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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 21:03
@gai requin
Oui. Tiens un petit truc : $6$ vérifie $\chi_5(6) = \chi_{-23}(6) = 1$ mais 6 n'est pas représenté par $q_0$. Un $m \equiv 6 \bmod 115$ représenté par $q_0$ ?

Voici les valeurs modulo $|D| = 115$ de $q_0$ i.e. les $m$ tels que $\chi_{D_1}(m) = \chi_{D_2}(m) = 1$ avec $D_1=5$ et $D_2=-23$.

[ 1, 4, 6, 9, 16, 24, 26, 29, 31, 36, 39, 41, 49, 54, 59, 64, 71, 81, 94, 96, 101, 104 ]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 avril 2017, 23:29
$811=6\bmod 115$ et $811=q_0(22,3)$.

La liste que tu as donnée à la fin de ton dernier message est la liste des carrés de $(\Z/115\Z)^\times$ que j'avais eu la flemme de recopier dans mon message précédent.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2017 23:32 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 avril 2017, 07:16
@Claude :
J'y vais aussi de ma liste.
$$p=5x^2+5xy+7y^2\Leftrightarrow p\bmod 115\in\{7, 17, 22, 28, 33, 37, 38, 42, 43, 53, 57, 63, 67, 68, 83, 88, 97, 102, 103, 107, 112, 113\}.$$

Exemple : $263=33\bmod 115$ et $263=q_1(5,3)$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/05/2017 17:34 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 juillet 2017, 19:45
avatar
@Claude (rapidos) : Un truc sans doute important que je n'avais pas vu concernant les courbes elliptiques : Ici est ce que ça correspond bien à la page 16 de ici ?

Je ne comprends pas comment calculer le degré de $I-\varphi$. Je pense que ça serait super de pouvoir calculer ce degré, non ?

PS : c'est vraiment dommage que je ne comprends rien au histoire de diviseur et au théorème de Riemann-Roch car sinon le document est vraiment sympa. smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 juillet 2017, 09:12
Salut flipflop.
Comment va ?
Tu bosses sur quoi en ce moment ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 juillet 2017, 13:47
avatar
Hello Gai requin,

Ca va bien, et toi ? T'es parti en vacance ?

Je bosse pas vraiment sur des trucs précis, j'essayes de remettre un peu d'ordre dans ma tête.

Mais par exemple, je pense qu'on a le théorème suivant : (c'est l'épreuve d'agreg Gauss/Jacobi).


Je considère la courbe "elliptique" $E$ d'équation : $x^3+y^3+z^3=0$ dans $\mathbb{P}^2_{\Z}$. Pour chaque nombre premier $p$ (que je fixe dans les conjectures de Weil $p$ est fixé), je considère la courbe réduite $E_p$ sur le corps fini $\mathbb{F}_p$ et je note :
$$N_r(p) := \text{Card} \left\{ (x : y :z) \in \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_{p^r}), \ x^3+y^3+z^3=0 \right\}$$ Je donne le résultat de manière complète et un exemple ensuite pour le calcul de $\pi$ (tu peux essayer $p=7$ si tu veux !)

On a : $$ N_r(p) = p^r+1^r - (\pi^r +\overline{\pi}^r) \qquad (*)$$
avec $\pi$ vérifiant la condition suivante.

- Si $p = 1 \pmod{3}$ alors $\pi$ est l'unique générateur d'un idéal premier de l'anneau des entiers de $\Q(j)$ i.e $\Z[j]$ de norme $p$ vérifiant la condition $\pi = 1 \pmod 3$ (dans $\Z[j]$).
-  Si $p=2 \pmod{3}$ alors $\pi := i \sqrt{p}$



Ex :
Prenons $p=13$. On a : $p=1 \pmod{3}$ et pour déterminer $\pi$, on décompose $x^2+x+1$ dans $\mathbb{F}_{13}$, on trouve $x^2+x+1 = (x-3)(x-9)$ et on dispose de deux idéaux de norme $13$, $(13,j-3)$ et $(13,j-9)$. Comme $\Z[j]$ est un anneau Euclidien, on peut trouver des générateurs des idéaux, il se trouve que : $(13,j-3) = (j-3)$ car $j-3$ est de norme $13$ (sinon il faut mettre en place des divisions Euclidiennes et c'est un peu chiant à la main). Par contre, $j-3$ n'est pas congru à $1$ modulo $3$ et il faut multiplier par une unité de $\Z[j]$ ... ici on multiplie par $j^2$, et on trouve $\pi = 4+3j$ (bien congru à $1 \pmod{3}$).



Une fois que l'on a $N_p(r) = truc^r +truc'^r -bidule^r-bidule'^r$, on obtient en prenant le $Log$
$$
Z(p,T) = \frac{(1-bidule T)(1-bidule' T)}{(1-truc T)(1-truc' T)}
$$
Du coup, nous on a ça (je mets Gauss avec nous smiling smiley) avec truc et bidule explicite !

