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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 08:15
@gai requin
Oui, tu as raison, et c'est bien plus simple que ce que j'avais en tête. Résumons : on se met pour l'instant dans le cas $D \equiv 1 \bmod 4$ avec la décomposition élémentaire $D = \prod_{i=1}^k D_i$ comme d'habitude. Ici les $|D_i|$ sont des nombres premiers et on va en profiter.
Soit $q = (a,b,c)$ une forme quadratique de discriminant $D$, si bien que $(a,b,c)$ sont premiers dans leur ensemble (ceci provient du fait que $D$ est un discriminant quadratique fondamental, de toutes manières on ne joue qu'avec des formes primitives). Par définition :
$$
b^2 - 4ac = \prod_i D_i \qquad\hbox {a fortiori} \qquad b^2 \equiv 4ac \bmod D_i
$$
On a donc :
$$
\chi_{D_i}(4ac) = \chi_{D_i}(b^2) \in \{0,1\} \qquad\hbox {i.e.} \qquad \chi_{D_i}(a) \chi_{D_i}(c) \in \{0,1\} \qquad\qquad (\star)
$$
Soit $q(x,y)$ une valeur de $q$ étrangère à $D$. Si $D_i \wedge a = 1$, on a vu que $\chi_{D_i}(q(x,y)) = \chi_{D_i}(a)$ ; de même si $D_i \wedge c = 1$, on que $\chi_{D_i}(q(x,y)) = \chi_{D_i}(c)$. Et si on a à la fois $D_i \wedge a = 1$ ET $D_i \wedge c = 1$, vu $(\star)$, on a $\chi_{D_i}(a) = \chi_{D_i}(c)$, c'est cohérent.

Et on ne peut pas avoir à la fois $D_i \mid a$ et $D_i \mid c$ car cela entraînerait $D_i \mid b$, contredisant le fait que $(a,b,c)$ sont premiers dans leur ensemble.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 08:26
Si $D_i$ divise $a$ et $c$, $D_i^2$ divise $D$ ce qui n'est pas possible même si $(a,b,c)$ n'est pas primitive.

Je vais essayer de réfléchir au cas moins convivial $D=0\bmod 4$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 10:05
Je fais le cas $D_1=-4$ qui doit pouvoir se répéter à l'envi.

On suppose que $(a,b,c)$ est primitive.

Si $a$ est impair, $aq(x,y)=(ax+by/2)^2+y^2=1\bmod 4$ donc $\chi_{-4}(q(x,y))=\chi_{-4}(a)$.
Sinon, $c$ est impair et $\chi_{-4}(q(x,y))=\chi_{-4}(c)$.

Edit : On a les même résultats pour $\chi_{D_1}(q(x,y))$ si $D_1=8\text{ ou} -8$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/04/2017 17:47 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 10:36
@gai requin
Où est passé le $c$ dans $aq(x,y) = (ax + by/2)^2 + y^2$ ? Et il y a une division par 2 : on sort des entiers ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 10:44
J'ai fait un Edit dans mon message précédent.

Précisions quand $D_1=-4$ :
$D$ est pair donc $b$ est pair.

On écrit $D=b^2-4ac=4D'$ avec $D'=-1\bmod 4$ pour trouver $aq(x,y) = (ax + by/2)^2 + y^2\bmod 4$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 10:54
@gai requin
Oui, je comprends ton premier = est modulo 4.

