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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 juillet 2017, 22:04
@flip flop
Là, tu peux pas faire autrement que de plancher sur ce qui suit. Soit $E$ une courbe elliptique rationnelle. Elle possède une fonction $L(E,s)$, comme tu sais. On la corrige en
$$
\Lambda(E,s) = N^{s \over 2} (2\pi)^{-s}\Gamma(s) L(E,s)
$$
Cohen, A course in Computational Algebraic Number Theory, chap 7, section 7.3.2.

$N$ c'est le conducteur de $E$, que je saurais jamais ce que c'est ...etc... Mais toi tu es jeune, tu as la vie devant toi.

Et bien, $\Lambda(E,s)$ vérifie l'équation fonctionnelle :
$$
\Lambda(E,2-s) = \varepsilon_E \Lambda(E,s) \qquad (\star)
$$
où $\varepsilon_E$ est le root-number de $E$. HUM j'avais mis un $-\varepsilon_E$ mais cela doit être un $+$.

Saurais tu rendre plausible $(\star)$ ?


Rien à voir, pour se détendre, un petit truc plus peinard : notre amie $y^2 = x^3 - x$ sur $\mathbb F_5$. Structure du groupe $E(\mathbb F_5)$, $E(\mathbb F_{5^2})$, $E(\mathbb F_{5^3})$, ...etc... Une petite histoire à te raconter.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/07/2017 22:24 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 00:12
avatar
Pour la courbe elliptique de Koblitz je ne me souviens plus du résultat précis !

Mais par exemple : pour les histoires de a structure de groupe ... on peut déjà compter le nombre de point des groupes et après on pourra un peu regarder la structure de groupe !

Le problème c'est que je ne me souviens plus le résultat de Gauss ! Beh c'est pas grave car on a la forme de $$N_r := 5^r+1^r -(\alpha^r+\overline{\alpha}^r$$
du coup, on compte pour $r=1$, et on trouve $N_1=6$ (j'ai demandé a Magma, C'est pas bon j'ai projectivé $x$ en $z^3$ et pas $xz^2$ ... donc $N_1=8$ !!!) ce qui veux dire que la trace de $\alpha$ vaut zéro et comme on sait (Hypothèse de Riemann) que la norme de $\alpha$ vaut $p$, on trouve que $\alpha = i \sqrt{5}$.

Du coup, on contrôle les cardinaux des groupes $6 = 5^1+1^1$, $36=5^2+1^2+2*5$, $126 = 5^3+1^3$, $5^4+1^4-(( i \sqrt{5})^4+( -i \sqrt{5})^4)= 576$.

Pour la structure de groupe, et bien je sais pas du tout mais a mon avis c'est super complexe comme truc eye popping smiley eye popping smiley



Modifié 3 fois. Dernière modification le 31/07/2017 20:43 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 08:18
@flip flop, gai-requin.

Quelques petites choses faciles ici car j'ai été accusé de ne pas faire des choses terre à terre.

1) Nombre de points de $y^2 = x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ (notre amie, la courbe de Koblitz) sur $\mathbb F_5$. Tout commence avec [www.math.colostate.edu], car les auteurs trouvent à la page 1 que :
$$
E(\mathbb F_5) \simeq \Z/2\Z \times \Z/2\Z \qquad \hbox {a fortiori} \qquad \#E(\mathbb F_5) = 4
$$
Manifestement, ce n'est pas possible car il y a déjà les 3 points de 2-torsion $(x,0)$ avec $x = 0,1,-1$ racines du polynôme de degré 3. Avec l'origine, cela fait 4. Et on a aussi $(2,1)$ qui est sur cette courbe elliptique puisque:
$$
1^2 = 2^3 - 2 = 6 \bmod 5
$$
Donc quelque chose ne va pas chez ces auteurs. Il doit s'agir d'une coquille. Mais chez Flip-Flop non plus car il trouve 6 points. Et que l'on dispose déjà de la 2-torsion qui nous fait un sous-groupe d'ordre 4 et que 4 ne divise pas 6. Est ce qu'il s'agit d'une coquille chez Flip-Flop ? Alors que magma et mézigue, on en trouve 8

> EllipticCurve([-1,0]) ;         
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> F5 := GF(5) ;
> E := EllipticCurve([F5| -1,0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 4*x over GF(5)
> #E ;                            
8
> Points(E) ;
{@ (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1), (2 : 1 : 1), (2 : 4 : 1), (3 : 2 : 1), (3 : 3 : 1), (4 : 0 : 1) @}
> Trace(E) ;
-2

Mézigue : on factorise $5$ dans $\Z[i\rbrack$, $5 = \pi\overline\pi$ en faisant attention au coup de ``8 pour le prix d'un". Allusion à $u\pi$ et $u\overline\pi$ avec $u = \pm 1, \pm i$. On sait bien qu'il faut imposer la normalisation $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. Je prends :
$$
\pi = -1 - 2i \quad \hbox {qui vérifie bien} \quad -1-2i \equiv 1 \bmod (1+i)^3 \quad \hbox {puisque} \quad (1+i)^3 \sim 2(1+i)
$$
La trace $t$ est $-2$ et donc $N_1 = 1 + p - t = 1 + 5 + 2 = 8$.


