mars 2017, 23:31
avatar
Blague, On va tous finir obsédé par les nombres grinning smiley Mais c'est marrant des fois quand je vois une plaque d'immatriculation je fais plein de calculs avec les nombres !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 mars 2017, 00:22
avatar
Du coup, y a un truc que je ne comprends pas avec $23$. Si je ne me suis pas trompé il y a $6$ formes réduites de discriminant $-4\times 23$. $$
x^2+23y^2, \qquad 2x^2+2xy+12y^2, \qquad 4x^2 \pm 2xy+6y^2, \qquad 3x^2+\pm2xy+8y^2
$$ Donc on a un groupe de classes avec $6$ éléments et non $3$ ? Il faut prendre les formes primitives ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 25/03/2017 13:44 par AD.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 mars 2017, 08:13
Salut flipflop.
J'avais aussi galéré là-dessus.

Il y a bien $6$ classes d'équivalences de formes quadratiques binaires de discriminant $-92$.
Par définition, si $D<0$, $h(D)$ est le nombres de classes de formes quadratiques binaires primitives définies positives.
Donc $h(-92)=3$.

Remarque : si $-23$ est un carré modulo $p$, on a donc $p=x^2+23y^2$ ou (exclusif) $p=3x^2+2xy+8y^2$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 25/03/2017 08:30 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 mars 2017, 08:48
@flip flop
Si je peux me permettre, c'est $-23$ et pas $23$. Je n'ai pas vérifié ta détermination des 6 formes quadratiques réduites de discriminant $-4 \times 23$. Supposons que cela soit bon. Il se trouve que dans la correspondance classes de formes quadratiques modulo $\mathrm {SL}_2(\Z)$ $\longleftrightarrow$ classes d'idéaux (non nuls), les formes primitives correspondent aux idéaux inversibles.

Ainsi, dans un anneau intègre, quand on parle de ``classes d'idéaux (non nuls)'', il s'agit de la relation $aI = bJ$ (avec $a, b$ non nuls). Le quotient n'est pas un groupe. A ne pas confondre avec le groupe des classes d'idéaux inversibles.

Bilan : l'approche de Gauss est également une machinerie à trouver les idéaux non principaux. Et donc dans $\Z[\sqrt {-23}]$, tu viens de mettre la main sur quelques idéaux non principaux via les formes non primitives que tu as trouvé. Tu comprends ainsi la puissance des outils élaborés par Gauss. Et en passant, il montre, dans le cas quadratique, que l'ENSEMBLE des classes d'idéaux est fini (ce qui n'est pas rien) tout en le déterminant (ce qui est encore mieux).

Bien sûr, quand on travaille avec un discriminant quadratique FONDAMENTAL $D$, toute forme quadratique de discriminant $D$ est primitive. Ce qui démontre directement que l'anneau quadratique de discriminant $D$, qui est l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt D)$, est de Dedekind au sens où tout idéal non nul est inversible. Encore un apport de Gauss dans l'obtention DIRECTE de l'inverse d'un idéal.

J'avais déjà donné comme pointeur Anthony Knapp, Advanced Algebra, Digital second edition. C'est un gros livre d'Algèbre (comme son nom l'indique), 760 pages. Et son premier chapitre s'intitule Transition to modern number theory. Et il y traite des formes quadratiques binaires à la Gauss, pages 42-80. Et oui, cela fait environ 40 pages. Ce qui est essentiellement dû à la profondeur de l'étude de Gauss sur ce sujet.

Voici le lien [www.math.stonybrook.edu] : le pdf est disponible (il s'agit d'une version électronique, c'est fait pour).

Par ailleurs, dans ce fil boulimique, on a parlé de la formule de Dedekind-Siegel, valide pour $A \subset B$, deux anneaux de nombres de même corps des fractions $K$ (un corps de nombres) :
$$
h_A = h_B \times { [(B/\mathfrak f)^\times : (A/\mathfrak f)^\times ] \over [B^\times : A^\times]}
$$
où $\mathfrak f$ est l'idéal conducteur de $B$ dans $A$ (c'est à la fois un idéal de $A$ et de $B$), $h_A$ l'ordre du groupe des idéaux d'idéaux inversibles de $A$ et idem pour $h_B$. Cela permet de contrôler que tout va bien.

Ainsi, ici :
$$
A = \Z[\sqrt {-23}] \subset B = \Z\left[ {1 + \sqrt {-23} \over 2} \right]
$$
et le conducteur est l'idéal $2B$. On a $A^\times = B^\times = \{\pm1\}$, $A/2B \simeq \Z/2\Z$ et $B/2B \simeq \Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (à vérifier, $2$ est décomposé dans $B$) donc $h_A = h_B$. Me surveiller.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 mars 2017, 09:40
$X^2-X+6$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$ donc je suis d'accord avec tes calculs qui impliquent que $1$ est le seul inversible dans $A/2A$ et aussi dans $B/2B$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 07:48
avatar
Hello,

Bon j'ai a peu près fini l'épreuve, pour l'instant je n'ai rien compris ... je vais faire des exemples pour voir la correspondance :
$$
{Q^+(\Delta) \over \mathrm {SL}_2(\Z)} \quad\longleftrightarrow\quad \hbox {Classes d'idéaux de $A$}
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 08:26
@flip flop
Cela signifie probablement que ce n'est pas aisé de comprendre quelque chose à travers cette épreuve car c'est trop haché (beaucoup de petites questions). Je me souviens juste d'avoir fait un petit effort pour obtenir (partie IV) les 9 anneaux quadratiques imaginaires principaux avant la correspondance (partie V).