Bilan, l'application, que l'on va baptiser application de Gauss :
$$
G = {Q^+(D) \over \mathrm {SL}_2(\Z)} \ni \hbox {classe de $q$} \longmapsto \big( \chi_{D_1}(q), \cdots, \chi_{D_k}(q)\big) \in \{ \pm 1\}^k
= \mathrm {Gal}(\Q(\sqrt {D_1}, \ldots, \sqrt {D_k})/\Q)
$$
est bien définie. Il faut montrer qu'elle tombe dans
$$
\mathrm {Gal}(\Q(\sqrt {D_1}, \ldots, \sqrt {D_k})/\Q(\sqrt D))
$$
i.e. que $\chi_D(q) = 1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 avril 2017, 20:57
Pas trop d'idées pour le moment en ce qui concerne $\chi_D(q)=1$. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 07:17
avatar
Faut que je me remette à jour ! J'ai décroché des formes binaires !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 07:31
Salut flipflop. winking smiley

@Claude :
Soit $p$ premier impair ne divisant pas $D$ tel que $p$ est représenté par $q$.
Alors $D$ est un carré modulo $p$ donc $\chi_D(q)=\chi_D(p)=\left(\dfrac{D}{p}\right)=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 17:37
@gai requin
OK à condition d'accepter qu'il existe un premier impair représenté par $q$. Comment le sait-on à ce niveau ?

Une variante (inspirée de Cox). Soit donc $m = q(x,y)$ premier à $D$ où $q$ est une forme de discriminant $D$. On veut montrer que $\chi_D(m) = 1$.

On note $d = \gcd(x,y)$ et on écrit $x = dx'$, $y = dy'$ avec $x' \wedge y' = 1$. On a alors $m = d^2m'$ avec $m' = q(x',y')$. Il suffit de voir que $\chi_D(m') = 1$ ou encore que $\chi_D(p) = 1$ pour tout premier $p$ divisant $m'$.

Mais $m'$ est une représentation propre de $q$, donc d'après la question 3 de la partie I de l'épreuve :
$$
D \hbox { est un carré modulo $4m'$}
$$
A fortiori, $D$ est un carré modulo $4p$. Si $p$ est impair, comme toi, i.e. $\chi_D(p) = \left({D\over p}\right) = 1$.
Si $p = 2$, alors $D$ est un carré modulo $8$ et est impair (car $m' \wedge D = 1$). On termine par :
$$
\chi_D(2) = (-1)^{D^2 - 1 \over 8} = 1
$$
Peux tu faire le point ? Il reste l'étape de la surjectivité de l'application de Gauss :
$$
G = {Q^+(D) \over \mathrm {SL}_2(\Z)} \ni q \longmapsto (\chi_{D_1}(q), \cdots, \chi_{D_k}(q)) \in {\ker \chi_D \over \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}}
\simeq \{\pm 1\}^{k-1}
$$
Cette application de Gauss, passée au quotient par $G^2$, fournira alors une surjection entre deux groupes de même cardinal $2^{k-1}$ donc un isomorphisme. Et cela sera terminé.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 17:49
Salut Claude.

J'avais des réticences à poster cette pseudo-preuve ce matin mais je me suis dit qu'elle permettait de voir facilement pourquoi $\chi_D(q)=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 18:06
@gai requin
Je comprends bien. Et c'est quasiment impératif de faire une telle approche. Imagine que tu aies trouvé $\chi_D(p) = -1$, nous serions joli(s) garçon(s), n'est ce pas ?

Une remarque : ne pas oublier le modulo $D$. Je dis cela car de temps en temps, j'ai tendance à oublier. C.a.d que lorsque l'on doit montrer que $\chi_D(m) = 1$ pour un certain entier $m$ premier à $D$, on peut se permettre de remplacer $m$ par $m + k|D|$ pour n'importe quel $k$ (cela ne change pas la valeur de $\chi_D(m)$). Et $(m + k|D|)_{k \ge 0}$, c'est une progression arithmétique avec $m \wedge |D| = 1$. Donc elle contient des premiers et même pas mal de premiers. JE RETIRE : Ce qui valide ton argument

Rien à voir (je ne me souviens plus) : est ce que tu disposes du Cox ``Primes of the form $x^2 + ny^2$'' ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/04/2017 21:07 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 21:58
@gai requin
Surjectivité de l'application de Gauss. Je traite le cas particulier $D \equiv 1 \bmod 4$ (bizarre, non ?). Bien sûr, $D$ est un discriminant quadratique fondamental $< 0$.

