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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
03 aot 2017, 19:10
@ Claude.
tu envoies $\overline{1}\in \mathbb Z/N\mathbb Z$ sur $\exp(2i\pi/N)\in \mathbb U_N,$ et ensuite tout le reste tourne bien, indépendamment des autres choix.
Décider si cette application-ci est canonique ou pas, c'est sans doute plus une affaire de goût qu'un énoncé précis démontrable ou falsifiable, non ? (et finalement sans grande conséquence sur la suite).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
03 aot 2017, 19:24
avatar
Pour la somme de Gauss : elle vit dans $\Z[\root (p-1)p \of 1]$ ou si tu préfères $\Z[\root 3p \of 1]$.

pour la construction, je vais vérifié mais je pense que ça dépend pas de $g$ (faut faire le calcul).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
03 aot 2017, 21:53
@Nonoche
Je ne tiens pas à faire une fixette sur l'adjectif canonique. Effectivement, initialement, cela vient de moi. Mais j'ai utilisé ensuite ``j'aime bien le générateur untel ...etc..''. Ce que j'ai voulu signifier c'est que du côté de $G$, là il n'y avait pas de choix de générateur. Il faudrait que je puisse montrer l'impact sur un ``truc concret'' pour éviter les généralités.

@flip flop
Oui $G(\phi,\chi)$ vit dans $\Z[\root 3p \of 1]$. Mais je n'arrive pas à ``faire passer quelque chose'' qui est du monde du calcul. Et pourtant, je crois avoir compris que tu es sensible à ce monde.

Mettons cela de côté et faisons quelque chose de plus intéressant. Ce qui suit est ma manière de répondre à FlipFlop concernant la cubique $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ et $\Z[j]$, car comme d'habitude, tout cela est de sa faute.

(1) Sur un corps $K$ contenant une racine cubique de l'unité $j$, je considère la cubique projective de Fermat et je lui colle un point-base :
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 0, \qquad p_0 = (1 : -1 : 0)
$$
On obtient ainsi une courbe elliptique que je note $E$. On voit 9 points $K$-rationnels :
$$
\hbox {un paquet de 3}\quad (1 : j^k : 0) \quad 0 \le k \le 2 \qquad \hbox {et deux autres paquets cousins}
$$
Montrer que le sous-groupe de 3-torsion $E[3]$ est constitué de ces 9 points. Indication : points d'inflexion. Voir aussi la question 6.

(2) On suppose $K = \mathbb F_p$ (et donc $p \equiv 1 \bmod 3$ vue la présence de $j$) et on note $\Phi$ le Frobenius de $E/\mathbb F_p$. Montrer que :
$$
\Phi \equiv 1 \bmod 3
$$
Of course $1$ c'est $\text{Id}_E$ et $3$ c'est ... Indication : c'est la question d'avant.

(3) En déduire le théorème de Gauss.

(4) Définir un automorphisme $J$ d'ordre 3 de $E$.

(5) Informel : je note $j_p \in \mathbb F_p$ au lieu de $j$ pour éviter les confusions. Sachant que $j _p\in \mathbb F_p$ définit un caractère $\chi_3$ d'ordre 3 précis sur $\mathbb F_p$ et un facteur irréductible précis $\pi = -J(\chi_3,\chi_3)$, quel lien peut-on faire entre $\Z[j]$ (le vrai $j$ complexe) et $\Z[J]$ ?

(6) Soit $C$ une cubique lisse de $\mathbb P^2$ sur un corps quelconque. Pour deux points $P, Q$ de $C$, je note $P \star Q$ le troisième point d'intersection de $C$ avec la droite $(P,Q)$. On sait qu'en fixant un point $O$ quelconque de $C$, on obtient une loi de groupe additif :
$$
P + Q = O \star (P \star Q)
$$
Qu'est ce qui est difficile à montrer concernant cette loi ? Que vaut $-P$ ?

Cas particulier : $0$ d'inflexion. Comparer $P + P$ et $-P$. Quels sont les points de 3-torsion ?

Cette question (6) est ultra-classique

Sur ce, je vais stopper car mine de rien, cela prend un peu de temps. Je ``dois'' encore quelque chose à FlipFlop concernant la loi de réciprocité cubique, chose promise il y a quelques mois.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
03 aot 2017, 22:51
avatar
Hello,

Oui je sens bien qu'il y a un truc que tu veux faire passer, c'est niveau programmation ou vraiment maths ?

1/ Compris pour les inflexions et les points d'ordre $3$.

Je regarde le reste demain !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 07:04
@gai requin
Tu m'as posé la question ``Que s'agit-il de prouver pour la partie facile ?''. Je suppose que tu as vu que je t'ai répondu de manière précise. Ici, j'attache une page qui contribue à la chose. J'ai fait du coupé-collé à partir du symbole bi-quadratique pour produire cette page symbole cubique. J'espère qu'il ne reste pas trop de coquilles (le coupé-collé, c'est mortel). Je ne cache pas mes sources (ici Ireland et Rosen) comme je n'ai pas caché mes sources (Weil) pour $-J(\chi_3,\chi_3) \equiv 1 \bmod 3$.

Les 2 pdf (Jchi3chi3.pdf d'avant hier et CubicResidueSymbol.pdf ici) contribuent au fait que les deux constructions ...etc.. sont réciproques l'une de l'autre. Que reste-t-il à prouver ?
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - CubicResidueSymbol.pdf (229.5 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 07:59
Bonjour Claude.
Effectivement, merci pour la précision de ta réponse.
J'imprime ces deux pdf que je vais regarder avant de repartir en vadrouille dimanche.

J'ai posé hier une question pour le cas $p=1\bmod 12$ mais j'imagine qu'on peut alors factoriser $p$ dans $\Z[ i]$ ou dans $\Z[ j]$ selon les besoins.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 08:13
@flip flop
Faire passer quelque chose, c'est le plus difficile dans le métier. Fort possible de plus que cela dépende des individus : ce qui marque X n'a aucune raison de marquer Y. Effectivement, l'histoire $\Z[\root 3p\of 1]$, c'est plutôt lié à la programmation, et pas aux maths.

Quant à cette histoire de $G \simeq \widehat G$ pour $G$ cyclique, je pense que j'ai loupé ce que je voulais signifier juste par utilisation de l'adjectif canonique, que je n'aurais pas dû employer. Ce que je voulais dire c'est qu'il y a une correspondance biunivoque explicite en $G$ et $\widehat G$, point-barre. Ce qui m'intéresse directement ici ce n'est pas de palabrer sur l'adjectif ``canonique'' mais d'implémenter efficacement.

Par exemple, ci-dessous, cette fonction (dont on ne peut pas dire qu'elle soit complexe et qu'elle prenne beaucoup de lignes) implémente la construction $x_0 \mapsto \chi$, qui à un élément d'ordre 3 d'un corps fini $k$ associe un caractère $\chi$ d'ordre 3 sur $k$. Inutile d'être un expert en programmation pour constater que l'on n'utilise pas de générateur de $k^*$ !! Et bien, je peux t'assurer que mes premières versions étaient laides. C'est de mieux comprendre cette histoire de correspondance biunivoque qui m'a conduit au code suivant.