Maintenant dans le lien de Tibouchi que j'ai donné (je sais pas si tu arrives a lire un peu, c'est un peu délicat à comprendre ? ), il présente l'idée général pour obtenir $N_p(r)$ et les histoires de fonctions zeta (--- cohomologie étale $\ell$-adique ---) ouhais bon ça fait peur dit comme ça et je ne sais pas ce que c'est mais c'est le truc important grinning smiley

et à la fin Tibouchi explique une construction de Serre facile dans le cas des courbes elliptiques pour cette cohomologie étale $\ell$-adique (en faite y'a pas trop de cohomologie dans ce qu'il dit) et ça semble "presque" praticable sauf que je n'arrive pas a comprendre si on peut calculer $\pi$ (comme Gauss) ou si c'est juste l'existence de $\pi$ qui est garanti (ce que j'ai noté "truc" sont explicites avec cette construction de Serre).

Par contre, si on peut calculer $\pi$ (sans trop se fatiguer) avec ce truc très général, beh c'est super amusant car d'après Gauss on trouve $\pi$ avec de l'arithmétique de $\Z[ j]$ !!! Du coup, ça voudrait dire que ce truc général est quand même super fin !!!



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/07/2017 13:50 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 juillet 2017, 18:08
Merci d'avoir explicité ta problématique. winking smiley

Je suis en vacances à la plage jusqu'à début août. cool smiley

Je jetterai quand même un coup d'œil à tes calculs qui n'ont pas l'air monstrueux...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 juillet 2017, 09:09
Salut flipflop.
Si $p=7$, je trouve $\pi=-2-3j$.
Je n'ai pas eu le temps de regarder le pdf de Tibouchi mais la conclusion "ce qui est exactement l'hypothèse de Riemann" donne envie. cool smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/07/2017 07:40 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 juillet 2017, 10:52
avatar
ok pour $\pi$ ;)

Pour la conjecture de Riemann (c'est pas la grande conjecture de Riemann) ... sur la fonction $Z(p,T) = \frac{(1-\pi T)(1-\overline{\pi}T)}{(1-T)(1-pT)}$, il faut voir ça comme $$\frac{P_1(T)}{P_0(T) \times P_2(T)}$$ et l'hypothèse de Riemann c'est que les racines du polynôme $P_i$ sont de module $p^{-i/2}$ ... Beh ça fonctionne bien ici ...

$$ P_0 = 1-T \qquad P_1 =(1-\pi T)(1-\overline{\pi}T) \qquad P_2(T) = 1-pT$$


Sinon au niveau de la recherche de $\pi$ y'a un petit truc a montrer : la surjection canonique $ \Z[j] \to \Z[j]/(3)$ induit un isomorphisme au niveau des groupes d'inversibles ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 juillet 2017, 11:02
avatar
Gai requin :

On note $N_r := \# \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_{p^r})$, on trouve $Z(p,T) = \frac{1}{(1-T)(1-pT)(1-p^2T)}$, non ? ... l'hypothèse de Riemann marche encore :)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 juillet 2017, 08:21
Salut flipflop.
Cette hypothèse de Riemann est facile à comprendre mais pas le pdf de Tibouchi avec toutes ses histoires de cohomologie. confused smiley
Mais l'idée de prendre les courbes elliptiques comme exemple des conjectures de Weil est très intéressante.
Je vais donc devoir te poser plein de questions. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 juillet 2017, 09:48
avatar
Hello Gai requin,

Oui c'est chaud, mais si j'ai compris les histoires de cohomologique c'est que si on peut construire ces trucs cohomologiques vérifiant certaines propriétés formelles alors les démonstrations des conjectures se déduisent formellement (c'est surement pas tout a fait vrai ce que je dis, mais pas grave de toute manière on arrivera pas a faire des trucs trop générales). Par contre, il n'explique pas comment construire ces choses cohomologiques sauf dans le cas de courbe elliptique ...

D'ailleurs dans le livre de Hindry je pense qu'il explique des choses sur les courbes elliptiques p.198 thm 6.4 : théorème de Hasse. Du coup, faut lire le chapitre $5$ du Hindry et le chapitre $6$ aussi :D
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 juillet 2017, 07:59
Je possède le Hindry auquel je n'ai malheureusement pas accès en ce moment.

Tu ne serais pas en train de te lancer en loucedé dans la cohomologie des groupes et la théorie du corps des écoles ? winking smiley
Si oui, tu pourrais trouver des choses [ici].
Je n'ai pas ce livre mais on m'a dit que ce serait une très bonne acquisition, notamment parce que peu de bouquins français (ou aucun ?) abordent les thèmes choisis par Harari de manière aussi complète...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 08:56
@gai requin, flip flop
Effectivement le théorème de Riemann-Roch pour les courbes (i.e. pour les petits) fournit, pour une courbe projective lisse $C/\mathbb F_q$ de genre $g$ (en supposant que l'on sache ce que cela veut dire), la forme de la fonction zeta :
$$
Z_{C/\mathbb F_q}(T) = {P_1(T) \over P_0(T) P_2(T)} = {L(T) \over (1-T)(1-qT)} \quad \hbox {avec} \quad
L(T) = c_0 + c_1 T + c_2T^2 + \cdots + c_{2g} T^{2g} = \prod_{i=1}^{2g} (1- \alpha_iT) \qquad c_0 = 1, \quad c_{2g} = q^g
$$
Peut-être qu'il faut s'interroger sur l'impact de cette égalité ? Qu'est ce que cela amène de si bon pour le comptage des points sur $\mathbb F_{q^r}$ ?