De manière générale, soit $E/\mathbb F_q$ une courbe elliptique et sa fonction zeta :
$$
Z(E/\mathbb F_q)(T) = {1 - tT + qT^2 \over (1-T)(1-qT)} = {(1- \alpha T)(1 - \overline \alpha T) \over (1-T)(1-qT)}
$$
Dans la suite, je suppose que $\alpha \ne \overline\alpha$.

2) Alors $\alpha$ est un entier quadratique imaginaire et du coup $\Q(\alpha)$ est un corps quadratique imaginaire. Why ?

3) Exprimer $\#E(\mathbb F_{q^r})$ à l'aide d'une trace de cet anneau quadratique imaginaire. Cela donne quoi sur exemple 1 ?

4) Exprimer $\#E(\mathbb F_{q^r})$ à l'aide d'une NORME de cet anneau quadratique imaginaire. Cela donne quoi sur exemple 1 ?

5) Dans l'exemple 1, en réfléchissant à l'expression normique du point précédent, voyez vous un groupe de bon cardinal qui vous tend les bras (pour être isomorphe à $E(\mathbb F_{5^r})$ ? Using $\Z[i\rbrack$.

6) Quid du côté terre à terre de ce post?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/07/2017 08:30 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 09:08
Bonjour Claude.

2) $\alpha$ n'est pas réel et c'est une racine de $T^2-tT+q$ qui est dans $\Z[T]$.

Pour le 3), j'aurais tendance à remplacer $\alpha$ par $\alpha^r$ puisque $\Q(\alpha)=\Q(\alpha^r)$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2017 09:09 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 09:26
@gai requin
Pour le 3), pourrais tu ``coucher'' une formule (histoire de l'avoir sous les yeux) en commençant par $r=1$ ? Une formule où l'on verrait de la trace. La trace de $\Q(\alpha)/\Q$, of course.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 10:18
avatar
Me suis trompé ce n'est pas $N_1=6$ mais $N_1=8$ ! Du coup, $\alpha =-1+2i$ grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 10:29
Au fait, quand j'ai écrit la factorisation $1 - tT + qT^2 = (1 - \alpha T)(1 - \overline \alpha T)$, c'était sous entendu que $\overline\alpha$ est le conjugué COMPLEXE de $\alpha$. Mais pourquoi est ce que j'ai le droit d'écrire cette factorisation ? I.e. pourquoi le discriminant du trinôme auquel on pense (sic, une formulation à la c.n de CQ) est-il $\le 0$ ? Peut-il être nul ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 10:41
@Claude :
Une calculette me dit que :
$N_1=q-t+1$, $N_2=q^2+2q-t^2+1$, $N_3=q^3+3qt-t^3+1$...
Mais je n'arrive pas à coucher une formule. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 11:00
avatar
@Claude. Pour le discriminant négatif, si je réponds par le théorème de Hasse-Weil, c'est gagné ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2017 11:05 par AD.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 11:25
@flip flop
Oui, bien sûr (ce qui prouve que ce n'est pas trivial because Hasse). Et des exemples de discriminant nul (plus tard) ?

@gai requin
Je pensais à $\#E(\mathbb F_q) = 1 + q - \text{Tr}(\alpha)$ où $\text{Tr}$ est la trace de $\Q(\alpha)/\Q$. On garde cette trace une fois pour toutes.
$$
\#E(\mathbb F_{q^r}) = \hbox {quelle expression tracique ?}
$$
Et une expression normique ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 11:49
Je voulais absolument garder $t$. Du coup,
$$\#E(\mathbb F_{q^r}) =q^r+1-\mathrm{Tr}(\alpha^r)=N(\alpha^r)+1-\mathrm{Tr}(\alpha^r).$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:07
Et une expression uniquement normique :
$$
\#E(\mathbb F_{q^r}) = N(??)
$$
Sachant que ce n'est pas nouveau. Que cela figure probablement INDIRECTEMENT quelque part dans ce que vous avez lu (Hindry, Tibouchi, ...).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:16
avatar
Je ne vois pas du tout et pareil avec le groupe qui nous tend les bras confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:18
Je n'ai malheureusement rien lu encore mais je vais me soigner.
Je propose néanmoins
$$\#E(\mathbb F_{q^r}) = N(\alpha^r-1).$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:27
@gai requin YES.
Analogue à l'égalité pour des matrices $2 \times 2$ :
$$
\det(M + N) = \det (M) + \det(N) + \text{tr}(\widetilde M N) \qquad\qquad
\det(I_2 - N) = 1 + \det(N) - \text{tr}(N)
$$
On doit le voir dans Tibouchi ou Hindry (puisque cela intervient plus ou moins pour Hasse et/ou dans le contexte du module de Tate).