Chi3Character := function(x0)   // x0 in k corps fini et x0^2 + x0 + 1 = 0
  assert x0^2 + x0 + 1 eq 0 ;
  k := Parent(x0) ;
  G0 := [1, x0, x0^2] ;
  G0toZj := map < G0 -> Zj | [1 -> 1, x0 -> j, x0^2 -> j^2] > ;
  CoCubicExponentiation := hom < k -> k | x :-> x^ExactQuotient(#k-1,3) > ;
  return map < k -> Zj |  x :-> x eq 0 select 0 else G0toZj(CoCubicExponentiation(x)) > ;
end function ;

Quant à mon machin sur $x^3 + y^3 + z^3 = 0$, je crois qu'il est mal fichu et que les questions ne sont pas dans l'ordre. Mais il fallait bien que je te réponde quelque chose. A propos de $P + Q = O \star (P \star Q)$, j'ai retrouvé deux pages de Silverman-Tate : c'est certainement ce que j'ai vu de plus clair dans ce que j'ai lu. C'est même plus que clair : ces 2 auteurs, en particulier spécialistes des courbes elliptiques, ont réussi un ouvrage vraiment pédagogique (Rational points on elliptic curves). J'ai mis ``en particulier'' car je ne veux pas réduire le grand Tate à un spécialiste des courbes elliptiques : il est bien plus que cela (respect).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/08/2017 09:39 par claude quitté.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - CubicAdditionHeader.pdf (41.3 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 09:04
avatar
On est d'accord pour canonique, j'ai pris dans le sens : on dispose d'un isomorphisme (tout le monde le même) a partir de la construction que tu exposes.

En me levant : j'ai eu un petit flash :
$$
\Phi \equiv 1 \bmod 3
$$
tu traduis ça : par le Frobenius ($\Phi$) agit trivialement ($ \equiv 1$) sur les points de $3$-torsion ($\pmod{3}$).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 09:36
@flip flop
Ton flash (en prenant le café ?), il est tout bon. Et juste parce que les points de 3-torsion sont dans le corps de base. C'est tout c.n. Mais là où mon truc n'est pas top, c'est qu'il faut croire que $p = \Phi\overline\Phi$, cela se passe dans $\Z[J]$ qui est l'anneau $\text{End}_{\mathbb F_p}(E)$. Et j'y suis allé un peu fort dans la question 3, en disant ``En déduire le théorème de Gauss''. Car $J$, il ne débarque qu'à la question suivante.

Bref, il ne faut pas prendre le truc au pied de la lettre. C'est juste une tentative pour essayer de faire comprendre qu'en ayant les outils ad-hoc avec soi (un bout de la théorie des courbes ellipuiques), on trivialise le théorème de Gauss sur le comptage des points de $x^3 + y^3 + z^3 = 0 \bmod p$ pour $p \equiv 1 \bmod 3$. Il faut y aller au feeling.


L'autre histoire : je montre de nouveau mon code. Parce ce que j'en suis fier ? Oui, d'ailleurs, j'ai diminué d'une ligne le code. Plus sérieusement : j'ai oublié de dire un point vachement important. C'est que l'on y voit :
$$
x \longmapsto x^{\#k - 1 \over 3}
$$
Et que ça, c'est dans l'esprit ``power residue symbol'', qui est un truc clé dans la définition du symbole cubique (et des symboles plus généraux).

Chi3Character := function(x0)   // x0 in k corps fini et x0^2 + x0 + 1 = 0
  assert x0^2 + x0 + 1 eq 0 ;
  k := Parent(x0) ;
  x0TOj := map < [1,x0,x0^2] -> [1,j,j^2] | [1 -> 1, x0 -> j, x0^2 -> j^2] > ;
  CoCubicExponentiation := hom < k -> k | x :-> x^ExactQuotient(#k-1,3) > ;
  return map < k -> {0,1,j,j^2} | x :-> x eq 0 select 0 else x0TOj(CoCubicExponentiation(x)) > ;
end function ;




Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/08/2017 09:37 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 10:53
Gauss et Weil :

By a somber winter night in 1949, André Weil, reading dusty manuscripts of C.-F. Gauss, discovers the existence of a spectacular treasure lying somewhere in the deep jungles of arithmetic geometry.

C'est écrit en haut de la page 18 de [people.math.ethz.ch] (le papier n'est pas signé mais l'adresse semble identifier l'auteur);
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 11:15
avatar
Faut pas se louper pour définir $J$, je ne sais pas comment trouver ! Il nous faut un automorphisme de la courbe $x^3+y^3+z^3=0$ qui soit d'ordre $3$ et qui fixe le point $[ 1 : -1 : 0]$. hum !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 11:43
@flip flop
Je ne suis pas clair là-dessus (et pas le moyen de faire des tests). J'en ai deux sous la main parmi les :
$$
(x : y : z) \longmapsto (j^a x : j^b y : j^c z) \qquad a,b,c \in \{0,2\}
$$
Ci-dessus, il y en a beaucoup (trop) : il n'y en a que deux qui fixent $p_0 = (1 : -1 : 0)$, sans compter l'identité.


@gai requin
En attaché, un truc. Ne pas oublier qu'il s'agit d'ensembles à deux éléments. Je ne sais (encore) pas tout faire.


Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 11:55
@gai-requin, flip flop.
Pendant que j'y pense. Essayer de comprendre un peu de maths présente un gros inconvénient : cela prend beaucoup beaucoup de temps. Et cela pourrait empêcher de participer (sur le forum) aux débats de société.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 12:17
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 12:26
avatar
grinning smiley

Mais je suis un peu con con, j'étais parti sur des histoires de matrice d'ordre $3$ même pas vu les deux automorphismes !

Bon je vais essayé de faire un peu de magma pour voir si j'arrive a retrouvé le Frobenius, normalement avec le code qui tu as mis ici, je vais peut être faire un bidouillage grinning smiley

Sinon débat de société : j'aime beaucoup le style de Deligne dans la vidéo ici, il fait un peu magicien qui sort des objets de son chaudron magique et il a un petit accent qui me rappelle ma jeunesse en Belgique grinning smiley
J'aime bien aussi Serre grinning smiley Par contre, je n'ai pas trouvé de vidéo de Grothendieck pour voir un peu son style cool smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 13:53
avatar
@Claude : j'ai encore écrit un peu en dur ... Sorry ... tu comprends un peu ?

Le truc c'est que magma change l'équation de $C$ vers $E$ du coup j'ai fait le changement de variable : JC et JE c'est pour le J de C et le J de E.