Je l'ai déjà écrit quelque part (mais peu importe) : c'était connu de F.K. Schmidt dans les années 1930.

Mieux : cette fonction zeta $Z$ vérifie une certaine équation fonctionnelle (fait connu de Schmidt) qui fournit une certaine équation fonctionnelle pour le $L$-polynomial $L$. Laquelle ? Est cela apporte encore un plus. Lequel ?

Pour l'instant, tout ceci est ``banal'' (cela date de 1930 !). Mais au fait, une courbe c'est quoi ? le genre c'est quoi ? Et Riemann-Roch ? Avez vous vu la footnote 6 de la page 9 de Tibouchi ?
Que pensez vous du cadre des corps de fonctions algébriques (de dimension 1) sur les corps finis ? Versus le cadre des courbes.
Un truc important à noter dans la section 2.2 de Tibouchi pages 10-11 : non seulement, on obtient la forme de la fonction zeta mais on obtient un résultat dû à F.K. Schmidt : existence d'un diviseur de degré 1 i.e. le morphisme $\deg : \text{Div}(C) \to \Z$ est surjectif (le fameux $d$ qui traîne pendant un certain temps, qui complique un peu les choses et qui finira par être égal à 1 en plein milieu de la page 11).

Et qu'apporte de plus l'information $|\alpha_i|= \sqrt {q}$ (Riemann hypothesis) sur le comptage des points ? Résultat résolu (toujours dans le cadre des courbes, on s'en tient à ce cadre des petits) par Weil dans les années 1940. Et repris par Bombieri et Stepanov dans les années 1960, cf l'exposé à Bourbaki [berndt-schwerdtfeger.de]

Savez vous pourquoi Stepanov & Bombieri ont fourni une preuve de Riemann Hypothesis alors que cela avait déjà était démontré par Weil dans les années 1940 ?

Note : ne pas confondre les deux mathématiciens qui ont travaillé sur des sujets voisins :
Friedrich Karl Schmidt : 1901--1977 et Wolfang M. Schmidt : 1933 -- toujours vivant je pense

Sorry pour le côté terre à terre de mes préoccupations, très éloigné des ``théories cohomologiques de machin''.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/07/2017 09:09 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 09:18
Salut Claude. It's been a while! Comment va ?

Je me suis souvent demandé (mais sans chercher vraiment à y répondre) ce qui pouvait bien se passer en termes de comptage pour deux courbes algébriques a priori distinctes qui ont le même corps de fonctions.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 09:41
@gai requin
Ce que tu dis n'est pas possible dans le cadre que l'on considère (??) : deux courbes distinctes ont des corps de fonctions distincts.

Mieux : dans un certain cadre, il y a une équivalence de catégories entre les corps de fonctions algébriques sur $k$ et les courbes algébriques projectives lisses définies sur $k$. Il faut juste préciser ce que tout cela veut dire. Et on peut pas se permettre d'être approximatif quand on compte. Et ici $k$ n'est pas algébriquement clos : ce n'est pas une fixette de C.Q. : ne pas oublier qu'un corps fini c'est rarement algébriquement clos.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 10:05
Merci pour cette info courbes-corps de fonctions sur les corps finis que je ne connaissais pas.

Ton premier post de ce matin m'avait replongé dans le trick "quartic to cubic" (dont on se servait pour des courbes algébriques de degré $4$ sur $\Q$).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 10:10
@gai requin
Mon info n'est pas liée aux corps de fonctions sur les corps finis. Si j'ai mentionné ``corps fini'', c'est que premièrement c'est le cadre du comptage et deuxièmement (c'est de la faute à personne), un corps fini n'est pas algébriquement clos.

Note : les questions que j'ai posées sont des questions auxquelles on peut répondre.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 10:31
avatar
Coucou Claude, coucou Gai requin,

pour le a quoi ça sert d'avoir $L = truc$, beh je dirai que d'un point de vue calculatoire il suffit de connaitre les premières valeurs de $N_r$ pour calculer toutes les valeurs de $N_r$. Pour $g=1$, Pour $g=1$, $N_1$ suffit. Pour tes autres petites questions, aucune idée :)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 10:43
Ok pour $g=1$, sauf que l'on n'y voit rien. Pour $g=2$ :
$$
Z_{C/\mathbb F_q}(T) = {1 + c_1T + c_2T_2 + c_3T^3 + q^2T^4 \over (1-T)(1- qT)}
$$
Pour calculer $N_r$ pour n'importe quel $r$, il suffit d'avoir $N_1$ et ???