Autre question : quel quotient de $\Z[i\rbrack$ te tend les bras ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:31
Autre question pour la courbe elliptique $E_D$ sur un corps $k$ :
$$
E_D : \qquad y^2 = x^3 - Dx
$$
Je suppose que $-1$ est un carré dans $k$ : $-1 = i^2$. Je dis qu'il y a un endomorphisme de $E_D$ et même un automorphisme, que j'ai envie de noter $i$ :
$$
i.(x,y) = (x',y')
$$
Quid ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 12:41
avatar
Pour le quotient on va dire $\Z[ i] / (\alpha^r -1) \Z[ i]$ smoking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 14:19
Oui, le quotient que tu dis. Ce n'est pas une évidence. Il y a un théorème général dû à Lenstra in [www.math.leidenuniv.nl]

Pour l'instant, on va se contenter, dans le contexte $y^2 = x^3 - x$ sur $\mathbb F_5$, de faire quelques vérifications sécurisées pour plusieurs valeurs de $r$. Je le mets en exercice (magma) pour ceinture jaune. La réponse tient en 4 lignes mais on donne généralement 3-4 heures de préparation. Ici, je donne quelques mots clés qui pourraient diminuer le temps de préparation :

RepresentationMatrix, attention à $\Z$ versus $\Q$, quotient $\Z^2 /\text{Im M}$, attention aux lignes versus colonnes, Moduli d'un tel quotient, BaseChange(E, r) ($E$ courbe elliptique définie sur un corps fini), AbelianGroup([a, b]) = $\Z/a\Z \times \Z/b\Z$, AbelianGroup(E).

J'en oublie probablement. Ce n'est pas un exercice facile.


Autre chose. Si $E$ est une courbe elliptique quelconque définie sur un corps $k$ et $G$ un sous-groupe fini de $(E, +)$, alors $E/G$ est une courbe elliptique définie sur $k$. Cela veut dire quoi ? Ou encore, mais c'est quoi une courbe elliptique ? Là aussi, c'est difficile.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 16:21
J'essaie d'y voir un peu plus clair. confused smiley

Est-ce que le groupe des endomorphismes de $y^2=x^3-x$ sur $\mathbb F_5$ est isomorphe à $\Z[ i]$ ?

Si oui, Lenstra ne nous dirait-il pas que
$$E(\mathbb F_{5^r})\simeq \frac {\Z[ i]} {\langle (-1+2i)^r-1 \rangle} ?$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 16:51
@gai requin
On essaie tous d'y voir clair.
Oui, l'anneau des endomorphismes ...etc... Ce n'est pas trop difficile à montrer mais plus tard. Le minimum syndical serait de réaliser $i$ comme un endomorphisme de $E$. D'où ma question à un moment donné :
$$
i . (x,y) = (x',y')
$$
Quid ?

Y voir clair : soit $z$ un entier quadratique de $K$ (un corps quadratique), un vrai i.e. $z \notin \Z$. Il peut appartenir à plusieurs anneaux quadratiques $A, B \subset K$, avec par exemple $A \subset B$. Quel est le cardinal de $A/zA$, celui de $B/zB$ ? Se peut-il que les groupes abéliens (finis) $A/zA$ et $B/zB$ ne soient pas isomorphes ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 18:21
Dans Tibouchi [www.normalesup.org], en plein milieu de la page 9, on le voit le calcul avec des matrices $2 \times 2$, qui relie le déterminant et la trace. Le calcul est fait à la main, et c'est pas aussi général que $\det(M + N)$ (dans ce cas plus général, on n'a pas envie de le faire à la main, le calcul).

Bref, cela figure en plein d'endroits. C'est pas le tout de disposer du module de Tate $T_\ell(E)$, faut en faire quelque chose....

A propos de `Y voir clair" (post précédent). Si je prends $A = \Z[z]$, alors $A/zA$ est un groupe cyclique d'ordre $N(z)$. Mais si je prends $B$ un sous-anneau quadratique quelconque contenu dans $\Q(z)$, $B/zB$ est un groupe abélien d'ordre $N(z)$ qui n'a aucune raison d'être cyclique.