Zj<j> := CyclotomicField(3);
p:=13; pi := 4+3*j;
jp :=3;
 Fp := GF(p) ;
// Definition de E 
//  x^3+y^3+z^3
P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Fp,2);
f := x^3+y^3+z^3; C := Curve(P2,f); P := C![1,-1,0];
E<u,v,w> , phi := EllipticCurve(C,(P)); E;
assert Trace(E) eq Trace(pi) ;
assert #E eq Norm(1-pi) ;
////////////////////////////////////////////////////
phi; phiMoins := Inverse(phi); phiMoins;phi(P);
JC:=map<C->C|[x,y,3*z]>; 
JE := map<E->E| [3*u,v,w]>;
JE;
bJE := MultiplicationByMMap(E,3) * JE ;
 P := GenericPoint(E) ; 
> _<u,v> := Parent(P[1]) ;
> P ;
Frob := 4*P+bJE(P) ;Frob;
X,Y := Explode(Eltseq(Frob)) ;
> X ; Y;
assert X eq u^p  and  Y eq v^p ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 19:46
@flip flop
Oui, je comprends ce que tu as fait. Je n'aurais pas osé le faire. Et en ligne, difficile de faire autrement qu'en dur. J'ai arrangé ton code et je donne quelques explications car il reste un mystère. Tu me diras si je te trahis. Le 'je' ci-dessous, c'est ``nous''.

Je pars de $p \equiv 1 \bmod 3$, et $j_p \in \mathbb F_p$ une racine cubique de l'unité et je lui associe $\pi = -J(\chi, \chi)$ où $\chi$ est le caractère cubique défini à $j_p$ par le fameux mécanisme $G \simeq \widehat G$. Schéma :
$$
j_p \longmapsto \chi \longmapsto \pi
$$
Bien sûr $p = \pi\overline \pi$ est normalisé i.e. $\pi \equiv 1 \mod 3$. Et aussi $\pi$ est attaché PAR UNE FICELLE à $j_p$.

Et toi, monsieur Flip Flop, tu prends comme $J$ de la cubique de Fermat $C$ :
$$
(x : y : z) \longmapsto (x : y : j_pz)
$$
qui fixe effectivement $p_0 := (1, -1, 0)$, le point base retenu de $C$.

Et le clou, c'est que l'on constate que :
$$
\pi = a + bj \quad \Longrightarrow\quad \Phi = a + bJ
$$
Fallait pas se louper dans le choix de $J$. Et ça va le faire. Et je sais pas pourquoi.

> // Quelques premiers p = 1 modulo 3
> SomeAdHocPrimes := [p : p in PrimesInInterval(5,70) | p mod 3 eq 1] ;
> SomeAdHocPrimes ;
[ 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67 ]
> p := Random(SomeAdHocPrimes) ;
> "p =", p ;
p = 19
> Fp := GF(p) ;
> FpX<X> := PolynomialRing(Fp) ;
> 
> ok, jp := HasRoot(X^2 + X + 1) ;
> Chi3 := Chi3Character(jp) ;
> JChi3Chi3 := &+[Chi3(x)*Chi3(1-x) : x in Fp] ;  
> pi := -JChi3Chi3 ;
> pi ;
-3*j - 5
> assert IsDivisibleBy(pi - 1, 3) ;

Là, il va falloir mettre $C$ sous forme de Weierstrass car c'est le terrain de prédilection de magma. J'ai tout paramétré comme tu vois en composant $J_C$ pour obtenir $J_E$:

> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Fp,2);
> C := Curve(P2, x^3 + y^3 + z^3); 
> p0 := C![1,-1,0];
> E<u,v,w> , CtoE := EllipticCurve(C,p0) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + 10*y = x^3 + 11 over GF(19)
> <F : F in DefiningEquations(CtoE) > ;
<16*z, 9*x, x + y>
> assert CtoE(p0) eq E!0 ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + 10*y = x^3 + 11 over GF(19)
> assert Trace(E) eq Trace(pi) ;
> assert #E eq Norm(1-pi) ;
> 
> EtoC := Inverse(CtoE); 
> <F : F in DefiningEquations(EtoC) > ;
<18*v, v + 10*w, 3*u>
> 
> // (x : y : z) --> (x : y : jp*z) choisi par FlipFlop
> JC := map< C-> C | [x,y,jp*z]>; 
> 
> /*
>      EtoC       JC         CtoE
> E --------> C ------> C --------> E    :   CtoE o JC  o EtoC
> Attention à la composition à l'envers
> 
> CtoE o JC  o EtoC = EtoC * JC * CtoE 
> */
> 
> JE := EtoC * JC * CtoE ;

Et là, je CROISE LES DOIGTS

> a := Z!pi[1] ;  b := Z!pi[2] ; assert pi eq a + b*j ;
> bJE := MultiplicationByMMap(E,b) * JE ;
> 
> P := GenericPoint(E) ; 
> _<u,v> := Parent(P[1]) ;
> P ;
(u : v : 1)
> // pi = a + b*j : on croise les doigts en espérant Frobenius = a + b*J
> FrobeniusP := a*P + bJE(P) ;
> FrobeniusP ;
(u^19 : (u^27 + u^24 + 11*u^21 + 12*u^18 + 2*u^15 + 15*u^12 + 18*u^9 + 9*u^6 + 
    5*u^3 + 1)*v + 5*u^27 + 5*u^24 + 17*u^21 + 3*u^18 + 10*u^15 + 18*u^12 + 
    14*u^9 + 7*u^6 + 6*u^3 : 1)
> U,V := Explode(Eltseq(FrobeniusP)) ;
> U ; 
u^19
> V ;
(u^27 + u^24 + 11*u^21 + 12*u^18 + 2*u^15 + 15*u^12 + 18*u^9 + 9*u^6 + 5*u^3 + 
    1)*v + 5*u^27 + 5*u^24 + 17*u^21 + 3*u^18 + 10*u^15 + 18*u^12 + 14*u^9 + 
    7*u^6 + 6*u^3
> assert U eq u^p  and  V eq v^p ;

Je ne t'ai pas trahi ? Et comprends tu ce que nous avons fait i.e. le coup de $\pi = a + bj$ versus $\Phi = a + bJ$ ??
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 20:52
@flip flop
Ce que j'ai écrit dans mon post précédent prouve que j'ai encore la tête dans le guidon. Car il y a un moyen direct d'attacher par une ficelle $j_p$ et $\pi$, cf le triangle que j'attache de nouveau et qui ne demande qu'a être mis au point.

Voilà comment : $p \equiv 1 \bmod 3$ et $j_p \in \mathbb F_p$ une racine cubique de l'unité. Parmi les deux facteurs $\mathfrak p$, $\overline {\mathfrak p}$ de $p$ dans $\Z[j]$, il y en a un seul, tel que dans l'isomorphisme canonique :
$$
\mathbb F_p \simeq \Z[j] / \mathfrak p \qquad \hbox {$j_p$ corresponde à $j$ modulo $\mathfrak p$}
$$
Ce que j'appelle canonique, c'est la réduction modulo $\mathfrak p$, $\Z \longmapsto \Z[j] / \mathfrak p$ qui est surjective de noyau $p\Z$.

En un certain sens, on a relevé $j_p$ à la caractéristique 0. Pas besoin de passer par les caractères d'ordre 3. Et ensuite, $\mathfrak p$ possède un seul générateur $\pi$ tel que $\pi \equiv 1 \bmod 3$. Et cela tombe bien car cette congruence, c'est ce que vérifie le Frobenius $\Phi$ dans l'anneau (de caractéristique 0) $\text{End}_{\mathbb F_p}(C)$. Je ne dis pas que cela explique tout.