Soit $m$ vérifiant $\chi_D(m) = 1$ (a fortiori $m \wedge D = 1$). On doit trouver une forme $q$ de discriminant $D$ qui représente un entier $m' \equiv m \bmod D$. Attention : on ne demande pas à ce que $m$ soit représenté par une forme de discriminant $D$.

Justification : on considère un premier impair $p$ tel que $p \equiv m \bmod D$ (théorème de la progression arithmétique de Dirichlet). On va montrer que $p$ est représenté par une certaine forme de discriminant $D$.
Par hypothèse $\chi_D(m) = 1$ et puisque $p \equiv m \bmod D$, on a $\chi_D(p) = 1$. Par conséquent $D$ est un carré modulo $p$. Et comme $D \equiv 1 \bmod 4$, $D$ est un carré modulo $4p$ :
$$
D = b^2 - 4pc
$$
Chute : $q = (p, b, c)$ est une forme quadratique de discriminant $D$ qui représente $p$ en $(1,0)$. Contrat rempli.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/04/2017 22:19 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 avril 2017, 23:38
Joli !

On dirait que ça marche pour $D$ pair puisqu'alors, $m$ est forcément impair et $p$ aussi.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/04/2017 00:09 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 avril 2017, 07:31
@gai requin
Oui : tout discriminant quadratique $D$ est un carré modulo 4 puisque $D \equiv 0,1 \bmod 4$ !!
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 avril 2017, 15:39
Salut Claude.

Je crois que par rapport au cahier des charges, il reste à étudier la ramification de
$$\Q(\sqrt {D_1}, \ldots, \sqrt {D_k})/\Q(\sqrt D).$$

J'ai envie de dire même pas peur mais...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 avril 2017, 09:17
@gai requin
Ta question sur la ramification doit découler du résultat plus général que j'ai intitulé ``Grimpette quadratique'', résultat qui repose essentiellement sur la notion d'extensions arithmétiquement disjointes.

Pour l'instant, je suis en train de mettre la la touche finale en ce qui concerne la programmation de l'application de Gauss (qui, en temps utile, va s'identifier à l'application d'Artin, convenablement restreinte à l'arrivée).

Je te montre quelques petits outils mis en place mais je ne sais pas si cela va te parler. Par exemple :

CharacterSigns := function(q)
  D := Discriminant(q) ;
  TheDi := ElementaryDiscriminantalDecomposition(D) ;
  a,b,c := Explode(Eltseq(q)) ;
  return [Gcd(Di,a) eq 1 select KroneckerSymbol(Di,a) else KroneckerSymbol(Di,c) : Di in TheDi] ;
end function ; 

> D := -5 * 7 ;
> IsFundamentalDiscriminant(D) ;
true
> TheDi := ElementaryDiscriminantalDecomposition(D) ;
> TheDi ;
[ 5, -7 ]
> QD := BinaryQuadraticForms(D) ;
> q := Random(QD) ;  
> q ;
<3,1,3>
> CharacterSigns(q) ;
[ -1, -1 ]
> q := Random(QD) ;  
> q ;
<1,1,9>
> CharacterSigns(q) ;
[ 1, 1 ]

Bien sûr, il faut avoir le contexte en tête : $D = D_1 \cdots D_k$ est un discriminant quadratique fondamental $< 0$ décomposé en discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires et l'application de Gauss est :
$$
Q^+(D) \ni q \longmapsto \big (\chi_{D_1}(q), \cdots, \chi_{D_k}(q) \bigr) \in \{\pm 1\}^k = {(\Z/D\Z)^\times \over \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}}
$$
Le caractère $\chi_D$, vu sur $\{\pm 1\}^k$, s'identifie au produit des composantes : $\Sigma : \{\pm 1\}^k \to \{\pm 1\}$.