Correction Dans le cas quadratique quelconque, il faut remplacer $N(z)$ par sa valeur absolue $|N(z)|$. Merci gai-requin. Bien sûr, dans le cas quadratique imaginaire, il n'y a pas de lézard.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2017 19:05 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 18:49
J'aurais dit que $A/zA$ est de cardinal $|N(z)|$ en pensant par exemple au nombre d'or qui est de norme $-1$.

Pour l'endomorphisme de $E_D$ associé à $i$, on y arrive en posant
$$i . (x,y)=(-x,iy).$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 19:10
@gai requin. Ok pour le coup de la valeur absolue (j'ai apporté un correctif). Ainsi que l'endomorphisme associé à $i$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 juillet 2017, 22:53
@gai requin
Je vais réaliser le Frobenius de $E : y^2 = x^3-x$ sur $\mathbb F_5$ via
$$
\pi = -2i - 1 \qquad \hbox {où} \qquad
i : (x,y) \to (-x, iy)
$$
En prenant, dans $\mathbb F_5$, $i=2$ comme racine carrée de $-1$.

Je ne sais pas si cela va être clair (c'est peut-être un peu cryptique) :

> i := F5!2 ;               
> assert i^2 eq -1 ;
> 
> // On veut réaliser pi = -2*i - 1
> // [r, s, t, u] :   (x,y) -> (u^2*x + r, u^3*y + s*u^2*x + t)
> //  i.e. 
> //  | u^2        0   |  | x |  +  | r |
> //  | s*u^2      u^3 |  | y |     | t |
> // Ici la multiplication par i est (x,y) -> (-x,i*y) i.e. c'est [0,0,0,u] avec u = -i ;
> iMultiplication := Automorphism(E, [0,0,0,u]) where u is -i ;
> iMultiplication ;
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: E to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (4*x : 2*y : 1)
> MultBy2i := MultiplicationByMMap(E,2) * iMultiplication ;
> MultBy2i ;
Elliptic curve isogeny from: CrvEll: E to CrvEll: E
taking (x : y : 1) to ((x^4 + 2*x^2 + 1) / (x^3 + 4*x) : (4*x^6*y + 4*y) / (x^6 + 3*x^4 + x^2) : 1)

J'ai fait quoi ci-dessus ? J'ai réalisé la multiplication par $2i$ comme composée de la ``multiplication par $i$'' et de la multiplication par 2. La multiplication par $i$, je l'ai réalisé comme un automorphisme de $E$ via
$$
\pmatrix {x\cr y\cr} \mapsto \pmatrix {u^2 & 0\cr 0 & u^3} \pmatrix {x \cr y\cr} + \pmatrix {0\cr 0\cr} \qquad \hbox {avec} \quad u = -i
$$
Vient maintenant la phase cryptique. Je vais considérer le point générique $P = (x,y)$ au dessus de $E$ et faire calculer $-2iP -P = (X,Y)$:

> P := GenericPoint(E) ; 
> _<x,y> := Parent(P[1]) ;
> P ;
(x : y : 1)
> // Frobenius(P) = - 2*i*P - P
> FrobeniusP := -MultBy2i(P) - P ;
> FrobeniusP ;
(x^5 : (x^6 + 3*x^4 + x^2)*y : 1)
> X,Y := Explode(Eltseq(FrobeniusP)) ;
> X ;
x^5
> Y ;
(x^6 + 3*x^4 + x^2)*y
> assert X eq x^5  and  Y eq y^5 ;

Il faut comprendre à la fin que :
$$
(x^6 + 3x^4 + x^2)y = y^5 \qquad \hbox {ce qui est dû à} \qquad y^2 = x^3 - x
$$
Je n'ai pas fait la vérification moi-même. Du coup, je fais faire le boulot par magma.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2017 22:55 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 05:35
avatar
Mais c'est très amusant ce que tu as fait Claude !

Si je comprends un peu tu as la courbe $E : y^2=x^3-x$ et tu regardes l'ensemble $A$ des endomorphismes de $E$ (si j'ai compris c'est les morphismes algébriques qui envoie $0$ sur $0$).