Autre chose : Bombieri a travaillé pour les ``petits'' en restant dans le cadre des courbes (Weil utilisait la surface $C \times C$ ou la Jacobienne de $C$, cf la première page de l'exposé à Bourbaki). Je pense que le travail de Bombieri a dû faire plaisir, non seulement aux petits comme moi ,mais également aux personnes de la communauté de la théorie des codes.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 11:03
Ce que je veux signifier, c'est que c'est peut-être pas mal de mieux comprendre la signification d'un résultat, non ? Etale, Crystalline, Monsky-Washnitzer ...etc... peuvent bien attendre quelques heures et même quelques jours ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 11:17
avatar
hum j'ai envie de dire $3$ mais peut-être moins avec l'équation fonctionnelle mais je n 'ai pas trop regardé !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 11:26
Oui, 3 pour l'instant mais 2 seulement avec l'équation fonctionnelle. C'est vachement important. Il me semble important de comprendre cela (qui date de 1930 !). Quelle est l'équation fonctionnelle vérifiée par $L$ (le numérateur) ? Cela dit quoi sur les coefficients $c_i$.

Ensuite, on pourra voir l'importance de $|\alpha_i| = \sqrt {q}$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 11:54
avatar
Hum j'ai
$$
T^{2g} L \left( {1 \over qT} \right) = { \epsilon \over q^g} L(T)
$$

Grosso modo les coefficients sont presque symétriques (y'a un petit décalage car symétrique c'est $ T^d P(1/T ) = P(T)$).



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/07/2017 12:02 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 13:49
@flip flop
Tout-à-fait. Et dans le cas des courbes, le signe $\epsilon$ vaut 1. Ce qui fait que les coefficients du numérateur vérifient:
$$
c_{2g-i} = q^{g-i} c_i, \qquad c_0=1, \qquad c_{2g} = q^g
$$
Il y a $2g+1$ coefficients pour un polynôme de degré $2g$ mais les deux extrêmes sont connus. Il en reste $2g-1$ et il suffit donc d'en calculer la moitié, ce qui fait $g$ coefficients à calculer.

Bllan : si $N_1, \ldots, N_g$ sont connus, alors $N_r$ est connu pour tout $r \ge 1$. Et si on n'est pas manchot, on devrait être capable de calculer $Z_{C/\mathbb F_q}(T)$ en fonction de $q, N_1, \cdots, N_g$. Chiche.

C'est pas rien ce résultat !! Si cela ne disait rien, cela n'aurait pas autant ``excité'' les gens.

Admettons que $|\alpha_i| = \sqrt {q}$. On voit alors que :
$$
|1+q - N_1] \le 2g\sqrt q, \qquad \hbox {et plus généralement} \qquad
|1+q^r - N_r| \le 2g q^{r/2}
$$
Et donc Riemann Hypothesis dit quelque chose d'intelligent sur le nombre de points. Et c'est pas rien. Car, réciproquement, si on sait montrer l'existence d'une constante $C$ telle que POUR TOUT $r \ge 1$ :
$$
|1+q^r - N_r| \le C q^{r/2} \qquad\qquad (\star)
$$
alors en travaillant un peu (sic), on finit par obtenir $|\alpha_i| = \sqrt q$. Et en travaillant beaucoup (Bombieri, Stepanov ...), on obtient $(\star)$.

Un mini cas particulier : prenons par exemple $g = 1$ (donc une courbe de genre 1 qui n'est PAS encore elliptique because absence d'un point rationnel de base), on a:
$$
|1 + q - N_1| \le 2\sqrt q
$$
Et bien, cette inégalité empêche $N_1$ d'être nul. Bilan : une courbe de genre $1$ sur un corps fini $\mathbb F_q$ possède un point $\mathbb F_q$-rationnel.

Et bien amuse toi à prendre un polynôme homogène cubique $F(X,Y,Z) \in \mathbb F_q[X,,Y,Z]$ et à démontrer qu'il admet un zéro $\mathbb F_q$-rationnel non trivial. Tu vas probablement souffrir. Même dans le cas $F = aX^3 + bY^3 + cZ^3$. Tu relèves le défi pour ce dernier polynôme ?

Ce n'est qu'un cas particulier. Ne pas oublier la théorie des codes (sur un corps fini).

Si on a pas froid aux yeux, on peut même réaliser concrètement ce binz pour une courbe hyperelliptique, par exemple $y^2 = x^a - 1$. Concrètement signifiant : redémontrer le résultat en attrapant TOUS les ingédients.

Quant à Riemann-Roch, cela vaut le coup de mettre en avant la foot-note de Tibouchi, page 9 :

6. Je n’ai trouvé le théorème de Riemann-Roch énoncé sous cette forme (et sans démonstration) que dans [Kat76] et [Vol01]. Dans mes autres références, il n’est énoncé que dans le cas d’un corps de base algébriquement clos. J’ai confiance en la justesse de cette formulation, d’autant que P. Samuel donne dans [Sam63] la preuve d’un résultat très analgue dans le langage des valuations, mais je ne sais pas la démontrer.