J'ai donc implémenté ce binz mais, obligations magma, j'ai dû remplacer $\{\pm 1\}^k$ par sa version additive $A = (\Z/2\Z)^k$. Voici un aperçu mais je ne suis pas persuadé que ``cela rende bien''. Note : ElementaryDiscriminantalDecomposition, CharacterSigns, GaussMap ...etc.. sont des fonctions perso, mises au point au fur et à mesure de l'évolution des posts.

> D := 8 * (-11) * 17 ;
> D ;
-1496
> TheDi := ElementaryDiscriminantalDecomposition(D) ;
> TheDi ;
[ 8, -11, 17 ]
> GM, Sigma := GaussMap(D) ;
> GM ;
Mapping from: Binary quadratic forms of discriminant -1496 to Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z/2
> A := Codomain(GM) ;
> A ;
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z/2
Defined on 3 generators
Relations:
    2*[8] = 0
    2*[-11] = 0
    2*[17] = 0
> QD := Domain(GM) ;
> QD ;
Binary quadratic forms of discriminant -1496
> FD := ReducedForms(QD) ;
> FD ;
[ <1,0,374>, <2,0,187>, <11,0,34>, <17,0,22>, <3,2,125>, <3,-2,125>, <5,2,75>, <5,-2,75>, <15,2,25>, 
<15,-2,25>, <6,4,63>, <6,-4,63>, <7,4,54>, <7,-4,54>, <9,4,42>, <9,-4,42>, <14,4,27>, <14,-4,27>, <18,4,21>, 
<18,-4,21>, <10,8,39>, <10,-8,39>, <13,8,30>, <13,-8,30>, <15,8,26>, <15,-8,26>, <19,10,21>, <19,-10,21> ]
> #FD ;
28
> 
> f := FD[5] ;
> f ;
<3,2,125>
> GM(f) ;
[8] + [17]
> CharacterSigns(f) ;
[ -1, 1, -1 ]

Il faut comprendre que mon exemplaire $A = (\Z/2\Z)^k$ est ``typé'' au sens où chaque composante est indexée par un $D_i$. J'ai choisi de noter $[D_i]$ le générateur correspondant.

Le groupe $G$ des classes de $\Q(\sqrt {D})$ est d'ordre $28 = 2^{k-1} \times 7$ avec $k=3$, nombre de diviseurs élémentaires de $D$.

Ci-dessous, je vais considérer les fibres de la surjection
$$
G \to {\ker \chi_D \over \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}} \simeq \{\pm 1\}^{k-1} \simeq (\Z/2\Z)^{k-1}
$$
Et bien sûr, chaque fibre est en correspondance avec le sous-groupe des carrés $G^2$ (ici, d'ordre 7) : c'est ce qui a fini par être prouvé !!

> Q2 := {f : f in FD | IsId(GM(f))} ;
> Q2 ;
{ <1,0,374>, <15,-8,26>, <9,4,42>, <9,-4,42>, <15,2,25>, <15,-2,25>, <15,8,26> }
> 
> G, GtoQD := ClassGroup(QD) ;
> G ;
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/14
Defined on 2 generators
Relations:
    2*G.1 = 0
    14*G.2 = 0
> GtoQD ;
Mapping from: GrpAb: G to QuadBin: QD given by a rule [no inverse]
> G2 := {g : g in G | IsId(GM(GtoQD(g)))} ;
> assert G2 eq {g : g in 2*G} ;
> 
> for epsilon in Kernel(Sigma) do
for>    printf "%-15o %o\n", A!epsilon, [f : f in FD | GM(f) eq epsilon] ;
for> end for ;
0               [ <1,0,374>, <15,2,25>, <15,-2,25>, <9,4,42>, <9,-4,42>, <15,8,26>, <15,-8,26> ]
[-11] + [17]    [ <17,0,22>, <6,4,63>, <6,-4,63>, <7,4,54>, <7,-4,54>, <10,8,39>, <10,-8,39> ]
[8] + [17]      [ <11,0,34>, <3,2,125>, <3,-2,125>, <5,2,75>, <5,-2,75>, <14,4,27>, <14,-4,27> ]
[8] + [-11]     [ <2,0,187>, <18,4,21>, <18,-4,21>, <13,8,30>, <13,-8,30>, <19,10,21>, <19,-10,21> ]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 avril 2017, 19:53
@Claude :
A la fin du dernier code, est-ce que cela signifie que par exemple, pour toute forme $q$ dans la classe de $(17,0,22)$ modulo $G^2$, on a $\chi_8(q)=1$ et $\chi_{-11}(q)=\chi_{17}(q)=-1$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 avril 2017, 20:28
@gai requin.
Oui, c'est exactement cela. Ce qui peut compliquer la lecture, c'est le passage du multiplicatif $\{\pm 1\}$ à l'additif $\Z/2\Z$, $1 \to 0$, $-1 \to 1$. J'aurais bien voulu tout laisser en multiplicatif mais je n'ai pas trouvé de solution au sens magma.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 avril 2017, 20:34
Ce n'est pas un problème de lecture insurmontable.