Là tu disposes d'une structure sur $A$ : ça doit être $\Z[ i]$ avec $\Z$ qui agit par multiplication sur la courbe elliptique (via la structure de groupe) et $i$ qui agit comme gai requin. i.e on a un morphisme $\Phi : \Z[ i] \to A$

D'autre part, on dispose d'un élément particulier dans $A$ c'est notre copain le Frobenius qui est $\text{Fr} : (x,y) \mapsto (x^5,y^5)$. Et si j'ai compris la construction beh : notre Graal ($-2i-1$) celui trouvé sous les sabots du cheval de Jacobi grinning smiley c'est "juste" $\Phi^{-1}(\text{Fr})$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 06:30
@flip flop
Oui, c'est cela. Mais je suis malhonnête car j'ai caché un souci : $-2i-1$ versus $2i-1$. Je veux dire par là qu'une fois que l'on a choisi un endomorphisme $i$ de $\text{End}_{\mathbb F_5}(E)$ (il y en a deux), alors si on croit que $\text{End}_{\mathbb F_5}(E) = \Z[i\rbrack$, c'est que le Frobenius $\Phi$ est dedans. Mais $\Phi$ vérifie :
$$
\Phi \overline \Phi = \overline \Phi \Phi = p (=5) \qquad (\heartsuit)
$$
Et il reste à le chercher parmi les 8 facteurs irréductibles de $5$ dans $\Z[i\rbrack$ (le coup de 8 pour le prix d'un). Mais $\Phi$ vérifie aussi
$$
\Phi \equiv \text{Id}_E \bmod (1 + i)^3 \qquad (\star)
$$
A justifier plus tard. Bien sûr $1$ dans $1+i$, c'est $\text{Id}_E$. La congruence $(\star)$ est liée au fait que $\Phi - \text{Id}_E$ est nul sur $\ker_{\overline {\mathbb F_5}} (1+i)^3$ i.e. au fait que :
$$
\ker_{\overline {\mathbb F_5}} (1+i)^3 = \ker_{\mathbb F_5} (1+i)^3
$$
A voir donc.

Une fois $(\star)$ acquis, on se retrouve avec 2 pour le prix d'un. Car quand on cause, pour un premier $p \equiv 1 \bmod 4$, de la factorisation normalisée de $p$, $p = \pi\overline\pi$ avec $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$, on ne peut pas distinguer $\pi$ de $\overline\pi$ (qui vérifie la même congruence).

Mais dans l'anneau $\text{End}_{\mathbb F_5}(E)$, le Frobenius, il n'y en n'a pas 36.

Bref, dès que l'on fait un peu quelque chose dans ce métier, tout s'agite. Remarque que dans $(\heartsuit)$, ce que j'ai noté comme une conjugaison complexe, c'est en fait l'isogénie duale.

Et puis quand même, je trouve que j'ai été un peu (sic) léger car j'ai affublé du nom $i$ beaucoup trop d'objets. D'abord, il y a le VRAI $i$ des nombres complexes qui forme $\Z[i\rbrack$ (à moins que $\Z[i\rbrack$ cela ne soit $\Z[X]/\langle X^2+1\rangle$ ?), il y a aussi deux $i$ dans $\mathbb F_p$ quand $p \equiv 1 \bmod 4$. Et enfin, les deux endomorphismes :
$$
(x,y) \mapsto (-x, iy), \qquad (x,y) \mapsto (-x,-iy)
$$
Mon avis : puisque l'on a mis les pieds dans le plat, faut en dire/faire un peu plus. Un peu ou beaucoup ?

C'est de la faute aux deux auteurs Achter &Wong in [www.math.colostate.edu]. S'ils n'avaient pas fait l'erreur $E(\mathbb F_5) \simeq \Z/2\Z \times \Z/2\Z$, alors que la vraie vérité est $E(\mathbb F_5) \simeq \Z/2\Z \times \Z/4\Z$, on n'en serait pas là. J'ai monté toute cette histoire à partir de cette erreur SANS savoir où j'allais vraiment. Et aussi un peu à cause de ``terre à terre''.

PS : en ce qui concerne le coup de $E/G$ est une courbe elliptique pour $G$ sous-groupe fini de $(E,+)$, je trouve qu'il n'y a pas eu beaucoup d'écho.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 06:41
avatar
Pour le terre à terre tu remarqueras que j'ai fini mon post " terre à terre" par " peut être que les relations de Weil sont les germes des relations de modularité" c'est très terre à terre, tu trouves pas grinning smiley

Pour $E/G$, on peut essayer de faire Riemann-Hurwitz avec $ E \to E/G$ ? Si on arrive à voir qu'il n'y a pas de ramification je pense que c'est gagné pour calculer le genre.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 06:49
avatar
Beh, en fait le cardinal de la fibre d'un morphisme de groupe surjectif est constante égale au cardinal de $G$, du coup pas de ramification ...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 07:25
@flip flop
Oui, tu as été vraiment terre à terre avec ton histoire de $T \mapsto 1/qT$ ! Et du coup, je me suis fendu d'une comparaison avec l'involution en analytique $s \mapsto 1-s$, j'ai même parlé de l'objet analytique $\pi^{-s/2} \Gamma(s/2)\zeta(s)$, j'en ai encore des frémissements.