En tout cas, je suis content car je viens de trouver une définition pour un polynôme unitaire à coefficients dans un corps parfait $k$. C'est un polynôme à coefficients dans ``la'' clôture algébrique $\overline k$ donc de la forme :
$$
\prod_{i=1}^n (X - x_i) \qquad x_i \in \overline k
$$
Et qui est invariant par $\text{Gal}(\overline k/k)$. Elle est pas jolie, cette définition ? Certes, elle ne fonctionne qu'au dessus d'un corps parfait. Mais peut-être qu'en cherchant, bien on peut trouver une autre définition d'un polynôme (unitaire ou pas) à coefficients là où l'on veut.

Sorry : on est loin des théories cohomologiques pour l'instant.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/07/2017 13:51 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 15:39
avatar
Pour calculer $Z$ en fonction de $N_1,\dots,N_g$. c'est peux être mieux de passer par la forme factorisée, et utiliser si $z$ et racine de $L$ alors $1/z$ aussi ... mais on va avoir un système a résoudre (têt un système de Vandermonde).

Tu as une jolie idée pour le faire ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 17:37
Jolie idée ? Non : j'ai utilisé les sommes de Newton (c'est peut être ce que tu dis !) :
$$
N_r = 1 + q^r - S_r \qquad S_r = \alpha_1^r + \cdots + \alpha_{2g}^r
$$
Grand calculateur que je suis, j'ai tiré $S_r$ en fonction de $N_r$ :
$$
S_i = 1 + q^ i - N_i
$$
Ce qui me permet de déterminer les $g$ premières fonctions symétriques élémentaires (via les relations de Newton). Puis ensuite les $g$ autres via la relation fonctionnellle.

Il y a longtemps, j'avais fait tout cela à la main (y compris les relations de Newton). Car j'avais la flemme de chercher (dans 6000 pages, pas si facile, quand tu sais pas trop ce que tu cherches). Mais là, pour éviter de passer pour un charlot, j'ai cherché PowerSum dans le pdf et j'ai fini par trouver une intrinsic qui me convenait.

x := Random(-9,9) ; y := Random(-9,9) ; z := Random(-9,9) ;
assert PowerSumToCoefficients([x+y+z, x^2+y^2+z^2, x^3+y^3+z^3]) eq
          [-x*y*z,  x*y + x*z + y*z,   -(x+y+z),    1]
// coeffs deg 0      deg 1,            deg 2,     deg 3

Comme d'habitude, il faut faire attention par quel bout prendre la chose.

Si bien que cela me donne une fonction assez simple (comparée à mon ancienne version) :

ZetaNumeratorShortVersion := function(q, N)
  // N = [N_1, .., N_g]
  g := #N ;
  s := [q^i + 1 - N[ i] : i in [1..g]] ;
  // s[ i] = S_i = somme des alpha_k^i pour 1 <= k <= 2*g
  c := Reverse(PowerSumToCoefficients(s)) ;
  // Ici c = [c_0, c_1, ..., c_g]
  // Je mets au bout (à droite) c_{g+1}, .. c_{2g} en utilisant c_{2g-i} = q^{g-i} * c_i.
  // Par exemple pour i=0, c_{2g} = q^g c_0 = q^g
  c := c cat [q^(g-i) * c[i+1] : i in [g-1..0 by -1]] ;
  return PolynomialRing(Z) ! c ;
end function ;

Qu'il faut quand même tester

q := RandomPrime(4) ;
k := GF(q) ;
g := Random(2,4) ;
"q =", q, "  g =", g ;
C := RandomCurveByGenus(g, k) ;
time LC<T> := LPolynomial(C) ;
ZetaC := LC / ((1-T) * (1-q*T)) ;
S := T*Derivative(ZetaC)/ZetaC ;

// LC(T) = (1 - alpha_1*T) * ... * (1 - alpha_{2g}*T)
// N_1, .., N_g     N_i = q^i + 1 - s_i où s_i somme de Newton de degré i en alpha
N := [Coefficient(PSR!S, i) : i in [1..g]] ;
s := [q^i + 1 - N[ i] : i in [1..g]] ;

assert LC eq ZetaNumerator(q, N) ;    // ma vieille version
assert LC eq ZetaNumeratorShortVersion(q, N) ;  // la neuve
assert LC eq CharacteristicPolynomialFromTraces(s, 2*g, q, 1) ; // en fait, il y a un truc tout fait !!
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 18:07
@flip flop
Tu as dit à un moment donné dans un post : diviseurs, RR (= Riemann-Roch ..etc..), je comprends rien. Flemme de retrouver le post. Ma réponse : si tu veux comprendre, c'est faisable très faisable. Dans le cadre des courbes of course (i.e. des petits). Faut mettre un peu le paquet comme d"habitude. Crystalline devra encore attendre (je parle pas de la bouteille d'eau).