Autre chose : il se pourrait que l'on puisse mettre $x^3 + y^3 + z^3$ sous forme de Weirstrass au dessus de $\Z$, ou peut-être $\Z[1/3]$. Je vais regarder cela.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/08/2017 21:51 par claude quitté.


Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 20:54
avatar
Merci Claude thumbs down au moins on comprend mieux que mon charabia !

Oui oui compris enfin compris on se comprend grinning smiley Je pense que ça ouvre beaucoup de questions !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 21:17
Encore des questions !
Je vais finir par rendre les armes. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 21:39
avatar
Claude : j'essayes d'expliquer enfin de m'expliquer le truc "canonique" faudrait peut être dire normalisation ?

Concernant ton dernier message, je vois un peu, je pense que c'est que j'ai essayé d'expliquer hier : ici mais j'ai un peu de mal à m'exprimer thumbs up

à tout d'idéaux premiers $\pi$ de $\Z[ j]$ de norme $p$ et premiers à $3$, on associe le Frobenius en $\pi$ i.e le Frobenius de la courbe $x^3+y^3+z^3$ défini sur $\mathbb{F}_p$. NON pas sur $\mathbb{F}_p$ je rigole grinning smiley la courbe on la voit défini sur $\Z[ j] / \pi$ !

Ok, tu vas me dire $\Z[ j] / \pi$ c'est $\mathbb{F}_p$. Je suis d'accord mais on dispose canoniquement d'une racine cubique de $1$ dans $\Z[ j] / \pi$ mais dans un $\mathbb{F}_p$ "abstrait" on en a pas de canonique ! C'est ça que je voulais dire hier avec mon $\mathbb{F}_p$ concret et abstrait !

Je chauffe, brûle ou glace grinning smiley



Modifié 2 fois. Dernière modification le 04/08/2017 22:06 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
04 aot 2017, 22:30
@flip flop
C'est pas c.n ce que tu dis là. Et je peux pas aider beaucoup car je suis limite sur ce coup là.

Demain, si j'ai un peu de temps, on montrera que l'anneau $\text{End}_{\mathbb F_p}(E)$ d'une courbe elliptique $E/\mathbb F_p$ est un sous-anneau quadratique de $\Q(\Phi)$ et que le Frobenius $\Phi$ est un entier quadratique imaginaire. Il faudra admettre quelques points plausibles. J'en liste quelques uns.

1) Pour toute courbe elliptique $E/k$, $k$ quelconque, $\text{End}_k(E)$ est un anneau intègre de caractéristique $0$. Ceci grâce au degré.

2) Pour toute courbe elliptique $E/k$, $k$ quelconque, un endomorphisme $\varphi \in \text{End}_k(E)$ vérifie une équation unitaire du second degré à coefficients dans $\Z$, à savoir :
$$
T^2 - \text{tr}(\varphi) T + \deg(\varphi) \qquad \hbox {``car''} \qquad \varphi + \widehat {\varphi} \in \Z, \qquad
\varphi \circ \widehat \varphi = \widehat \varphi \circ \varphi = \deg(\varphi)
$$
Dit autrement, faut croire à l'isogénie duale. Et penser à $M \mapsto \widetilde M$ sur les matrices $2 \times 2$.

3) Soit $K \subset L$ une extension de corps commutatifs de caractéristique 0 telle que tout élément de $L$ soit algébrique sur $K$ de degré $\le 2$. Alors $[L : K] \le 2$. Justification : si $L = K$, c'est plié. Sinon fixons $x_0 \in L \setminus K$. Prenons un $x \in L$ quelconque. Alors $K(x_0,x)$ admet un élément primitif $y$ I.e. $K(x_0,x) = K(y)$. Et comme $y$ est de degré $\le 2$, c'est que $K(x_0,x) = K(x_0)$. Bilan : $x \in K(x_0)$. Et on a montré que $L = K(x_0)$.

4) $E/\mathbb F_p$. Le Frobenius $\Phi$ vérifie $\Phi \widehat \Phi =p$ et donc $\Phi \notin \Z$ (un premier n'est pas un carré). Donc $\Phi$ est un vrai entier quadratique. Imaginaire par l'inégalité de Hasse.

5) $E/\mathbb F_p$. Un habitant $\varphi \in \text{End}_{\mathbb F_p}(E)$ commute à $\Phi$ car $\varphi$ est défini par des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb F_p$ et que le Frobenius, c'est le Frobenius.


Faudra encore faire un petit effort pour terminer. Ici, c'est pour commencer à s'habituer à la musique.

Application : supposons, par hasard, au gré du vent, que l'on on mette la main sur une courbe elliptique $E/\mathbb F_p $ avec un automorphisme $J$ d'ordre 3. Ce sont des choses qui arrivent. Alors $\Q(J) \subset \Q(\Phi)$ puis, merci au degré $2$, $\Q(J) = \Q(\Phi)$. Et donc $\text{End}(\mathbb F_p)(E)$ est un sous-anneau quadratique de $\Q(J)$ qui contient $J$. Et la chute, c'est que $\text{End}(\mathbb F_p)(E) = \Z[J]$ car $\Z[J]$ est un anneau de nombres maximal dans $\Q(J)$. On a donc une expression $\Phi = a + bJ$ avec $a, b \in \Z$. J'ai vu des gens faire joujou avec cela.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
05 aot 2017, 07:45
Je termine (rapidement) le post précédent. Il s'agit de prouver que $\text{End}_{\mathbb F_p}(E)$ est un anneau quadratique imaginaire du corps quadratique imaginaire $\Q(\Phi)$ où $\Phi$ est le Frobenius de $E/\mathbb F_p$. A propos, ce dernier corps, on peut le voir comme $\Q(\Phi) \simeq \Q(\sqrt {D})$ avec $D = t^2 - 4p$ où $t$ est la trace de $E/\mathbb F_p$ i.e. $t = 1+p - \#E(\mathbb F_p)$ : $t^2 - 4p$, c'est le discriminant de $T^2 - tT + p$.

Je fais comme dans le point 3) du post précédent, en faisant attention au manque (provisoire) de commutativité. Soit $\varphi \in \text{End}_{\mathbb F_p}(E)$. Comme $\varphi$ commute à $\Phi$, le corps $\Q(\Phi, \varphi)$ est commutatif. Et je peux faire le coup de l'élément primitif pour obtenir $\Q(\Phi, \varphi) = \Q(\Phi)$ i.e. $\varphi \in \Q(\Phi)$.
Bilan : on a obtenu
$$
\text{End}_{\mathbb F_p}(E) \quad \subset \quad \Q(\Phi)
$$
En fait, on peut faire le même boulot pour $E/k$ où $k$ est un corps fini à condition de supposer que $\Phi_{E/k} \notin \Z$. Pour en savoir plus, par exemple les lecture notes de Andrew V. Sutherland :
[ocw.mit.edu]
[ocw.mit.edu]
[ocw.mit.edu]

Un petit ``exercice'' (facile), histoire de voir une fois dans sa vie une courbe elliptique $E/k$ avec un Frobenius $\Phi_{E/k} \in \Z$.