Oui $E \to E' = E/G$ n'est pas ramifié donc $2 - 2g_E = \#G \times (2 - 2g_{E'})$ et par conséquent $g_{E'} = 1$. Et donc il ne faut surtout pas se contenter raconter qu'une courbe elliptique c'est une équation de Weirstrass. Parce que pour l'instant, $E/G$, on ne l'a pas sous cette forme.

$E \mapsto E/G$ est le type même d'isogénie séparable.

Et tout cela, c'est pour en venir, dans le cadre de $E : y^2 = x^3 - x$ sur $\mathbb F_5$, au fait que :
$$
E_{1,0} := E/\langle p_{1,0}\rangle \qquad p_{1,0} = (1 : 0)_E
$$
est une courbe elliptique qui a même nombre de points (8) que $E$, car isogène à $E$, mais pas même groupe. Le groupe de $E_{1,0}$ c'est $\Z/8\Z$ et pas $\Z/2\Z \times \Z/4\Z$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 07:42
Hello.
Bon là, je ``corrige'' l'exo magma, qui illustre le théorème de Lenstra avec $E : y^2 = x^3 -x$ sur $\mathbb F_5$ :
$$
E(\mathbb F_{5^r}) \simeq \Z[i\rbrack / \langle 1 - \pi^r\rangle, \qquad \pi = \pm 2i - 1
$$
Là, je peux me permettre d'être léger avec le $\pm$.

Pour faire un truc propre, cela m'a demandé plus de boulot que prévu car l'intrinsic InvariantFactors sur les groupes abéliens, je ne l'ai pas vue dans la doc. Je l'ai obtenue via ListSignatures (i.e. je ne la connaissais pas).

J'ai la flemme de commenter. Je crois en plus que j'ai fait une boulette car RepresentationMatrix intègre la transposée. Mais ici, pour ce que je veux faire, c'est pas grave. Mais il y a des jours (les mauvais jours de la semaine) ou confondre une matrice et sa transposée, c'est la cata.

> pi := Zi ! (-1 + 2*i) ;
> assert Trace(pi) eq Trace(E) ;
> time assert &and [#BaseChange(E,r) eq Norm(1-pi^r) : r in [1..10]] ;
Time: 0.110
> 
> r := Random(3,7) ;
> "r =", r ;
r = 3
> M := RepresentationMatrix(1-pi^r, Z) ;
> M ;
[-10   2]
[ -2 -10]
> assert Determinant(M) eq Norm(1-pi^r) ;
> ImM := Image(Transpose(M)) ;
> Generic(ImM) ;
Full RSpace of degree 2 over Integer Ring
> CokerM := Generic(ImM)/ImM ;
> CokerM ;
Full Quotient RSpace of degree 2 over Integer Ring
Column moduli:
[ 2, 52 ]
> Ar := AbelianGroup(BaseChange(E,r)) ;
> Ar ;
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/52
Defined on 2 generators
Relations:
    2*Ar.1 = 0
    52*Ar.2 = 0
> assert Moduli(CokerM) eq InvariantFactors(Ar) ;
> 
> B := Order([2*i]) ;                    
> M2 := RepresentationMatrix(B!(1-pi^r), Z) ;
> M2 ;
[-10   1]
[ -4 -10]
> ImM2 := Image(Transpose(M2)) ;
> CokerM2 := Generic(ImM2) / ImM2 ;
> CokerM2 ;
Full Quotient RSpace of degree 1 over Integer Ring
Column moduli:
[ 104 ]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 08:36
avatar
@Claude : pour la fonction $\Lambda$ in ici.

On doit pouvoir (hum hum) au moins vérifier l'équation fonctionnelle de $\Lambda$ pour notre courbe, parce qu'on a fait l'assemblage ici. Du coup, ici je suppose que le conducteur est $N=32$ grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 08:56
@gai requin, flip flop.
J'ai un peu peur d'une descente de police sur le forum et peut-être qu'il faut être plus sérieux. Et montrer quelque chose ? Car si on nous demande des comptes, on va être jolis garçons. Avant que cela ne se gâte, je nous propose de prouver que $\text{End}_{\mathbb F_p}(y^2 = x^3-x)$ est isomorphe à $\Z[i\rbrack$ quand $p \equiv 1 \mod 4$.

En commençant par le résultat plus général suivant.