Et du coup, que te reste-t-il à implémenter ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 avril 2017, 14:21
@gai requin
On trouve toujours quelque chose à faire, non ? Plus sérieusement, nous avons ``oublié'' un petit quelque chose.

Je redonne le contexte : $D = D_1 \cdots D_k$ un discriminant quadratique fondamental $< 0$ et sa décomposition en discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires premiers deux à deux. Je note $A$ l'anneau des entiers de $K = \Q(\sqrt D)$ et $\overline N$ la norme modulo $D$ restreinte aux groupes multiplicatifs :
$$
\overline N : (A/DA)^\times \to (\Z/D\Z)^\times
$$
Nous n'avons pas montré l'égalité suivante, qui a lieu dans $(\Z/D\Z)^\times$ et qui relie les valeurs modulo $D$ de la forme normique (les valeurs modulo $D$ de la forme neutre) et les caractères de Kronecker $\chi_{D_i}$ :
$$
\mathrm {Im}\ \overline N = \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 08:54
Bonjour Claude.

Je pense qu'on a déjà montré que si $q_0$ est la forme neutre, alors pour tout $i$, $\chi_{D_i}(q_0)=1$.
Ceci implique que $\mathrm {Im}\ \overline N \subset \bigcap\limits_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 11:04
@gai requin
J'ai encore la tête dans le guidon : l'égalité convoitée devrait être une conséquence du théorème chinois. Je veux dire par là que l'isomorphisme d'anneaux :
$$
\Z/D\Z \simeq \Z/D_1\Z \times \cdots \times \Z/D_k\Z
$$
n'a pas été assez exploité. Il devrait simplifier les choses. Et bien sûr, l'isomorphisme induit au niveau multiplicatif :
$$
(\Z/D\Z)^\times \simeq (\Z/D_1\Z)^\times \times \cdots \times (\Z/D_k\Z)^\times
$$
Que deviennent les objets (caractères, formes ...etc..) dans ces isomorphismes ?

Dans l'intention d'avoir la tête moins dans le guidon, j'ai repris des choses de base. J'attache un extrait de 2 pages. Je crois maintenant à un traitement plus uniforme et le cas $D \equiv 0 \bmod 4$ me cause moins de souci. Avec tout le respect que je dois à Cox, je vais finir par croire que son traitement multi-cas et ses multiples renvois à des exercices ne simplifient pas les choses.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - RingGaussSumPages16-17.pdf (213.9 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 12:06
@Claude : Super synthèse ! thumbs down