(0) Si $\Phi_{E/k} \in \Z$, alors $\#k$ est un carré et $\Phi_{E/k} = \pm \sqrt {\#k}$.

(1) Soit $E/\mathbb F_q$ une courbe elliptique de trace nulle i.e. $\#E(\mathbb F_q) = 1+q$. Quelles sont les caractéristiques de $E/\mathbb F_{q^2}$ i.e. la trace, le nombre de points, la fonction zeta ? Vérifier que $\Phi_{E/\mathbb F_{q^2}} = -q$, c'est donc un entier négatif.

Même question avec $E/\mathbb F_{q^4}$ avec cette fois $\Phi_{E/\mathbb F_{q^4}} = +q^2$, un entier positif.

(2) Les courbes elliptiques $E : y^2 = x^3 - D$ sur $\mathbb F_q$ avec $q \equiv 2 \bmod 3$ fournissent des exemples de courbes de trace nulle. Indication : pour voir que $\#E(\mathbb F_q) =1+q$, utiliser le fait que $x \mapsto x^3$ est une permutation de $\mathbb F_q$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
05 aot 2017, 08:53
Salut Claude.
J'ai relu deux de tes pdf parfaitement clairs. Merci !

Dans Jchi3chi3, il y a une petite coquille au début dans la définition de $J$ quand tu te débarrasses de $y$.

Dans CubicResidueSymbol, dans la preuve,
$$\chi_{\pi}(x)=x^{\frac{p-1}{3}}\bmod \pi \text{ (et pas $p$)}.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
05 aot 2017, 09:32
OK, merci pour les coquilles (c'est corrigé). Si c'est clair, tant mieux mais je n'y suis pour rien : merci Weil et Ireland & Rosen.

Du coup, concentrons nous sur l'égalité $\pi = -J(\chi_\pi,\chi_ \pi)$ montrée dans CubicResidueSymbol, dans le contexte que l'on sait. Et également, sur les deux horizontales du schéma triangulaire ci-dessous. Uniquement les horizontales. Vu la définition de $f_1, f_2$, l'égalité $\pi = -J(\chi_\pi,\chi_ \pi)$ s'écrit :
$$
f_2 \circ f_1 = \text{Id}
$$
En principe, je me gourre pas : on part de $\pi$ à gauche et on va vers la droite puis on revient vers la gauche.

Et du coup, vu le cardinal 2 commun, $f_1, f_2$ sont inverses l'une de l'autre.
$$
f_1 \circ f_2 = \text{Id} \qquad\qquad (\star)
$$
Donc c'est réglé côté horizontale. Et là où j'ai perdu du temps, c'est que je voulais une preuve directe de $(\star)$. Cette égalité $(\star)$ dit que pour tout caractère cubique $\chi$ sur $\mathbb F_p$, on a la congruence dans $\Z[j]$;
$$
\chi(y \bmod p) \equiv y^{p-1 \over 3} \bmod J(\chi, \chi), \qquad y \in \Z
$$


Re: Homographies et petits groupes de Galois
05 aot 2017, 11:01
@gai requin, flip flop
Effectivement, sur $\Z[1/3]$, les cubiques projectives :
$$
C : x^3 + y^3 + z^3 = 0, \qquad \qquad E : Y^2Z - YZ^2 = X^3 - 7Z^3 \quad \hbox {(en affine $\{Z=1\}$-affine, $Y^2 - Y = X^3 - 7$)}
$$
sont isomorphes à l'aide d'un isomorphisme linéaire de $\mathbb P^2$, inversible sur $\Z[1/3]$. A droite, c'est une cubique de Weierstrass. Cf les détails dans le pdf attaché.

L'isomorphisme explicité dans le pdf relie $(0 : 1 : 0)_E$ à $(-1 : 1 : 0)_C$ i.e. le point base $p_0$. Et relie :
$$
J_C = (x : y : z) \mapsto (x : y : jz) \qquad \hbox {et} \qquad
J_E = (X : Y : Z) \mapsto (jX : Y : Z)
$$
On aurait donc pu jouer avec la courbe elliptique $y^2 - y = x^3 - 7$. Mais y on voit moins bien la symétrie et les points de 3-torsion.

PS : je vois que j'avais écrit cela pour les agrégatifs comme cadeau suite à l'épreuve sur les sommes de Gauss-Jacobi (entraînement à l'Agrégation). Mais je crois me souvenir qu'ils ne voulaient plus entendre parler de cette épreuve. Et du coup, voyant que le cadeau allait faire flop, je crois que je n'ai rien distribué.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/08/2017 11:02 par claude quitté.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - x2-xy+y2.pdf (60 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 aot 2017, 12:22
@gai requin, flip flop
En reprenant des notes, je constate des maladresses dans le passé (je parle de maladresses de ma part évidemment). Maladresses pouvant conduire à des confusions. Je me propose de revenir sur certains points tout en démarrant une nouvelle petite activité, histoire de ne pas avoir l'impression de trop patiner. Pour se rassurer : certes des maladresses, mais des points positifs tout de même (par exemple : se donner un caractère d'ordre 3 sur un corps fini $k$, c'est se donner un élément d'ordre 3 de $k$, $3$ étant un entier quelconque).

Un exemple de maladresses. Sur $\Z[j]$, indexer le symbole cubique $\displaystyle {\left( {\bullet \over \pi} \right)_3}$ par un élément $\pi$ de $\Z[j]$ alors que ce symbole ne dépend que de l'idéal engendré par $\pi$. En insistant lourdement sur $\pi \equiv 1 \bmod 3$. Et cela serait trop lâche de dire ``j'ai fait comme Ireland & Rosen'' (ce qui est vrai).

Bref, je (nous) propose de cogiter sur :

1) La détermination du nombre $N$ de points de la courbe projective $C : x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ sur $\mathbb F_q$ pour $c \in \mathbb F_q \setminus \{0\}$, l'entier $q$ étant une puissance d'un nombre premier $p$ autre que 3. On doit en trouver $N = q+1 - t$ avec :
$$
t = \cases {
0 &si $q \equiv 2 \bmod 3$ \cr
\text{Tr}\big(-\chi_3(c)^{-1} J(\chi_3, \chi_3)\big) &si $q \equiv 1 \bmod 3$, $\chi_3$ désignant n'importe quel des deux caractères cubiques sur $\mathbb F_q$ \cr
}
$$
Précision : $\chi_3$ prend ses valeurs dans $\{1,j, j^2, 0\}$ et $J(\chi_3, \chi_3)$ est la somme de Jacobi, habitant de $\Z[j]$ :
$$
J(\chi_3,\chi_3) = \sum_{x \in \mathbb F_q} \chi_3(x) \chi_3(1-x)
$$
La trace est celle de $\Z[j]$ ; le signe $-$, on en a l'habitude.