Le cadre est le suivant : pas de belle courbe bien visible, mais un corps $L/k$ de fonctions algébriques de dimension 1, séparable. Au sens de la grande séparabilité (pas de l'algébrique) i.e. $L/k$ est de type fini et extension finie séparable d'un corps $K$ de fractions rationnnelles à une indéterminée :
$$
k \subset K \subset L
$$
$K$ n'est pas unique. Il est juste là pour témoigner de l'hypothèse $L/k$ corps de fonctions algébriques (de dim 1) séparable. Ce qui est intrinsèque, c'est $L/k$. Le corps de fractions rationnelles $K$ est là pour aider. Et il y a aussi un $x$ tel que $K = k(x)$. Et $x$ est là pour aider. Mais absolument pas intrinsèque. Tu peux le remplacer par $1/x$ ou pas $x - 26$.

Avec cela, tu peux asseoir la $k$-rationnalité de manière tranquille. Sauf qu'il faut faire intervenir les anneaux de valuation (nécessairement discrète) $V$ de $L$ pour $k$. C'est au début anti-intuitif car c'est de l'algèbre. Si tu te barres en courant, c'est que tu prends comme définition d'un polynôme à coefficients dans $k$ celle que j'ai donnée dans un post précédent.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 juillet 2017, 21:15
@gai requin
Vaguement à propos d'une remarque de ce matin. Deux courbes (projectives lisses) sur $\mathbb F_q$ peuvent avoir même fonction zeta sans être isomorphes. Il y a la foot-note 4, page 5 de Tibouchi qui en parle [www.normalesup.org]

Prenons par exemple deux courbes elliptiques sur $\mathbb F_q$ qui sont isogènes. Alors, elles ont même nombre de points sur $\mathbb F_{q^r}$ et aucune raison d'être isomorphes. Sketch pour le même nombre de points avec une isogénie $f : E \to E'$, en désignant par $\Phi_\bullet$ le Frobenius :
$$
f \circ (\text{Id}_E - \Phi_E) = (\text{Id}_{E'} - \Phi_{E'}) \circ f
$$
On prend le degré en utilisant $\deg( u \circ v) = \deg u \times \deg v$ et en simplifiant par $\deg f$ qui n'est pas nul (une isogénie n'est pas constante)
$$
\deg (\text{Id}_E - \Phi_E) = \deg (\text{Id}_{E'} - \Phi_{E'})
$$
Ce qui donne, puisque $\text{Id}_E - \Phi_E$ est inséparable:
$$
\#E(\mathbb F_q) = \#E'(\mathbb F_q)
$$
Le coup de $\text{Id}_E - \Phi_E$ est trés important. C'est lui que l'on fait agir sur le module de Tate $T_\ell(E)$ si je me souviens bien. Cf la section 3 de Tibouchi.

A une époque donnée, j'avais essayé de sensibiliser (hum) l'action (en dimension 2) sur le module de Tate $T_\ell(E)$ via des petits tricks sur des matrices $2 \times 2$ in [www.les-mathematiques.net] [www.les-mathematiques.net]

Enfin, j'ai retrouvé pourquoi $ax^3 + by^3 + cz^3 = 0$ a toujours un zéro non trivial sur un corps fini. J'attache. L'énoncé de l'exercice (corrigé) commence en bas de la page 1. C'est rapporté par Selmer et Connell. Et on voit que c'est pas de la tarte (bravo à M. Hall).
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ax3+by3+cz3=0.pdf (214.4 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 09:32
Merci pour ces explications.

Citation

Que pensez vous du cadre des corps de fonctions algébriques (de dimension 1) sur les corps finis ? Versus le cadre des courbes.

J'avoue que je n'ai pas de point de vue catégorique sur cette question. smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 09:35
avatar
Hello,

Pour Riemann-Roch, j'ai regardé un peu. Je n'ai pas compris grand chose mais avec quelques propriétés formelles sur les espaces vectoriels $\mathcal{L}$ on arrive a suivre un peu les choses : par exemple la construction de la loi de groupe sur la courbe elliptique. Ca a l'air très efficace ce théorème :)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 10:16
avatar
Gai requin,

pour le livre de D. Harari tu as vu que tu as des notes de cours sur son site internet, ça peut donner une idée du contenu du livre avant d'investir ;)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/07/2017 10:18 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 10:40
@flip flop
A propos de RR et des espaces $L(D)$. Un truc que je trouve amusant et pédagogique, c'est le monoïde des pôle-numbers (pas beau ce franglais). I.e. on prend (sur une courbe projective lisse) un point rationnel $P$ et on examine les espaces $L(nP)$, qui sont (pour moi) probablement les plus simples. Cela conduit à des monoïdes de $\N$ à complémentaire fini et ayant $g$ trous (gaps). On peut faire mumuse avec (enfin, moi, il m'est arrivé de ...).