C'est vrai que quitte winking smiley à s'intéresser aux $\chi_{D_i}$, autant travailler sur les $\Z/D_i\Z$ via quelques chinoiseries.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 13:30
Oui, je pense que cela vaut le coup de prendre 5 minutes (ou plus) pour identifier $??$ ci-dessous :
$$
\xymatrix @C = 1.5cm {
(A/DA)^\times \ar[d]_{\overline N} \ar@{-}[r]^-{\simeq} & (A/D_1A)^\times \times \cdots \times (A/D_kA)^\times \ar[d]^{??} \\
(\Z/D\Z)^\times \ar@{-}[r]^-{\simeq}& (\Z/D_1\Z)^\times \times \cdots \times (\Z/D_k\Z)^\times \\
}
\qquad\qquad
\xymatrix @C = 1cm {
(\Z/D\Z)^\times \ar@{-}[rr]^-{\simeq}\ar[dr]_{\chi_{D_i}}& &(\Z/D_1\Z)^\times \times \cdots \times (\Z/D_k\Z)^\times \ar[dl]^{??} \\
& \{\pm 1\} \\
}
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 17:05
Pour le premier diagramme, soit $(u_1,\ldots,u_k)\in (A/D_1A)^\times \times \cdots \times (A/D_kA)^\times$ qu'on relève en un unique $u\in (A/DA)^\times$.
Alors
$$??(u_1,\ldots,u_k)=(N(u)\bmod D_1,\ldots,N(u)\bmod D_k).$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 20:23
Pour le second diagramme, si $(m_1,\ldots,m_k)$ se relève en $m$,
$$??(m_1,\ldots,m_k)=\chi_{D_i}(m).$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 avril 2017, 20:40
OK. Petite précision sur le rectangle obtenu comme le rectangle de gauche mais sans la limitation aux groupes des inversibles. On fixe une $\Z$-base de $A$, ce qui fournit une $(\Z/D\Z)$-base de $A/DA$ et une $(\Z/D_i\Z)$-base de $A/D_iA$. Comme tout est polynomial en les coordonnées sur ces bases, la flèche verticale droite est de la forme :
$$
N_1 \times \cdots \times N_k \qquad N_i : A/D_i A \to \Z/D_i\Z, \qquad N_i(u \bmod D_i) = N(u) \bmod D_i
$$
On peut choisir la $\Z$-base de $A$ de sorte qu'en notant $x,y$ les coordonnées de $u$, on ait :
$$
N(u) = \cases {x^2 + xy + {1-D\over 4} y^2 &si $D \equiv 1 \bmod 4$\cr
x^2 - {D\over 4}y^2 &si $D \equiv 0 \bmod 4$\cr
}
$$
On obtient alors (aménagé d'après la remarque de gai-requin) :
$$
N_i(u \bmod D_i) = \cases {
(x + {1\over 2}y)^2 \bmod D_i &si $D \equiv 1 \bmod 4$ \cr
x^2 \bmod D_i &si $D \equiv 0 \bmod 4$ et $D_i \notin \{-4, \pm 8\}$\cr
x^2 + y^2 \bmod D_i &si $D_i = -4$ \cr
x^2 - 2 y^2 \bmod D_i &si $D_i = 8$ \cr
x^2 + 2y^2 \bmod D_i &si $D_i = -8$ \cr
}
$$
Le $1/2$ c'est l'inverse de $2$ modulo $D_i$ (qui est un premier impair).

En notant $N_i^\times$ la restriction de $N_i$ aux groupes des inversibles :
$$
\mathrm {Im}(N_i^\times) =
\cases {
\hbox {carrés de } (\Z/D_i\Z)^\times &si $D_i \notin \{-4, \pm 8\}$ \cr
\{1\} \hbox { dans } (\Z/4\Z)^\times &si $D_i = -4$ \cr
\{\pm 1\} \hbox { dans } (\Z/8\Z)^\times &si $D_i = 8$ \cr
\{1, 3\} \hbox { dans } (\Z/8\Z)^\times &si $D_i = -8$ \cr
}
$$
Aidé du triangle de droite, on obtient la chose convoitée i.e. $\mathrm {Im}\ \overline N = \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i}$



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/04/2017 08:16 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 07:53
Bonjour Claude.