Note : je ne dispose pas pour l'instant de la preuve. J'ai préféré me concentrer sur le programme qui m'a permis de mettre la main (expérimentalement) sur cette égalité.

2) Peut-on en déduire, sans utiliser la relation de Hasse-Davenport, la fonction zeta de $C$:
$$
Z_{C/\mathbb F_q}(T) = {1 - tT + qT^2 \over (1-T)(1-qT)}
$$
Idem : je n'ai pas la réponse. Dans le passé (à propos de $y^2 = x^3 - n^2x$), il y avait un point pas clair dans le passage $q \mapsto q^r$.

3) Soient $p$ un premier et $e$ un exposant vérifiant $p \wedge e = 1$. Fixons un premier $\mathfrak p$ de l'anneau $\Z[\root e\of 1]$ au dessus de $p$. Histoire de corriger la maladresse signalée, étudier le ``symbole'' :
$$
\left( {\bullet \over \mathfrak p} \right)_e : \Z[\root e\of 1] \longmapsto \mathbb U_e \cup \{0\}
$$

4) Plus difficile. Munir $C$ du point-base $p_0 = (1 : -1 : 0)$, ce qui en fait une courbe elliptique. On impose $q \equiv 1 \bmod 3$ et on fait débarquer l'automorphisme d'ordre 3 choisi par FlipFlop :
$$
J = (x : y : z) \longmapsto (x : y : j_qz) \qquad \hbox {où $j_q \in \mathbb F_q$ est une des deux racines cubiques de l'unité}
$$
Se prendre la tête avec la factorisation de $\langle q\rangle$ dans $\Z[J]$ (y intervient $\Phi$) versus la factorisation de $\langle q\rangle$ dans $\Z[j]$. Peut-être commencer modestement par $q = p$. L'objectif étant de fournir une preuve de 1) sans mettre la main dans le monde des sommes de Gauss-Jacobi, mais en utilisant la ``théorie des courbes elliptiques''.


Note : dans cette activité, le risque n'est pas grand : on risque juste de comprendre un peu plus (en principe)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 aot 2017, 17:00
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Hello Claude,

Ca va ? T'as pas eu trop de neige ?

Bonne activité smiling smiley

Pour le 1. même si j'ai pas de preuve, je suis convaincu que ça fonctionne grinning smiley

Je fais réfléchir un peu !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 aot 2017, 19:46
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@Claude : sinon je voulais formuler les choses de la manière suivante. C'est très spéculatif.

On considère la courbe elliptique $E$ sur $\Z$ (???) définie par l'équation $x^3+y^3+c z^3 = 0$ le point $(1,-1,0)$ servant de point base.

Soit $\pi$ un premier de $\Z[ j]$, on considère la courbe $E_\pi$ c'est à dire la courbe $E$ définie sur le corps fini $\Z[ j] / \pi$.
On dispose d'un isomorphisme :
$$
\text{End}_{\Z}(E_\pi) \simeq \Z[ J] \qquad \qquad J := (x,y,z) \mapsto (x,y,jz)
$$
Dans $\text{End}_{\Z}(E_\pi)$ on dispose du morphisme de Frobenius
$$
(x,y,z) \mapsto (x^q,y^q,z^q) \qquad \text{avec} \qquad q := \text{N} (\pi)
$$
qui correspond à un élément de $\Z[ j]$ que l'on note $\text{Frob}(E / \pi)$.

Alors :
$$
\# (E_\pi) = \text{N}(\pi) +1 - \text{Tr} \left(\text{Frob}(E / \pi)\right)
$$
(y'a un petit problème car je ne vois pas du tout les corps finis quand $p=2 \pmod{3}$ je n'ai pas $\mathbb{F}_p$ mais $\mathbb{F}_{p^2}$).

Ensuite, dans un second temps on va faire intervenir le caractère et les sommes de Jacobi (ou pas) pour calculer explicitement $\text{Frob}(E / \pi)$.

Tu vas me dire ça ne change pas grand chose



Modifié 2 fois. Dernière modification le 12/08/2017 20:29 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 aot 2017, 21:25
@flip flop
Météo. Jamais vu cela en 25 ans de randonnée : orages, neige, grêle ... Malgré cette météo de m.rde, M. a beaucoup apprécié la rando (et moi aussi).

Nos petites affaires. Hum, tu attaques bille en tête par le point 4) de mon post [www.les-mathematiques.net]. C'est évidemment ce point que je vise car c'est le plus intéressant. Mais je crois qu'il faut y aller mollo pour éviter les prises de tête.

Je viens de faire les calculs pour le point 1) en utilisant les parties III.5 et III.6 de l'épreuve (gauss_jacobi.pdf) avec $n=2$.Je suppose d'abord $q \equiv 2 \bmod 3$. Alors $x \mapsto x^3$ est une permutation de $\mathbb F_q^*$ (car $3 \wedge (q-1) = 1$) donc aussi une permutation de $\mathbb F_q$. En conséquence, l'ensemble $C(\mathbb F_q)$ est en bijection avec la droite de $\mathbb P^2(\mathbb F_q)$:
$$
x + y + cz = 0
$$
D'où un cardinal de $q+1$ i.e. cardinal d'une droite projective sur $\mathbb F_q$ ; ou encore si tu veux $q^2 - 1 \over q-1$.

Ce que je viens de faire ne me plaît pas du tout car $q \equiv 2 \bmod 3$, ce n'est pas stable par $q \mapsto q^r$. Je voudrais bien un traitement stable par $q \mapsto q^r$. Je veux dire quoi par là ? Je n'en sais rien.

Je suppose $q \equiv 1 \bmod 3$. Et cela, c'est stable par $q \mapsto q^r$. Et il m'est venue l'idée de compliquer la chose en :
$$
a x^d + b y^d + cz^d = 0, \qquad a,b, c \in \mathbb F_q \setminus \{0\}, \qquad d \mid q-1 \qquad \qquad (\star)
$$
Pourquoi $d \mid q-1$ ? Parce que cela m'arrange pour l'instant. J'utilise III.5 qui me donne (versus $x_0 \leftrightarrow x$, $x_1 \leftrightarrow y$, $x_2 \leftrightarrow z$) une expression du type
$$
N = q+1 - \sum_{\chi_0, \chi_1} \alpha_{\chi_0, \chi_1} \qquad \hbox {avec $ \alpha_{\chi_0, \chi_1}$ = voir plus loin}
$$
La somme porte sur les couples de caractères $(\chi_0, \chi_1)$ sur $\mathbb F_q$ vérifiant :
$$
\chi_0^d = \chi_1^d = \varepsilon, \qquad \chi_0 \ne \varepsilon \qquad \chi_1 \ne \varepsilon \qquad \chi_0\chi_1 \ne \varepsilon
$$
Ce qui a attiré mon attention (ce n'était pas prévu), c'est que cet ensemble $\Theta$ de couples est de cardinal $(d-1)(d-2) = 2g$ où $g$ est le genre de la courbe $(\star)$. Note que $(\star)$ est une courbe lisse de $\mathbb P^2$ dès que $d \wedge q = 1$. Ce qui est largement assuré par $d \mid q-1$, situation dans laquelle je me suis mise.