J'attache un brouillon recompilé (avec des petits dessins).

Autre chose : les notes de Voloch in [www.ma.utexas.edu] qui figurent dans les références bibliographiques de Tibouchi.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - gap_numbers.pdf (121.2 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 10:46
@flipflop :
Ah non !
C'était une référence pour toi. winking smiley
Cohomologie des groupes et théorie du corps de classes, très peu pour moi.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 21:39
avatar
@Claude :

Tu ne trouve pas que la relation
$$
P \left( {1 \over T} \right) = T^{-d} P(T)
$$
qui assure la symétrie des coefficients ressemble un peu à une relation de modularité ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 juillet 2017, 21:45
Ce n'est pas moi qui le dis...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 juillet 2017, 08:26
$\DeclareMathOperator{\calL}{\mathcal L}\DeclareMathOperator{Pic}{\mathrm Pic}\DeclareMathOperator{\Div}{\mathrm Div}$@flip flop Je ne vois pas trop ce que tu veux dire. Du coup, je te raconte mon point de vue sur l'invariance (équation fonctionnelle), même si ce n'est pas cela dont tu me parles. J'ai besoin de ce point de vue (le mien !) pour m'y retrouver car je trouve que l'on n'y voit pas toujours très clair dans les calculs qu'on lit.

D'abord, pour l'invariance, je fais intervenir l'opération $F \mapsto F^\star$ sur les séries formelles en $T$ :
$$
F(T) \longmapsto F^\star(T) = (qT^2)^{g-1}F(1/qT)
$$
C'est une INVOLUTION (facile à vérifier) et ce que l'on vise c'est l'invariance $Z^\star = Z$ où $Z$ est la fonction zeta. Fonction zeta de quoi ? D'un corps de fonctions algébriques $L/\mathbb F_q$. Il est indispensable d'obtenir la forme suivante pour la fonction zeta, forme qui n'est pas celle avec l'exponentielle et le comptage des points sur les corps $\mathbb F_{q^r}$ :
$$
Z(T) = \sum_{D \ge 0} T^{\deg D} = \sum_C {q^{\dim C} - 1 \over q-1} T^{\deg C} \qquad\qquad (\spadesuit)
$$
La première somme sur les $D$ porte sur les diviseurs positifs de $L$, parfois noté $\Div\nolimits^+(L)$, tandis que la seconde ($C$ pour classe) porte sur $\Pic(L)$:
$$
\Pic(L) = {\Div(L) \over \sim}, \qquad \sim \hbox { équivalence linéaire}
$$
Quant à $\dim C$, c'est $\dim \calL(D)$ où $D$ est un représentant quelconque de $C$ i.e. $C = [D]$.

Il faut évidemment prendre son temps pour établir $(\spadesuit)$ qui est indispensable. ADMETTONS.

Ensuite, histoire de neutraliser $q-1$ au dénominateur qui est constant, je multiplie par $q-1$ :
$$
(q-1)Z(T) = \sum_C q^{\dim C} T^{\deg C} - \sum_C T^{\deg C} = S_1(T) + S_2(T) - S_3(T)
$$
avec :
$$
S_1(T) = \sum_{\deg C \le 2g-2} q^{\dim C} T^{\deg C}, \qquad \qquad
S_2(T) = \sum_{\deg C \ge 2g-1} q^{\dim C} T^{\deg C}, \qquad \qquad
S_3(T) = \sum_C T^{\deg C}
$$
Et bien figure toi que $S_1$ est invariante terme à terme par l'involution $\star$ :
$$
(q^{\dim C} T^{\deg C})^\star \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad
q^{g-1} T^{2g-2} q^{\dim C} {1 \over (qT)^{\deg C}} =
q^{g-1 + \dim C - \deg C} T^{2g-2 - \deg C } \quad \buildrel (\heartsuit) \over = \quad
q^{\dim (W -C)} T^{\deg(W-C)}
$$
A droite, $W$ est un diviseur canonique et $(\heartsuit)$, c'est RR. On peut donc voir dans RR, l'intervention de l'involution $C \mapsto W-C$, qui correspond à l'involution $\star$

Enfin, en ce qui concerne $S_2(T)$ et $S_3(T)$, on a :
$$
S_3(T) = {h \over 1-T}, \qquad\qquad S_2(T) = h {q^g T^{2g-1} \over 1-qT}, \qquad\qquad h = \#\Pic\nolimits^0(L)
$$
Là aussi, il faut expliquer d'où cela sort. RR y intervient encore. Plus tard si tu en as envie. Et un calcul évident montre que :
$$
(-S_3)^\star = S_2 \qquad \hbox {donc} \qquad S_2^\star = -S_3
$$
Résumons : $(q-1)Z(T) = S_1 + (S_2-S_3)$, avec $S_2 - S_3$ qui est $\star$-invariante et $S_1$ qui est $\star$-invariante terme à terme.
Et donc $Z(T)$ est $\star$-invariante.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 juillet 2017, 12:05
Ce que j'ai raconté ci-dessus ressemble aux pages 83-84 de Hindry in [www.math.polytechnique.fr]. On n'y voit cependant pas l'involution $F(T) \mapsto F^\star(T)$. Que j'aime bien car je la rapproche de l'involution $D \mapsto W-D$.