Soit $E/\mathbb F_q$ une courbe elliptique et $\Phi$ son Frobenius. On suppose que $\Phi \notin \Z$ (déjà, c'est mieux d'avoir un exemple où $\Phi \in \Z$ !). Alors $\Q(\Phi)$ est un anneau quadratique imaginaire et $\text{End}_{\mathbb F_q}(E)$ un sous-anneau quadratique de $\Q(\Phi)$.

C'est faisable : j'ai une note (brouillon) sous les yeux (avec des trous).

Sauf qu'il est préférable de savoir 2 ou 3 petites choses générales sur l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique générale. J'ai cela dans le Siverman I. Cela serait bien de trouver via le web des pointeurs (Endomorphism ring of an elliptic curve).

Qu'en dites vous ? Evidemment, si vous n'avez pas peur de la police, vous pouvez répondre ``on s'en fout de l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique''. Je vous aurais prévenu.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/07/2017 09:03 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 09:38
avatar
@Claude :
J'ai pas trop peur de la police mais j'aime bien comprendre quand même.

Faut peux être commencer par comprendre l'histoire de Dual d'une isogénie.

Après comprendre pourquoi :
$$\Phi \overline{\Phi} = [p] \qquad \Phi \text{ le Frobénius}$$
Et aussi $[m] = \overline{[m]}$.

Je vais lire un peu grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 10:17
J'ai lu que $\Phi$ vérifie la même relation que notre $\alpha$, i.e.
$$\Phi^2-t\Phi+qI_E=0.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 15:58
@gai requin
J'ai envie de dire ``bien sûr''. Et c'est bien pour cela, que dans [www.les-mathematiques.net], j'ai agi pour pouvoir dire : le Frobenius $\Phi$ C'EST $-2i-1$.

Précision : ci-dessus, mon contexte, c'est $y^2 = x^3-x$ sur $\mathbb F_5$. Au fait, quel est ton contexte ?

@flip flop
Sans isogénie duale, on ne peut effectivement rien faire. Et comme, on ne peut pas tout faire, il faut admettre des choses. Mais lesquelles ? That is the problem. Si on admet tout n'importe comment, on ne comprend rien (c'est mon avis).

Quand j'étais tout petit, j'avais étudié le cadre de bébé suivant :

1) Deux réseaux $\Lambda_1, \Lambda_2$ de $\C$, et un $z \in \C$ non nul tel que $z\Lambda_1 \subset \Lambda_2$. On peut donc considérer la multiplication par $z$ :
$$
\C/\Lambda_1 \quad \buildrel {\times z} \over \longmapsto\quad \C/\Lambda_2
$$
Si on pose $d = [\Lambda_2 : z\Lambda_1]$, on a $dz^{-1}\Lambda_2 \subset \Lambda_1$ et l'isogénie duale de $\times z$, c'est :
$$
\widehat z = dz^{-1}
$$
Sur ce modèle (simpliste), on peut vérifier (facilement) un certain nombre de propriétés de l'isogénie duale (degré, composition, ...etc..)

2) Cas particulier $\Lambda_1 = \Lambda_2 = \Lambda$. Si bien que $z$ vérifie $z\Lambda \subset \Lambda$. Alors $z$ est un entier quadratique et vérifie une équation :
$$
z^2 - tz + d = 0, \qquad t,d \in \Z, \qquad t^2 - 4d \le 0
$$
L'isogénie duale est alors $\widehat z = \overline z$. Et ou bien $z$ est entier de $\Z$ ou bien $z$ est un entier quadratique imaginaire (un vrai).

Certes, c'est pour les bébés (j'ai commencé comme cela). Et ci-dessus, faut bien démontrer un petit quelque chose (la police ..) ; et tant qu'à faire le plus proprement possible.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 18:19
avatar
Ouhais ça va le faire avec ce mode bébé smiling smiley

Je fais le 2/

Soit $\Lambda := \Z \oplus w \Z$ (police grinning smiley) $w \notin \R$ et $z \in \C$. Alors $z \Lambda \subset \Lambda$ si et seulement si il existe $(a,b,c,d) \in \Z^4$ vérifiant :
$$
z =a +bw \qquad zw =c +dw
$$

On multiplie la première relation par $z$ et on utilise la seconde et ensuite la première
$$
z^2=az+bzw \Leftrightarrow z^2 = az+b (c+dw) \Leftrightarrow z^2=az+bc+ d(z-a)
$$