Et $\Theta$ possède une involution sans point fixe :
$$
(\chi_0, \chi_1) \longmapsto (\overline {\chi_0}, \overline {\chi_1})
$$
qui conjugue, au sens de la conjugaison complexe, $\alpha_{\chi_0,\chi_1}$ (voir formule plus loin). Je te cache pas que je vise une formule du type :
$$
N = q + 1 - \big[ (\alpha_1 + \overline {\alpha_1}) + (\alpha_2 + \overline {\alpha_2}) \cdots + (\alpha_g + \overline {\alpha_g}) \big]
$$
Et pourquoi pas une fonction zeta pour la courbe $(\star)$ du type
$$
Z(T) = {\prod_{i=1}^{2g} (1 - \alpha_iT) \over (1-T)(1-qT)}
$$
C'est encore confus dans ma tête, mais tu vois que je vise une instance élémentaires ``des conjectures de Weil'' pour les courbes $(\star)$. Certes, c'est petit, voire bébé, mais justement c'est ce que l'on aime (comprendre les trucs de bébé le mieux possible).

Voilà la formule à coucher dehors pour $\alpha_{\chi_0, \chi_1}$ :
$$
\alpha_{\chi_0, \chi_1} = -J(\chi_0, \chi_1) \chi_0(a^{-1}) \chi_1(b^{-1}) \chi_0(c) \chi_1(c) \chi_0(-1) \chi_1(-1)
$$
ATTENTION : je n'ai rien vérifié pour l'instant et fort possible que cette formule comporte des erreurs. C'est de la faute à la courbe $(\star)$ qui a débarqué dans mes affaires sans être invitée.

A suivre, j'espère.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 aot 2017, 22:04
Temps plutôt clément ici en Bretagne cette semaine.
A demain pour de nouvelles aventures elliptiques !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 08:29
@flip flop
Plusieurs remarques, suite à ton post [www.les-mathematiques.net].

D'abord, je la joue modeste en prenant $q = p$ et $p \equiv 1 \bmod 3$. Tu as pris comme corps $\mathbb F_p$ le corps $\Z[j]/\langle \pi\rangle$. On sait que cela équivaut à se donner $\mathbb F_p$ ET une racine cubique de l'unité, à savoir $j$ modulo $\pi$. Comme il va y avoir de la glace mince plus loin, je précise comment réaliser $j \bmod \pi$ dans $\Z$ modulo $p\Z$.

On écrit $\pi = a + bj$ ce sorte que modulo $\pi$, $a + bj \equiv 0 \bmod \pi$ (!!). Ce qui conduit à $j \equiv -ab^{-1}$ où $b^{-1}$ est un inverse de $b$ modulo $p$. Petite remarque : ce dernier calcul vaut pour tout $a + bj$ avec $a \wedge b = 1$ : en posant $N = N(a+bj) = a^2 - ab + b^2$, on a $1 \in \langle b,N\rangle$ puisque $1 \in \langle a,b\rangle$ ; et en désignant par $b^{-1}$ un inverse de $b$ modulo $N$ ....etc...

Par ailleurs, on ``va devoir faire'' des calculs dans $\Z[J]$ où
$$
J = (x : y : z) \mapsto (x : y : j_pz) \qquad \hbox {$j_p \in \mathbb F_p$ est la classe de $-ab^{-1}$ modulo $p$}
$$
Et comme $\Phi$, le Frobenius de la courbe elliptique $x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ munie du point base $p_0 = (1 : -1 : 0)$, est un facteur irréductible de $p$ dans $\Z[J]$, ne pas oublier que $p = \Phi \widehat {\Phi}$, peut-être que l'on va être amenés à considérer le symbole cubique :
$$
\chi_\Phi = \left( {\bullet \over \Phi} \right)_3
$$
On n'a pas nécessairement $\Phi \equiv 1 \bmod 3$ mais ceci n'empêche pas de définir le symbole cubique (qui ne dépend que de l'idéal engendré par, cf ma maladresse avouée).

Et bien, j'ai été amené à penser que dans $\Z[J]$, on a :
$$
J \equiv \widetilde {j_p} \bmod \Phi \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
où, pour la paix des ménages, je note $\widetilde {j_p}$ un relevé dans $\Z$ de $j_p$.

Cela prend un peu la tête (en tout cas, la mienne). En admettant $(\heartsuit)$, j'ai pu faire des calculs. Je définis $k \in \{0,1,2\}$ par $c^{p-1 \over 3} = j_p^k$ dans $\mathbb F_p$. Alors, d'une part :
$$
\chi_\Phi(c) = J^k
$$
Et d'autre part :
$$
J^{k} \Phi \equiv 1 \bmod 3
$$
Cette dernière congruence signifiant que $\Phi$ et $J^{-k}$ coïncident sur $E[3]$.

J'arrête là pour l'instant car mon intention était de se lancer là-dedans (mon point 4) au dernier moment. Mais toi, tu as commencé par cela.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 10:45
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Coucou Claude,

Super pour M, bah oui c'est pas banal de la neige en août !

Ah oui, je suis parti bille en tête, comme tu dis, dans le 4. grinning smiley C'est juste pour essayé d'y voir clair. Je vais essayé de refaire un peu de magma pour illustrer ton dernier message.

Par exemple, on a vu que si $c =1$, alors les points de trois torsion de la courbe $E$ sur $\mathbb{F}_p$ sont fixes par le Frobenius i.e défini sur $\mathbb{F}_p$, ici on prenant un $c$ différent (non cube modulo $p$), il y a une action non trivial du Frobenius sur $E [ 3]$. Si j'y vois clair : il doit y avoir $3$ points rationnelles et $6$ points défini sur $\mathbb{F}_{p^3} = $ l'extension de $\mathbb{F}_p$ obtenu en ajoutant une racine cubique de $c$. Je vais essayé de voir ce que magma nous raconte grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/08/2017 10:46 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 10:47
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Hello gai requin,

Ah bin du coup, la bonne destination pour avoir un temps clément c'était la Bretagne thumbs down
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 14:07
Hello,

Je préfère commencer par le point 1.
En ce qui concerne la courbe projective $ax^d + by^d + cz^d = 0$ sur $\mathbb F_q$ avec $q \equiv 1 \bmod d$, j'ai vérifié mes formules données dans [www.les-mathematiques.net] et je suis d'accord avec moi-même.