J'ai tout vérifié et je ne vois pas de problème. thumbs down
Juste une remarque : dans le premier cas de ton calcul de $N_i(u\bmod D_i)$, il est inutile de supposer $D_i \notin \{-4, \pm 8\}$ puisque $D$ est impair.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 08:25
@gai requin
J'ai aménagé en conséquence. Merci.
Sans lien vraiment avec ce qui précède, cela serait bien de traiter quelques petits exemples à la main. En principe, il y a souvent quelque chose à voir sur des exemples. Exemple avec $D = -52$ : décomposition, formes réduites, $\ker \chi_{D_i}$, représentations ....etc...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 08:41
D'accord pour un exemple !

Est-ce que, du coup, on a le résultat suivant ?

Soit $q_0$ la forme neutre et $q$ une forme quelconque, toutes les deux de discriminant $D$.
Si, pour tout $i$, $\chi_{D_i}(q)=1$, alors pour tous $x,y$ tels que $q(x,y)\wedge D=1$, on a
$$q(x,y)=q_0(x,y)\bmod D.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 09:11
@gai requin
Non car ``il se glisse un carré quelque part''.
Ton hypothèse sur $q$ est équivalente au fait que $q$ est $\text{SL}_2(\Z)$-équivalente à un carré. En terme du groupe $G$ des classes d'idéaux de $\Q(\sqrt D)$ : la classe $[I_q]$ est dans $G^2$. Mais imagine un instant que $G^2 = G$ ...

Un exemple simple que tu connais bien où $G$ est cyclique d'ordre 3 : $D = -23$. Voici les 3 formes réduites de discriminant $-23$
$$
q_0 = x^2 + xy + 6y^2, \qquad q_1 = 2x^2 + xy + 3y^2, \qquad \overline {q_1} = 2x^2 - xy + 3y^2
$$
Ici la décomposition de $D$ est réduite à $D$. Et ``par théorème'' $\chi_D(q_1) = 1$ ce que l'on peut vérifier puisque :
$$
\chi_D(q_1) = \chi_{D}(3) = \left( {D \over 3}\right) = \left( {-23 \over 3}\right) = \left( {1 \over 3}\right) = 1
$$
Et avec $(x,y) = (1,0)$, on a $q_0(x,y) = 1$ et $q_1(x,y) = 2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 09:23
Merci !
Dans ton exemple, $q_1(1,0)=q_0(5,0)\bmod 23$.
Pour tous $x,y$ tels que $q_1(x,y)\wedge 23=1$, il existe $x',y'$ tels que $q_1(x,y)=q_0(x',y')\bmod 23$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 09:27 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 09:34
@gai requin.
Oui. Disons que dans le cas où $G = G^2$, ``l'application de Gauss n'est pas du tout séparante''. Ce qui signifie que pour toute forme $q$ de discriminant $D$, l'ensemble des valeurs modulo $D$ prises par $q$ n'est autre que $\ker \chi_D$ (étant entendu que valeur modulo $D$ comprend le fait que cette valeur est étrangère à $D$).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 09:41
$G=G^2$ est donc un cas très ambigu ! grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 avril 2017, 20:30
Quelques résultats pour $D=-52=-4\times 13$, où $13$ est un nombre convenable d'Euler.