Ensuite, faut regarder le cardinal du quotient $\Lambda /z \Lambda$ ... hum le genre de truc que j'aime bien grinning smiley J'ai envie de dire $|z|^2$ je vais réfléchir un peu.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/07/2017 20:00 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 juillet 2017, 19:12
@flip flop
Même si c'est un peu ollé-ollé, on peut faire un parallèle avec les matrices $2 \times 2$ : ce qui correspond à l'isogénie duale pour $M$, c'est la cotransposée $\widetilde M$ avec les relations :
$$
M + \widetilde {M} = \text{tr}(M), \qquad M\widetilde M = \det(M), \qquad \chi_M(T) = T^2 - \text{tr}(M)T + \det(M)
$$
Et en dimension $2$, $M \mapsto \widetilde M$ est linéaire et involutive. C'est spécifique à la dimension 2. Et le calcul de l'autre jour :
$$
\det(M+N) = \det(M) + \det(N) + \text{tr}(\widetilde MN)
$$
peut se faire via :
$$
(M+N) \widetilde {(M + N)} = (M+N)(\widetilde M + \widetilde N) = M\widetilde M + N \widetilde N + (N\widetilde M + M\widetilde N) =
\det(M) + \det(N) + \text{tr}(\widetilde MN)
$$
Et justement, si je prends comme toi $\Lambda = (1,w)$ [[avec $w \notin \R$, tu ne l'as pas dit ... la police]] :
$$
z \pmatrix {1 \cr w\cr} = M \pmatrix {1 \cr w\cr} \qquad M = \pmatrix {a & b\cr c & d\cr} \in M_2(\Z) \qquad\qquad (\star)
$$
le déterminant trick donne que $z$ est racine de :
$$
\det(TI_2 - M) = T^2 - \text{tr}(M) T + \det(M)
$$
Je mets le cas $z \in \Z$ de côté. Alors je dis que $z$ n'est pas réel comme on le voit en regardant la première ligne $z = a + bw$ de $(\star)$ et en utilisant que $b$ est non nul (car j'ai viré $z \in \Z$) et $w$ non réel.

Bref : dans le cas où $z \notin \Z$, on a bien $\text{tr}(M)^2 - 4 \det(M) < 0$ donc
$$
(T-z)(T-\overline z) = T^2 - \text{tr}(M) T + \det(M)
$$
...etc....

On retombe en enfance.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/07/2017 19:20 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 aot 2017, 07:48
@Claude :
J'ai trouvé des choses sur le Frobenius et son polynôme caractéristique [ici] p.13.
D'ailleurs, ce petit cours m'a l'air pas mal.
Bonne journée !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 aot 2017, 07:59
@gai requin, flip flop
Un truc qui me turlupine depuis avant hier. Je fais terre à terre en prenant $p = 13$ que je factorise dans $\Z[i\rbrack$ (ici $i$ c'est le brave $i$ habituel) :
$$
p = \pi\overline\pi \qquad \pi = 2i + 3 \equiv 1 \bmod (1+i)^3, \qquad \overline\pi = -2i + 3 \equiv 1 \bmod (1+i)^3
$$
Note : modulo $(1+i)^3$ ou modulo $(1-i)^3$, c'est kif-kif puisque $1+i$ et $1-i$ sont associés $i \times (1-i) = 1+i$.

Comme $p \equiv 1 \bmod 4$, $-1$ est un carré dans $\mathbb F_p$, par exemple, $5^2 = -1 \bmod 13$. Prudemment, je note ce 5 de $\mathbb F_p$, je le note $i_p$ avec un indice. Je fais moins le malin qu'hier/avant-hier en notant tout le monde $i$. Notons que $-5$ vérifie aussi $(-5)^2 = 1 \bmod 13$ et que l'on peut prendre $i_p = -5$.

Enfin, je fais débarquer notre amie la courbe elliptique $E : y^2 = x^3 - x$ sur $\mathbb F_p$ avec son Frobenius $\Phi$. Et je définis un automorphisme que je note $I$ (je fais moins le malin, bis) :
$$
I : (x,y) \mapsto (-x, i_py)
$$
Et je sais, vous n'êtes pas obligé de me faire confiance, que $\Phi$ habite $\Z[I\rbrack$. Et même que :
$$
p = \Phi\overline\Phi , \qquad \Phi \equiv \text{Id}_E \bmod (\text{Id}_E + I)^3
$$
Je fais le choix de $i_p = 5$, ce qui détermine $I$.
Le truc qui me turlupine : $\Phi$ c'est $2I + 3$ ou $-2I+3$, sous-entendu $2I + 3\text{Id}_E$ ou $-2I + 3\text{Id}_E$ ??
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 aot 2017, 08:53
avatar
Effectivement Claude !

Ca veux dire qu'on ne peut pas savoir à l'avance qui est le Frobenius ?
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