Hindry admet l'existence d'un diviseur de degré 1 (th. de K.W. Schmidt). Ce qui permet, en désignant par $D_0$ un diviseur de degré 1, de considérer la bijection
$$
\text{Pic}^n(L) \ni [D] \longmapsto [D - nD_0] \in \text{Pic}^0(L)
$$
montrant en particulier que $\#\text{Pic}^n(L) = \#\text{Pic}^0(L)$.

C'est à mon avis, pour des raisons pédagogiques (oui, oui), ce qu'il ``faut'' faire. Mais ce qu'il est indispensable de savoir c'est que l'existence d'un tel diviseur $D_0$ se fait justement en étudiant la fonction zeta !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 juillet 2017, 20:24
avatar
Hello Claude,

En fait ma remarque était plus terre à terre. Ce que je voulais dire c'est que les relations fonctionnelles prédites par les conjectures de Weil (c'est un peu louche de garder le mot conjecture pour un truc prouvé mais bon passons) ressemble " un peu " au relation que l'on impose pour les histoires de forme modulaire (avec "l"homographie" $T \to 1/qT$) ... ça ressemble mais c'est pas vraiment pareil.

Par contre, c'est juste une remarque et je ne vois pas du tout comment exploiter cette remarque car de toute façon il faut fabriquer la fonction zeta global (produit sur tout les premiers) et peut être que les relations fonctionnelles locales en $p$ se regroupe pour donner une relation globale ... je n'y crois pas trop ... mais pour caricaturer "les relations de Weil sont peut être les germes des relations modulaires " ! Mais c'est surement des conneries ce que je dis !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 juillet 2017, 21:22
@flip flop
Tu as l'air de dire que je raconte des choses pas terre à terre. Fort possible que le post a fait flop (sans jeu de mots). Mais il a été vachement utile. A qui ? A moi, pardi car cela m'a permis de clarifier ma tête, c'est déjà ça.

Mais dans la journée, je me suis dit que ``mon'' involution $F(T) \mapsto F^\star(T) = (qT^2)^{g-1}F(1/qT)$, c'était peut-être artificiel.
Je te raconte maintenant une autre histoire avec l'involution $T \mapsto 1/qT$. Que ça doit être de la bonne car en faisant le changement de variables $T = {1 \over q^s}$ ;
$$
T = {1 \over q^s} \Longrightarrow {1 \over qT} = {1 \over q^{1-s}} \qquad
\hbox {i.e.} \qquad
\hbox {l'involution } T \mapsto {1 \over qT} \quad \hbox {c'est comme l'involution} \quad s \mapsto 1-s
$$
Que fait-on concernant l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann ? On commence par ``la corriger'' en :
$$
\widetilde {\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) \quad \hbox {qui vérifie l'équation fonctionnelle } \quad
\widetilde {\zeta}(1-s) = \widetilde {\zeta}(s)
$$
Et bien, on va corriger la fonction zeta $Z(T)$ en :
$$
\widetilde {Z}(T) = q^{1-g} T^{2-2g} Z(T)
$$
On vérifie facilement que :
$$
q^{g-1} T^{2-2g} Z(1/qT) = Z(T) \quad \iff \qquad \widetilde Z(1/qT) = \widetilde Z(T)
$$
A gauche, c'est l'équation fonctionnelle vérifiée par la fonction zeta.

Dit autrement : au lieu de prendre une involution ollé-ollé comme dans mon post précédent, je garde la brave $T \mapsto 1/qT$ mais je corrige les fonctions en les multipliant par un facteur ad-hoc, facteur qui se veut le pendant de $\pi^{-s/2} \Gamma(s)$.

Et bien sûr, je peux reprendre mes calculs précédents :
$$
(1-q)Z(T) = S_1 + S_2 - S_3 \qquad \Rightarrow\qquad (1-q) \widetilde Z(T) = \widetilde {S_1} + \widetilde {S_2} - \widetilde {S_3}
$$
Cela ne change pas grand chose à ces calculs.

Et c'est bien cela qui me déçoit car j'aurais bien voulu placer RR, qui peut s'écrire sous la forme symétrique suivante, montrant que $D \mapsto W-D$ est une jolie involution :
$$
\dim D - {1 \over 2} \deg D = \dim(W-C) - {1\over 2} \deg (W-D)
$$
Bien sûr, chez moi $\dim D$ c'est $\dim \mathcal L(D)$. L'égalité ci-dessus, c'est RR habituel.


Tu vas me dire : mais ce n'est pas ce que je demande. Et bien, moi je réponds ``c'est ce que je te réponds"".

PS : je n'ai pas compris la phrase de Nonoche. Et toi ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 29/07/2017 22:06 par claude quitté.
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