On a $\ker\chi_{-4}=\{1\}$ et $\ker\chi_{13}=\{1,3,4,9,10,12\}$.
De plus, $G^2$ est trivial et les formes réduites sont $q_0=(1,0,13)$ et $q_1=(2,2,7)$.
Par l'application de Gauss qui est ici un isomorphisme, on a $q_0\mapsto (1,1)$ et $q_1\mapsto(-1,-1)$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/04/2017 07:15 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 12:06
@gai requin.
Quelques compléments sur $D = -52 = (-4) \times 13$. On a $\varphi(|D|) = 2 \times 12 = 24$ donc $\#\ker \chi_D = 12 = 6 + 6$. Voici les 6 valeurs modulo $52$ des deux formes $q_0$ et $q_1$ :
$$
\cases {
q_0 = x^2 + 13y^2 : & $\qquad \chi_{-4} = \chi_{13} = 1 \mapsto \{1, 9, 17, 25, 29, 49\} \bmod 52$ \cr
q_1 = 2x^2 + 2xy + 7y^2 : & $\qquad \chi_{-4} = \chi_{13} = -1 \mapsto \{7, 11, 15, 19, 31, 47\} \bmod 52$ \cr
}
$$
On peut par exemple obtenir ces valeurs à partir de :
$$
\hbox {carrés modulo 13} : \pm 1, \pm 3, \pm 4, \qquad\qquad
\hbox {non carrés modulo 13} : \pm 2, \pm 5, \pm 6
$$
et par le trick suivant :
$$
x' = x + (1 - x \bmod 4) \times 13 \hbox { qui vérifie } x' \equiv \cases {x \bmod 13\cr 1 \bmod 4\cr}
\qquad\qquad\qquad
x'' = x - (1 + x \bmod 4) \times 13 \hbox { qui vérifie } x'' \equiv \cases {x \bmod 13\cr -1 \bmod 4\cr}
$$
J'avais choisi cet exemple car :
$$
\chi_{D}(15) = \chi_D(3) \times \chi_D(5) = (-1) \times (-1) = 1
$$
mais 15 n'est pas représenté par $q_1$.

Il faut se souvenir, de manière générale, que pour un premier impair $p$, si $\chi_D(p) = 1$, alors $D$ est un carré modulo $p$ donc modulo $4p$ i.e. $D = b^2 - 4pc$, si bien que la forme $(p,b,c)$ de discriminant $D$ représente $p$.

Mais ce qui est vrai pour un premier ne l'est pas pour un entier quelconque : si $\chi_D(m) = 1$, ce n'est pas vrai que $m$ est représenté par une (certaine) forme quadratique de discriminant $D$. Ce qui est vrai c'est qu'il existe $m'$ avec $m' \equiv m \bmod D$ tel que $m'$ est représenté par une certaine forme de discriminant $D$ (on peut même prendre pour $m'$ un nombre premier impair). Par exemple $15 + 52 = 67 = q_1(5,1)$.

Ceci provient bien sûr du fait que $\chi_D(m) = 1$ ne signifie pas que $D$ est un carré modulo $m$.

Ce que je raconte ci-dessus est en rapport direct avec la surjectivité de l'application de Gauss sur $\ker\chi_D$. Tu remarqueras que sur les 12 valeurs mentionnées, la seule valeur qui n'est pas ``directement'' représentée est $15$ : toutes les autres valeurs sont des nombres premiers ou des carrés.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 12:26
On est donc capable de savoir quand un premier impair est représenté par une forme quadratique binaire donnée (si $D=-4n$, avec $n$ nombre d'Euler convenable) !
Trop bien !
Merci à toi et à Kronecker. winking smiley



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/04/2017 13:17 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 14:11
Il y a aussi les $D \equiv 1 \bmod 4$, $D < 0$, pour lesquels $G^2$ est trivial où $G$ est le groupe des classes d'idéaux de $\Q(\sqrt D)$. En voici quelques uns :

> SFD := [D : D in [-3 .. -500 by -4] | IsFundamentalDiscriminant(D)] ; 
> [D : D in SFD | IsTrivial(2*ClassGroup(QuadraticField(D)))] ;        
[ -3, -7, -11, -15, -19, -35, -43, -51, -67, -91, -115, -123, -163, -187, -195, -235, -267, -403, -427, -435, -483 ]

Autre chose I : c'est surtout à Gauss que l'on doit cette histoire. Ici, j'ai simplement essayé de rapporter Cox sans le suivre pour autant mot à mot.

Autre chose II : rien n'est jamais terminé. Cf par exemple [www.mast.queensu.ca]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 20:04
Avec $D=-115=1\bmod 4$, on obtient :
$$p=x^2+xy+29y^2\Leftrightarrow p\text{ est un carré modulo }115.$$
$$p=5x^2+5xy+7y^2\Leftrightarrow p\text{ n'est ni un carré modulo }5\text{ ni un carré modulo }23.$$
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