Je conserve les notations du post pointé. Je fixe un caractère $\chi$ d'ordre $d$ sur $\mathbb F_q$ et je pose $\chi_0 = \chi^i$, $\chi_1 = \chi^j$. La plage de variation des $(i,j)$ est :
$$
1 \le i \le d-1, \qquad 1 \le j \le d-1, \qquad i+j \ne d \qquad\quad (\spadesuit)
$$
Ceci pour assurer $\chi_0 \ne \varepsilon$, $\chi_1 \ne \varepsilon$ et $\chi_0\chi_1 \ne \varepsilon$. L'indexation par $(i,j)$ conduit à :
$$
\alpha_{i,j} = - J(\chi^i, \chi^j) \chi\big((-1)^{i+j} a^{-i} b^{-j} c^{i+j}\big)
$$
Alors le nombre $N$ de points de la courbe projective $C : ax^d + by^q + cz^d = 0$, de genre $g = (d-1)(d-2)/2$, est :
$$
N = 1 + q - \sum_{i,j} \alpha_{i,j}, \quad\qquad \hbox {$(i,j)$ contraint par $(\spadesuit)$}
$$
Si on a avec soi la relation de Hasse-Davenport qui relie le monde Gauss-Jacobi sur $\mathbb F_q$ au monde Gauss-Jacobi sur $\mathbb F_{q^r}$, on obtient :
$$
N_r = 1 + q^r - \sum_{i,j} \alpha_{i,j}^r
$$
Si bien que la fonction zeta de $C/\mathbb F_q$ est :
$$
Z(T) = {\prod_{i,j} (1 - \alpha_{i,j} T) \over (1-T)(1-qT)} \qquad \hbox {avec $|\alpha_{i,j}| = \sqrt q$}
$$
Enfin, l'involution sans point fixe signalée dans le post pointé, s'identifie à :
$$
(i,j) \longmapsto (d-i,d-j)
$$
Vis à vis de la conjugaison complexe, cette involution a la propriété :
$$
\alpha_{d-i,d-j} = \overline {\alpha_{i,j}}
$$
J'ai aussi observé que $\alpha_{i,j} + \alpha_{d-i,d-j} \in \Z$. Faux : c'était seulement dans des cas particuliers. Donc le polynôme $L$ au numérateur de la fonction zeta est dans $\Z[T]$.
Addendum : la propriété $L \in \Z[T]$ provient d'une part du fait que $L \in \Q[T]$, ceci étant dû au fait que $\text{Gal}(\Q(\root d \of 1)/\Q) \simeq (\Z/d\Z)^\times$ opère canoniquement sur $\widehat{\mathbb U_d}$ via $\sigma \cdot \chi = \sigma \circ \chi$ et que l'ensemble des $\alpha_{i,j}$ est stable sous ce groupe de Galois. Et le passage de $\Q$ à $\Z$ est dû au fait que chaque $\alpha_{i,j}$ appartient à $\Z[\root d \of 1]$ donc est entier sur $\Z$.
Et comme
$$
\alpha_{i,j} \longmapsto q/\alpha_{i,j}
$$
stabilise les racines du polynôme réciproque de $L$, $Z$ vérifie l'équation fonctionnelle $Z(1/(qT)) = q^{1-g} T^{2-2g} Z(T)$, ce qui équivaut à :
$$
L(1/(qT)) = q^{-g} T^{-2g} L(T)
$$
Et en ce qui concerne le problème initial $d=3$, $a=b=1$, on obtient deux couples pour $(i,j)$ : le couple $(1,1)$ est son conjugué $(2,2)$, avec
$$
\alpha_{1,1} = -J(\chi,\chi) \chi(c^2) = -J(\chi,\chi) \chi(c)^2 = -J(\chi,\chi) \chi(c)^{-1}
$$
C'est ce qui était attendu.

Mais il y a bien mieux dans Ireland & Rosen, cf section $\S3$ du chapitre 11 : cette section s'intitule ``The rationality of the zeta function associated to $a_0x_0^m + \cdots a_nx_n^m = 0$''. Il s'agit de la variété projective sur un corps fini $\mathbb F_q$ avec $q \equiv 1 \bmod m$, les $a_i \in \mathbb F_q^*$. Et ils obtiennent pour cette variété tout ce que l'on peut attendre de sa fonction zeta (conjecture de Weil), cf le théorème 2 du chapitre 11 et celui de même numéro du chapitre 10



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/08/2017 16:00 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 14:17
@flip flop
Une question à propos de ton dernier post. Soit $a \in \mathbb F_q$. Si $n$ est premier, c'est vrai que $a$ admet une racine $n$-ème dans $\mathbb F_{q^n}$. Je le vois, car je sais, pour $n$ premier et tout corps $K$ et $a \in K$, que le polynôme $X^n -a$ est soit irréductible dans $K[X]$, soit totalement scindé dans $K[X]$. Horreur : je voulais dire $X^n -a$ est soit irréductible dans $K[X]$ soit possède une racine dans $K$.

Mais qu'en est-il si $n$ est quelconque ?

Et aut fait, pour une courbe elliptique $E/\mathbb F_q$, le sous-groupe de torsion $E[n]$ a tous ses points définis sur $\mathbb F_{q^n}$ ? Ou bien sur $\mathbb F_{q^{n^2}}$ ? Ou bien, sur $\mathbb F_{q^{\bullet}}$ avec $\bullet = $ dans les combien ? Quid si $n$ est divisible par la caractéristique ? Tu peux constater ici l'étendue de mon ignorance.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/08/2017 08:42 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 17:07
avatar
Pour la première question, on prend $k := \mathbb{F}_5$, $n=4$, $P := x^4+1=(x^2+2)(x^2-2)$. Mais c'est peut être pas la question, si ?

Pour la deuxième question je ne sais pas du tout.

Concernant ton avant dernier post pour le point 1. Mais en fait tu as la total (modulo Hasse-Davenport).

Je vais regardé plus en détails ton post d'hier, il faut juste que j'arrive a me concentrer un peu !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 aot 2017, 18:41
@flip flop
Ma question était : peut-on trouver un triplet $(\mathbb F_q, a \in \mathbb F_q, n \in \N^*)$ tels que $X^n - a$ soit sans racine dans $\mathbb F_{q^n}$ ? L'exemple $X^4 + 1 = (X^2 -2)(X^2 + 2)$ sur $\mathbb F_5$ ne convient pas car $X^4 + 1$ est totalement scindé sur $\mathbb F_{5^2}$, a fortiori sur $\mathbb F_{5^4}$.

Oui, on obtient la totale dans le cas $ax^d + by^d + cz^d =0$ sur $\mathbb F_q$ avec $d \mid q-1$. En ayant Hasse-Davenport avec soi. Et contrairement à une certaine époque, je pense que sans Hasse-Davenport, on ne peut pas faire grand chose.

Mais obtenir la totale dans le cas particulier ci-dessus, c'est juste banal. Et Ireland & Rosen font bien plus.

De plus, on lit page 50 de [perso.univ-rennes1.fr]

Le premier cas non-trivial pour lequel André Weil a démontré ses conjectures est celui des hypersurfaces diagonales. Il s’agit des hypersurfaces projectives sur un corps $k$ à $q$ éléments ayant une équation de la forme $\sum_i a_iX_i^d = 0$ avec $(q, d) = 1$.

Note l'hypothèse $q \wedge d = 1$, hypothèse bien plus faible que $d \mid q-1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 08:36
Jolie question sur les corps finis mais...

J'ai essayé de trouver un tel triplet avec $n=5$. Sans succès...
Je ne vois pas non plus comment démontrer qu'il n'en existe pas. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 08:45
avatar
Hello Gai requin :

Faut prendre un nombre non premier pour $n$.
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