Peut-être faut-il lire ailleurs ? J'ai donné, dans un post récent, une référence dans Advanced Algebra de A. Knapp. Mais récemment, j'ai mis la main sur un pointeur qui me paraît très intéressant (final report for a master semester project, 100 pages) in [people.math.ethz.ch]. Je ne sais plus si je l'ai déjà mentionné mais je ne crois pas.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 08:54
@CQ : Ce que je n'avais pas vu dans ton épreuve, c'est que dans celle-ci,
$${Q^+(\Delta) \over \mathrm {SL}_2(\Z)} \quad\longleftrightarrow\quad \hbox {Classes d'idéaux de $A$}$$
est un isomorphisme de monoïdes parce qu'on prend toutes les formes quadratiques définies positives.
Je ne savais pas que magma donne les formes réduites des formes quadratiques définies positives primaires !
Evidemment, dans un anneau de Dedekind, plus besoin de se prendre le chou.

Donc merci à flipflop d'avoir éclairé ma lanterne [ici].
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 08:58
avatar
D'accord, je vu les deux références merci. Je pense qu'avoir fait l'épreuve va me faciliter la tâche pour lire :)

Je vais d'abord faire un petit exemple, car j'aime bien faire des calculs :D

Tu penses que je peux prendre quoi comme exemple de $\Delta$, pour voir quelques choses sans que ce soit trop monstrueux ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 09:17
@flipflop : Tu as fait l'épreuve en 6 heures ? winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 09:24
avatar
Je dirai plutôt 23 h grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 09:28
smiling smiley
Tu es arrivé au bout de l'exemple $\mathbb A=\Z[\sqrt{-23}]$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 09:44
avatar
Non non, mais j'ai cru comprendre que c'était complexe car $3$ formes réduites primitives !

Si j'ai bien compris, on doit trouver des idéaux non inversibles, des idéaux inversibles principaux et des idéaux inversibles non principaux. Ça serait cool de suivre explicitement la construction de la correspondance.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/03/2017 09:49 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 09:49
Il devrait y avoir trois classes d'idéaux non inversibles d'après tes calculs.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 10:10
avatar
$$
2\Z \oplus (-1+i\sqrt{23}) \Z \qquad 4\Z \oplus (-1+i\sqrt{23}) \Z \qquad 4\Z \oplus (1+i\sqrt{23}) \Z
$$

confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 11:12
@flip flop
De quoi parles tu exactement ? Il suffit d'appliquer :
$$
(\star) \qquad\qquad\qquad
q = (a,b,c) \longmapsto I_q = a\Z \oplus \theta_q\Z \qquad \theta_q = {-b + \sqrt {\Delta} \over 2}
$$
J'ai cru comprendre que chez toi, $\Delta = 4 \times (-23)$ ? Ou bien $\Delta = -23$ ? J'ai corrigé $-4$ en $4$.

Si c'est $\Delta = 4 \times (-23)$, tu n'as plus qu'à appliquer $(\star)$ à tes 6 formes trouvées (et du coup tu vas trouver 3 idéaux non inversibles correspondants à tes 3 formes NON primitives). Quant aux 3 formes primitives, elles sont $x^2 + 23y^2$, $3x^2 \pm 2xy + 8y^2$ ....



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/03/2017 13:24 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 12:49
avatar
Oui c'est bien ça, Claude. Je veux dire $\Delta := 4 \times (-23)$. J'essaye de voir un peu toutes les notations.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 13:15
Grâce à vous, je sais maintenant pourquoi $2\Z \oplus (-1+i\sqrt{23})$ n'est pas inversible et donc pas principal. thumbs down
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 19:30
avatar
Claude : ici

aie aie aie c'est vraiment complexe ! Si je veux faire ça ...

Par exemple, si je veux montrer que $\Q(\sqrt{-1},\sqrt{5}) \mid \Q(\sqrt{-20})$ est non ramifié. Alors je sens bien qu'il n'y a pas de ramification.

1/ Dans $\Q(\root 20 \of 1) \mid \Q$, il n'y a que $2$ et $5$ qui sont ramifiés avec indice respectif $2$ et $4$.
2/ Je suppose que l'on regarde dans le diagramme : la ramification au de $2$ permet de conclure (je détails pas) par contre pour $5$ il faut utiliser une histoire d'extensions linéairement disjointes mais là ... j'ai pas les outils pour conclure !

$$
\xymatrix {
& \Q(\root 20 \of 1) \ar@{-}[ddl] \ar@{-}[ddr] \ar@{-}[d]& \\
& \Q(\sqrt{-1},\sqrt{5}) \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d]\ar@{-}[dr] & \\

\Q(i) \ar@{-}[dr] & \Q(\sqrt{-20}) \ar@{-}[d]&\Q(\sqrt{5})\ar@{-}[dl] \\

&\Q &\\

}

$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 19:45
@fliplflop : Ce que j'aime chez toi, c'est que tu vas toujours jusqu'au bout. winking smiley

Peut-être un élément de réponse [ici].
Attention : il faut lire "différente" à la place de "discriminant".
On peut sans doute faire autrement mais j'ai vu des papiers (sans tout lire of course) qui montrent que cette méthode est efficace.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/03/2017 19:46 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 21:08
avatar
Merci Gai requin ! On va voir ce qu'on peut faire avec cette formule !


Allez jusqu'au bout ! Je ne sais pas ... tu sais le pire c'est que le corps de classe de Hilbert c'est juste le premier étage !

PS : mais comment tu fais pour retrouver les informations ???



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/03/2017 21:34 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 mars 2017, 21:45
Je me suis rappelé que Claude m'avait donné cette formule à la fin des dernières vacances il y a cinq semaines (un vendredi je crois).
Etre prof donne certains repères. cool smiley
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